第十章 多面体与旋转体
考试内容：
棱柱(包括平行六面体).棱锥.棱台.多面体.
圆柱.圆锥.圆台.球.球冠.旋转体.
体积的概念与体积公理.棱柱、圆柱的体积.棱锥、圆锥的体积.棱台、圆台的体积.球和球缺的体积.
考试要求：
(1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质.
(2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的面积、球缺的体积公式(球缺体积公式不要求记忆)，并能运用这些公式进行计算.
(3)了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图.
(4)对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题.
一、选择题
1. (85(1)3分)如果正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，那么四面体A'－ABD 的体积是 A.2a 3 B.4a 3 C.3a 3 D.6
a 3 2. (89(3)3分)如果圆锥的底半径为2，高为2，那么它的侧面积是 A.43π B.22π C.23π D.42π 3. (89(8)3分)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是
A.4
B.3
C.2
D.5
4. (90(3)3分)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 A.2S S B.πS 2S C.4
S S D.πS 4S 5. (90上海)设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别为a ，b ，c ，那么这个长方体的对角线长为 A.222222222222c b a 2
1D.)c b (a 31C.)c b (a 21B.c b a ++++++++ 6. (90广东)一个圆台的母线长是上下底面半径的等差中项，且侧面积为8πcm 2,那么母线长是
A.4cm
B.22cm
C.2cm
D.2cm
7. (91上海)设长方体对角线的长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是 A.27332 B.82 C.83 D.163
8. (91上海)设正方体的全面积为24cm 2,一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是 A.6πcm 3 B.34πcm 3 C.38πcm 3 D.3
32πcm 3 9. (91三南)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 A.63 B.23 C.33 D.2
10. (91三南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面积分别为S 、S ′、S",那么它们的大小关系是
A.S ＜S ′＜S"
B.S ＜S"＜S ′
C.S ′＜S"＜S
D.S ′＜S ＜S"
C D A B D' A' B'
C'
11. (92(5)3分)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是
A.6:5
B.5:4
C.4:3
D.3:2
12. (92(18)3分)长方体的全面积为11，十二条棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 A.23 B.14 C.5 D.6
13. (92上海)下列命题中的真命题是
A.各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C.各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥
D.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是正四棱台
14. (92三南)在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AB ＝BC ＝a ，AA ′＝2a ，那么A 点到直线A ′C 的距离等于 A.362 a B.
2
63 a C.323a D.36a 15. (92三南)有一条半径为2的弧，度数是60°,它绕过弧中点的直径旋转得一个球冠，那么
这个球冠的面积是 A.4(2－3)π B.2(2－3)π C.43π D.23π 16. (92三南)若等边圆柱的体积是16πcm 2，则其底面半径为 A.432cm B.4cm C.232cm D.2cm
17. (93(3)3分)当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥的轴截面顶角是
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
18. (93(13)3分)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．．
A.三棱锥
B.四棱锥
C.五棱锥
D.六棱锥
19. (93(14)3分)如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 A.3)61(π B.3)3
1(π C.3)41(π D.4π)41(3 20. (93上海)设有三个命题：
甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；
丙：直四棱柱是平行六面体；
以上命题中真命题的个数是：
A.0
B.1
C.2
D.3
21. (94(7)4分)圆柱正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 A.323 B.283 C.243 D.203
22. (94(13)5分)圆柱过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝
BC ＝CA ＝2，则球面面积是 A.916π B.38π C.4π D.9
64π 23. (95(4)4分)正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 A.3
a 2
π B.2a 2π C.2πa 2 D.3πa 2 24. (95上海)设棱锥的底面面积为8cm 2，那么棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的
截面)的面积是
A.4cm 2
B.22cm 2
C.2cm 2
D.2cm 2
25. (96(9)4分)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC
的体积为 A.6
a 3
B.12a 3
C.12a 33
D.12a 23
多面体与旋转体的概念 一、概念整理 （一）棱柱与棱锥 1、水平放置的平面图形的直观图的“斜二测”画法 （1）按右图所示的位置和夹角作三条轴，分别表示铅垂方向，左右方向和前后方向的轴，依次把它们叫做________________________. (2) 规定在z轴和y轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上,线段的长度是其表示的真实长度的__________。
2、“斜二测”画法的重要性质 （1）平行直线的斜二测图__________________； （2）线段及其直线上定比分点的斜二测保持原比例不变。 （三）、旋转体 1、旋转体：平面上一条封闭图形所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，定直线叫做______________。 2、圆柱：将_________绕其一条边’ OO所在直线旋转一周，所形成的几何体。 (1)圆柱的结构: 圆柱的轴：____________；圆柱的母线：____________； 圆柱的底面：___________；圆柱的侧面：___________； 圆柱的高：____________； (2)圆柱的性质： ①底面由与轴垂直的边旋转得到，所以圆柱的底面是圆面且垂直于轴, ②轴过两底面圆心且垂直于底面，联接两底面圆心的线段的长等于圆柱的高； ③所有母线相互平行，相等且垂直于底面，母线的长等于圆柱的高； ④轴截面（经过圆柱的轴的截面）是矩形。 3、圆锥：将_________绕其一条_____边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体。 (1)圆锥的结构： 圆锥的轴：_____________；圆锥的母线：____________； 顶点：_____________；高： _____________； 底面：_____________；侧面：_____________； (2)圆锥的性质： a.底面为圆且垂直于轴； b. c.所有母线都经过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。 d.轴截面是等腰三角形。 二、例题分析 例1、若棱柱的侧面都是矩形，则棱柱一定是（） A．正棱柱B．长方体C．直棱柱D．直平行六面体 例2、下列命题中的真命题是___________ （1）各侧面都是矩形的棱柱是长方体（2）有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 （1）各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥（4）底面是矩形的平行六面体是长方体例3、(1)画水平放置的边长为3cm和4cm的矩形的直观图. (2)求该直观图的面积。 例4、画水平放置的边长为2cm的正方形的直观图． ’
多面体与旋转体 考试内容： 棱柱(包括平行六面体).棱锥.棱台.多面体. 圆柱.圆锥.圆台.球.球冠.旋转体. 体积的概念与体积公理.棱柱、圆柱的体积.棱锥、圆锥的体积.棱台、圆台的体积.球和球缺的体积. 考试要求： (1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质. (2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的面积、球缺的体积公式(球缺体积公式不要求记忆)，并能运用这些公式进行计算. (3)了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图. (4)对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题. 一、选择题 1. (85(1)3分)如果正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，那么四面体A'－ABD 的体积是 A.2 a 3 B.4a 3 C.3a 3 D.6a 3 2. (89(3)3分)如果圆锥的底半径为2，高为2，那么它的侧面积是 A.43π B.22π C.23π D.42π 3. (89(8)3分)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于 球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 A.4 B.3 C.2 D.5 4. (90(3)3分)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 A.2S S B.πS 2S C.4 S S D.πS 4S 5. (90上海)设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别为a ，b ，c ，那么这个长方体的对角线长为 A.222222 222 2 22c b a 2 1 D. )c b (a 3 1C. )c b (a 2 1B. c b a ++++++++ 6. (90广东)一个圆台的母线长是上下底面半径的等差中项，且侧面积为8πcm 2,那么母线长是 A.4cm B.22cm C.2cm D.2cm 7. (91上海)设长方体对角线的长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是 A.27 332 B.82 C.83 D.163 8. (91上海)设正方体的全面积为24cm 2,一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是 A.6πcm 3 B.34πcm 3 C.38πcm 3 D.332 πcm 3 9. (91三南)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 A.63 B.23 C.33 D.2 10. (91三南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面积分别为S 、S ′、S",那么它们的大小关系是 A.S ＜S ′＜S" B.S ＜S"＜S ′ C.S ′＜S"＜S D.S ′＜S ＜S" C D A B D' A' B' C'
高三数学测试题—多面体和旋转体（11） 一、选择题（本题每小题5分，共60分） 1．三棱锥的三个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影一定是底面三角形的 （ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 2．正三棱锥S —ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，体积为V ，A ′、B ′、C ′分别是SA 、 SB 、SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 4 1 ,31,21='='='，则三棱锥S —A ′B ′C ′的体 积为 （ ） A ．V 9 1 B ．V 12 1 C ．V 24 1 D ．V 72 1 3．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 4．把边长为4和2的一个矩形绕其一边卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为 （ ） A ．16π B ．8π C ．16π或8π D ．16π或32π 5．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，则棱台的侧面积为（ ） A ．64 B ．68 C ．34 D ．38 6．圆台上、下底面边长分别为1和7，作与两底平行的截面，且截面与上、下两底距离之比 为1∶2，则截面的面积为 （ ） A ．π3 7 B ．π73 C ． π9 64 D ．π3 8 7．圆锥的顶角为120°，高为a ，用过顶点的截面去截圆锥，则截面的最大面积为（ ） A ．a 2 B ．2a 2 C ．2 3a D ．4a 2 8．若四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA=a ，PB=PD=a 2，则在它的 五个面中，互相垂直的面共有 （ ）
第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是（） A 三棱柱四棱台球圆锥 B 三棱柱四棱台正方体圆台 C 三棱柱四棱台正方体六棱锥 D 圆锥圆台球半球 2、下列说法正确的是（） A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥 B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台 C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是（） A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 4、下列说法错误的是（） A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有12条棱的是（） A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱 6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个 二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点， 有—————————个棱。 8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为———————————— 9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。 图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示右面，“程”表示下面。 则“祝”“你”“前”分别表示正方体的————— 祝 你前程 似锦
多面体与旋转体 一、棱柱 1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。 2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由 这些面围成的多面体叫做棱柱。棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。 棱柱的基本性质： （1） 棱柱的侧面都是平行四边形。 （2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。 3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 性质： （1） 直棱柱侧面都是矩形。 （2） 直棱柱侧棱与高相等。 （3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。 4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。 底面是矩形的直棱柱是长方体。 长方体的对角线平方等于三边长的平方和。 5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截 面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 6、 h V S =?棱柱底. 二、棱锥 1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 棱锥的基本性质： 如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形； （3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。
多面体与旋转体部分会考练习题 一、选择题 1、四棱柱成为长方体的一个充分必要条件是：它的（ ） A 、底面是矩形 B 、侧面是正方形 C 、侧面和底面都是矩形 D 、侧面和底面都是正方形 2、长方体共顶点的三个面的面积分别是22 cm ，62 cm 和92 cm ，那么这个长方体的体积为（ ） A 、632cm B 、362cm C 、72cm D 、82 cm 3、对角线长d 为的正方体的棱长为（ ） A 、 d 3 1 B 、d 3 C 、 ( ) d 13- D 、 d 3 3 4、长方体的12条棱的总长度为56m ，表面积为1122 m ，那么长方体的对角线长为（ ） A 、m 143 B 、m 67 C 、m 212 D 、m 9 5、如果直棱柱的底面是菱形，柱高9cm ，它的两条对角线分别与底面成0 60角和0 45角，那么这个棱柱的体积是（ ） A 、 323243cm B 、33243cm C 、3 2 3729cm D 、33729cm 6、在斜三棱柱中，各棱长都是a ,且有一组共顶点的三条棱两两夹角相等，那么这个 棱柱的全面积是（ ） A 、 2 2 33a B 、232a C 、( ) 213a + D 、2 1233a ??? ? ??+ 7、已知正六棱柱底面的边长和柱高都等于a ，那么最大对角截面的面积是（ ） A 、2 2a B 、23a C 、232a D 、22 3a 8、三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，各侧棱与底面所成的角彼此相等，那么顶点在 底面的射影是底面三角形的（ ） A 、垂心但不是内心 B 、内心但不是垂心 C 、外心但不是重心 D 、垂心又是重心 9、三棱锥P-ABC 的侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=3，PC=6，那么∠ABC=（ ） A 、0 30 B 、0 60 C 、0 45 D 、0 75 10、如果正三棱锥的侧棱长为2a ，底面周长为9a ，那么这棱锥的高为（ ） A 、 a B 、2a C 、 a 23 D 、a 2 3 11、已知三棱锥各侧面与底面所成二面角彼此相等，那么顶点在底面上的射影，一定 是底面三角形的（ ） A 、 内心 B 、外心 C 、垂心 D 、重心 12、一个棱锥被平行于底面的平面截成两部分，截面的面积恰好是棱锥底面面积的一 半，那么截得的两部分的体积比为（ ） A 、 21 B 、4 1 C 、22 D 、42 13、正四棱锥底面边长为a ，侧棱长也是a ，那么过两相对侧棱的截面的面积是（ ） A 、 223a B 、2a C 、22 1 a D 、231a 14、平行六面体的各棱长都等于4，在共顶点A 的三条棱上分别取点P 、Q 、R ，使 AP=1，AQ=2，AR=3，那么，三棱锥A —PQR 的体积与平行六面体的体积比为（ ） A 、与顶点A 的选择无关，都等于 321 B 、 与顶点A 的选择无关，都等于64 1 C 、 与顶点A 的选择有关，等于321 或641 D 、与顶点A 的选择有关，等于161或32 1 15、如果棱锥的底面积为4，那么该棱锥的中截面的面积是（ ） A 、 1 B 、2 C 、2 D 、3 16、正四棱台上下底面边长分别为a 和2a ，斜高为a ，那么台高等于（ ） A 、a B 、 a 23 C 、a 22 D 、a 4 3
.教学内容: 1. 主要内容：多面体和旋转体 2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位 置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中 出现。解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形 式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清 楚，计算准确。 【典型例题】 例 1.三棱锥 P —ABC ，PA =a , AB =AC =2a , N PAB =NPBC =ZBAC =60°，求这个 三棱锥的体积。 分析：由题设 ZPAB /PAC =60 .P 在平面ABC 上的射影O 必在.BAC 的平分线上 又.BAC =60，AB =AC ，可知., 在 Rt. PAE 中，.PAE =60 , PA =a 6 在 Rt.POE 中，PO = .PE 2_OE 2 -a 3 PO 解法二：(利用等积转换法解)在厶 PAB 中 PA 二a , AB =2a , . PAB =60 .PB 2 =a 2 (2a)2 -2 a (2a)cos60'=3a 2 ..PA 是直角三角形， PA_PB ，同理可证PA_PC ,又PB PC=P .PA_平面 PBC 在 PBC 中，PB = PC =、,3a ，BC=2a ,P B C = ■- 2a 解法三：（用分割求积法解） 由解法二知，PB =PC =：j 3a , D 是BC 中点，连结PD .「TC_PD ，BC_AD ，PD AD =D .BC_平面 PAD 例2.如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，用一平面去截它，得截面 M2B 2C 2，且AA 2=m ， BB 2 =h 2，CC 2 =h 3,若UEC 的面积为S ，求证： 1 介于截面与下底面之间的几何体体积 V S （h 1 h 2 h 3）。 3 -V P _ABC 二V A _PBC Js PBC PA - 3 ' 3 a 3 - V P ABC =V B -PAD 'V C -PAD = 2V B -PAD BD a 3 解法四：（用补形求积法解）延长 的 正四面体 AP 到Q ，使PQ=a ，连结QB 、QC ，可得一个棱长为 2a V P ABC _ 1 V Q ABC 2 、、2 (2a) 3 — a 3 PE a AE , OE 二 AE tg30 AD 占据着空 间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑 这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空 间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着 不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧! 二、探索新知 探究1：多面体的相关概念 新知1：由若干个平面围成的几何体几何体叫做多面体.围成每个多面体的多边形叫做多面体 教师给出题 目，学生分组回 答。 教师提问， 学生回答问题， 教师总结。 教师给出题 目，学生分组回 答。 掌握定义，培 养学合作意识。 在探究中学 习知识，符合现代 教学理念。 在探究中学 习知识，符合现代 教学理念。 的面，如面ABCD ； 两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ；棱和棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A .连结不在同一平面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线， 具体如下图所示： 探究2：旋转体的相关概念 面 顶点 棱 A B ' C ' D 'A ' C B 新知2： 由一条平面曲线绕一条定直线旋转所形成的曲面叫旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.这条曲线叫做旋转体的母线。如下图的旋转体: 四、课堂小结 1、多面体的概念及有关知识 2、旋转体的概念及有关知识 板书设计1、多面体：面、棱、顶点、对角线； 2、旋转体：旋转面、轴、母线 作业设计手工制作：本节课课本上出现的几何体或自由制作。 要求： 1：每人至少一个，可以合作完成，最好不重复。 2：模型大小：拿在手中，站在讲台上，所有同学都能看清。 （学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报） 空间几何体习题 一、选择题 1． 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A ． 324R B ． 38R C ． 324R D ． 38 R 2． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ） Ａ． 2 8cm π Ｂ． 2 12cm π Ｃ． 2 16cm π Ｄ． 220cm π 3． 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3， 圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A ． 7 Ｂ． 6 Ｃ． 5 Ｄ． 3 4．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．2 79cm 2 B ．79cm 2 C ． 3 23cm 2 D ．32cm 2 5．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )． 主视图 左视图 俯视图 A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 6．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 7．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 8．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶3 9．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． 10.图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 11.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=( ) A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 12.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 13.一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 65． 计算及其应用（1） 一、典型例题 1． 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面和底面边长都是a ，截面AB 1C 和截面A 1BC 1相交于 DE ，求三棱锥B －B 1DE 的体积。[348 3a ] 2． 在边长为5＋2的正方形ABCD 内，以A 为圆心画一个扇形，再画一个⊙O ，它在与BC 、 CD 相切，切点为M 、N ，又与扇形的圆弧EF 相切于K 点，把扇形围成圆锥的侧面，⊙O 为圆锥的底面，求这个圆锥的体积。[π3 302] 3． 如图，已知在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，平面A 1B 1C 1⊥平 面ABB 1A 1，异面直线BC 1与AB 1互相垂直，①求证：AB 1⊥平面A 1CD ；②若CC 1与平面ABB 1A 1的距离为1，A 1C ＝37，AB 1＝5，求三棱锥的体积。[5/3] 4． 直平行六面体，底面两邻边之和为a ，底面的锐角为30°，侧面积为S ，①求体积的最大 值；②当体积最大时，底面是什么形状？[aS/16、菱形] 5． 已知三棱锥A －BCD 的体积是V ，棱长BC ＝a ，面ABC 与面DBC 的面积分别是S 1和S 2， 设面ABC 和面DBC 所成的二面角是α，求sin α。[2 123S S aV ] 6． 三棱锥S －ABC 中，各棱长都是2a ，棱SA 、SB 、SC 和AB 的中点分别为D 、E 、F 和G ， ①求证：平面DEF ⊥平面EFG ；②求V G －DEF 。[312 2a ] 7． 已知三棱锥P －ABC 中，PA ＝a,PB=b,PC=c,侧棱PA 、PB 、PC 上各点A 1，B 1，C 1且PA 1 ＝a 1,PB 1=b 1,PC 1=c 1,求证：1 11111c b a abc V V C B A P ABC P =--。 高三数学多面体与旋转体练习题 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为236 ，，，这个长方体对角线的长是（） A. 23 B. 32 C. 6 D. 6 2. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，则此棱锥的体积为（） A. 63 B. 23 C. 3 D. 2 3. 圆锥轴截面顶角为α，那么它的侧面展开图扇形的圆心角为（） A. πα sin B. 2πα sin C. π α sin 2 D. 2 2 π α sin 4. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积等于上、下底面积的和，那么该圆台的高为（） A. 3 4 B. 4 3 C. 4 3 π D. 3 4 5. 将一张圆形纸片沿其两条半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角的比为1:2，再将这两个扇形卷成两个圆锥筒（不计损耗和接缝用料），那么这两个圆锥筒的容积之比为 （） A. 10 10 B. 40 5 C. 2 2 D. 1 2 6. 设O是矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为轴旋转这个矩形所得圆柱的体积 为V，其中以OA为母线的圆锥的体积为V 4 ，则以OB为母线的圆锥的体积等于（） A. V 4 B. V 9 C. V 12 D. V 15 B C O A D 7. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比为（ ） A. 223π B. 3π C. 32π D. 23 π 8. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2183cm D. 3123cm 9. 已知长方体的对角线长为2cm ，则长方体全面积的最大值是（ ） A. 82cm B. 42cm C. 222cm D. 22cm 10. 球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的 14，若经过这三点的小圆面积为2π，则该球的体积为（ ） A. 3π B. 43π C. 83π D. 32 π 11. 把边长为1的正方形ABCD 沿其对角线AC 折起，使二面角B AC D ——为60?，那么三棱锥D ABC —的体积为（ ） A. 6 B. 63 C. 68 D. 624 12. 母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角?等于（ ） A. 263π B. 2π C. 233 π D. 223π 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13. 正四棱锥底面边长为3，体积为932，则它的侧面与底面所成角的大小为_______。 14. 半径为10cm 的球内有二个平行截面，其面积分别为366422ππcm cm 和，那么这 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.下列命题中正确的是（） A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（） A.3 2+ C.2 2 1+ B.10 3 D.3 3.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（） A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 4.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图14所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________. 图14 5.有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图16所示.从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________. 图16 6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径. 1.1.2简单组合体的结构特征 1如图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征. 图3 .2已知如图5所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＜BC ，当梯形ABCD 绕BC 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征. 3.若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（） A.64 B.66 C.68 D.70 1.2.3空间几何体的直观图 1.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（） A.原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B.原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的2 1 C.在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45° D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（） A.16 B.64 C.16或64 D.都不对 3.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（） A.62 B.64 C.3D.都不对 4.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（） A.2221 + B.221+ C.21+ D.22+ 立体几何测试题 （多面体与旋转体） 1、一个四棱柱是长方体的充要条件是（ ） A 、底面是矩形 B 、侧面是正方形 C 、侧面和底面都是矩形 D 、侧面和底面都是正方形 2、长方体共顶点的三个面的面积分别是22cm ，62cm 和92cm ， 那么这个长方体的体积为（ ） A 、633cm B 、363cm C 、73cm D 、83cm 3、对角线长为d 的正方体的棱长为（ ） A 、d 3 1 B 、d 3 C 、d )13(- D 、 d 3 3 4、长方体的12条棱的总长度为56m ，表面积为1122m ，那么长方体的对角线长为（ ） A 、143m B 、67m C 、212m D 、9m 5、如果直棱柱的底面是菱形，它的高是9cm ，它的两条对角线分别与底面成o 60角和o 45角，那么这个棱柱的体积是（ ） A 、 3 2 3243cm B 、33243cm C 、323729cm D 、33729cm 6、在斜三棱柱中，各棱长都是a ，且有一组共顶点的三条棱两两夹角都等于60°，那么这个棱柱的全面积是（ ） A 、 2233a B 、232a C 、2)13(a + D 、2)12 3 3(a + 7、已知正六棱柱底面的边长和高都等于a ，那么最大对角 截面的面积是（ ） A 、22a B 、23a C 、232a D 、22 3 a 8、三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，各侧棱与底面所成 的角彼此相等，那么顶点在底面的射影是底面三角形的 （ ） A 、垂心但不是内心 B 、内心但不是垂心 C 、外心但不是重心 D 、垂心又是重心 9、三棱锥P-ABC 的侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=3，PC=6，那么∠ABC=（ ） A 、o 30 B 、o 60 C 、o 45 D 、o 75 10、如果正三棱锥的侧棱长为2a ，底面周长为9a ，那么这个棱锥的高为（ ） A 、 a B 、2a C 、 a 2 3 D 、a 23 11、已知三棱锥各侧面与底面所成二面角彼此相等，那么 多面体与旋转体 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） （1）三条侧棱两两互相垂直，且侧棱与底面所成的角都相等是棱锥为正棱锥的（） （A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件 （C）充要条件（D）非充分非必要条件 （2）下列各图都是正方体，M、N、P、Q分别都是它们所在棱的中点，则M、N、P、Q 四点共面的是（） （A）（B）（C）（D） （3）正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为，则它的体积是（） （A）（B）（C）（D） （4）正三棱台的上、下底面边长及高，分别为1、2、2，则它的斜高是（） （A）（B）（C）（D） （5）正四棱台上、下底面边长分别为1，3，高为4，则侧棱与底面所成的角的正切值是（） （A）（B）2（C）2（D）4 （6）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（） （A）1∶2∶3（B）1∶7∶19（C）3∶4∶5（D）1∶9∶27 （7）等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们表面积的大小关系是（） （A）（B） （C）（D） （8）已知圆锥的母线长为8，底面积周长为，则它的体积是（） （A）（B）（C）（D） （9）若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积是 （A）27/4（B）9/4（C）27/4（D）9/4 （10）圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为 （A）1（B）2 （C）（D）2 （11）如果圆锥的侧面积是全面积的3/4，则这个圆锥的侧面积展开图的中心角等于（A）Л/2（B）2Л/3（C）Л（D）3Л/2 （12）三棱台的两底面对应边的比为1：2，过上底一边作平面平行于这边所对的侧棱，则这过平面截三棱台所成的两个几何体的体积之比是 （A）1/2（B）2/3 （C）4/5（D）4/3 二、填空题 （13）正棱锥的一个侧面与底面所成的角是，底面积是Q，则它的侧面积__________ （14）截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数等于 . （15）三棱柱的体积是V，D、E分别在、上，线段DE经过矩形的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是 （16）已知母线长为10，底面半径为5的圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，则球的体积是 （17）P、Q是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离是，则过P、Q的平面中，与球心的最大距离是 三、解答题： 立体几何“多面体和旋转体”检查题 一、选择题 （1）三条侧棱两两互相垂直，且侧棱与底面所成的角都相等是棱锥为正棱锥的（） （A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件 （C）充要条件（D）非充分非必要条件 （2）下列各图都是正方体，M、N、P、Q分别都是它们所在棱的中点，则M、N、P、Q四点共面的是（） （A）（B）（C）（D） （3）正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为，则它的体积是（） （A）（B）（C）（D） （4）正三棱台的上、下底面边长及高，分别为1、2、2，则它的斜高是（） （A）（B）（C）（D） （5）正四棱台上、下底面边长分别为1，3，高为4，则侧棱与底面所成的角的正切值是（） （A）（B）2（C）2（D）4 （6）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（） （A）1∶2∶3（B）1∶7∶19 （C）3∶4∶5（D）1∶9∶27 （7）等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们表面积的大小关系是（） （A）（B） （C）（D） （8）已知圆锥的母线长为8，底面积周长为，则它的体积是（） （A）（B）（C）（D） 二、（每小题4分，共20分）填空题 （1）正棱锥的一个侧面与底面所成的角是，底面积是Q，则它的侧面积 （2）轴截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数等于 （3）直三棱柱的体积是V，D、E分别在、上，线段DE经过矩形的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是 （4）已知母线长为10，底面半径为5的圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，则球的体积是 （5）P、Q是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离是，则过P、Q的平面中，与球心的最大距离是 三、求棱长为的正方体的一个顶点A到平面的距离。 四、棱锥的底面是边长分别为2和8的矩形，它的高通过矩形的对角线交点，侧面积为72，求棱锥的体积。 五、圆锥的底面半径为R，高为H，一正方体的一个面在圆锥的底面内，它所对的面的四个顶点都在圆锥的侧面上，求正方体的棱长。 六、圆锥的母线长是它的高的2倍，过顶点最大的截面交底面得一条弦，底面圆心到弦的距离为2，求圆锥的体积。 参考答案 一、（1）A（2）C （3）A（4）D （5）C（6）B（7）A（8）C 多面体旋转体中的面积和体积的计算 1.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S ： 2S ＝ A . 1:1. B . ２:１. C . 3:2. D . 4:1. 12.在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ,1CC 均垂直的棱有（ )条. .A 1. .B 2. .C 3． .D 4. ３.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15，则此圆锥的体积为_＿___＿____（结果保留π). 4.一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π,则该圆锥的侧面积为_＿___＿＿________． 5.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这 个圆锥的母线长为________＿__＿_cm ． 6.已知圆1O 是球O 的小圆，若圆1O 的半径为32cm ，球心O 到圆1O 所在平面的距离为 32cm,则球O 的表面积为_＿____＿_＿_cm 2 . ７.将边长为2的正方形沿对角线AC 折起,以A ，B ,C ,D 为顶点的三棱锥的体积最大值 等于____＿_＿__＿＿＿_. 8.用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器 ,已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为045， 容器的高为10cm,制作该容器需要＿_＿____ ｃm 2的铁皮 9．某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面ABCD 是矩形,16=AB 米,4=AD 米,腰梁AE 、BF 、CF 、DE 分别与相交的底梁所成角均为 60. (１)求腰梁BF 与DE 所成角的大小; (２)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可 储存多少立方米粮食? 10.如图,已知111ABC A B C -是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是2. (1)求异面直线1A C 与11B C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示); cm 10045题 第)6( 多面体与旋转体练习题 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为236 ，，，这个长方体对角线的长是（） A. 23 B. 32 C. 6 D. 6 2. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，则此棱锥的体积为（） A. 63 B. 23 C. 3 D. 2 3. 圆锥轴截面顶角为α，那么它的侧面展开图扇形的圆心角为（） A. πα sin B. 2πα sin C. π α sin 2 D. 2 2 π α sin 4. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积等于上、下底面积的和，那么该圆台的高为（） A. 3 4 B. 4 3 C. 4 3 π D. 3 4 5. 将一张圆形纸片沿其两条半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角的比为1:2，再将这两个扇形卷成两个圆锥筒（不计损耗和接缝用料），那么这两个圆锥筒的容积之比为 （） A. 10 10 B. 40 5 C. 2 2 D. 1 2 6. 设O是矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为轴旋转这个矩形所得圆柱 的体积为V，其中以OA为母线的圆锥的体积为V 4 ，则以OB为母线的圆锥的体 积等于（） A. V 4 B. V 9 C. V 12 D. V 15 B C O A D 7. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比为（） A. 223π B. 3π C. 32π D. 23 π 8. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2183cm D. 3123cm 9. 已知长方体的对角线长为2cm ，则长方体全面积的最大值是（ ） A. 82cm B. 42cm C. 222cm D. 22cm 10. 球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的 14，若经过这三点的小圆面积为2π，则该球的体积为（ ） A. 3π B. 43π C. 83π D. 32 π 11. 把边长为1的正方形ABCD 沿其对角线AC 折起，使二面角B AC D ——为60?，那么三棱锥D ABC —的体积为（ ） A. 6 B. 63 C. 68 D. 624 12. 母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角?等于（ ） A. 263π B. 2π C. 233 π D. 223π 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13. 正四棱锥底面边长为3，体积为932 ，则它的侧面与底面所成角的大小为_______。 14. 半径为10cm 的球内有二个平行截面，其面积分别为366422ππcm cm 和，那么这两个平行截面之间的距离为____________。 15. 把一个大金属球表面涂漆，共需油漆24.kg 。若把这个大金属球熔化，制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆_________kg 。 16. 圆台的母线与底面成45?角，侧面积为32π，则它的轴截面面积为___________。 三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分12分） 如图，S —ABCD 是正四棱锥，高SO =26，相邻两侧面所成角为α，且tg α2233 =，求 （I ）侧棱与底面所成角的大小； 多面体和旋转体 1、 下列命题中正确的命题序号为 ①棱长都相等的直四棱柱是正方体 ②侧面是全等的等边三角形的四棱锥是正四棱锥 ③侧棱两两垂直且侧棱长相等的三棱锥是争三棱锥 ④有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 ⑤侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 ⑥直平行六面体是长方体 2、 若正三棱锥的底面边长为3，且各侧棱与底面所成角为?60，则此棱锥的体积为 侧面积为 3、 四棱锥ABCD P -的底面是矩形，AP 垂直于底面，且3,4,1===BC AB AP ，则点P 到BD 的距离为 4、 正四棱柱的对角线和侧面所成角为?30，底面边长为a ，则其体积为 5、 若正四棱锥的侧面积为3412，底面边长为6，则棱锥的高为 6、 棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，Q P ,是1CC 上两动点，且1=PQ ，则三棱 锥AQD P -的体积为 7、 一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为3：4，则棱锥被截面所截得的上下两部分的体积之比为 8、 设P 是边长为a 的正三角形ABC 内的任意一点，由PAC PBC PAB ABC S S S S ????++=可 得P 到三角形三边的距离之和为a 23 ；类似地，在空间中，P 是边长为b 的正四面体 BCD A -内的任意一点，由 可得P 到四面体四个面的距离之和为 9、 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥母线与底面所成角为 ；若其全面积为272cm π，圆锥体积为 10、 斜边长为6的等腰直角三角形（及其内部）绕斜边所在直线旋转一周，形成一个几何体，该几何体的体积为 11、 一个半径为1的球嵌在一个圆锥体内，且与该圆锥的侧面以及底部半径为2的大圆面均相切，则圆锥的侧面积为 12、 地球半径为R ，在北纬?45圈上有两点A 、B ，A 点的经度为东经?115，B 点的经度为东经?25，则A 、B 两地的球面距离为认识多面体与旋转体教案
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