零五级基地数学物理方法A 试题
一、（7分）在复数范围内，计算?1的二次方根。
二、（7分）计算积分，其中C
zdz ∫Im C 为连接至02+i 的直线段。
三、（7分）计算积分
tan zdz z =∫1。
四、（7分）将函数z z z ()(??12)
2在1<<||z 展开成洛朗级数．
五、（8分）求函数()()()1231f x x x δδ′=?+?的Fourier 变换。
六、（8分）若解析，且．求．
f z u x y iv x y ()(,)(,)=+u x y v x y e x x y (,)(,)(sin cos )+=??f z ()
七、（8分）计算下列积分∫<<+πεθ
εθ20)10(cos 1d 。
八、（8分）利用Laplace 变换，求解定解问题
?
??=′=?=+′′0)0()0()1(2x x t x k x δ， 其中()t δ为δ－函数。
九、（8分）求解下列本征值问题：
()()0(0)(1)0X x X x X X λ′′+=??′′==?
十、（8分）利用特征线方法求解下列定解问题
()???+∞<<∞?=>+∞<<∞?=?x x x u t x u u x t ,
0,0,,02
十一、（8分）利用Fourier 变换求解下列问题
()???
???????≤≤?=>+∞<<∞?=?????其他,011,10,0,,0222x x u t x x u a t u
十二、（8分）求解下列问题
()???????≥==≤≤==><
0),(),0(0 ,0)0,(0,0,0 ,sin 222222t t l u t u l x x u x u t l x t l x x u a t u t ωδ
十三、（8分）求上半平面内Dirichlet 问题
?????+∞<<∞=∈=??=+x -x u R x,y u y ),()( ,00
2? 的Green 函数，并由此给出该定解问题的解，其中},0|),{(2∞<=+x y y x R 。
一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=><
《概率与数理统计》 第一章 随机事件与概率 典型例题 一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解 1.设,,A B C 为三个事件，且()0.9,()0.97P A B P A B C ==U U U ，则()________.P AB C -= 2.设,A B 为两个任意事件，证明：1|()()()|.4 P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算 1.袋中有a 个红球，b 个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k 次 取到红球的概率.（a a b +） 2.从数字1,2,,9L 中可重复地任取n 次，试求所取的n 个数的乘积能被10整除的 概率.（58419n n n n +--） 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太 弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（19591960 ） 4.掷n 颗骰子，求出现最大的点数为5的概率. 5.（配对问题）某人写了n 封信给不同的n 个人，并在n 个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率. （01(1)! n k k k =-∑）
6.在线段AD上任取两点,B C，在,B C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25） 7.从(0,1)中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于 3 16 的概率. （13 ln3 416 +） 三、事件独立性 1.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是 3 16 ，试求() P A. 2.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投 中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和1 3 .（1）求甲取胜的概率； （2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（ 95 ; 5414 p p p = + ） 四、条件概率与积事件概率的计算 1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中 至少有一次取到正品.（28741644 ;;;; 45954545 ） 2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1） 五、全概率公式和贝叶斯公式概型 1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品 的概率.（2690 ; 51421 ） 2.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有i个（0,1,2 i=）二等品，则该设备的使用寿命服从参
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
第五章 大数定律与中心极限定理 一、 典型题解 例1设随机变量X 的数学期望()(){}2,3E X u D X X u σσ==-≥方差，求P 的大小区间。 解 令3εσ=，则有切比雪夫不等式有： ()() ()22 221 ,339D X P X E X P X E X σεσεσ????-≥≤ -≥≤=????有 例2在n 次独立试验中，设事件A 在第i 次试验中发生的概率为()1,2,....i p i n = 试证明：A 发生的频率稳定于概率的平均值。 证 设X 表示n 次试验中A 发生的次数，引入新的随机变量0i A X A ?=??1,发生? ，不发生 ()12,...i n =， ，则X 服从()01-分布，故 ()()(),1i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=， 又因为 () ()2 2 4140i i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-≥， 所以 ()()1 1,2, (4) i i i D X p q i n =≤ = 由切比雪夫大数定理，对,o ε?>有()11lim 1n i i n i p X E X n ε→∞ =?? -<=???????? ∑ 即 11lim 1n i n i X p p n n ε→∞ =?? -<=???? ∑ 例 3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学 生无家长，1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 解（1）以()400,,2,1 =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数，则k X 的分布律为 k X 0 1 2 k P 0.05 0.8 0.15
第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是
因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念
1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则
典型例题分析 例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。 解 以21 S 和22 S 分别表示两个（修正）样本方差。由22 22 12σσy x S S F =知统计量 22 2 1222175.13520S S S S F == 服从F 分布，自由度为（7，9）。 1） 事件{}2 2 212S S =的概率 {}{}05.32035235 20222221222122 2 1 ===??? ????==??????===F P S S P S S P S S P 因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。 2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率： {} {}5.322 221≥=≥=F P S S P p 。 由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值： )9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。 由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<
解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度 1-=n v ，于是，有 {}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.0222 2=≤≥-≤=? ?????-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2 ,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水 平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。我们欲求满足 2,05.015.1v n χ≥-）（ 的最小1+=v n 值，由附表可见 2 26,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。 于是，所求27=n 。 例3．假设随机变量X 在区间[]1,+θθ上有均匀分布，其中θ未知： )(1n X X ，， 是来自X 的简单随机样本，X 是样本的均值，{} n X X X ,,min 1)1( =是最小观察值。证明 21?1-=X θ 和 11?12+-=n X ） （θ 都是θ的无偏估计量。 解 由X 在[]1,+θθ上均匀分布，知2/)12(+==θEX EX i 。 1） 由 θθθθ=-+=-+=-=∑∑==2 121212221211?111n i n i i n EX n E ， 可见1?θ是θ的无偏估计量。 2） 为证明2?θ是θ的无偏估计。我们先求统计量)1(X 的概率分布。
第七章 假设检验 三、典型题解 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设 0100:5.0:μμμμ≠==H H 和 选择统计量：)1,0(~/0 N n X Z σμ-= 取定0.05a =，则/20.025 1.96,z z a ==又已知 9, 0.015, n s ==由样本计算得0.511x =， 2.2 1.96=>，于是拒绝假设 0H , 认为包装机工作不正常. 例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2 σμN ， s cm s cm /2,/40==σμ，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃 烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0=α） 解：根据题意需要检验假设 00 :40H m m ?（即假设新方法没有提高了燃烧率）, 10 :H m m >（即假设新方法提高了燃烧率）, 这是右边检验问题，拒绝域为 0.05 1.645x z z = ?，由 3.125 1.645 x z = =>可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平0.05 a =下拒绝0 H . 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
习 题 一、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。电梯下降，当速度为v 0 时突然停止，求解杆的振动。 解答：定解问题为 泛定方程：02=-xx tt u a u 边界条件：000==),(,),(t l u t u x 初始条件：)(),(,),(l x v x u x u t <<==00000 分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(t T x X t x u = 有： 02=+''T a T λ 0=+''X X λ 0)(, 0)0(='=l X X 得到： ),2,1,0(21222 =?? ? ? ? +=n l n π λ x l n A x X n n π21 + =sin )( 同时，有：l at n D l at n C x T n n n ππ)/(sin )/(cos )(2121+++= ),(t x u 的通解：∑∞ =++++= 2 12121n n n x l n l at n D l at n C t x u πππ/sin ))/(sin )/(cos (),( 用初始条件求叠加系数： ()??? ????=++==+=∑∑∞ =∞ =0 00 212100210v x l n D l a n x u x l n C x u n n t n n πππ/sin /),(/sin ),( ()()?? ? ? ?+=++==? a n lv d l n v a n D C l n n 2200 02122 12120πξπξπ//sin /
2 最后：()∑∞ =+++= 2 2 2 121212n x l n at l n a n lv t x u πππ /sin /sin /),( 二、半径为a 的无限长空心圆柱体，分成两半互相绝缘，一半电势为V 0，另一半为－V 0， 求柱体中的电势分布（20分） 解答：定解问题为 泛定方程：0112 22=??+??? ??????? u r r u r r r 边界条件：? ?????? ?<≤-<≤=有 界),(),(?π?ππ ??0200 0u V V a u 分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(?ρ?ρΦR u = 有： ?? ?=+=+'') ()(?π?λΦΦΦΦk 20 02=-'+''R R R λρρ 得到： ? ??λm B m A m m m m sin cos )() ,,,(+===Φ 2102 ???≠+=+=-0 000m D C m D C R m m m m m ρ ρρ ρln )( ()()()() ∑∑∞ =-∞ =-+++++=???+++=+=1 100000m m m m m m m m m m m m m m m m D m C m B m A D C u m D m C m B m A u D C u ??ρ??ρ ρ?ρ??ρ??ρ?ρρ?ρsin cos sin cos ln ),(sin cos sin cos ),(ln ),( 000===?∞→=-D D C m m m ρρ处， 通解为：() ∑∞ =++=1 0m m m m m B m A C u ??ρ?ρsin cos ),( 代入边界条件求叠加系数： ()?? ?<≤-<≤=++=∑∞ =π ?ππ ????200 10V V m B m A a C a u m m m m sin cos ),(
数理统计练习题 1．设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是 （ ）. （A ）415X X +； （B ） 4 1 i i X μ=-∑； （C ）σ-1X ； （D ） ∑=4 1 2i i X . 解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. ∴ 选C. 2．设总体n X X X p B X ,,,),,1(~21Λ为来自X 的样本，则=?? ? ?? =n k X P （ ）. （A ）p ； （B ）p -1； （C ）k n k k n p p C --)1(； （D ）k n k k n p p C --)1(. 解：n X X X Λ21相互独立且均服从),1(p B 故 ∑=n i i p n B X 1 ),(~ 即 ),(~p n B X n 则()()(1)k k n k n k P X P nX k C p p n -====- ∴ 选C. 3．设n X X X ,,,21Λ是总体)1,0(N 的样本，X 和S 分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）. （A ）)1(~/-n t S X ； （B ）)1,0(~N X ； （C ）)1(~)1(2 2--n S n χ； （D ）)1(~-n t X n . 解：∑==n i i X n X 1 1 0=X E ，)1,0(~112n N X n n n X D ∴== B 错 )1(~)1(22 2 --n S n χσΘ )1(~)1(1 )1(2 222 --=-∴ n S n S n χ )1(~-n t n S X . ∴ A 错. ∴ 选C. 4．设n X X X ,,,21Λ是总体),(2 σμN 的样本，X 是样本均值，记=21S
第九章公共政策过程中的分析方法 一、概念题 1．预测 答：预测是指对尚未发生、目前还不明确的事物进行预先估计，并推测事物未来的发展趋势，从而协助管理者掌握情况，选择对策。预测存在不同类型，按照预测的时间尺度和期限不同，可分为长期预测、中期预测和短期预测；按照预测的功能不同，大致分为直觉性预测、探索性预测、规范性预测、综合预测；按照具体计算方法的不同，大致可分为定性预测和定量预测。 2．类比分析 答：类比是根据两个或两类事物之间某些方面的相似或相同，而推出它们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑方法。类比分析是指把这种相似性研究创造性地用于政策问题的构建中，寻求政策问题的成因、性质及类别的方法。人们在缺乏可靠的论证思路时，类比分析法往往能够奏效，在构建政策问题时，有三种不同的类比形式可以运用：人的类比、直接类比和想象类比。 3．效用分析 答：效用分析是风险型决策的基本方法之一，是指利用效用价值的理论和方法，对风险和收益进行比较，从而进行决策的方法。在一般的决策问题中，决策者对方案的选择通常是
比较不同方案的期望货币收益值的大小，然后选择其中的较大者为最佳方案。但在许多场合，情况并不是这样，最佳方案的选择往往因决策者的价值判断不同而异。在不同风险的情况下，对同等收益，决策可能不同；在同等风险的情况下，不同的人对待风险的态度也不同，其决策也将不同。 4．决策树法 答：决策树法是指利用概率论的原理，并且利用一种树形图作为分析工具的方法。其基本原理是用决策点代表决策问题，用方案分枝代表可供选择的方案，用概率分枝代表方案可能出现的各种结果，经过对各种方案在各种结果条件下损益值的计算比较，为决策者提供决策依据。该方法能使多阶段决策清楚、有条件地进行，是分析决定方案优劣的十分有价值的基本工具。 5．特尔菲法 答：特尔菲法是指采用函询调查，对与所预测问题涉及到的有关领域分别提出问题，并将回答意见进行综合、整理、归纳，匿名反馈给各个专家，再次征求意见，然后再加以综合、反馈的方法。这样经过多次反复循环，而后得到一个比较一致的且可靠性也较大的意见。 特尔菲法最初是作为对一般的专家座谈会法的不足的改进措施而发展起来的。其特点包括： （1）专家小组组员彼此互不知道，他们可以不公开地改变自己意见，对各种不同论点都能得到充分发表。 （2）专家们会从反馈回来的问题调查表上得到集体意见和目前状况，以及同意或反对各个观点的理由，并依此作出各自的新判断，构成专家之间的匿名相互影响。
第一章绪论 1. 试样分析的基本程序？ 2. 分析化学的方法根据试样用量可以分为哪几类？每一类的量的要求多少？ 3. 分析化学的方法根据试样中被测组分的含量可以分为哪几类？每一类的量的要求多少？ 第二章误差和分析数据的处理 一、选择题 1. 两位分析人员对同一含SO42-的试样用重量法进行分析，得到两组数据，要判断两人分析的精密度有无显著性差异，应用哪一种方法( ) A. Q检验法 B. F检验法 C. u检验法 D. t检验法 2. 下列叙述错误的是( ) A. 误差是以真值为标准的，偏差是以平均值为标准的，所谓“误差”实质上是偏差 B. 对某项测定来说，它的系统误差大小是不可测量的 C. 对偶然误差来说，大小相近的正误差和负误差出现的机会相等 D. 标准偏差是用数理统计方法处理测定的数据而获得的 3. 可用于减少测量过程中的偶然误差的方法( ) A. 进行对照实验 B. 进行空白试验 C. 进行仪器校准 D. 增加平行试验的次数 4. 指出下列各种误差中属于系统误差的是( ) A. 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液 B. 使用天平时，天平零点稍有变动 C. 砝码受腐蚀 D. 滴定时，不同的人对指示剂颜色判断稍有不同 5. 当置信度为0.95时，测得Al2O3的置信区间为(35.21+0.10)%，其意义是( ) A. 在所测定的数据中有95%在此区间内 B. 若再进行测定，将有95%的数据落入此区间内 C. 总体平均值μ落入此区间的概率为0.95 D. 在此区间内包含μ值的概率为0.95 6. 下列有关偶然误差的叙述中不正确的是( ) A. 偶然误差在分析中是不可避免的 B. 偶然误差正负误差出现的机会相等
习题三 一、选择题 1. 设C 为正向圆周11=?z ， 则积分∫ =??C dz z z )3)(1(1 【 】 （A ） ； （B ） ； （C ） 01i π； （D ） i π?。 2. 设C 为正向圆周 ，如果积分 3||=z ∫=C dz z f 0)(， 则=)(z f 【 】 (A) 21?z ； (B) 2)2(1?z ； (C) 21??z z ； (D) 2) 2(1??z z 。 3. 设C 为正向闭曲线，则以下曲线中，使积分∫=??C i dz z z π)3)(1(1的曲线C 是 【 】 （A ）2 1||:=z C ； （B ）1|1|:=?z C ； （C ）1|3|:=?z C ； （D ）。 4||:=z C 4. 设在简单闭曲线C 内解析，在C 上连续，在C 内，则有 【 】 )(z f 0z (A) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫?=?2 0'20)(1)()()( ； (B) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫?=?0'20)()()(； (C) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫?=?0 0201!2)()()(； (D) dz z z z f dz z z z f C C ∫∫?=?0020)()()(。 5. 下列命题中，不正确的是 【 】 （A）积分 dz a z r a z ∫=??||1的值与半径的大小无关； (0r r >)（B） 1)(22<+∫C dz iy x ，其中C 为连接i ?到i 的线段； （C）若()f z 在0z 1<<内解析，且沿任何圆周:(0c z r r 1)=<<的积分等于零， 则()f z 在处解析； 0z =（D）设函数)(z g 在区域D 内有定义，且()()f z g z ′=，则在D 内()g z ′存在且解析。 二、填空题 1. 设c 为正向圆周3z =，则积分∫+C dz z z z | |＝____________________。
第7章求导法则及其在比较静态学中的应用练习7.1 1．求下述每一函数的导数： （a）y＝x12； （b）y＝63； （c）y＝7x5； （d）w＝3u－1； （e）w＝－4u1/2； （f）w＝4u1/4。 解：（a）y′＝12x11； （b）y′＝0； （c）y′＝35x4； （d）w′＝－3u－2； （e）w′＝－2u－1/2； （f）w′＝u－3/4。 2．求下列各式结果： （a）d（－x－4）/dx； （b）d（9x1/3）/dx； （c）d（5w4）/dw；
（d）d（cx2）/dx； （e）d（au b）/du； （f）d（－au－b）/du。 解：（a）d（－x－4）/dx＝4x－5。 （b）d（9x1/3）/dx＝3x－2/3。 （c）d（5w4）/dw＝20w3。 （d）d（cx2）/dx＝2cx。 （e）d（au b）/du＝abu b－1。 （f）d（－au－b）/du＝abu－b－1。 3．求下述每一函数的f′（1）、f′（2）的值： （a）y＝f（x）＝18x； （b）y＝f（x）＝cx3； （c）f（x）＝－5x－2； （d）f（x）＝3x4/3/4； （e）f（w）＝6w1/3； （f）f（w）＝－3w－1/6。 解：（a）f′（x）＝18，则f′（1）＝f′（2）＝18。（b）f′（x）＝3cx2，则f′（1）＝3c，f′（2）＝12c。（c）f′（x）＝10x－3，f′（1）＝10，f′（2）＝5/4。（d）f′（x）＝x1/3，f′（1）＝1，f′（2）＝21/3。（e）f′（w）＝2w－2/3，f′（1）＝2，f′（2）＝21/3。
例题解析（1） 例1设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~2 22211σμσμN Y N X 。 1621,,,X X X 是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y 是Y 的一个样本，测得数据 ∑∑∑∑========10 1 2 10 1 16 1 2 16 1 72,18,563,84i i i i i i i i y y x x （1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2 221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 2 2210σσ≤：H ，22211σσ>：H 。 解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值： 8.1101?,25.5161?10 1 21611=====∑∑==i i i i y x x μμ 。 （2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为 ∑=-==n i i X X n 1 22 )(1?σ 。因此2 221σσ和的极大似然估计值为 625.716161)(161?1611222 21 =?? ? ??-=-=∑∑==i n i i i x x x x σ 96.316101)(101?1011222 22 =?? ? ??-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ （3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。待检假设2 2210σσ≤：H ； 2 2 211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。 因为4.4)(91,31.8)(1511 21221221 =-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S 。所以F 同机量得 值 847.14.415 .822 21===S S F 查F 分布表，得01.391505.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2 221σσ不比大。
数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程
222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分 例1 求Cauchy 问题
2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==??
概率论经典考试题型 一，选择题 1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( ) (A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B = (C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且 ()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ） 2 总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n k k X n X 1 1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N (C) )(n t (D) )1(-n t 3. 已知相互独立的随机变量 ~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则
。 4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ?=则 。 5. 已知随机变量X 的概率密度为 2,0,()0,0.x ae x f x x -?>=?≤? 则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。 7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知， n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则 μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估 计量 。
8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是 相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率. 9 已知(,)X Y 的联合分布率如下: 求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。