文科数学押题卷(二)
一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |x ≤2}, B ={0, 1, 2, 3}, 则A ∩B =( )
A .{0, 1}
B .{0, 1, 2}
C .{1, 2}
D .{0, 1, 2, 3}
2.已知复数z =
1-2i
(1+i )2, 则z 的虚部为( )
A .-12
B .12
C .-12i
D .12
i
3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位:千元)与利润率统计表如下:
月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根据表中数据, 下列说法正确的是( )
A .利润率与人均销售额成正相关关系
B .利润率与人均销售额成负相关关系
C .利润率与人均销售额成正比例函数关系
D .利润率与人均销售额成反比例函数关系
4.已知a =????13π, b =????1312, c =π12, 则下列不等式正确的是( ) A .a >b >c B .b >a >c C .c >a >b D .c >b >a
5.已知某空间几何体的三视图如图所示, 其中正视图和侧视图是边长为3
的正三角形,
则该几何体的体积为( )
A .π
B .π2
C .3π8
D .π
4
6.已知△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 若cos A =-35, cos B =4
5
, a =20, 则c =( )
A .10
B .7
C .6
D .5 7.函数f (x )=ln|x |·sin x 的图象大致为( )
A B C D
8.执行如图所示的程序框图, 则输出的k 值为( )
A .4
B .6
C .8
D .10
9.已知F 1, F 2为椭圆C :x2a2+y2
b2
=1(a >b >0)的左、右焦点, B 为C 的短轴的一个端点,
直线BF 1与C 的另一个交点为A , 若△BAF 2为等腰三角形, 则|AF1|
|AF2|
=( )
A .13
B .12
C .2
3 D .3
10.数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的, 它们都叫欧拉公式, 分散在各个数学分支之中, 任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间, 都满足关系式V -E +F =2,
这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。若一个凸二十面体的每个面均为三角形, 则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为( )
A .10
B .12
C .15
D .20
11.三棱锥S -ABC 中, SA , SB , SC 两两垂直, 已知SA =a , SB =b , SC =2, 且2a +b =5
2
,
则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为( )
A .21π4
B .17π
4
C .4π
D .6π
12.已知函数f (x )=2x +log 32+x
2-x
, 若不等式f ????1m >3成立, 则实数m 的取值范围是( ) A .(1, +∞) B .(-∞, 1) C .????0,12 D .???
?1
2,1 二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分。
13.设x , y 满足约束条件?????x>0
y>0
x -y +1>0x +y -3<0
, 则z =2x -y 的取值范围为________。
14.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形。谢尔宾斯基三角形是一种分形,
由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出。具体操作是取一个实心三角形, 沿三角形的三边中点连线, 将它分成4个小三角形, 去掉中间的那一个小三角形后, 对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形, 如图。
现在上述图③中随机选取一个点, 则此点取自阴影部分的概率为________。
15.已知数列{a n }满足a n =n n +1, 则a 1+a222+a332+…+a2 018
2 0182
=________。
16.已知函数f (x )=sin x cos ????π6-x , 把函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度, 得到函数y =g (x )的图象, 若函数y =g (x )的图象关于y 轴对称, 则m 的最小值为________。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
3
2ac cos B,且sin A=3sin C。
(1)求角B的大小;
(2)若c=2,AC的中点为D,求BD的长。
18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为平行四边形,沿BD将△ABD折起,使点A到达点P。
(1)点M,N分别在线段PC,PD上,CD∥平面BMN,试确定M,N的位置,使得平面BMN平分三棱锥P-BCD的体积;
(2)若AD=2AB,∠A=60°,平面PBD⊥平面BCD,求证:平面PCD⊥平面PBD。
19.(本小题满分12分)近年来,以马拉松为龙头的群众体育运动蓬勃发展,引领了全民健身新时尚。某城市举办城市马拉松比赛,
比赛结束后采用分层抽样的方式随机抽取了100名选手,对选手的年龄进行大数据分析,年龄(单位:岁)[20, 30)[30, 40)[40, 50)[50, 60)[60, 70]参加马拉松比赛人数30362464
(2)为了调查跑全程马拉松比赛是否需要志愿志提供帮助,现对100名选手进行调查,调查结果如下,
男女
需要2025
不需要4015
的把握认为选手是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
附:K2=n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n=a+b+c+d)。
P (K 2≥k 0)
0.050 0.010 0.001 k 0
3.841
6.635
10.828
20.(本小题满分12分)已知椭圆C :
x2a2
+
y2b2
=1(a >b >0)的左,
右焦点分别为F 1,
F 2,
椭圆上存在一点P 满足PF 1⊥F 1F 2, 且sin ∠F 2PF 1=4
5
, △F 2PF 1的周长为6。
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过椭圆C 的右焦点F 2作斜率存在且不为零的直线交椭圆于A , B 两点, 如图, 已知直线l :x =4, 过点A 作l 的垂线交l 于点M , 连接F 2M , MB , 设直线F 2M , MB 的斜率分别为k 1, k 2, 求证:k 2=2k 1。
21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2ln x -x +1
x
。
(1)讨论f (x )的单调性;
(2)若a >0, b >0, 证明:ab 2 。 (二)选考题:共10分, 请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为 ?? ?x =1+tcosα,y =tsinα (t 为参数), 以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρ=8cosθ 1-cos2θ 。 (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)直线l 与曲线C 交于A , B 两点, 过点(1, 0)且与l 垂直的直线l ′与曲线C 交于C , D 两点, 求|AB |+|CD |的最小值。 23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x -1|+|x +2|。 (1)求不等式f (x )≤5的解集; (2)设f (x )的最小值m , 若a , b 为正实数, 且2a +3b =m , 求证:1a +b +4 a +2b >m 。 参考答案与试题解析 1.B A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }={0, 1, 2}。故选B 。 2.A z =1-2i (1+i )2=1-2i 2i =(1-2i )·i -2=i +2-2=-1-12i , 所以虚部为-1 2 。故选A 。 3.A 画出利润率与人均销售额的散点图, 如图。由图可知利润率与人均销售额成正相关关系。故选A 。 4.D 函数y =????13x 在定义域内是减函数, 所以????13π ???131 2???130 =1<π1 2, 即a 3 2 , 高为3× 32=32 , 所以圆锥的体积V =13π????322×32=3π 8 。故选C 。 6.B 由cos A =-35, cos B =45, 得sin A =45, sin B =3 5 , 所以sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =45×45-35×35=725。根据正弦定理, 得a sinA =c sinC , 即 20 4 5 =c 725 , 解得c =7。故选B 。 7.A 由于f (-x )=ln|-x |·sin(-x )=-f (x ), 所以f (x )是奇函数, 图象关于原点对称, 又当0 8.C 初始值S =100, k =0, 第一次循环, S =99, k =2;第二次循环, S =95, k =4;第三次循环, S =79, k =6;第四次循环, S =15, k =8;第五次循环, S =-241, 此时满足S ≤-100, 输出k =8。故选C 。 9.A 如图, 不妨设点B 在y 轴的正半轴上, 根据椭圆的定义, 得|BF 1|+|BF 2|=2a , |AF 1|+|AF 2|=2a , 由题意知|AB |=|AF 2|, 所以|BF 1|=|BF 2|=a , |AF 1|=a 2, |AF 2|=3a 2。所以 |AF1| |AF2| =1 3 。故选A 。 10.B 二十面体的每个面均为三角形, 每条棱都是两个面共用, 所以棱数E =20×3× 1 2 =30, 面数F =20, 顶点数V =E -F +2=12。故选B 。 11.A 由题意, 设三棱锥的外接球的半径为R , 因为SA , SB , SC 两两垂直, 所以以SA , SB , SC 为棱构造长方体, 其体对角线即三棱锥的外接球的直径, 因为SA =a , SB =b , SC =2, 所以4R 2=a 2+b 2+4=a 2 +????52-2a 2+4=5(a -1)2+214, 所以a =1时, (4R 2)min =214 , 所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为21π 4 。故选A 。 12.D 由2+x 2-x >0得x ∈(-2, 2), 又y =2x 在(-2, 2)上单调递增, y =log 32+x 2-x =log 3 x -2+4 2-x =log 3? ???-1-4x -2在(-2, 2)上单调递增, 所以函数f (x )为增函数, 又f (1)=3, 所以不等式??? ??m f 1>3成立等价于不等式??? ??m f 1>f (1)成立, 所以? ??-2<1m <2 1m >1 , 解得12 13.(-1, 6) 画出约束条件所表示的平面区域, 如图中阴影部分所示(不包括边界), 画出直线2x -y =0, 平移该直线, 且直线与阴影部分有公共点时, 直线越靠近点A , 目标函数z =2x -y 的取值越小, 直线越靠近点B , 目标函数z =2x -y 的取值越大, 且过点A (0, 1)时, z =2×0-1=-1, 过点B (3, 0)时, z =2×3-0=6, 因为A , B 两点不在约束条件表示的平面区域内, 所以目标函数z =2x -y 的取值范围是 (-1, 6)。 14.916 由题意可知每次挖去等边三角形的14 , 设题图①中三角形的面积为1, 则题图② 中阴影部分的面积为1-14=34, 题图③中阴影部分的面积为????1-14????1-14=????342=916 , 故在题图③ 中随机选取一点, 此点来自阴影部分的概率为9 16 。 15.2 0182 019 由题意, 因为数列{a n }满足a n =n n +1, 所以数列??????an n2的通项公式为an n2=1n (n +1)=1n -1n +1, 所以a 1+a222+a332+…+a2 0182 0182=1-12+12-13+…+12 018-12 019=1-12 019=2 0182 019 。 16.π6 f (x )=sin x cos ????π6-x =sin x ????32cosx +12sinx =32 sin x cos x +12sin 2x =34sin2x +12·1-cos2x 2= 12??? ?32sin2x -12cos2x +14=12sin ????2x -π6+14。将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后, 得到函数g (x )=12sin ????2x -2m -π6+14, 因为函数g (x )的图象关于y 轴对称, 所以-2m -π6=k π+π 2 (k ∈Z ), 解得m =-kπ2-π3(k ∈Z ), 因为m >0, 所以取k =-1, 得m 的最小值为π 6 。 17.解:(1)因为S △ABC =12ac sin B =3 2ac cos B , 所以tan B =3。 又0 3 。 (2)sin A =3sin C , 由正弦定理得, a =3c , 所以a =6。 由余弦定理得, b 2=62+22-2×2×6×cos60°=28, 所以b =27。 所以cos A =b2+c2-a22bc =(27)2+22-622×2×27 =-7 14。 因为D 是AC 的中点, 所以AD =7。 所以BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos A =22+(7)2-2×2×7×??? ? ?? - 147=13。 所以BD =13。 18.解:(1)因为CD ∥平面BMN , 平面BMN ∩平面PCD =MN , 所以CD ∥MN 。 要使平面BMN 平分三棱锥P -BCD 的体积, 则只需MN 平分△PCD 的面积, 则PM2PC2=1 2 , 即PM =22PC , 同理PN =2 2 PD , 所以当PM =22PC , PN =2 2 PD 时, 平面BMN 平分三棱锥P -BCD 的体积。 (2)证明:设AB =1, 则AD =2, 在△ABD 中, 由余弦定理, 得BD =3, 所以AD 2=AB 2+BD 2, 所以AB ⊥BD , 则PB ⊥BD 。 因为平面PBD ⊥平面BCD , 平面PBD ∩平面BCD =BD , 所以PB ⊥平面BCD , 又CD ?平面BCD , 所以PB ⊥CD 。 因为CD ∥AB , 所以CD ⊥BD , 因为PB ∩BD =B , 所以CD ⊥平面PBD 。 因为CD ?平面PCD , 所以平面PCD ⊥平面PBD 。 19.解:(1)作出如图所示的频率分布直方图。 由直方图可估计参加比赛的选手们的平均年龄是25×0.3+35×0.36+45×0.24+55×0.06+65×0.04=36.8(岁)。 (2)由2×2列联表可得K 2=100×(15×20-25×40)2 60×40×45×55 ≈8.249>6.635, 所以有99%的把握认为选手是否需要志愿者提供帮助与性别有关。 20.解:(1)在Rt △PF 1F 2中, sin ∠F 2PF 1=45, 则|F1F2||PF2|=4 5 , 因为|F 1F 2|=2c , 所以|PF 2|=5 2 c , 又|PF 1|=32c , 所以△PF 1F 2的周长为52c +3 2 c +2c =6c =6, 则c =1, 所以|PF 1|+|PF 2|=32c +5 2 c =4, 即2a =4, a =2, b 2=a 2-c 2=3, 故椭圆C 的标准方程为x24+y2 3 =1。 (2)证明:设直线AB :y =k (x -1)(k ≠0), A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 由题易知M (4, y 1), F 2(1, 0), 联立?????x24+y23=1,y =k (x -1), 得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0, 由根与系数的关系可得???x1+x2=8k2 4k2+3 ,x1x2=4k2-12 4k2+3, 因为点F 2(1, 0)在椭圆内, 所以Δ>0恒成立, k 1=k MF 2=y13=k (x1-1)3, k 2=k MB =y2-y1x2-4=k (x2-x1) x2-4 , 第8页, 总9页 k 2-2k 1=k (x2-x1)x2-4-2k (x1-1)3=k ·-2x1x2+5(x1+x2)-8 3(x2-4) =k · -2·4k2-124k2+3+5·8k24k2+3 -8 3(x2-4) =k ·-8k2+24+40k2-32k2-243(x2-4)(4k2+3)=0。 所以k 2=2k 1。 22.解:(1)消掉参数t , 得直线l 的普通方程为x sin α-y cos α=sin α。 由ρ=8cosθ1-cos2θ, 得ρ=4cosθ sin2θ, 即ρsin 2θ=4cos θ, 两端乘ρ, 得ρ2sin 2θ=4ρcos θ, 由极坐标与直角坐标的互化公式, 得y 2=4x , 即曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , (2)把???x =1+tcosα,y =tsinα 代入y 2=4x , 得t 2sin 2α-4t cos α-4=0, 设点A , B 对应的参数分别为t 1, t 2, 则t 1+t 2=4cosαsin2α, t 1t 2=-4 sin2α, 所以|AB |=|t 1-t 2|=(t1+t2)2-4t1t2=16cos2αsin4α+16sin2α=4 sin2α 。 用a ±π2代换α, 得|CD |=4cos2α 。 所以| AB |+|CD |= α 2sin 16 αcos 4αsin 42 22=+≥16,所以|AB |+|CD |的最小值为16。 23.解:(1)当x ≤-2时, 1-x -x -2≤5, 解得-3≤x ≤-2, 当-2 (2)证明:因为|x -1|+|x +2|≥|(x -1)-(x +2)|=3, 所以f (x )的最小值为3, 即m =3。 所以1a +b +4a +2b =1 3 (2a +3b )????1a +b +4a +2b =1 3 [(a +b )+(a +2b )]????1a +b +4a +2b =13????5+a +2b a +b +4(a +b )a +2b ≥13????5+2a +2b a +b ·4(a +b )a +2b =1 3 (5+4)=3=m , 又当且仅当a +2b a +b =4(a +b ) a +2b 时等号成立, 化简上式得3a =-4b 或a =0, 显然与a , b 均为正实数矛盾, 故等式不成立, 即1a +b +4 a +2b >m , 不等式得证。 21.解:(1)由题意得, 函数f (x )的定义域为(0, +∞), f ′(x )=2x -1-1x2=-x2+2x -1x2=-(x -1)2x2≤0。 所以函数f (x )在(0, +∞)上单调递减。 (2)由题意得a ≠b , 不妨设a >b >0, 则 ab ?ln a b 由(1)知f (x )是(0, +∞)上的减函数, 又a b >1, 所以f ???? a b 第9页, 总9页 即f ?? ? ?a b =2ln a b -a b +1a b <0, 所以ab 2(a -b )a +b ?ln a b >2??? ?a b -1a b +1。 令g (x )=ln x -2(x -1)x +1, 则g ′(x )=(x -1)2 x (x +1)2 , 当x ∈(0, +∞)时, g ′(x )≥0, 即g (x )是(0, +∞)上的增函数。 因为a b >1, 所以g ????a b >g (1)=0, 所以ln a b >2????a b -1a b +1, 从而a -b lna -lnb 2