一、 平行束反投影重建算法 平行束 重建采用的是平移加 旋转的扫描方式，如图1.1所示，射线源在某一角度下水平移动，将物体 全部照射后旋转一角度，如此重复，在这个过程中探测器相应地运动以接收X 射线。 1、反投影重建算法的物理概念： 断层平面中某一点的密度值可以看作是这一平面内所有经过该点的射线的投影值之和（的均值）。 整幅重建图像可以看作是所有方向下的投影累加而成。 射线标号示于图1.2中，像素值（代表密度）分别1x ,2x ,3x ,4x ， 赋值如下: 15x =,20x =,32x =,418x = 根据投影的定义(某条射线投影值为该条射线穿过的所有的像素值之和)，每条射线的投影i p (1,2i = )为： 1215p x x =+=, 23420p x x =+=,3137p x x =+= 42418p x x =+=, 532p x ==, 61423p x x =+= 720p x == 根据反投影重建算法的物理意义，重建图像中各像素，得到： 113635x p p p =++=，214723x p p p =++=， 323529x p p p =++=，424661x p p p =++= 52 18 3529 61 26 54.1 8.7 3.3 (a) 原图像像素值 (b)反投影重建后图像 (c)求平均后图像 图 1.3 反投影示例 重建后的图像如图1.3(b)所示，可以看出原图像中像素值不为零的点反投影重建后仍较突出，但原图中像素值为零的点，经反投影重建后不再为零，即有伪迹。有时为了使重建后图像的像素值更接近于原图的像素值，在求反投影时，把数据除以投影的数目（即射线数）， 50 2 18 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) X 射线管 平移 平移 探测器 图 1.1 平行束平移加旋转 图 1.2 断层像素值和射线
地理与生物信息学院 2011 / 2012 学年第二学期 实验报告 课程名称：医学图像处理和成像技术实验名称：CT反投影滤波重建算法设计 班级学号: B090903** 学生姓名: **** 指导教师: **** 日期：2012 年 4 月
一、实验题目：CT反投影滤波重建算法设计 二、实验内容： 1.显示图像； 2.获得仿真投影数据； 3.基于获得的仿真投影数据重建图像。 三、实验要求： 1.画出Shepp-Logan头模型，显示尺寸为128×128； 2.从头模型中获得投影数据，投影数据格式为180×185； 3.基于获得的仿真投影数据重建图像，使用R-L卷积函数，重建 尺寸为128×128。 四、实验过程： 1.显示图像： ①算法实现流程： I. S-L头模型由10个位置、大小、方向、密度各异的椭圆组成， 象征一个脑断层图像。将模型中的椭圆参数写入一个p矩阵中，方便使用其中的数据，并设定所需参数。 II. 使用循环语句给像素赋值： for i=1:10 for x…. for y….. 判断点(x, y)是否在第i个椭圆内;
如是,则将第i个椭圆折射指数赋给点(x, y); end end end III. 显示仿真头模型，使用imshow(f,[])函数显示出图像。 ②实验代码： clear all; p=[0 0 0.92 0.69 pi/2 1 0 -0.0184 0.874 0.6624 pi/2 2 0.22 0 0.31 0.11 72/180*pi 0 -0.22 0 0.41 0.16 108/180*pi 4 0 0.35 0.25 0.21 pi/2 5 0 0.1 0.046 0.046 0 6 0 -0.1 0.046 0.046 0 7 -0.08 -0.605 0.046 0.023 0 8 0 -0.605 0.023 0.023 0 8 0.06 -0.605 0.046 0.023 pi/2 8]; N=256; x=linspace(-1,1,N); y=linspace(-1,1,N); f=zeros(N,N); for i=1:N for j=1:N for k=1:10 A=p(k,3); B=p(k,4); x0=p(k,1); y0=p(k,2); x1=(x(i)-x0)*cos(p(k,5))+(y(j)-y0)*sin(p(k,5)); y1=-(x(i)-x0)*sin(p(k,5))+(y(j)-y0)*cos(p(k,5)); if((x1*x1)/(A*A)+(y1*y1)/(B*B)<=1) %判断条件 f(i,j)=p(k,6); end end end end f=rot90(f); imshow(f,[])
创 新 实 验 姓名：**** 班级：***********学号：********** 雷达的后向投影算法 一，实验目的 学习matlab的基本用法和基本代码。用此软件画出雷达工作时的模拟图像。 学习基本的雷达知识和一些关于电磁波的基本概念和算法。 熟悉基本的雷达工作原理，学习BP成像算法，用matlab仿真出BP算法。了解合成孔径雷达成像的原理。 二，实验内容。 雷达：雷达，是英文Radar的音译，源于radiodetectionandranging的缩写，
意思为"无线电探测和测距"，即用无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置。因此，雷达也被称为“无线电定位”。雷达是利用电磁波探测目标的电子设备。雷达发射电磁波对目标进行照射并接收其回波，由此获得目标至电磁波发射点的距离、距离变化率（径向速度）、方位、高度等信息。 雷达方程： 利用已知的平台轨迹信息，计算成像空间中各散射点距离运动平台的距离历史，然后利用该距离历史在数据空间中提取包含该散射点散射系数信息的复数值，补偿该散射点的多普勒相位并相干累加，从而重 BP算法：也称误差反向传播（ErrorBackPropagation,BP）算法。BP算法的基本思想是，学习过程由信号的正向传播与误差的反向传播两个过程组成。由于多层前馈网络的训练经常采用误差反向传播算法，人们也常把将多层前馈网络直接称为BP网络。后向投影算法（BackProjectionAlgorithm）是一种对时域回波数据进行成像处理的算法 BP算法的基本思路：利用已知的平台轨迹信息，计算成像空间中各散射点距离运动平台的距离历史，然后利用该距离历史在数据空间中提取包含该散射点散射系数信息的复数值，补偿该散射点的多普勒相位并相干累加，从而重建该散射点信息。 合成孔径概念；合成孔径雷达是一种高分辨率成像雷达，可以在能见度极低的气象条件下得到类似光学照相的高分辨雷达图像。利用雷达与目标的相对运动把尺寸较小的真实天线孔径用数据处理的方法合成一较大的等效天线孔径的雷达，也称综合孔径雷达。合成孔径雷达的特点是分辨率高，能全天候工作，能有效地识别伪装和穿透掩盖物。所得到的高方位分辨力相当于一个大孔径天线所能提供的方位分辨力。真实孔径的小天线相对于目标运动，使得雷达天线能在等间隔的位置上发射、接收相干脉冲信号，对来自同一目标单元的回波信号进行叠加，从而获得窄波束。从效果来看，它等效于等间隔的天线阵元在空间上合成了一个长的实孔径天线，因而可以获得高分辨力。实际上是以时间为代价换的方位分辨力的提高。 BP算法 程序如下： clearall; closeall; %%参数设置 nt=5000;%时间采样的点数 c=3*10^8;%电磁波的传播速度
第２４卷第ｓ期２００４年９月 核电子学与探测技术 ＮｕｃｌｅａｒＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ＆ＤｅｔｅｃｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖ０１．２４Ｎｏ．５ Ｓｅｐｔ．２００４ 基于ＦＤＫ算法的锥束ＣＴ重建近似 算法性能比较 曾凯，陈志强，张丽，赵自然 （清华大学工程物理系粒子信息获取与处理国家专业实验室．北京１０００８４） 摘要：相比通常的扇束和平行束ＣＴ重建，惟束ＣＴ有诸多优点（如空间分辨率高，扫描速度快等）。近似锥柬重建算法理论结构简单，重建速度快，易于实际应用。对新出现的几种近似锥束重建算法作了简单介绍，并利用这些算法对３ＤＳｈｅｐｐ－ｌｏｇａｎ模型的仿真模拟对这些算法的特点作了比较和讨论。 美键词：锥束重建；ＣＴ算法｝ＦＤＫ算法 中圈分类号：０４１１．３文献标识码：Ａ文章编号：０２５８—０９３４（２００４）０５—０５１１—０３ ０引言 Ｒａｄｏｎ在１９１７年发表的论文首先提出了物体的Ｒａｄｏｎ变换和Ｒａｄｏｎ反变换公式，１９６０年Ｋｉｒｉｌｌｏｖ又在数学上给出了从复杂投影数据重建物体的算法【１］。基于这些前人的工作Ｓｍｉｔｈ［“，Ｇｒａｎｇｅａｔ…和Ｔｕｙ…在１９８４年前后分别提出了３种类型的锥束精确重建算法。至此，奠定了锥束重建算法的理论基础。后来，研究人员又基于这３种算法发展了多种算法。但是，由于精确算法的数学复杂及计算量大，很难得到实际应用，因此，同时又有许多理论结构简单的近似算法提出，其中最著名的就是ＦＤＫ算法“］，由于是二维扇柬算法的推广，它比基于三维Ｒａｄｏｎ变化的精确重建算法在数学上简单得多。而且，在锥角比较小的时候（士４。间），能够取得比较好的重建效果，有很好的商业应用前景。近年来出现的多种近似算法都是基于这种算法发展而来的。 １常见近似重建算法介绍 １．１Ｆｕｌｌ—Ｓｃａｎ和Ｈａｌｆ—ＳｃａｎＦＤＫ算法 收稿日期：２００３。０４—１０ 作者简介：曾凯（１９８０一），男．天津人，清华大学工程物理系硕士生，从事锥束ＣＴ重建算法方面的研究。 ＦＤＫ算法是最适合进行平面圆轨道锥束重建的算法之一。它直接把二维的扇束重建算法推广到了三维锥束重建，首先对每个角度的二维投影数据进行逐行滤波，然后再进行二维的反投影对物体进行重建。具体的公式如下，坐标系见图１。 图１锥柬ＣＴ重建系统结构及坐标系示意图 在探测器平面的（ｙ，ｚ）坐标系内，平板探测器获得的二维投影数据Ｐ，（ｙ，ｚ），对其进行加权并对投影数据逐行滤波 一，∞ Ｐ，（ｙ，ｚ）＝Ｉｄｙ『ｈ（Ｙ—Ｙ’）× Ｊ一∞ Ｐ，（ｙ’，Ｚ’）瞄／（ａ２＋Ｙ”＋ｚ地）ｍ］（１） 这样，就得到了经过滤波的投影数据Ｐ。（ｙ，Ｚ）。 然后，利用二维的反投影重建物体得到体数据 ５１１
第17卷第7期强激光与粒子束V o l.17,N o.7 2005年7月H I G H P OW E R L A S E R A N D P A R T I C L E B E AM S J u l.,2005 文章编号:1001-4322(2005)07-1083-05 一种基于约束共轭梯度的闪光照相图像重建算法* 景越峰,刘瑞根,董维申 (中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621900) 摘要:针对闪光照相系统成像信噪比低的特点,提出了正则化预优约束共轭梯度算法(R P C C G)。 R P C C G算法在闪光照相重建方程中引入T i k h o n o v正则化准则,利用预优约束共轭梯度法迭代求图像重建的 最优解。数值试验表明,采用最小二乘+平滑准则的R P C C G算法是一种具有较高的抗噪能力的有效闪光照 相图像重建算法,具有良好的收敛性和稳定性以及较高的重建精度。 关键词:约束共轭梯度;图像重建;正则化;闪光照相 中图分类号:T P391文献标识码:A 闪光照相的重要目标是重建客体的空间密度分布。由于受到模糊、散射、噪声等的影响,闪光照相图像有很大的误差。如何从这种含有很大误差的图像中重建高精度的客体空间密度分布是一个很困难的问题,也是闪光照相图像重建算法研究的核心问题。近20年来很多人对这个问题进行了研究,探索了多种重建算法,其中研究比较多的是滤波反投影方法和代数法。 在数学上,闪光照相图像重建问题,可以看成是大型稀疏矩阵的线性方程组的求解问题。共轭梯度算法是求解这类大规模优化问题的有效算法。同时闪光照相图像重建问题是不适定的,人们往往会根据不同的需要来求在一定准则下的最优解。T i k h o n o v创立的正则化方法[1]是一种求解不适定问题颇为有效的方法,本文在重建算法中引入了基于T i k h o n o v正则化技术的重建准则,讨论了采用约束共轭梯度法的闪光照相图像重建模型,提出的R P C C G算法具有可充分利用先验知识对重建数据进行约束的优点。 1闪光照相图像重建模型 闪光照相系统在单能、无模糊、无散射的情况下,X射线穿过客体时沿射线i的衰减表示为 y i=X/X0=e x p(-Σ k μkαi kρk)(1) 式中:X和X 0分别是X射线的透射照射量和入射照射量;μ k 是客体体元k的质量吸收系数,可以认为是已知 的;α i k 是正向投影矩阵的第i k个元素,它与射线通过体元k的光程相关;ρ k 是体元k中的材料密度;k的求和范 围是射线i所经过的所有体元。令^μ k=μkρk 为体元k线吸收系数,由于质量吸收系数μ k 在不考虑能谱效应时 近似为常数,因此可以通过求线吸收系数的分布得到密度的分布,此时方程(1)进一步改写为 y'k=-l n(X/X0)=Σ k αi k^μk(2) 这样闪光照相图像重建算法要解决的问题就是在方程(2)中由已知的投影y'求得线吸收系数^μ k 的分布。 闪光照相系统为单轴照相,因而假定被照客体是轴对称的。根据上述闪光照相成像模型,闪光照相图像重建的代数方程为 z=A x(3)式中:x为所求的客体空间线吸收系数分布矢量;z为可测量得到的量化投影图像矢量;A为从x到z的正向投影矩阵。对于轴对称客体,在客体的每一个重建截面上,我们采用间距相等的同心圆环网格,每一个截面分为N层,每层的间距为2Δr,如图1所示。 在平行光束投影下,正向投影矩阵A为上三角阵。A的元素A i j 表示第i条光线穿过第j个圆环网格的长度,其大小为 *收稿日期:2005-03-03;修订日期:2005-06-10 基金项目:中国工程物理研究院双百人才基金资助课题 作者简介:景越峰(1980-),男,黑龙江肇州人,硕士研究生,从事图像处理研究工作;绵阳919-105信箱;E-m a i l:j y f@e y o u.c o m。
文档CT图像滤波反投影重建算法的研究[宝典] 西北工业大学学位论文知识产权声明书本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即:研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。保密论文待解密后适用本声明。学位论文作者签名::《～～～塑, 指导教师签名。,况订年弓月多,日聊年岁月歹口日西北工业大学学位论文原创性声明秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。学位论文作者签名网年;月如日西北〕,业大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论本章首先概述了图像重建和,,技术的基本概念及图像重建方法的分类，然后介绍了,,的发展及国内外研究现状，最后阐明了本文的研究目的与意义、主要工作和内容安排。,(,图像重建与,,技术概述由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。由这些一维投影函数来重建该二维截面则称为图像重建。该技术是随着计算机技术的进步而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成像术(;,,,,,,, ,,,,鲫,,或;;胁,,,,,,,,,(，,,,肿,,,)，简称为;,技术。它用于获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层
选手编号—— 锥束CT图像伪影和校正方法综述 摘要：CT技术在工业无损检测、医学、农产品品质检测、安检等领域发挥着重要的作用。在X 射线检测中,准确把握各个环节的物理特性是非常必要的，CT系统重建图像存在各种伪影。本文系统介绍了锥束CT图像伪影的种类及形成原因，针对这些图像伪影，根据近些年文献中主要的校正方法，对这些校正方法做了比较和小结。 关键词：锥束CT；CT图像；伪影；校正 The Review of Reasons and Correction Methods for Artifacts in cone beam CT Images Abstract: CT technology plays a great role in industrial non-destructive tests, medical fields, and public security, etc. It is essential to know well the physical response of the CT system in the X-ray detection. In this paper, kinds of reasons and correction methods of artifacts are summarized based on the recent literatures, and some comparison and discussion is done. Keywords: cone-beam CT; CT image; artifact; calibration 1 引言 CT(Computerized Tomography)的全称为计算机层析成像技术或计算机断层扫描技术，是数学、物理学和计算机等多个学科交叉发展的产物，是一种在不破坏或改变物体自身结构的前提下,根据获取穿过物体的某些物理量(如电子束、强波速、X射线等)的投影数据,然后转化为可见光图像，再通过CT图像重建可以获得物体特定层面上的二维图像，最后依据一系列上述二维图像构成三维图像的技术[1]。目前美日等发达国家工业CT已经进入应用阶段，在微小结构内视分析、维几何模型重构、三维材料模型重构、试验过程三维监控等领域发挥了作用；国内起步较晚，目前大部分还处于研制阶段。 工业CT技术能紧密、准确地再现物体内部的三维立体结构，能定量地提供物体内部的物理、力学特性，如缺陷的位置及尺寸、密度的变化及水平，异型结构的形状及精确尺寸，物体内部的杂质及分布等。但是，由于被检测对象内部构造、CT系统的设计和重建算法等因素，断层图像往往会出现伪影，影响对图片的判断，严重时甚至会引起误判。断层图像质量的好坏直接影响着CT的检验效果，伪影的存在极大地限制了CT优势的发挥，因此正确认识造成伪影的原因并对其进行校正，是CT系统达到使用阶段必须解决的难题。
南昌大学实验报告 学生姓名：胡文松学号： 6103413007 专业班级：生医131班 实验类型：□验证□综合■设计□创新实验日期： 20160516 实验成绩： 实验二、扇形束投影数据采集与滤波反投影重建实验 一、实验目的及要求： 1、用MA TLAB中的fanbeam函数获取Shepp-Logan头模型的扇形束投影数据； 2、显示扇形束投影数据并和平行束投影数据进行比较； 3、用MA TLAB中的ifanbeam函数实现图像重建； 4、改变投影参数，观察对重建图像的影响。 二、实验基本原理： fanbeam 函数，计算扇形束投影。 句法 F = fanbeam(I,D) F = fanbeam(...,param1,val1,param1,val2,...) [F,sensor_positions,fan_rotation_angles] = fanbeam(...) F = fanbeam(I,D) 计算图像I的扇形束投影(正弦图) ，D 是扇形束顶点到旋转中心的距离。F的每一列表示一个角度下的扇形采样数据。探测器圆弧状排布，探测器间相隔一度，旋转360度[0:359] 。 F = fanbeam(...,param1,val1,param1,val2,...) 指定参数控制扇形投影 'FanRotationIncrement' 指定旋转角度增量，单位为度，默认值为1度。 'FanSensorGeometry' 指定探测器的排布方式 'arc'—探测器圆弧状排布（默认值） 'line' --探测器等距离线性排布 'FanSensorSpacing' 指定探测器间的间隔，探测器圆弧状排布的情况，单位为度，默认值为1。探测器等距离线性排布，单位为像素。 [F,sensor_positions,fan_rotation_angles] = fanbeam(...) 返回探测器位置和旋转角度信息 ifanbeam 函数，由扇形束投影数据重建图像 句法 I = ifanbeam(F,D) I = ifambeam(...,param1,val1,param2,val2,...) [I,H] = ifanbeam(...) I = ifanbeam(F,D) 由投影数据F重建图像I。 D是扇形束顶点到旋转中心的距离 I = ifanbeam(...,param1,val1,param2,val2,...) 指定参数控制图像重建。 'FanCoverage' 指定旋转角度范围 'cycle'}—旋转360度[0,360).
西北工业大学学位论文知识产权声明书本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。保密论文待解密后适用本声明。学位论文作者签名：：《！！！塑Ｌ指导教师签名。＞况订年弓月多Ｄ日聊年岁月歹口日西北工业大学学位论文原创性声明秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。学位论文作者签名网年；月如日西北〕＝业大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论本章首先概述了图像重建和ＣＴ技术的基本概念及图像重建方法的分类，然后介绍了ＣＴ的发展及国内外研究现状，最后阐明了本文的研究目的与意义、主要工作和内容安排。１．１图像重建与ＣＴ技术概述由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。由这些一维投影函数来重建该二维截面则称为图像重建。该技术是随着计算机技术的进步而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成像术（ｃｏｍｐｕｔｅｄＴ０ｍｏ鲫ｈｙ或ｃｃ胁ｐｕｔｅｒｉｚｅｄ．Ｉｂｍｏ肿ｐｂｙ），简称为ｃＴ技术。它用于获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层图像（故亦称断层摄影技术），对于ｘ射线放射诊断是一个重大突破，具有深远的实际意义，因而受到普遍的重视。１．１．１图像重建图像重建是图像处理中一个重要研究分支，是指根据对物体的探测获取的数据来重新建立图像，其重要意义在于获取被检测物体内部结构的图像而不对物体造成任何物理上的损伤。由于具备无损检测技术的显著优点，它在各个不同的应用领域中都显示出独特的重要性。例如：在医疗放射学、核医学、电子显微、无线电雷达天文学、光显微和全息成像学及理论视觉等领域都多有应用。在上述的众多领域中，图像重建在医学方面的应用最为显著。它大大丰富了对于人体内部器官进行无损检测的方法和手段，为疾病的早期正确诊断提供了科学的、准确的依据。根据原始数据获取方法及重建原理的不同可分为如下几种：发射断层重建成像（Ｅｍｊ醛ｉ∞ｃｏｍｐｕｔｃｄＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ，Ｅｃ砷，透射断层重建成像ｆｒｆａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｃｃ吼ｐｌＩｔｃｄＴｏｍｏ掣ａｐｈｙ，１∞，反射断层重建成像（Ｒｅｆｌｅｃｔｉ∞Ｃｃ粕ｐｕｔｅｄ劢衄ｏｇｒａｐｈｙ，ＲｃＩ）及核磁共振重建成像（Ｍａ印ｅｔｉｃＲｅｓ∞卸ｃｃｌＩＩＩａｇｉｎｇ，ＭＲｎ。西北工业大学硕士学位论文第一章绪论１．１．２ＣＴ技术在各种图像重建算法中，计算机断层成像术即ＣＴ技术占有重要的地位。ｃＴ技术的功能是将人体中某一薄层中的组织分布情况，通过射线对该薄层的扫描、检测器对透射信息的采集、计算机对数据的处理，并利用可视化技术在显示器或其他介质上显示出来。１．１．３图像重建的方法图像重建是ＣＴ技术中的一个重要问题。它的实质是按照采集后的数据，求解图像矩阵中象素，然后重新构造图像的过程；而图像矩阵的求解由计算机完成。图像重建问题的求解方法根据其特点可分为２大类。第１类是变换重建方法ｆ也叫解析法呐，其特点是先在连续域解析处理，最后离散化以利用计算机计算。其中又可分成傅里叶反变换重建法和滤波（或卷积）反投影重建法。第２类是级数展开重建法１２ｊ１３ｌ（也叫代数重建法、迭代算法、优化技术等），其特点是从开始就离散化进行分析，从而直接得到数值解。另外还有将变换法和级数展开法相结合的综合方法，如：迭代变换法、迭代重建重投影、角谐函数重建法和正交多项式展开重建。变换法的突出优点是实现简单，速度快，对足够精确的投影数据能获得很好的重建质量。因此目前实用ＣＴ系统中，尤其是医用ｃＴ系统中广泛采用变换法，特别是滤波反投影类型的算法来进行图像重建。变换法在技术上有两个主要的限制：（１）噪声特性不好。因为变换法是基于解析求反公式的闭合形式，要求投影数据是精确的。对于数据中的噪声，可以通过滤波步骤来适当解决。如果我们能在投影数据输入给变换法之前，将影响投影数据不精确性的诸多物理因素进行足够的校正，则便可以认为投影数据是相当准确的，从而得到满意的重建。（乃正因为变换法基于解析求反公式的闭合形式，所以变换法的简单与复杂强烈地依赖于数据采集扫描方
卷积反投影图像重建 1 反投影重建基本介绍[1] 设待重建图像为),(y x a ，它的二维傅氏变换为^ 1 2 (,)(,)A A ωωρφ=。根据中心切片定理，^ (,)A ρφ可通过),(y x a 在不同视角φ下的投影()r p x φ的 一维傅氏变换求得。即： 待建图像： 12^ 1212()1212 2 ^2cos()0 2cos()02cos()0(,)(,)(,)1(,)4(,)(,)(,)i x y i r i r i r a r a x y F A A e d d A e d d P e d d d P e d ωωππρθφπ πρθφπ πρθφθωωωωωωπρφρρφ ρφρρφ φρρφρ -∞∞ +-∞-∞ ∞--∞ ∞ --∞ ∞ --∞======?? ??? ? ?? [] (1.1) 因为cos()r x r θφ=-，所以有： 122(cos sin )22cos()r x y x y x r ωωπρφφπρπρθφ+=+==- 同时： 12d d J d d ωωρφ= 11222//2cos 2sin 4//2sin 2cos J ωρωφπφ πρφ πρωρωφπφ πρφ ????-= = =???? (1.2) 先来看该式的第二个积分： [] 22cos() cos()cos()cos()(,)(,)|()(,)|(,)|cos(),r r r r i x i r x r r r x r r x r P e d P e d h x p x g x g r πρπρθφθφθφθφρρφρρρφρ φφθφφ∞ ∞ -=--∞ -∞ =-=-==*==-? ? (1.3) 式中：(,)()(,)r r r g x h x p x φφ=* (1.4) ^ 121(,)(,)()()(,)r A A F p x P P φφωωρφρρφ??====??
4-5 由投影重建图像 一、 实验目的 了解反投影重建算法的方法. 二、 实验内容 1.利用radon 和iradon 函数实现平行束投影和反投影重建算法 2. 利用fanbeam 和ifanbeam 函数实现扇形束投影和反投影重建算法 三、 实验步骤 1.用MATLAB图像处理工具箱的phantom 生成Shep‐Logan 头模型； P=phantom(256); imshow(P); 2.用MATLAB中的radon 函数获得Shepp‐Logan 模型的投影数据： theta1=0:10:170; [R1,xp]=radon(P,theta1); %计算Shep‐Logen头模型18 个角度 theta2=0:5:175; [R2,xp]=r adon(P,theta2); %36 个角度 theta3=0:2:178;[R3,xp]=radon(P,theta3); % 90 个角度的投应 %显示投影数据： %18 个角度 figure,imagesc(theta1,xp,R1);xlabel('\theta');ylabel('x\prime');
% 36 个角度 figure,imagesc(theta2,xp,R2);xlabel('\theta');ylabel('x\prime'); % 90 个角度 figure,imagesc(theta3,xp,R3);xlabel('\theta');ylabel('x\prime');
3．用MATLAB 中的iradon 函数对获得的投影数据进行滤波反投影重建，获得Shepp‐Logan 模型的重建图像： I1=iradon(R1,10);I2=iradon(R2,5);I3=iradon(R3,2); %显示重建图像： figure,imshow(I1);
滤波反投影法重建CT 图像实验指导书 一、 实验目的 1． 了解傅立叶变换法、直接反投影法重建CT 图像的原理； 2． 掌握滤波反投影法重建CT 图像的原理和基本方法。 二、 实验器材 装有MATLAB 程序的PC 机，滤波反投影法图像重建演示软件，投影数据。 三、 实验原理 CT 图像重建问题实际上就是如何从投影数据中解算出成像平面上各像素点的衰减系数。图像重建的算法有多种，如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投影法等。在介绍算法前，有必要先介绍从投影重建图像的重要依据，即中心切片定理。 1． 中心切片定理 密度函数(,)f x y 在某一方向上的投影函数()g R θ的一维傅立叶变换函数()g θρ是原密度函数(,)f x y 的二维傅立叶变换函数(,)F ρθ在(,)ρθ平面上沿同一方向且过原点的直线上的值。 图1 中心切片定理 2．傅立叶变换法 如果在不同角度下取得足够多的投影函数数据，并作傅立叶变换，根据中心切片定理，变换后的数据将充满整个(,)u v 平面。一旦频域函数(,)F u v 或(,)F ρβ的全部值都得到后，将其做傅立叶反变换，就能得到原始的密度函数(,)f x y ，即所要重建的图像。
上述图像重建算法称为傅立叶变换法，图2给出了傅立叶变换重建方法的流程图。图中指出，对于每次测得的投影数据先作一维傅立叶变换。根据中心切片定理，可将此变换结果看成二维频率域中同样角度下过原点的直线上的值。在不同投影角下所得的一维变换函数可在频域中构成完整的二维傅立叶变换函数，将此二维变换函数做一次逆变换，就得到了所要求的空间域中的密度函数。为了在二维逆变换中采用快速傅立叶变换算法，通常在逆变换前要将极坐标形式的频域函数变换成直角坐标形式的数据。 图2 傅立叶变换重建图像的过程 采用傅立叶变换法重建图像时，投影函数的一维傅立叶变换在频域中为极坐标形式，把极坐标形式的数据通过插补运算转换为直角坐标形式的数据时，计算工作量较大。此外，在极坐标形式的频域数据中，离原点较远的频率较高的部分数据比较稀疏，当这些位置上的数据转换到直角坐标下时，需经插补，这将引入一定程度的误差。即，在重建的图像中，高频分量可能有较大失真。 3．直接反投影法 直接反投影法把每次测得的投影数据“原路”反投影到投影线的各个像素上。即指定投影线上所有各点的值等于所测得的投影值。如图3所示的例子中，被探查物体只是在原点位置上的一个致密点。在一个角度上测量到其投影值时，就把这个值赋给投影线上的所有点。于是，从不同角度进行反投影后的重建图像是由以原点为中心的一系列辐射线。显然，原点位置上的分布密度最高；愈往四周，密度愈低。这当然可以说是粗略地把图像恢复出来了。但问题是除了密度最大的中心点，四周出现了逐渐变浅的云晕状阴影。 图3直接反投影重建法
地理与生物信息学院 2012 / 2013 学年第二学期 实验报告 课程名称：医学图像处理和成像技术 实验名称：CT反投影滤波重建算法设计 班级学号: B10090405 学生姓名: 陈洁 指导教师: 戴修斌 日期：2013 年 5 月 一、实验题目：CT反投影滤波重建算法设计
二、实验内容： 1.显示图像； 2.获得仿真投影数据； 3.基于获得的仿真投影数据重建图像。 三、实验要求： 1.Shepp-Logan头模型： 画出Shepp-Logan头模型，简称S-L模型，头模型尺寸设定为128×128； 2.仿真投影数据的获得： 从头模型中获得投影数据，投影数据格式为180×185，即[0，179°]范围内角度每隔1°取样，每个角度下有185个探测器； 3.卷积反投影重建算法的实现： 基于获得的仿真投影数据重建图像，使用R-L卷积函数，重建尺寸为128×128。 四、实验过程： 实验1. Shepp-Logan头模型 ①算法实现流程： I. S-L头模型由10个位置、大小、方向、密度各异的椭圆组成， 象征一个脑断层图像。 Shepp-Logan头模型中的椭圆参数：
II. 使用循环语句给像素赋值： for i=1:10 for x…. for y….. 判断点(x, y)是否在第i个椭圆内; 如是,则将第i个椭圆折射指数赋给点(x, y); end end end III. 显示仿真头模型： 使用imshow(f,[])函数显示出图像。 ②实验代码： clear all; p=[0 0 0.92 0.69 pi/2 1 0 -0.0184 0.874 0.6624 pi/2 2 0.22 0 0.31 0.11 72/180*pi 0 -0.22 0 0.41 0.16 108/180*pi 4 0 0.35 0.25 0.21 pi/2 5 0 0.1 0.046 0.046 0 6 0 -0.1 0.046 0.046 0 7 -0.08 -0.605 0.046 0.023 0 8 0 -0.605 0.023 0.023 0 8 0.06 -0.605 0.046 0.023 pi/2 8]; N=256;
实验课程：现代医学影像设备 生物医学工程学院实验技术管理中心
1.运行matlab程序，在命令窗口输入以下exit moxing 输入以下代码： I=phantom(512); //生成shepp-logan体模 H=imrotate(I,270); // figure,imshow(I); figure,imshow(H); 显示图像如下： 图1 shepp-ladon体模512X512 图2体模旋转180度矩阵512X512
2、X线以与Y轴平行的方向进行投影，根据傅立叶切片定理知道θ=180度， 1）获取在θ=180度角度下的体模的投影数据 projection=sum(H,1); figure,plot(1:512,projection); 图如下： 2）再把此角度下的投影数据进行傅立叶变换，图如下 f=fft(projection); %进行傅立叶变换 fab=f.*conj(f); %由于变换是复数，取模 f3=fftshift(fab); %对所得的傅立叶变换进行频谱转移 figure,plot(1:512,f3); %显示图像
图3 3)直接把原旋转180角度下的体模进行一维傅立叶变换，图如下：f4=fft2(H); %直接对原图傅立叶变换 fab1=f4.*conj(f4); %取模 f5=fftshift(fab1); figure,plot(f5); 图4
行BP 实验内容：1.实验步骤 1)通过 help radon 和 help iradon 了解radon与iradon函数的用法; 然后编写生成图像的m文件；程序： P = phantom(256); C = radon(P,0:179); I = iradon(C, 0:179); imshow(C,[]);figure,imshow(I,[]); 得出结果如图2-1所示。 图2-1 a 弦图 b iradon重建图像 2)首先，我们分别对前面所创建的shepp-logan进行平行束反投影重建以 及滤波反投影重建。 （1）反投影重建 Step1.生成shepp-logan体模图像，并得到它的投影值。 I=phantom(256); %form the image figure,imshow(I); IMG=double(I); THETA=0:179; % This MATLAB code takes an image matrix and vector of angles and then finds the 1D projection (Radon transform) at each of the angles. It returns a matrix whose columns are the projections at each angle.pad the image with zeros so we don't lose anything when we rotate.