空间几何体习题
一、选择题
1． 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A ．
324R B ．
38R C ．
324R D ．
38
R 2． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ） Ａ． 2
8cm π Ｂ． 2
12cm
π
Ｃ． 2
16cm
π
Ｄ． 220cm
π
3． 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3， 圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A ． 7 Ｂ． 6 Ｃ． 5 Ｄ． 3
4．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）
A ．2
79cm 2
B ．79cm 2
C ．
3
23cm 2
D ．32cm 2
5．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．
主视图 左视图 俯视图 A ．棱台
B ．棱锥
C ．棱柱
D ．正八面体
6．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．
A ．3
B ．23
C ．33
D ．43
7．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
8．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A ．3∶1
B ．3∶2
C ．2∶3
D ．3∶3
9．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
10.图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A B C D
11.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=( )
A. 1：3
B. 1：1
C. 2：1
D. 3：1
12.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )
A.8:27
B. 2:3
C.4:9
D. 2:9
13.一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ）
A.
3
π
B.
4
π
C.
2
π
D.
π
二、填空题
14．Rt ABC ?中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________．
15．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm 2，则它的体积为___________． 16．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
17．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．
18．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．
19．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．
20.球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
21.一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_________.
三、解答题
22．已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.
23．正四棱台的侧棱长为3cm ，两底面边长分别为1cm 和5cm ，求体积．
24．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形
ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
25．将圆心角为1200
，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.
26. （如图）在底半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.
多面体与旋转体的概念 一、概念整理 （一）棱柱与棱锥 1、水平放置的平面图形的直观图的“斜二测”画法 （1）按右图所示的位置和夹角作三条轴，分别表示铅垂方向，左右方向和前后方向的轴，依次把它们叫做________________________. (2) 规定在z轴和y轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上,线段的长度是其表示的真实长度的__________。
2、“斜二测”画法的重要性质 （1）平行直线的斜二测图__________________； （2）线段及其直线上定比分点的斜二测保持原比例不变。 （三）、旋转体 1、旋转体：平面上一条封闭图形所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，定直线叫做______________。 2、圆柱：将_________绕其一条边’ OO所在直线旋转一周，所形成的几何体。 (1)圆柱的结构: 圆柱的轴：____________；圆柱的母线：____________； 圆柱的底面：___________；圆柱的侧面：___________； 圆柱的高：____________； (2)圆柱的性质： ①底面由与轴垂直的边旋转得到，所以圆柱的底面是圆面且垂直于轴, ②轴过两底面圆心且垂直于底面，联接两底面圆心的线段的长等于圆柱的高； ③所有母线相互平行，相等且垂直于底面，母线的长等于圆柱的高； ④轴截面（经过圆柱的轴的截面）是矩形。 3、圆锥：将_________绕其一条_____边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体。 (1)圆锥的结构： 圆锥的轴：_____________；圆锥的母线：____________； 顶点：_____________；高： _____________； 底面：_____________；侧面：_____________； (2)圆锥的性质： a.底面为圆且垂直于轴； b. c.所有母线都经过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。 d.轴截面是等腰三角形。 二、例题分析 例1、若棱柱的侧面都是矩形，则棱柱一定是（） A．正棱柱B．长方体C．直棱柱D．直平行六面体 例2、下列命题中的真命题是___________ （1）各侧面都是矩形的棱柱是长方体（2）有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 （1）各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥（4）底面是矩形的平行六面体是长方体例3、(1)画水平放置的边长为3cm和4cm的矩形的直观图. (2)求该直观图的面积。 例4、画水平放置的边长为2cm的正方形的直观图． ’
高三数学测试题—多面体和旋转体（11） 一、选择题（本题每小题5分，共60分） 1．三棱锥的三个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影一定是底面三角形的 （ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 2．正三棱锥S —ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，体积为V ，A ′、B ′、C ′分别是SA 、 SB 、SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 4 1 ,31,21='='='，则三棱锥S —A ′B ′C ′的体 积为 （ ） A ．V 9 1 B ．V 12 1 C ．V 24 1 D ．V 72 1 3．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 4．把边长为4和2的一个矩形绕其一边卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为 （ ） A ．16π B ．8π C ．16π或8π D ．16π或32π 5．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，则棱台的侧面积为（ ） A ．64 B ．68 C ．34 D ．38 6．圆台上、下底面边长分别为1和7，作与两底平行的截面，且截面与上、下两底距离之比 为1∶2，则截面的面积为 （ ） A ．π3 7 B ．π73 C ． π9 64 D ．π3 8 7．圆锥的顶角为120°，高为a ，用过顶点的截面去截圆锥，则截面的最大面积为（ ） A ．a 2 B ．2a 2 C ．2 3a D ．4a 2 8．若四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA=a ，PB=PD=a 2，则在它的 五个面中，互相垂直的面共有 （ ）
多面体与旋转体 考试内容： 棱柱(包括平行六面体).棱锥.棱台.多面体. 圆柱.圆锥.圆台.球.球冠.旋转体. 体积的概念与体积公理.棱柱、圆柱的体积.棱锥、圆锥的体积.棱台、圆台的体积.球和球缺的体积. 考试要求： (1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质. (2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的面积、球缺的体积公式(球缺体积公式不要求记忆)，并能运用这些公式进行计算. (3)了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图. (4)对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题. 一、选择题 1. (85(1)3分)如果正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，那么四面体A'－ABD 的体积是 A.2 a 3 B.4a 3 C.3a 3 D.6a 3 2. (89(3)3分)如果圆锥的底半径为2，高为2，那么它的侧面积是 A.43π B.22π C.23π D.42π 3. (89(8)3分)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于 球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 A.4 B.3 C.2 D.5 4. (90(3)3分)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 A.2S S B.πS 2S C.4 S S D.πS 4S 5. (90上海)设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别为a ，b ，c ，那么这个长方体的对角线长为 A.222222 222 2 22c b a 2 1 D. )c b (a 3 1C. )c b (a 2 1B. c b a ++++++++ 6. (90广东)一个圆台的母线长是上下底面半径的等差中项，且侧面积为8πcm 2,那么母线长是 A.4cm B.22cm C.2cm D.2cm 7. (91上海)设长方体对角线的长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是 A.27 332 B.82 C.83 D.163 8. (91上海)设正方体的全面积为24cm 2,一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是 A.6πcm 3 B.34πcm 3 C.38πcm 3 D.332 πcm 3 9. (91三南)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 A.63 B.23 C.33 D.2 10. (91三南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面积分别为S 、S ′、S",那么它们的大小关系是 A.S ＜S ′＜S" B.S ＜S"＜S ′ C.S ′＜S"＜S D.S ′＜S ＜S" C D A B D' A' B' C'
第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是（） A 三棱柱四棱台球圆锥 B 三棱柱四棱台正方体圆台 C 三棱柱四棱台正方体六棱锥 D 圆锥圆台球半球 2、下列说法正确的是（） A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥 B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台 C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是（） A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 4、下列说法错误的是（） A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有12条棱的是（） A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱 6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个 二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点， 有—————————个棱。 8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为———————————— 9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。 图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示右面，“程”表示下面。 则“祝”“你”“前”分别表示正方体的————— 祝 你前程 似锦
多面体与旋转体 一、棱柱 1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。 2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由 这些面围成的多面体叫做棱柱。棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。 棱柱的基本性质： （1） 棱柱的侧面都是平行四边形。 （2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。 3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 性质： （1） 直棱柱侧面都是矩形。 （2） 直棱柱侧棱与高相等。 （3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。 4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。 底面是矩形的直棱柱是长方体。 长方体的对角线平方等于三边长的平方和。 5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截 面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 6、 h V S =?棱柱底. 二、棱锥 1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 棱锥的基本性质： 如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形； （3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。
多面体与旋转体部分会考练习题 一、选择题 1、四棱柱成为长方体的一个充分必要条件是：它的（ ） A 、底面是矩形 B 、侧面是正方形 C 、侧面和底面都是矩形 D 、侧面和底面都是正方形 2、长方体共顶点的三个面的面积分别是22 cm ，62 cm 和92 cm ，那么这个长方体的体积为（ ） A 、632cm B 、362cm C 、72cm D 、82 cm 3、对角线长d 为的正方体的棱长为（ ） A 、 d 3 1 B 、d 3 C 、 ( ) d 13- D 、 d 3 3 4、长方体的12条棱的总长度为56m ，表面积为1122 m ，那么长方体的对角线长为（ ） A 、m 143 B 、m 67 C 、m 212 D 、m 9 5、如果直棱柱的底面是菱形，柱高9cm ，它的两条对角线分别与底面成0 60角和0 45角，那么这个棱柱的体积是（ ） A 、 323243cm B 、33243cm C 、3 2 3729cm D 、33729cm 6、在斜三棱柱中，各棱长都是a ,且有一组共顶点的三条棱两两夹角相等，那么这个 棱柱的全面积是（ ） A 、 2 2 33a B 、232a C 、( ) 213a + D 、2 1233a ??? ? ??+ 7、已知正六棱柱底面的边长和柱高都等于a ，那么最大对角截面的面积是（ ） A 、2 2a B 、23a C 、232a D 、22 3a 8、三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，各侧棱与底面所成的角彼此相等，那么顶点在 底面的射影是底面三角形的（ ） A 、垂心但不是内心 B 、内心但不是垂心 C 、外心但不是重心 D 、垂心又是重心 9、三棱锥P-ABC 的侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=3，PC=6，那么∠ABC=（ ） A 、0 30 B 、0 60 C 、0 45 D 、0 75 10、如果正三棱锥的侧棱长为2a ，底面周长为9a ，那么这棱锥的高为（ ） A 、 a B 、2a C 、 a 23 D 、a 2 3 11、已知三棱锥各侧面与底面所成二面角彼此相等，那么顶点在底面上的射影，一定 是底面三角形的（ ） A 、 内心 B 、外心 C 、垂心 D 、重心 12、一个棱锥被平行于底面的平面截成两部分，截面的面积恰好是棱锥底面面积的一 半，那么截得的两部分的体积比为（ ） A 、 21 B 、4 1 C 、22 D 、42 13、正四棱锥底面边长为a ，侧棱长也是a ，那么过两相对侧棱的截面的面积是（ ） A 、 223a B 、2a C 、22 1 a D 、231a 14、平行六面体的各棱长都等于4，在共顶点A 的三条棱上分别取点P 、Q 、R ，使 AP=1，AQ=2，AR=3，那么，三棱锥A —PQR 的体积与平行六面体的体积比为（ ） A 、与顶点A 的选择无关，都等于 321 B 、 与顶点A 的选择无关，都等于64 1 C 、 与顶点A 的选择有关，等于321 或641 D 、与顶点A 的选择有关，等于161或32 1 15、如果棱锥的底面积为4，那么该棱锥的中截面的面积是（ ） A 、 1 B 、2 C 、2 D 、3 16、正四棱台上下底面边长分别为a 和2a ，斜高为a ，那么台高等于（ ） A 、a B 、 a 23 C 、a 22 D 、a 4 3
.教学内容: 1. 主要内容：多面体和旋转体 2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位 置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中 出现。解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形 式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清 楚，计算准确。 【典型例题】 例 1.三棱锥 P —ABC ，PA =a , AB =AC =2a , N PAB =NPBC =ZBAC =60°，求这个 三棱锥的体积。 分析：由题设 ZPAB /PAC =60 .P 在平面ABC 上的射影O 必在.BAC 的平分线上 又.BAC =60，AB =AC ，可知., 在 Rt. PAE 中，.PAE =60 , PA =a 6 在 Rt.POE 中，PO = .PE 2_OE 2 -a 3 PO 解法二：(利用等积转换法解)在厶 PAB 中 PA 二a , AB =2a , . PAB =60 .PB 2 =a 2 (2a)2 -2 a (2a)cos60'=3a 2 ..PA 是直角三角形， PA_PB ，同理可证PA_PC ,又PB PC=P .PA_平面 PBC 在 PBC 中，PB = PC =、,3a ，BC=2a ,P B C = ■- 2a 解法三：（用分割求积法解） 由解法二知，PB =PC =：j 3a , D 是BC 中点，连结PD .「TC_PD ，BC_AD ，PD AD =D .BC_平面 PAD 例2.如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，用一平面去截它，得截面 M2B 2C 2，且AA 2=m ， BB 2 =h 2，CC 2 =h 3,若UEC 的面积为S ，求证： 1 介于截面与下底面之间的几何体体积 V S （h 1 h 2 h 3）。 3 -V P _ABC 二V A _PBC Js PBC PA - 3 ' 3 a 3 - V P ABC =V B -PAD 'V C -PAD = 2V B -PAD BD a 3 解法四：（用补形求积法解）延长 的 正四面体 AP 到Q ，使PQ=a ，连结QB 、QC ，可得一个棱长为 2a V P ABC _ 1 V Q ABC 2 、、2 (2a) 3 — a 3 PE a AE , OE 二 AE tg30 AD 占据着空 间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑 这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空 间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着 不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧! 二、探索新知 探究1：多面体的相关概念 新知1：由若干个平面围成的几何体几何体叫做多面体.围成每个多面体的多边形叫做多面体 教师给出题 目，学生分组回 答。 教师提问， 学生回答问题， 教师总结。 教师给出题 目，学生分组回 答。 掌握定义，培 养学合作意识。 在探究中学 习知识，符合现代 教学理念。 在探究中学 习知识，符合现代 教学理念。 的面，如面ABCD ； 两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ；棱和棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A .连结不在同一平面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线， 具体如下图所示： 探究2：旋转体的相关概念 面 顶点 棱 A B ' C ' D 'A ' C B 新知2： 由一条平面曲线绕一条定直线旋转所形成的曲面叫旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.这条曲线叫做旋转体的母线。如下图的旋转体: 四、课堂小结 1、多面体的概念及有关知识 2、旋转体的概念及有关知识 板书设计1、多面体：面、棱、顶点、对角线； 2、旋转体：旋转面、轴、母线 作业设计手工制作：本节课课本上出现的几何体或自由制作。 要求： 1：每人至少一个，可以合作完成，最好不重复。 2：模型大小：拿在手中，站在讲台上，所有同学都能看清。 （学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报） 空间几何体习题 一、选择题 1． 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A ． 324R B ． 38R C ． 324R D ． 38 R 2． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ） Ａ． 2 8cm π Ｂ． 2 12cm π Ｃ． 2 16cm π Ｄ． 220cm π 3． 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3， 圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A ． 7 Ｂ． 6 Ｃ． 5 Ｄ． 3 4．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．2 79cm 2 B ．79cm 2 C ． 3 23cm 2 D ．32cm 2 5．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )． 主视图 左视图 俯视图 A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 6．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 7．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 8．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶3 9．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． 10.图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 11.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=( ) A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 12.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 13.一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 高三数学多面体与旋转体练习题 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为236 ，，，这个长方体对角线的长是（） A. 23 B. 32 C. 6 D. 6 2. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，则此棱锥的体积为（） A. 63 B. 23 C. 3 D. 2 3. 圆锥轴截面顶角为α，那么它的侧面展开图扇形的圆心角为（） A. πα sin B. 2πα sin C. π α sin 2 D. 2 2 π α sin 4. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积等于上、下底面积的和，那么该圆台的高为（） A. 3 4 B. 4 3 C. 4 3 π D. 3 4 5. 将一张圆形纸片沿其两条半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角的比为1:2，再将这两个扇形卷成两个圆锥筒（不计损耗和接缝用料），那么这两个圆锥筒的容积之比为 （） A. 10 10 B. 40 5 C. 2 2 D. 1 2 6. 设O是矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为轴旋转这个矩形所得圆柱的体积 为V，其中以OA为母线的圆锥的体积为V 4 ，则以OB为母线的圆锥的体积等于（） A. V 4 B. V 9 C. V 12 D. V 15 B C O A D 7. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比为（ ） A. 223π B. 3π C. 32π D. 23 π 8. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2183cm D. 3123cm 9. 已知长方体的对角线长为2cm ，则长方体全面积的最大值是（ ） A. 82cm B. 42cm C. 222cm D. 22cm 10. 球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的 14，若经过这三点的小圆面积为2π，则该球的体积为（ ） A. 3π B. 43π C. 83π D. 32 π 11. 把边长为1的正方形ABCD 沿其对角线AC 折起，使二面角B AC D ——为60?，那么三棱锥D ABC —的体积为（ ） A. 6 B. 63 C. 68 D. 624 12. 母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角?等于（ ） A. 263π B. 2π C. 233 π D. 223π 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13. 正四棱锥底面边长为3，体积为932，则它的侧面与底面所成角的大小为_______。 14. 半径为10cm 的球内有二个平行截面，其面积分别为366422ππcm cm 和，那么这 立体几何测试题 （多面体与旋转体） 1、一个四棱柱是长方体的充要条件是（ ） A 、底面是矩形 B 、侧面是正方形 C 、侧面和底面都是矩形 D 、侧面和底面都是正方形 2、长方体共顶点的三个面的面积分别是22cm ，62cm 和92cm ， 那么这个长方体的体积为（ ） A 、633cm B 、363cm C 、73cm D 、83cm 3、对角线长为d 的正方体的棱长为（ ） A 、d 3 1 B 、d 3 C 、d )13(- D 、 d 3 3 4、长方体的12条棱的总长度为56m ，表面积为1122m ，那么长方体的对角线长为（ ） A 、143m B 、67m C 、212m D 、9m 5、如果直棱柱的底面是菱形，它的高是9cm ，它的两条对角线分别与底面成o 60角和o 45角，那么这个棱柱的体积是（ ） A 、 3 2 3243cm B 、33243cm C 、323729cm D 、33729cm 6、在斜三棱柱中，各棱长都是a ，且有一组共顶点的三条棱两两夹角都等于60°，那么这个棱柱的全面积是（ ） A 、 2233a B 、232a C 、2)13(a + D 、2)12 3 3(a + 7、已知正六棱柱底面的边长和高都等于a ，那么最大对角 截面的面积是（ ） A 、22a B 、23a C 、232a D 、22 3 a 8、三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，各侧棱与底面所成 的角彼此相等，那么顶点在底面的射影是底面三角形的 （ ） A 、垂心但不是内心 B 、内心但不是垂心 C 、外心但不是重心 D 、垂心又是重心 9、三棱锥P-ABC 的侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=3，PC=6，那么∠ABC=（ ） A 、o 30 B 、o 60 C 、o 45 D 、o 75 10、如果正三棱锥的侧棱长为2a ，底面周长为9a ，那么这个棱锥的高为（ ） A 、 a B 、2a C 、 a 2 3 D 、a 23 11、已知三棱锥各侧面与底面所成二面角彼此相等，那么 多面体与旋转体 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） （1）三条侧棱两两互相垂直，且侧棱与底面所成的角都相等是棱锥为正棱锥的（） （A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件 （C）充要条件（D）非充分非必要条件 （2）下列各图都是正方体，M、N、P、Q分别都是它们所在棱的中点，则M、N、P、Q 四点共面的是（） （A）（B）（C）（D） （3）正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为，则它的体积是（） （A）（B）（C）（D） （4）正三棱台的上、下底面边长及高，分别为1、2、2，则它的斜高是（） （A）（B）（C）（D） （5）正四棱台上、下底面边长分别为1，3，高为4，则侧棱与底面所成的角的正切值是（） （A）（B）2（C）2（D）4 （6）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（） （A）1∶2∶3（B）1∶7∶19（C）3∶4∶5（D）1∶9∶27 （7）等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们表面积的大小关系是（） （A）（B） （C）（D） （8）已知圆锥的母线长为8，底面积周长为，则它的体积是（） （A）（B）（C）（D） （9）若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积是 （A）27/4（B）9/4（C）27/4（D）9/4 （10）圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为 （A）1（B）2 （C）（D）2 （11）如果圆锥的侧面积是全面积的3/4，则这个圆锥的侧面积展开图的中心角等于（A）Л/2（B）2Л/3（C）Л（D）3Л/2 （12）三棱台的两底面对应边的比为1：2，过上底一边作平面平行于这边所对的侧棱，则这过平面截三棱台所成的两个几何体的体积之比是 （A）1/2（B）2/3 （C）4/5（D）4/3 二、填空题 （13）正棱锥的一个侧面与底面所成的角是，底面积是Q，则它的侧面积__________ （14）截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数等于 . （15）三棱柱的体积是V，D、E分别在、上，线段DE经过矩形的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是 （16）已知母线长为10，底面半径为5的圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，则球的体积是 （17）P、Q是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离是，则过P、Q的平面中，与球心的最大距离是 三、解答题： 立体几何“多面体和旋转体”检查题 一、选择题 （1）三条侧棱两两互相垂直，且侧棱与底面所成的角都相等是棱锥为正棱锥的（） （A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件 （C）充要条件（D）非充分非必要条件 （2）下列各图都是正方体，M、N、P、Q分别都是它们所在棱的中点，则M、N、P、Q四点共面的是（） （A）（B）（C）（D） （3）正四棱锥每两条相邻侧棱所成的角都是，侧棱长为，则它的体积是（） （A）（B）（C）（D） （4）正三棱台的上、下底面边长及高，分别为1、2、2，则它的斜高是（） （A）（B）（C）（D） （5）正四棱台上、下底面边长分别为1，3，高为4，则侧棱与底面所成的角的正切值是（） （A）（B）2（C）2（D）4 （6）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（） （A）1∶2∶3（B）1∶7∶19 （C）3∶4∶5（D）1∶9∶27 （7）等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们表面积的大小关系是（） （A）（B） （C）（D） （8）已知圆锥的母线长为8，底面积周长为，则它的体积是（） （A）（B）（C）（D） 二、（每小题4分，共20分）填空题 （1）正棱锥的一个侧面与底面所成的角是，底面积是Q，则它的侧面积 （2）轴截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数等于 （3）直三棱柱的体积是V，D、E分别在、上，线段DE经过矩形的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是 （4）已知母线长为10，底面半径为5的圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，则球的体积是 （5）P、Q是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离是，则过P、Q的平面中，与球心的最大距离是 三、求棱长为的正方体的一个顶点A到平面的距离。 四、棱锥的底面是边长分别为2和8的矩形，它的高通过矩形的对角线交点，侧面积为72，求棱锥的体积。 五、圆锥的底面半径为R，高为H，一正方体的一个面在圆锥的底面内，它所对的面的四个顶点都在圆锥的侧面上，求正方体的棱长。 六、圆锥的母线长是它的高的2倍，过顶点最大的截面交底面得一条弦，底面圆心到弦的距离为2，求圆锥的体积。 参考答案 一、（1）A（2）C （3）A（4）D （5）C（6）B（7）A（8）C 多面体旋转体中的面积和体积的计算 1.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S ： 2S ＝ A . 1:1. B . ２:１. C . 3:2. D . 4:1. 12.在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ,1CC 均垂直的棱有（ )条. .A 1. .B 2. .C 3． .D 4. ３.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15，则此圆锥的体积为_＿___＿____（结果保留π). 4.一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π,则该圆锥的侧面积为_＿___＿＿________． 5.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这 个圆锥的母线长为________＿__＿_cm ． 6.已知圆1O 是球O 的小圆，若圆1O 的半径为32cm ，球心O 到圆1O 所在平面的距离为 32cm,则球O 的表面积为_＿____＿_＿_cm 2 . ７.将边长为2的正方形沿对角线AC 折起,以A ，B ,C ,D 为顶点的三棱锥的体积最大值 等于____＿_＿__＿＿＿_. 8.用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器 ,已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为045， 容器的高为10cm,制作该容器需要＿_＿____ ｃm 2的铁皮 9．某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面ABCD 是矩形,16=AB 米,4=AD 米,腰梁AE 、BF 、CF 、DE 分别与相交的底梁所成角均为 60. (１)求腰梁BF 与DE 所成角的大小; (２)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可 储存多少立方米粮食? 10.如图,已知111ABC A B C -是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是2. (1)求异面直线1A C 与11B C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示); cm 10045题 第)6( 多面体与旋转体练习题 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为236 ，，，这个长方体对角线的长是（） A. 23 B. 32 C. 6 D. 6 2. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，则此棱锥的体积为（） A. 63 B. 23 C. 3 D. 2 3. 圆锥轴截面顶角为α，那么它的侧面展开图扇形的圆心角为（） A. πα sin B. 2πα sin C. π α sin 2 D. 2 2 π α sin 4. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积等于上、下底面积的和，那么该圆台的高为（） A. 3 4 B. 4 3 C. 4 3 π D. 3 4 5. 将一张圆形纸片沿其两条半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角的比为1:2，再将这两个扇形卷成两个圆锥筒（不计损耗和接缝用料），那么这两个圆锥筒的容积之比为 （） A. 10 10 B. 40 5 C. 2 2 D. 1 2 6. 设O是矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为轴旋转这个矩形所得圆柱 的体积为V，其中以OA为母线的圆锥的体积为V 4 ，则以OB为母线的圆锥的体 积等于（） A. V 4 B. V 9 C. V 12 D. V 15 B C O A D 7. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比为（） A. 223π B. 3π C. 32π D. 23 π 8. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2183cm D. 3123cm 9. 已知长方体的对角线长为2cm ，则长方体全面积的最大值是（ ） A. 82cm B. 42cm C. 222cm D. 22cm 10. 球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的 14，若经过这三点的小圆面积为2π，则该球的体积为（ ） A. 3π B. 43π C. 83π D. 32 π 11. 把边长为1的正方形ABCD 沿其对角线AC 折起，使二面角B AC D ——为60?，那么三棱锥D ABC —的体积为（ ） A. 6 B. 63 C. 68 D. 624 12. 母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角?等于（ ） A. 263π B. 2π C. 233 π D. 223π 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13. 正四棱锥底面边长为3，体积为932 ，则它的侧面与底面所成角的大小为_______。 14. 半径为10cm 的球内有二个平行截面，其面积分别为366422ππcm cm 和，那么这两个平行截面之间的距离为____________。 15. 把一个大金属球表面涂漆，共需油漆24.kg 。若把这个大金属球熔化，制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆_________kg 。 16. 圆台的母线与底面成45?角，侧面积为32π，则它的轴截面面积为___________。 三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分12分） 如图，S —ABCD 是正四棱锥，高SO =26，相邻两侧面所成角为α，且tg α2233 =，求 （I ）侧棱与底面所成角的大小； 多面体和旋转体 1、 下列命题中正确的命题序号为 ①棱长都相等的直四棱柱是正方体 ②侧面是全等的等边三角形的四棱锥是正四棱锥 ③侧棱两两垂直且侧棱长相等的三棱锥是争三棱锥 ④有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 ⑤侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 ⑥直平行六面体是长方体 2、 若正三棱锥的底面边长为3，且各侧棱与底面所成角为?60，则此棱锥的体积为 侧面积为 3、 四棱锥ABCD P -的底面是矩形，AP 垂直于底面，且3,4,1===BC AB AP ，则点P 到BD 的距离为 4、 正四棱柱的对角线和侧面所成角为?30，底面边长为a ，则其体积为 5、 若正四棱锥的侧面积为3412，底面边长为6，则棱锥的高为 6、 棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，Q P ,是1CC 上两动点，且1=PQ ，则三棱 锥AQD P -的体积为 7、 一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积和底面面积之比为3：4，则棱锥被截面所截得的上下两部分的体积之比为 8、 设P 是边长为a 的正三角形ABC 内的任意一点，由PAC PBC PAB ABC S S S S ????++=可 得P 到三角形三边的距离之和为a 23 ；类似地，在空间中，P 是边长为b 的正四面体 BCD A -内的任意一点，由 可得P 到四面体四个面的距离之和为 9、 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥母线与底面所成角为 ；若其全面积为272cm π，圆锥体积为 10、 斜边长为6的等腰直角三角形（及其内部）绕斜边所在直线旋转一周，形成一个几何体，该几何体的体积为 11、 一个半径为1的球嵌在一个圆锥体内，且与该圆锥的侧面以及底部半径为2的大圆面均相切，则圆锥的侧面积为 12、 地球半径为R ，在北纬?45圈上有两点A 、B ，A 点的经度为东经?115，B 点的经度为东经?25，则A 、B 两地的球面距离为 第十章 多面体与旋转体 考试内容： 棱柱(包括平行六面体).棱锥.棱台.多面体. 圆柱.圆锥.圆台.球.球冠.旋转体. 体积的概念与体积公理.棱柱、圆柱的体积.棱锥、圆锥的体积.棱台、圆台的体积.球和球缺的体积. 考试要求： (1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质. (2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的面积、球缺的体积公式(球缺体积公式不要求记忆)，并能运用这些公式进行计算. (3)了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图. (4)对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题. 一、选择题 1. (85(1)3分)如果正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，那么四面体A'－ABD 的体积是 2. A.2 a 3 B.4a 3 C.3a 3 D.6a 3 3. (89(3)3分)如果圆锥的底半径为2，高为2，那么它的侧面积是 4. A.43π B.22π C.23π D.42π 5. (89(8)3分)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于 球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 6. A.4 B.3 C.2 D.5 7. (90(3)3分)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 8. A.2S S B.πS 2S C.4 S S D.πS 4S 9. (90上海)设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别为a ，b ，c ，那么这个长方体的对角线长为 10. A. 222222 222 2 22c b a 2 1 D. )c b (a 3 1C. )c b (a 2 1B. c b a ++++++++ 11. (90广东)一个圆台的母线长是上下底面半径的等差中项，且侧面积 为8πcm 2 ,那么母线长是 12. A.4cm B.22cm C.2cm D.2cm 13. (91上海)设长方体对角线的长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是 14. A.27 3 32 B.82 C.83 D .163 15. (91上海)设正方体的全面积为24cm 2,一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是 16. A.6πcm 3 B.34πcm 3 C.3 8 πcm 3 D.332πcm 3 C D A B D' A' B' C' 空间几何体 【课时目标】熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体积与表面积计算． 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式． 2 一、选择题 1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S ，则它的侧面积是( ) A ．1 πS B ．πS C ．2πS D ．4πS 2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．12 B ．2 3 C ．1 D ．2 3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1 2，则该几何体的俯视图可以是( ) 4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为() A．280 B．292 C．360 D．372 5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为() A ．a 33 B ．a 34 C ．a 36 D ．a 312 6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π 3，则这个三棱柱的体积是( ) A ．96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．483 二、填空题 7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm 3． 9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm ． 三、解答题 10．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)． (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； 多面体与旋转体 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的 A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心 2、在斜棱柱的侧面中，矩形最多有 A、2个 B、3个 C、4个 D、6个 3、一个正三棱锥底面边长是6，侧棱长为，那么这个三棱锥的体积为 A、9 B、 C、7 D、 4、棱台上底面积为2，中截面面积为4，则其下底面面积为 5、若正棱台上、下底面与侧面积的比是4∶9∶10，则侧面与底面所成的角等于 A、300 B、450 C、600 D、不确定 6、圆台的高为12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则圆台体积为 B、C、D、以上都不对 7、圆锥轴截面顶角满足 B、C、D、 8、侧棱长为的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400，过A作截面AEF，则截面三角形AEF的最小周长是 A、B、6C、4D、 9、圆柱轴截面周长为定值，那么圆柱体积的最大值是 10、过球面上三点A、B、C的截面和球心距离等于球半径的一半，并且AB=BC=CA=2，则球面面积为 B、C、D、 11、地球上有甲、乙两个城市，甲在北纬300，东经830，乙在北纬300，西经970，这两个城市在纬度圈上的距离与它们在地球表面上的距离之比为 A、3∶2 B、∶4 C、4∶ D、2∶3 12、直角三角形的三边满足三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体体积记为，则 A、B、C、D、 二、填空题 13、圆柱的上底半径OA与下底半径垂直，若OA=1，AB与所成的角为300，则AB的长为__________。 14、圆柱底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短线的长度是_____________。 15、圆台侧面展开图扇环的中心角为1200，上底半径为2，母线长为上、下两底半径之和，则圆台的全面积为_______________。 16、正三棱台上、下底面边长分别为1cm和2cm，侧面和底面成600的二面角，则此棱台的侧面积为____________，体积为________________。 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为，侧棱与底面成600角。 （1）求棱台的侧面积；（2）求侧面与底面所成角的正弦值。 18、斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠C=900，BC=2，B1在底面的射影D为BC中点，侧棱与下底面所成角为600，侧面A1ABB1与侧面B1BCC1所成的角为300，求斜三棱柱的侧面积。 19、三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=在底面的射影为BC的中点M。 （1）求证：BC⊥平面A1AM；认识多面体与旋转体教案
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