数理方法电子教案

《数理方法》电子教案

一、课程考试试题样卷题型及分值分配

本课程考试试题主要参考书目为梁昆淼，《数学物理方法》。试题样卷题型及其分值分配见下表1：

表1：试题样卷题型及其分值分配

试题样卷题型分值分配

单项选择题共20小题，每题2分，共40分

填空题共10小题，每题1分，共10分

计算题共8小题，每题5分，共40分

综合题共10分

二、知识点分布

课程知识点分布如下：

主要有两部分的内容：第一部分是复变函数论，第二部分是数学物理方程。

复变函数论

第一章：复变函数、复数及运算、区域；

第二章：复变函数的积分、柯西定理及公式；

第三章：幂级数展开，复数项级数和泰勒级数的展开；

第四章：留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分；

第五章：傅里叶积分与傅里叶变换；

第六章：拉普拉斯变换；

数学物理方程

第七章：数学物理定解问题，数学物理方程的导出及分类；

第八章：分离变数法，非齐次振动方程和运输方程；

第九章：二阶常微分方程级数解法，特殊函数常微分方程，本征值问题；

第十章：球函数；

第十一章：柱函数，贝塞尔方程；

第十二章：格林函数，求解各种格林函数；

第十三章：积分变换法；

第十四章：保角变换法；

第十五章：近似方法简介。

三、 课程重难点、要点

复变函数论

第一章：复变函数、复数及运算； 第二章：柯西定理及公式； 第三章：幂级数展开；

第四章：留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分； 第五章：傅里叶积分与傅里叶变换； 第六章：拉普拉斯变换； 数学物理方程

第七章：数学物理方程的导出及分类；

第八章：分离变数法，非齐次振动方程和运输方程；

第九章：二阶常微分方程级数解法，特殊函数常微分方程，本征值问题； 第十章：球函数；

第十一章：柱函数，贝塞尔方程；

第十二章：格林函数，求解各种格林函数； 第十三章：积分变换法；

四、 具体例题及分析

一、填空题：

1. 复数z=1+i 的指数表达式为（ ） A ．4

πi

e B ．2??

? ??+ππ24i e

C ．22

π

i

e D ．24

3i

e

B

2. 关于解析函数的概念，下列四个描述种错误的是（ ）

A ．若函数f(z)在某点0z 及其领域可导，则必在0z 解析。

B ．若函数f(z)在某点0z 解析，则必在0z 可导。

C ．若函数f(z)在某点0z 可导，则必在0z 解析。

D ．若函数f(z)在某区域上解析与在该区域可导是等价的。

C

3. 复变函数的路积分可归结为两个实变函数的线积分。下列表达式正确的是（ ）

A ．?l

dz z f )(=?+l

dy y x v dx y x u ),(),(+?+l

dy y x u dx y x v i ),(),(

B ．?l

dz z f )(= ?-dy y x v dx y x u ),(),(+?+l

dy y x u dx y x v i ),(),(

C ．?l

dz z f )(=?+dy y x u dx y x v ),(0,(+?+dy y x v dx y x u i ),(),(

D ．?l

dz z f )(=dy y x v dx y x u i dy u x u dx y x v ),(),(),(),(??-+-

B

4. 以0z 为中心的复变项幂级数，其收敛圆是以0z 为圆心以R 为半径的圆，关于该级数在圆域上的收敛情况及有关性质，下列论述中错误的是 （ ）

A ．幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛，在圆周上及圆外均发散。

B ．幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意次。

C ．幂级数在收敛圆内可以逐项积分。

D ．幂级数的和函数是收敛的圆内的解析函数在收敛圆内不存在奇点。

A 5. )(x f 的复数形式的傅里叶积分表达式及傅里叶变换式，下列正确的是（ ）

A ．)(x f =??

∞*=

])[(21

)(,)(π

π

ωωωdx e x f F d e F iwx iwx

B ．)(x f =

?

?

∞

*=

])[(21)(,)(21dx e x f F d e F x i iwx ωπ

π

ωωωπ

C ．)(x f =??

+∞∞

-+∞∞

-*=dx e x f F d e F x i iwx ])[(21)(,)(ωπ

ωωω

D ．)]([)()],([)(11w F F x f x f F w F --== (1

-F 表示傅里叶逆变换)

C

6. 关于不定积分ξξd f z F z

z ?=0)()(的性质下列描述中错误的是（ ）

A. )(z F 是B 上的解析函数.

B. )()(z f z F ='

C.

)()()(122

1

z F z F d f z z -=?

ξξ D. 路积分ξξd f z z ?2

1

)(完全不确定

D

7. 下面关于泰勒级数和罗朗级数的比较，其中正确的是（ ）

A. 当)(z f 在以0z 为中心的圆R c 内解析，则)(z f 可展为罗朗级数。在环域

102||R z z R <-<内解析时，可展为泰勒级数。

B. 罗朗级数的系数与泰勒级数系数k a 完全一致。

C. 泰勒级数和罗朗级数的区别只是不含负幂项。

D. 当所研究的区域上)(z f 无奇点时则可展为泰勒级数，有奇点时则可展为罗朗级数。级数的形式是唯一的。

B

二、填空题：

1. 以0z 为中心的幂级数∑∞

=-00)(k k k z z a 其和函数可表示为连续导数的回路积

分，即

=-∑∞

=k k k

z a

)(00

ξ_________.

?-R c d z

w i ξξξπ)

(21

2. )(z f 在以0z 为圆心的圆周R c 内解析，)(z f 可展开为

)(z f =∑∞

=-00)(k k k z z a ，其中系数k a =______.

!

)

(0)

(k z f

a n k =

3. 贝塞尔函数v J 的级数表达式v J =（ ）。

k

v k k

x

k v k 20

)2()1(!1)1(+∞

=∑++Γ-

4. v 阶罗埃曼函数的表达式v N =（ ）（用贝塞尔函数表示）

()cos ()

sin v v v J x vx J x N vx

--=

三、计算题

1、 在0z =1的邻域上将函数)

1(1

)(2-=

z z f 展开为格朗级数.

解答：∑∞

=+----=-022)1(2

1

)1(11111k k k k z z z z ，)210(<-

2、求矩形脉冲)2(

)(T t

hrect t f =的复数形式的傅里叶变换。 解答：w

wT

h w T c hT T t hrect F sin )(sin )]2([πππ==

3、 给贝塞尔方程的表达式及ν阶和ν-阶贝塞尔函数的级数表达式，并用贝塞尔函数表示方程的通解。

解答：)(,0)(222

22

ρπ==-++x R m x dx dR

x dx

R d x 用贝塞尔函数表示出贝塞尔方程的解为 )()()(21x J c x J c x Y νν-+=

∑∞

=+++Γ-=0

2)

2()1(!1)1()(k k

k

x k k x J ννν ∑∞

=+--++--=0

2)

2()1(!1)1()(k k

k

x k k x J ννν 4、求单个锯齿脉冲)21()(-=T t ktrect t f 即??

?

??<<<<=)

(0

)0()

0(0

)(T t T t kt

t t f 的复数形式的傅里叶变换。

解答：

])1(1

[2T i T i iTe e k ωωω

πω--+-

5、试给出球函数方程的表达式及分离变数后的解的表达式。（实数形式和复数形式）

解答：0)1(sin 1)(sin sin 12

22=++??+????y l l y

y ?θθθθθ

?

??

???=??θ?θm m p y m l m l cos sin )(cos ),( )3,2,1,0,3,2,1,0( ==l l m

?θ?θim m

l m l e p y )(cos ),(= )3,2,1,0,3,2,1,0( =±±±±=l l m

6、试给出0→x 时)(x J v ，)(x J v -，)(0x N ，)(x N v 的渐进行为。

解答：0)(→x J v ∞→-)(x J v -∞→)(0x N ±∞→)(x N v )0(≠v

四、综合题

1、应用傅立叶变换法求解无限长弦的自由振动。

???

??===-==)(),(000

2x u x u u a u t t xx tt ψ? )(∞<<-∞x

解答：ikat ikat ikat ikat e k ik

a e k e k ik a e k k t U --ψ-Φ+ψ+Φ=)(1

21)(21)(121)(21),( 逆变换后：

[]ξξψ??ππd a

at x at x t x u a x a x ?+-+-++=

)(21)()(21

),(

2、利用傅里叶变换法求杆的温度),(t x u ，并利用积分公式

2

2

2

24/)(

a k k

e dk e e ββα

α

π=?

∞

+∞

--对结果进行化简。

参考答案：ξπξ?ξd e

t

a t x u t

a x ]21[

)(),(224)(--

∞

+∞

-?=

物理方法

1．控制变量法： （1）定义：在研究一个量与多个因素关系时，将一些因素固定不变，分别只研究该量与一个因素的关系，从而使问题简化。 （2）举例：研究电流与电压、电阻关系时，先将电阻固定不变，研究电流与电压的关系，然后再将电压固定不变，研究电流与电阻的关系。 2．转换法： （1）定义：将看不见、摸不着、不便于研究的问题或因素，转换成看得见、摸得着、便于研究的问题或因素。 （2）举例：磁场看不见，撒上铁粉，通过铁粉的有序排列“看见”磁场并进行研究。 3．放大法： （1）定义：放大、扩大、变大或增加某些因素使问题更容易解决。许多情况下可以认为这是一种特殊的转换法。 （2）举例：将带有细玻璃管的塞子插到装满水的瓶口，显示玻璃瓶的微小形变。 4．换元法（替代法）： （1）定义：换元法就是运用替换或代换的方法去进行创造的方法。 （2）举例：研究平面镜成像时，用平面玻璃代替平面镜进行研究。研究透镜时，用冰块去代替玻璃制作简易的透镜。 5．等效法： （1）定义：两种现象在效果上一样，因此可以进行相互替代。可以认为这是一种特殊的替代法。 （2）举例：做功和热传递在改变物体内能上是等效的。 6．分类法： （1）定义：将许多东西根据一定的规则进行分组。 （2）举例：将汽化现象分为蒸发、沸腾两类。 7．比较法： （1）定义：找到两种东西（现象、物理量等）的相同点、不同点。 （2）举例：蒸发和沸腾的异同点。 8．类比法： （1）定义：由两种东西的一部分相似之处，推测其他部分也可能相似。 （2）举例：研究功率时，想到功率表示做功快慢、速度表示运动快慢这一相似性，推测功率在定义、定义式、单位等方面也可能与速度相似。 9．拟人类比法： （1）定义：拟人类比又称“亲身类比”或“角色扮演”。在解决问题时，让学生设想自己变成了问题中的某些事物，从而去设身处地、亲临其境地感受问题的本质，解决问题。是一种特殊的类比法。 （2）举例：在研究分子热运动时，可以让学生设想自己就是一个个的分子。 10．模型法： （1）定义：将研究的问题在抓住要点的基础上进行简化、抽象，建立模型，运用模型去更方便地研究问题。 （2）举例：为研究光现象，引入“光线”这一模型。 11．等价变换法： （1）定义：让学生把有关知识的数据、形象、动作、符号、公式、实例、文字叙述等各种信息自由地变换表示，培养学生联想能力。 （2）例如，在研究压强时，将压强定义式变换为定义的文字叙述，或相反。

大学物理实验作业习题

作业习题 第一部分：力学部分 1、长度、密度测量 ⑴使用游标时，怎样识别它的精度？ ⑵如何从卡尺和螺旋测微计上读出被测的毫米整数和小数？ ⑶用静力秤衡法测固体密度，在秤浸入液体中的固体质量时，能否让固体接触烧杯 壁和底部，为什么？ ⑷如要测定一块任意形状的固体的密度，试选择一种实验方法，写出测量的步骤。 2 、三线悬盘测刚体转动惯量 ⑴为什么实验时必须要求两盘水平，三根悬线长度相等？ ⑵如何启动三线摆才能防止晃动？ ⑶为什么三线摆的扭转角不能过大？ ⑷仪器常数m0、m1、m2应选用什么仪器测量？a和b分别表示什么距离？为什么 周期T要通过测量50周的时间50T计算得到，直接测量行吗？为什么？ 3、碰撞和动量守恒 ⑴分析实验过程中的守恒原理，动量和能量是否遵守同一守恒定律、你能给出什么 结论？ ⑵比较以下实验结果： 把光电门放在远离及靠近碰撞位置； 碰撞速度大和小； 正碰与斜碰 导轨中气压大与小。 4 、拉伸法测杨氏模量 ⑴仪器调节的步骤很重要，为在望远镜中找到直尺的象，事先应作好哪些准备，试 说明操作程序。 ⑵如果在调节光杠杆和镜尺组时，竖尺有5度的倾斜，其它都按要求调节。问对结 果有无影响？影响多大？如果竖尺调好为竖直而小镜有5度的倾斜，对结果有无影响？ ⑶本实验中各个长度量用不同的仪器（螺旋测微计、钢卷尺等）来测量是怎样考虑

的，为什么？ ⑷利用光杠杆把测微小长度△L变成测D等量，光杠杆放大率为2D／l，根据此式 能否以增加D减少1来提高放大率？这样做有无好处？有无限度？应怎样考虑这个问题？ ⑸加砝码后立即读数和过一会读数，读数值有无区别，从而判断弹性滞后对测量有无 影响。由此可得出什么结论？ 5、焦利氏秤测液体的表面张力系数 ⑴焦利氏秤的弹簧为什么要做成锥形？ ⑵实验中应注意哪些方面因素才能减小误差？ 6 、落球法测液体的粘滞系数 ⑴本实验中可能引起误差的因素有哪些？ ⑵本实验所采用的测液体粘滞系数的方法是否对一切液体都适用？ ⑶什么是雷诺系数？说明其物理意义，结合以上实验，分析其影响。 第二部分：电学部分 7、万用表及电路 ⑴为什么不宜用欧姆计测量表头的内阻？ ⑵万用表使用完毕后，为什么不能让功能旋钮停在欧姆挡？ ⑶选择两个电位器，组成一个可以进行粗调和细调的分压电路（画出电路图，标明 电位器的阻值）。 8 、电流计的研究 ⑴灵敏电流计之所以有较高的灵敏度是由于结构上做了哪些改进？ 9、单臂电桥测电阻 （1）电桥采用什么方法测电阻？ （2）单臂电桥适合测多大的电阻？能读几位有效数字？ 10、双臂电桥测低电阻 ⑴如果将标准电阻和待测铜棒的电压接头与电流接头互相颠倒，等效电路是怎样的 这样做好不好？ （2）双臂电桥是怎样消除导线电阻及接触电阻的影响的？

通过能力计算

计算题 1．已知某地铁线路车辆定员每节240人，列车为6节编组，高峰小时满载率为120％，且单向最大断面旅客数量为29376人，试求该小时内单向应开行的列车数。 2、已知某地铁线路采用三显示带防护区段的固定闭塞列车运行控制方式，假设各闭塞分区长度相等，均为1000米，已知列车长 度为420米，列车制动距离为100米，列车运行速度为70km/h，制动减速度为2米/秒2，列车启动加速度为1.8米/秒2，列车最大停站时间为40秒。试求该线路的通过能力是多少？ 若该线路改成四显示自动闭塞，每个闭塞分区长度为600米，则此时线路的通过能力是多少？ 3．已知某地铁线路采用移动闭塞列车运行控制方式，已知列车长度为420米，车站闭塞分区为750米，安全防护距离为 200米，列车进站规定速度为60km/h，制动空驶时间为1.6秒，制动减速度为2米/秒2，列车启动加速度为1.8米/秒2，列车最大停站时间为40秒。试求该线路的通过能力是多少？ 4．已知某地铁线路为双线线路，列车采用非自动闭塞的连发方式运行，已知列车在各区间的运行时分和停站时分如下表，线路的连发间隔时间为12秒。试求该线路的通过能力是多少？

5．已知地铁列车在某车站采用站后折返，相关时间如下：前一列车离去时间1.5分钟，办理进路作业时间0.5分钟，确认信号时间0.5分钟，列车出折返线时间1.5分钟，停站时间1分钟。试计算该折返站通过能力。 6．已知某终点折返站采用站前交替折返，已知列车直到时间 为40秒，列车侧到时间为1分10秒，列车直发时间为40秒，列车侧发时间为1分20秒，列车反应时间为10秒， 办理接车进路的时间为15秒，办理发车进路的时间为15秒。试分别计算考虑发车时间均衡时和不考虑发车时间均衡时，该折返站的折返能力是多少？ 7．已知线路上有大小交路两种列车，小交路列车在某中间折返 站采用站前折返（直到侧发），已知小交路列车侧发时间为1分20秒，办理接车进路的时间为15秒，办理发车进路的时间为15秒，列车反应时间为10秒，列车直到时间为25 秒，列车停站时间为40秒；长交路列车进站时间为25秒。试分别计算该中间折返站的最小折返能力和最大折返能力分别是多少？ 8．已知线路上有大小交路两种列车，小交路列车在某中间折返站采用站后折返，已知小交路列车的相关时分为：列车驶出车站 闭塞分区时间为1分15秒，办理出折返线调车进路的时间 为20秒，列车从折返线至车站出发正线时间为40秒，列车反应时间为10秒，列车停站时间为40秒。

数学物理方法姚端正CH作业解答.doc

数理方法CH3 作业解答P51习题3.2 1. 确定下列级数的收敛半径： ∞k k （2）∑ k z =1 2 k ∞（4）∑ ( k =0 k + a )k z k k z k ∞k k 解：（2）∑ k z k =1 2 a k k +1 2k 收敛半径为：R lim | | lim | /( ) | lim 2 k = = = = k k+1 →a 2 2 k +1 →∞ k ∞k → k ∞ k+1 ∞ （4）∑ (k k= 0 + a ) k z k k z k k a k + a k 解：收敛半径为：R lim | | lim | |若|a |≤1，则 = = k +1 k →a (k +1) + a ∞k →∞ k +1 k k a + lim | →k ∞+ k (k 1) a + | 1 = + 1 若| a |> 1，则 k k 1 k - 2 -罗比塔法则 k a 1 ka k(k 1)a 1 罗比塔法则 + + - lim | | lim | | lim | | = = k = k k→∞ k +1 k k ka k - 1 a (k 1) a 1 (k 1)a ( 1) | →∞+ + + + →∞+ |

∞ k 2.∑ a k z 的收敛半径为R (0 ≤R < ∞) ，确定下列级数的收敛半径：k=1 ∞（1）∑ k k= 0 n a z k k n k a k a k a k n k n k 解：) | lim | | 收敛半径为：lim | ) |= lim | ( ) | ?| |= lim | ( ? n k (k 1) a k +1 a k 1 a + + k →∞k k →∞ →∞k →∞ k+1 k +1 +1 k n 而lim |( ) |=1 k k +1 →∞lim k→∞ | a k a k +1 |= R 所以，所求收敛半径为R P55习题3.3 1

数学物理方法学习心得

竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程

不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：

数学物理方法第二次作业答案解析

第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

车站通过能力计算

车站通过能力 车站通过能力是在车站现有设备条件下，采用合理的技术作业过程，一昼夜能接发和方向的货物（旅客）列车数和运行图规定的旅客（货物）列车数。 车站通过能力包括咽喉通过能力和到发线通过能力。 咽喉通过能力是指车站某咽喉区各衔接方向接、发车进路咽喉道岔组通过能力之和，咽喉道岔通过能力是指在合理固定到发线使用方案及作业进路条件下，某衔接方向接、发车进路上最繁忙的道岔组一昼夜能够接、发该方向的货物（旅客）列车数和运行图规定的旅客（货物）列车数。 到发线通过能力是指到达场、出发场、通过场或到发场内办理列车到发作业的线路，采用合理的技术作业过程和线路固定使用方案，一昼夜能够接、发各衔接方向的货物（旅客）列车数和运行图规定的旅客（货物）列车数。 车站咽喉通过能力计算 咽喉占用时间标准 表咽喉道岔占用时间表 顺序作业名称时间标准 （min） 顺序作业名称 时间标准 （min） 1 货物列车接车占用6~8 4 旅客列车出发占用4~6 2 旅客列车接车占用5~7 5 单机占用2~4 3 货物列车出发占用5~7 6 调车作业占用4~6 道岔组占用时间计算 表到发线固定使用方案 线路编号固定用途 一昼夜 接发列车数 线路 编号 固定用途 一昼夜 接发列车数 1 接甲到乙、丙旅客列车8 7 接乙到甲直通、区段货物列车9 4 接乙到甲旅客列车 5 8 接甲、乙到丙直通、区段货物列车10 接丙到甲旅客列车 3 9 接丙到甲、乙直通、区段货物列车10 5 接甲到乙直通、区段货物列车11 10 接发甲、乙、丙摘挂货物列车10 表甲端咽喉区占用时间计算表 编号作业进路名称 占用 次数 每次 占用时间 总占用 时间 咽喉区道岔组占用时间 1 3 5 7 9 固定作业 1 1道接甲-乙,丙旅客列车8 7 56 56 2 4道发乙-甲旅客列车 5 6 30 30 30 3 4道发丙-甲旅客列车 3 6 18 30 30 5 往机务段送车 3 6 18 18 6 从机务段取车 2 6 12 12

数学物理方法

数学物理方法 Mathematical Methods in Physics 课程编号：22189906 总学时：72学分：4 课程性质：专业必修课 课程内容：数学是物理学的表述语言。复变函数论和数学物理方程是学习理论物理课程的重要的数学基础。该课程包括复变函数论和数学物理方程两部分。复变函数论部分 介绍复变函数的微积分，级数展开，留数及其应用以及积分变换等内容。数学物 理方程部分包括物理学中常用的几种数学物理方程的导入、解数学物理方程的分 离变量法、作为勒让德方程的解的勒让德多项式和作为贝塞尔方程的解的贝塞尔 函数及其性质以及格林函数的基本知识。该课程有着逻辑推理抽象严谨的特点， 同时与物理以及工程又有着紧密的联系，是理工科学生必备的数学基础知识。我 们将把抽象的数学知识和在物理学中的应用结合起来，使学生不但能学习数学本 身，同时还能提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。 先修课程：高等数学 参考书目：《数学物理方法》（陆全康、赵蕙芬编），第二版高等教育出版社《数学物理方法》（吴崇试）第二版，北京大学出版社 力学和热学 (1)与(2) Mechanics and Thermal Physics (1) and (2) 课程编号：22189936、22189937 总学时：28、72 学分：2、4 课程性质：专业必修课 课程内容：本课程由力学和热学两大部分组成。力学和热学都是大学物理的基础部分，是物理学各门课程的重要基础课程。力学的主要内容包括三方面：在牛顿力学方面， 主要学习牛顿定律、动量定理和动量守恒定律、动能原理及机械能守恒定律；在 刚体定轴转动方面，主要学习转动定律和角动量守恒；在振动和波方面，主要学 习简谐振动和平面简谐波。热学的主要内容包括分子物理学和热力学，主要学习 温度，热力学第一定律、第二定律，热机效率及熵增加；气体分子运动论的基本 方法，气体压强公式，分子平均动能，气体分子的麦克斯韦速率分布律，能量均 分定理。 先修课程：高等数学A(1) 参考书目：《力学》，漆安慎、杜婵英，高等教育出版社，1997年；《热学教程》（第二版），黄淑清、聂宜如、申先甲编，高等教育出版社，1994年

数理方程总结完整终极版

00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条

波动方程的边界条件:

(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等

分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ

非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…

路段通行能力计算方法

根据交叉口的现场交通调查数据，通过各流向流量的构成关系，可推得各路段流量，从而得到饱和度V/C 比。路段通行能力的确定采用建设部《城市道路设计规范》（CJJ 37-90）的方法，该方法的计算公式为：单条机动车道设计通行能力n C N N a ????=ηγ0，其中N a 为车道可能通行能力，该值由设计车速来确定，如表2.2所示。 表2.13 一条车道的理论通行能力 其中γ为自行车修正系数，有机非隔离时取1，无机非隔离时取0.8。η为车道宽度影响系数，C 为交叉口影响修正系数，取决于交叉口控制方式及交叉口间距。修正系数由下式计算： s 为交叉口间距(m)，C 0为交叉口有效通行时间比。 车道修正系数采用表 2.3所示 表2.3 车道数修正系数采用值 路段服务水平评价标准采用美国《道路通行能力手册》，如表2.4所示 表2.4 路段服务水平评价标准

由路段流量的调查结果，并且根据交叉口的间距、路段等级、车道数等对路段的通行能力进行了修正。在此基础上对路段的交通负荷进行了分析。 路段机动车车道设计通行能力的计算如下： δ m c p m k a N N = （1） 式中: m N —— 路段机动车单向车道的设计通行能力（pcu/h ） p N —— 一条机动车车道的路段可能通行能力（pcu/h ） c a —— 机动车通行能力的分类系数，快速路分类系数为0.75；主干道分类 系数为0.80；次干路分类系数为0.85；支路分类系数为0.90。 m k —— 车道折减系数，第一条车道折减系数为 1.0；第二条车道折减系数 为0.85；第三条车道折减系数为0.75；第四条车道折减系数为0.65.经过累加，可取单向二车道 m k ＝1.85；单向三车道 m k ＝2.6；单向四车道 m k ＝3.25； δ—— 交叉口影响通行能力的折减系数，不受交叉口影响的道路（如高架 道路和地面快速路）δ＝1；该系数与两交叉口之间的距离、行车速度、绿信比和车辆起动、制动时的平均加、减速度有关，其计算公式如下： ?+++= b v a v v l v l 2/2///δ （2） l —— 两交叉口之间的距离（m ）； a —— 车辆起动时的平均加速度，此处取为小汽车0.82/s m ； b —— 车辆制动时的平均加速度，此处取为小汽车1.662/s m ； ?—— 车辆在交叉口处平均停车时间，取红灯时间的一半。 Np 为车道可能通行能力，其值由路段车速来确定： 表4.1 Np 的确定

数学物理方法第二次作业答案

第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。 4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。在 x h 点，以横向力F0拉 弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。 5、下列方程是波动方程的是D。 A u tt a2u xx f ； B u t a2u xx f ； C u t a2u xx； D u tt a2u x。 6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。 A 1 个； B 2 个； C 3 个； D 4 个。 7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中u h u 点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0x l / 2 手任其振动。”该物理问题的初始条件为 ( D)。图〈 1〉 2h x, x[0, l ] u t h A ．u t l2 l B．0 o u t0 2h(l x), x, l ]t 0 l [ 2 2h l x, x [ 0,] u t l2 C．u t0h D．02h l (l x), x [,l ] l2 u t t00 8．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。”则该定解问题为(B)。 u tt a2 u xx F0 sin t(x x ) ,(0x l ) A ． u

学好初中物理方法和技巧

学好初中物理方法和技巧 谁不想做一个学习好的学生呢，但是要想成为一名真正学习好的学生，第一条就要好好学习。第二条就是要会学习。作为一名学生在学习上存在的如下几个环节：制定计划→课前预习→专心上课→及时复习→独立作业→解决疑难→系统总结→课外学习。这里每个环节中，存在着不同的学习方法，下面就针对物理的特点，针对就“如何学好初中物理”，这一问题提出几点具体的学习方法和技巧。 一、死记硬背？要得！基本概念要清楚，基本规律要熟悉，基本方法要熟练。课文必须熟悉，知识点必须记得清楚。至少达到课本中的插图在头脑中有清晰的印象，不必要记得在多少多少页，但至少知道在左页还是右页，它是讲关于什么知识点的，演示的是什么现象，得到的是什么结论，并能进行相关扩展领会。 二、独立完成一定量作业。要独立地（指不依赖他人），保质保量地做一些题。题目要有一定的数量，不能太少，更要有一定的质量，就是说要有一定的难度。任何人学习数理化不经过这一关是学不好的。独立解题，可能有时慢一些，有时要走弯路，有时甚至解不出来，但这些都是正常的，是任何一个初学者走向成功的必由之路。把不会的题目搞会，并进行知识扩展识记，会收获颇丰。 三、重视物理过程，重视辅助作图。要对物理过程一清二楚，不管是理论过程，还是实践过程，物理过程弄不清必然存在解题的隐患。题目不论难易都要尽量画图，有的画草图就可以了，有的要画精确图，要动用圆规、三角板、量角器等，以显示几何关系。画图能够变抽象

思维为形象思维，更精确地掌握物理过程。有了图就能作状态分析和动态分析，状态分析是固定的、死的、间断的，而动态分析是活的、 连续的。 四、全力上课，专心听讲。上课要认真听讲，不走神。不要自以为是，要虚心向老师学习，向同学学习。不要以为老师讲得简单而放弃听讲，如果真出现这种情况可以当成是复习、巩固。尽量与老师保持一致、同步，不同看法下课后再找老师讨论，不能自搞一套，否则就等于是完全自学了。入门以后，有了一定的基础，则允许有自己一定的活动空间，也就是说允许有一些自己的东西，学得越多，自己的 东西越多。 五、坚持做笔记。上课以听讲为主，还要有一个笔记本，有些东西要记下来。知识结构，好的解题方法，好的例题，听不太懂的地方等等都要记下来。课后还要整理笔记，一方面是为了“消化好”，另一方面还要对笔记作好补充。笔记本不只是记上课老师讲的，还要作一些读书摘记，自己在作业中发现的好题、好的解法也要记在笔记本上，就是同学们常说的“好题本”。辛辛苦苦建立起来的笔记本要进行编号，以后要经学看，要能做到爱不释手，终生保存。 六、整理好学习资料。学习资料要保存好，作好分类工作，还要作好记号。学习资料的分类包括练习题、试卷、实验报告等等。作记号是指，比方说对练习题吧，一般题不作记号，好题、有价值的题、易错的题，分别作不同的记号，比如*、？、※、◎等等，以备今后 阅读，作记号可以节省不少时间。

数学物理方程学习总结

数学物理方程学习总结 四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。 数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。 本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。 作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数理方法

第一章习题 作业一 (2+2+4+2)： 1. 求下列复数的实部、虚部、模、主值幅角： ;524321)1(i i i i ---- 3)3()2(-+i 2. 解方程：;08)1(3=+i z 031)32()2(2=+-+-i z i z 3. 画出下列关系所表示的z 点的轨迹的图形，确定它是否为区域： ;2||1Im )1(<>z z 且 ;3Re 24/)1arg(0)2(≤≤π<-

数理方法习题

习 题 一、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。电梯下降，当速度为v 0 时突然停止，求解杆的振动。 解答：定解问题为 泛定方程：02=-xx tt u a u 边界条件：000==),(,),(t l u t u x 初始条件：)(),(,),(l x v x u x u t <<==00000 分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(t T x X t x u = 有： 02=+''T a T λ 0=+''X X λ 0)(, 0)0(='=l X X 得到： ),2,1,0(21222 =?? ? ? ? +=n l n π λ x l n A x X n n π21 + =sin )( 同时，有：l at n D l at n C x T n n n ππ)/(sin )/(cos )(2121+++= ),(t x u 的通解：∑∞ =++++= 2 12121n n n x l n l at n D l at n C t x u πππ/sin ))/(sin )/(cos (),( 用初始条件求叠加系数： ()??? ????=++==+=∑∑∞ =∞ =0 00 212100210v x l n D l a n x u x l n C x u n n t n n πππ/sin /),(/sin ),( ()()?? ? ? ?+=++==? a n lv d l n v a n D C l n n 2200 02122 12120πξπξπ//sin /

2 最后：()∑∞ =+++= 2 2 2 121212n x l n at l n a n lv t x u πππ /sin /sin /),( 二、半径为a 的无限长空心圆柱体，分成两半互相绝缘，一半电势为V 0，另一半为－V 0， 求柱体中的电势分布（20分） 解答：定解问题为 泛定方程：0112 22=??+??? ??????? u r r u r r r 边界条件：? ?????? ?<≤-<≤=有 界),(),(?π?ππ ??0200 0u V V a u 分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(?ρ?ρΦR u = 有： ?? ?=+=+'') ()(?π?λΦΦΦΦk 20 02=-'+''R R R λρρ 得到： ? ??λm B m A m m m m sin cos )() ,,,(+===Φ 2102 ???≠+=+=-0 000m D C m D C R m m m m m ρ ρρ ρln )( ()()()() ∑∑∞ =-∞ =-+++++=???+++=+=1 100000m m m m m m m m m m m m m m m m D m C m B m A D C u m D m C m B m A u D C u ??ρ??ρ ρ?ρ??ρ??ρ?ρρ?ρsin cos sin cos ln ),(sin cos sin cos ),(ln ),( 000===?∞→=-D D C m m m ρρ处， 通解为：() ∑∞ =++=1 0m m m m m B m A C u ??ρ?ρsin cos ),( 代入边界条件求叠加系数： ()?? ?<≤-<≤=++=∑∞ =π ?ππ ????200 10V V m B m A a C a u m m m m sin cos ),(

路区间通过能力计算办法

路区间通过能力计算办法 1984年10月1日，铁道部 第一章总则 第1条为了保证铁路完成和超额完成不断增长的运输任务，以适应国民经济发展和国防建设对铁路运输的需要，铁路必须大力加强运输组织工作，采取有效措施，积极提高铁路线路通过能力。 铁路线路通过能力，是根据现有技术设备、行车组织方法及规定的技术作业过程确定的在一昼夜内所能通过的最大列车对数或列数。 铁路线路通过能力，系按区间、车站、机务段设备和整备设备、车站给水设备、电气化铁路的供电设备分别确定，以其中最小的通过能力，作为该区段的限制通过能力。 为了计算铁路区间通过能力，本办法规定了铁路区间通过能力的计算办法。 第2条铁路区间通过能力，是指每一区间在一昼夜内所能通过的列车数量（列数或对数）。 区间通过能力的大小，在一定的行车组织条件下，主要取决于正线数目、区间长度、线路纵断面、信联闭设备、牵引机车类型和列车运行速度等因素。 第3条计算区间通过能力时，应先计算平行运行图通过能力，再计算非平行运行图通过能力。 平行运行图通过能力，一般应按货物列车对数或列数计算；非平行运行

图通过能力，系在规定旅客列车数量的基础上，以扣除系数的方法计算出旅客列车和货物列车的对数或列数。 第4条铁路区间通过能力，由各铁路局或分局负责计算，并填制区间通过能力计算表及区间通过能力汇总表，经铁路局审核后报铁道部运输局。 第5条本办法系根据我国铁路现有技术设备条件及多年来编制和执行列车运行图的经验，规定了铁路区间通过能力的一般计算方法。个别特殊情况，由铁路局根据具体情况和特点，进行图解和计算。 第二章平行运行图区间通过能力 第6条平行运行图区间通过能力，应分别对区段内每一区间计算。运行图周期最大的区间通过能力，即为该区段的限制区间通过能力。 运行图周期，是指一定类型运行图的一组列车占用区间的总时间。其组成因素，在非自动闭塞区段包括：列车区间运行时分，起停车附加时分及列车在车站的间隔时间。在自动闭塞区段为追踪列车间隔时间。 平行运行图区间通过能力的基本关系式如下： 1440 Ｎ＝―――― (1) Ｔ周 式中：Ｎ――平行运行图通过能力（对数或列数）； 1440――一昼夜时分； Ｔ周――运行图周期。 电力牵引区段，由于每日须进行接触网检修，因此，其计算公式为：

数理统计作业答案

1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ D ）。 （A ） ∑=-n i i X n 12 2 )(μσ是统计量 （B ） ∑=n i i X n 1 22 σ是统计量 （C ） ∑=--n i i X n 1 2 2 )(1 μσ是统计量 （D ） ∑=n i i X n 1 2μ 是统计量 2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则 Y X 3服从（ C ）。 3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ C ）。 4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ A ）. 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ B ）. （A ）3/X σ； （B ） 4 1 4 i i X =∑； （C ）σ-1X ； （D ）4 221 /i i X σ=∑ 6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ C ）. 7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ???是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ C ） ( A ) . 12X X + ( B ) {}max ,15i X i ≤≤ ( C ) 52X p + ( D ) () 2 51X X -

8、设1,,n X X ???为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。则2σ的最大似然估计量为（ B ）。 （A ）∑=-n i i X n 12)(1μ （B ）()2 1 1∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 12 )(11μ（D ）()∑=--n i i X X n 1211 9、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X ???为样本，S X , 分别为样本均值和标准差，则 服从（ D ）分布. 10、设1,,n X X ???为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。则2σ的置信度 为1α-的区间估计的枢轴量为（ C ）。 (A) () 2 1 2 n i i X μσ =-∑ (B) () 2 1 20 n i i X μσ =-∑ (C) ()∑=-n i i X X 1 2 2 1 σ (D) () 2 1 20 n i i X X σ =-∑ 11、在假设检验中，下列说法正确的是（ A ）。 (A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错 误； (B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类 错误； (C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯； (D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错 误。