上海高二第一学期周练-行列式(二)、算法初步(第十五周)-006

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第二部分走近高考第七章矩阵与行列式、算法初步、复数高考题选一、单选题(★★) 1. i是虚数单位，若集合S= ，则A．B．C．D．(★★★) 2. 是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )A．B．C．D．(★) 3. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则（）A．+为，，…，的和B．为，，…，的算术平均数C．和分是，，…，中最大的数和最小的数D．和分是，，…，中最小的数和最大的数(★★★) 4. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A．- 5B．5C．- 4+ i D．- 4 - i(★★) 6. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（）A．0B．2C．4D．14(★★) 8. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 9. 若执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于．(★★★) 10. 行列式（）的所有可能值中，最大的是。

(★★) 11. 若复数 z满足 | z－i|≤ (i为虚数单位)，则 z在复平面内所对应的图形的面积为_____________ ．(★) 12. 设，（i为虚数单位），则的值为．(★★) 13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=_________ ．(★) 14. 若，则(★★) 15. 设m∈R，m 2+m﹣2+（m 2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．(★★★) 16. 设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果.三、解答题(★★) 17. 已知矩阵，向量．求向量，使得．(★★★) 18. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求．。

2019年沪教版高二必修三第九章矩阵与行列初步单元练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543B.1024C.1523D.60542．关于x y 、的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543- B.1024C.0543D.0543-3．展开式为ad bc -的行列式是（ ） A.a b d cB.a cb dC.a db cD.b a d c4．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ） A.0a b c ++= B.a b c 、、两两平行 C.//a bD.a b c 、、方向都相同5．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则 的值为（ ） A.1B.2C.3D.46．三阶行列式816357492中，元素9的代数余子式的值为（ ）A.38B.-38C.360D.-3607．设1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个二阶方程，100个A 的乘积100A =（ ）A.992AB.993AC.1002AD.1003A8．关于x 、y 的二次一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543-B.1024C.0543D.0543-二、填空题9．行列式4125的值为___．10．设0a >，1a ≠，行列式log 11201123a x D -=-中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数经过点()1,2，则a =__________.11．三阶行列式567421031x -中元素5-的代数余子式为()f x ，则方程()0f x =的解为________12．增广矩阵为3?110m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解是12x y =⎧⎨=⎩，则m +n =__________.三、解答题13cos 0.5sin 0(0)1cos A x A A x A x>1121312M M -+， 记函数1121()f x M M =+，且()f x 的最大值是4. (1)求A ；(2)将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域. 14．用行列式讨论关于x ，y 的方程组6(2)320x my m x y m +=-⎧⎨-++=⎩的解的情况.参考答案1．C 【解析】关于,x y 的二元一次方程组50230x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式1523D =，故选C.2．C 【解析】关于x 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式：1523D =，故选C.3．B 【解析】a b ac bd d c=-,错误；a c ad bcb d=-，正确;a d ac bdb c=-，错误；b a bc ad d c=-，错误， 故选B. 4．B 【解析】试题分析：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，所以a b c 、、两两平行，答案为B ． 考点：二元线性方程组的增广矩阵的涵义． 5．C 【解析】 【分析】由题意得，，解方程即可得到所求值. 【详解】由题意得，， 解得 ， ， 则 ，故选C. 【点睛】本题主要考查了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于中档题.6．B 【解析】 【分析】元素9为32a ，先求得32M ，然后由()1i jij M +-求得代数余子式.【详解】依题意329a =，32863837M ==，所以元素9的代数余子式的值为()3232138M +-=-.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三阶行列式的代数余子式的求法，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】根据矩阵乘法的定义运算。

上海市2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.用数学符号语言表示“点在直线外，直线在平面上”:________________.2.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是__________.3.“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.如果直线，直线，，则_________________.5.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是__________.6.由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________个.7.在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是____________.8.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________.9.正三角形的边长为，是三角形所在平面外一点，平面，且，则到的距离为____________.10.三角形的一条边在平面内，，，，若与平面所成角为，则直线与平面所成角的大小为____________.11.如图，矩形的，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是____________.A l l αa b c a ∥c b l αl α11OA O A ∥11OB O B ∥3AOB π∠=111AO B ∠=l α3πl αABCD 8AB =6CD =M N BC AD 5MN =AB CD ABC △2B O ''=5O C ''=3O A ''=ABC △ABC 2P ABC PA ⊥ABC 1PA =P BC ABC AB α2A π∠=AB a =AC =AC α4πBC αABCD 2AB =AD x =PA ⊥ABCD CD Q PQ BQ ⊥x12.在平面几何里，有勾股定理“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图2的几何体中，若两两互相垂直，则有___________________________________.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分.13.下列命题中是真命题的是（ ）A.四边形一定是平面图形B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面C.一个平面的面积可以为D.相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面14.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则15.已知三边的长分别为、、，平面外一点到三边的距离都等于2，则点到平面的距离等于（ ）.A.1D.416.如图，为正方体，① ②平面③与底面④过点与异面直线与成角的直线有2条.ABC V AC AB 222AB AC BC +=A BCD -,,AB AC AD 210km l m αl α⊥l m ⊥m α⊂l α⊥m α∥l m ⊥l α⊥l m ⊥m α∥//l αm α⊂l m ∥ABC △345ABC P ABC △P ABC 1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD ⊥1ACB 1BD 11BCC B 1A AD 1CB 60其中正确结论的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）17.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角大小.19.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位:）.（加工中不计损失）.111ABC A B C -AB BC ⊥E F 11AC BC AB ⊥11B BCC 1C F ∥ABE P O 4PO =OA OB 90AOB ∠= M AB PM OB mm（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为，求钉身的长度（结果精确到）.20.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上.（1）求圆柱的表面积；（2）求证:；（3）若，是的中点，求的最小值.21.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是底面边长为1的正三棱锥，，，分别为棱，，上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）10mm 1mm AB 2AB =PA 2PA =C E PA F PC BC EF ⊥1AC =D PB CE DE +P ABC -D E F PA PB PC DEF ∥ABC DEF ABC -P ABC -（1）求证:为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.P ABC -12PD PA =D BC A --DEF ABC -V V DEF ABC -。

第7章 数列与数学归纳法1. （本P13. 2）如果命题甲为：△ABC 中有一个内角为60°，命题乙为：△ABC 的三个内角的度数可以构成等差数列，那么命题甲是命题乙的______________条件。

2. （本P15。

3）如果正整数p 、q 、l 、k 满足p q l k +=+，数列{}n a 是等差数列，那么p q l k a a a a +=+. 试判断这个命题及其逆命题的真假，并说明理由.3. （本P34. 3）求证：35n n +（n ∈N *）能被6整除.4. （本P48例3）已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，求首项1a 的取值范围.5. （本P48。

3)一个弹性小球从20米高处自由落下，着地反弹后到原来高度的35处，再自由落下，又弹回到上一次高度的35处，假设这个小球能无限次反弹，求这个小球在这次运动中所经过的总路程.6. （册P7。

3）已知数列{}n a 的各项均不为零，且1133n n n a a a --=+（2n ≥），1n n b a =. 求证：数列{}n b 是等差数列。

7. （册P8。

3）已知直角三角形的斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b (a b <),且a ，b ，c 成等比数列，求:a c 的值.8. （册P10. 4）已知数列{}n a 是等比数列，且1a ,2a ,4a 成等差数列，求{}n a 的公比。

9. （册P11。

7)已知0a >，求3521n a a a a -++++。

10. (册P11。

8）已知等比数列{}n a 的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和.11. （册P14。

2）已知数列{}n a 满足112a =,212n n a a a n a +++=（n ∈N *），试用数学归纳法证明：1(1)n a n n =+。

12. （册P16. 1）是否存在常数a 、b 、c ,使等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+⋅-++⋅-=++对一切正整数n 都成立？证明你的结论.13. （册P20。

1上海实验2024学年第一学期高三年级数学周练72024.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知复数52z i =−−,则2z 的虚部为 .2.直线l 过点()12,,法向量()12n ,=,则l 的一般式方程为 .3.已知集合23{|3},{|}2A x Z xB x a x a =∈<=<<+,若A B ⋂有两个元素,则实数a 的取值范围是 .4.若253,2log a log b ==,试用,a b 表示245log = .5.关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}|2x x >,则关于x0≥的解集为 .6.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知a =()(()sinA sinB b c sinB sinC −+=+,则ABC ∆外接圆的半径为 .7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。

已知ABC ∆的顶点为()()00,50,(2A ,B ,C ,4),则该三角形的欧拉线方程为 . 8.设,a b R ∈,若函数()42f x lg a b x=++−为奇函数,则a b += . 9.已知复数z 是关于x 的方程()20x ax b a,b R −+=∈的一个根，若02zi<−，且z = 则a b += .10.若函数()2122f x lnx ax x =−−存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是 .11.已知O 是锐角ABC ∆的外心,13tand =,若332cosB cosCAB AC AO sinC sinB+=π,则实数m = .212.如果直线50(0,0)ax by a b −+=>>和函数()11(0,1)x f x m m m +=+>≠的图象恒过一个定点,且该定点始终落在圆()22185124x a y b ⎛⎫−++++= ⎪⎝⎭的内部或圆上，那么2ab a b +的取值范围是 .二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13.已知定点()00P x ,y 不在直线():0l f x,y =上，则()()000f x,y f x ,y −=表示一条（ ）.A.过点P 且垂直于l 的直线B.过点P 且平行于l 的直线C.不过点P 但垂直于l 的直线D.不过点P 但平行于l 的直线 14.已知两条直线12:,:0l y x l ax y =−=,其中a 为实数,当这两条直线的夹角在012,π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，a 的取值范围是（ ）.A.()01,B.⎝C.(11⎫⋃⎪⎪⎝⎭D.(1 15.向量1,2a b c ===,且0a b c ++=,则cos<a c ,b c −−>=（ ）. A.15− B.25− C.25 D.4516.若曲线(0)ky k x=<与x y e =恰有2条公切线,则k =（ ）. A.1e −B. C.21e − D.-13三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤。

高二数学第一学期期末复习卷1本卷说明：1、适用于上海市重点、区重点高中期末考试复习，试卷仅供参考，具体考查范围与难度系数由不同学校而定。

2、考查内容：数列与数学归纳法、平面向量的坐标表示、矩阵和行列式初步、算法初步、坐标平面上的直线与线性规划、圆锥曲线 一、填空题（每题3分，满分36分）1、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于________． 解析：a 2＝a 1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1， ∴a n ＝a 1＋ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫21⎝⎛⎭⎫32⎝⎛⎭⎫43…⎝⎛⎭⎫n n －1＝2＋ln n .2、数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.[解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3. 3、已知数列{a n }满足a s t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.4、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1,2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________.解析：a n ＝lg n 2＋3n ＋2n (n ＋3)＝lg(n 2＋3n ＋2)－lg [n (n ＋3)]＝[lg(n ＋1)－lg n ]－[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝[lg(n ＋1)－lg n ]＋[lg n －lg(n －1)]＋…＋(lg 2－lg 1)－{[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]＋[lg(n ＋2)－lg(n ＋1)]＋…＋(lg 4－lg 3)}＝[lg(n ＋1)－lg 1]－[lg(n ＋3)－lg 3]＝lg n ＋1n ＋3＋lg 3.5、已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于________．解析：由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．6、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于________．解析：BC ＝3PC ＝3(2PQ －PA )＝6PQ －3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．7、已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0. 若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．解析：以a 和b 分别为x 轴和y 轴正向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c |＝x 2＋y 2.所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ，即|c |∈[2－1，2＋1]．8、在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知以A (2,2)为圆心，1为半径的圆与以B (m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4＜(m －2)2＋4＜16，所以－23＋2＜m ＜23＋2，且m ≠2. 答案：(2－23，2)∪(2,2＋23)9、若直线 的法向量恰好为直线 的方向向量，则实数m 的值为________.解析：m =1或－210、设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ，d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn ，又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.11、已知椭圆的焦点为双曲线x 216－y 29＝1的顶点，且经过抛物线x 2＝12y 的焦点，则椭圆的方程为________．解析：双曲线x 216－y 29＝1的顶点为(－4,0)，(4,0)．由题意，知椭圆的焦点为(－4,0)，(4,0)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝4.03)2(=++-my x m 03=--my x抛物线x 2＝12y 的焦点为(0,3)，由点(0,3)在椭圆上，可知点(0,3)为椭圆短轴的一个端点，故b ＝3. 所以a 2＝b 2＋c 2＝32＋42＝25. 故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.12、已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且NF ＝32MN ，则∠NMF ＝________.解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则NF ＝NH ＝32MN ，如图． ∴cos ∠MNH ＝32，∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.二、选择题（每题3分，满分12分）1、已知P 为锐角三角形ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA ＋3PC |的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. [自主解答] 因为PC ＝AC －AP ，所以|PA ＋3PC |2＝|3AC －4AP |2＝9AC 2－24AP ·AC ＋16AP 2.设|AP |＝x ，则|PA ＋3PC |2＝16×9－48x ＋16x 2＝16(x 2－3x ＋9)．因为三角形ABC 是锐角三角形，所以0<x <8，则当x ＝32时，|PA ＋3PC |2取得最小值为16×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫322－3×32＋9＝108，故|PA ＋3PC |的最小值为108＝6 3.2、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a ＝________.A. 3B. 4C. 5D. 6⎝⎛⎭⎫11－12＋解析：依框图知：当k ＞a 时，S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝1＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1＝1＋1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1.当S ＝95时，k ＝4，接着继续计算“k ＝k ＋1”，所以4≤a ＜5.那么，a =43、已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）．A. B. C. D.33363924252628解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)．因为P 到此抛物线准线的距离d 1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，所以d 1＋d 2的最小值为点F 到直线x ＋y －10＝0的距离|－2＋0－10|2＝6 2.4、若实数a ，b ，c 成等差数列，点P (－1，0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，已知点N (3，3)，则线段MN 长度的最大值是（ ）．A.5＋ 2B. 5－ 2C.5D.62,解析：由题可知2b ＝a ＋c ，∴直线方程为2ax ＋(a ＋c )y ＋2c ＝0，即a (2x ＋y )＋c (y ＋2)＝0，∴动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点A (1，－2)．设点M (x ，y )，由MP ⊥MA 可求得点M 的轨迹方程为圆Q ：x 2＋(y ＋1)2＝2，故线段MN 长度的最大值为|QN |＋r ＝5＋ 2.三、解答题（本大题满分44分）1、已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＝16且S n ＝2S n －1＋n ＋4(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{}a n 的通项a n ；(2)令b n ＝na n ，求{}b n 的前n 项和T n ，并判断是否存在唯一不等于1的n 使T n ＝22n －17成立？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由已知S n ＝2S n －1＋n ＋4，可得S n －1＝2S n －2＋n ＋3(n ≥3，n ∈N *)，两式相减得，S n －S n －1＝2(S n －1－S n －2)＋1， 即a n ＝2a n －1＋1，从而a n ＋1＝2(a n －1＋1)，当n ＝2时，S 2＝2S 1＋6，则a 2－a 1＝6，又a 1＋a 2＝16，所以a 1＝5，a 2＝11. 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＝2(a n －1＋1)，n ≥2，n ∈N *. 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1a n －1＋1＝2(n ≥2，n ∈N *)，即数列{}a n ＋1是以6为首项，2为公比的等比数列，则a n ＋1＝6·2n －1，故a n ＝3×2n －1.(2)由(1)，知T n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1) ＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n )－(1＋2＋…＋n )＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋6，T n －(22n －17)＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2－22n ＋23＝3(n －1)·2n ＋1－12(n 2＋45n －46)＝12(n －1)[6·2n ＋1－(n ＋46)]， 令f (n )＝6·2n ＋1－n －46，因为f (n ＋1)－f (n )＝6·2n ＋1－1>0，所以f (n )单调递增，观察可知f (2)＝6·23－(2＋46)＝0，所以存在唯一不为1的n 使T n ＝22n －17成立，此时n ＝2. 2、已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线． 解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 3、已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．4、已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6，6)，C (－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的点方向式方程，并写出线段BC 的中垂线的点法向式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线． 因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式由方程为6x －8y －13＝0， 截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式由方程为7x －y －11＝0，点方向式方程略.5、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 6、已知：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且 ，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得AC ＝BC ？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，c a 2=设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1.∵AC ＝BC ，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ≤12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ； 当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l .。