《机械优化设计》讲义
第一讲
第一课时：机械优化设计概论
课程的研究对象：根据最优化原理和方法，利用计算机为计算工具，寻求最优设计参数的一种现代设计方法。
目标：本课程目标体系可以分为三大块：理论基础、算法的分析、理解和掌握，算法的设计、实现（编程）能力的培养。将主要是对算法的学习为主，并兼顾培养一定的解决实际问题能力、上机编程调试能力。
首先，几个概念：优化（或最优化原理、方法）、优化设计、机械（工程）优化设计。
现代的优化方法，研究某些数学上定义的问题的，利用计算机为计算工具的最优解。
优化理论本身是一种应用性很强的学科，而工程优化设计（特别是机械优化设计）由于采用计算机作为工具解决工程中的优化问题，可以归入计算机辅助设计(CAD)的研究范畴。
再，优化方法的发展：源头是数学的极值问题，但不是简单的极值问题，计算机算法和运算的引入是关键。
从理论与实践的关系方面，符合实践-理论-实践的过程。优化原理和方法的理论基础归根结底还是来源于实际生产生活当中，特别是工程、管理领域对最优方案的寻找，一旦发展为一种相对独立系统、成熟的理论基础，反过来可以指导工程、管理领域最优方案的寻找（理论本身也在实践应用中不断进步、完善）。
解决优化设计问题的一般步骤：
相关知识：数学方面：微积分、线性代数；计算机方面：编程语言、计算方法；专业领域方面：机械原理、力学等知识
内容：数学基础、一维到多维、无约束到有约束
1.1数学模型
三个基本概念：设计变量、目标函数、约束条件 设计变量：
相对于设计常量（如材料的机械性能）
在设计域中变量是否连续：连续变量、离散变量（齿轮的齿数，）。
设计问题的维数，表征了设计的自由度。每个设计问题的方案（设计点）为设计空间中的一个对应的点。
设计空间：二维（设计平面）、三维（设计空间）、更高维（超设计空间）。 目标函数：
设计变量的函数。 单目标、多目标函数。 等值面的概念：设计目标为常量时形成的曲面（等值线、等值面、超等值面）。几何意义：等值线（等值线的公共中心既是无约束极小点）、等值面。 约束条件：
等式约束（约数个数小于设计问题的维数） 不等式约束
满足约束条件的设计点的集合构成可行域D ：可行点、非可行点、边界设计点
几何意义（二维）：对于设计空间不满足不等式约束的部分，用阴影表示。 数学模型的一般形式：
寻找一个满足约束条件的设计点，使得目标函数值最小。
标准形式：n p v X h m u X g t s R X X f v u n
<===≥∈,,2,1,0)(,,2,1,0)(..),(min
1.2
优化问题的几何描述
第二章 数学基础和数值迭代法
2.1 函数的方向导数和梯度 一、 函数的方向导数
∑=??=??++??+??=??N
i i
i N
n x X f x X f x X f x X f S
X f 10
02201100cos )(cos )
(cos )(cos )()(θθθθ 二、函数的梯度
?
???
???
?
????? ?
???????=??=??∑=N n N i i
i x X f x X f x
X f x X f S X f θθθθcos cos cos )()()(cos )()(21211
令T
N N x X f x X f x X f x X f x X f x X f X f ???
?
????????=?
?????
?
??? ?
???????=?)()()
()()()()(2121
为函数在X 点的梯度，包含函数的一阶导数信息。
[
]f S f S f S f S f S
f T
?=???
????∴????=??=??max
),cos(
即梯度方向是函数变化率最大的方向。
2.2 函数的泰勒展开与黑塞矩阵 一、泰勒展开式
[]
)()()()()()()(*
**!21
***X X X H X X X X X f X f X f T T --+-?+=
其中黑塞（hessian ）矩阵:[]
??
??????
?
?????
??????????????????????????????=2
*22
*2
1
*22*2
22*2
1
2*21*
2
2
1*
2
2
1*2*
)()()()()
()()()()()(n n n n n x X f x x X f x x X f x x X f x X f x x X f x x X f x x X f x X f X H
包含函数的二阶导数信息。
2.3 凸集、凸函数、凸规划 一、凸集 ),
10(,2
1≤≤??∈?ααn
E X X D 有D ∈-+21)1(X X αα，则D 为凸集.
凸集的性质：1. 若D 为凸集，λ为实数，则λD 仍为凸集。（凸集的实数积为凸集）
2．若D 、φ均为凸集，则二者的并集（和）为凸集。（凸集的和为凸集）
3．若D 、φ均为凸集，则二者的交集（积）为凸集。（凸集的积为凸集）
二、凸函数
E n
的子集D 为凸集，f 为D 上的函数，),
10(,2
1≤≤??∈?ααn E X X D 恒有
)()1()())1((2
121X f X f X X f ααα-+≤-+，则f 为D 上的凸函数。反之为凹函数。
凸函数的性质：
1. 设f 为D 上的凸函数，λ为实数，则λf 为D 上的凸函数。
2. 设f 1，f 2为D 上的凸函数,则f= f 1+f 2为D 上的凸函数。
3. 若f 在E n 一阶可微，则对2121,,X X E X X n
≠∈，f 为凸函数的充要条件：
)()()()(1
2112X X X f X f X f T -?+≥
4. 若f 在E n
二阶可微，则对n E X ?∈D
，f 为凸函数的充要条件：黑塞矩
阵半正定（若正定，严格凸函数）。
三、凸规划
m u X g t s R X X f u n
,,2,1,0)(..),(min
=≤∈其中目标函数、不等式约束均为凸函数，则称该问题为凸规划。 凸规划的性质：
1． 集合)}()(|{0
X f X f X ≤=?为凸集。 2． 可行域为凸集。 3． 任何局部最优解即为全域最优解。
4． 若目标函数可微，则最优解的充要条件：0)()(**≥-?X X X f T
2.4 无约束优化的极值条件
1．一阶导数（梯度）为零。
2．二阶导数（黑塞矩阵）正定（极小点），或负定（极大点）。
2.5 有约束优化的极值条件(Kuhn-Tucker 条件)
对优化问题n
p v X h m u X g t s R X X f v u n
<===≤∈,,2,1,0)(,,2,1,0)(..),(min
库恩-塔克条件描述为
0,),)()(()(1
1
***≥?+?-=?∑∑==v u q u j v v v u u X h X g X f λλλλ
，
即约束极小点存在的必要条件是：目标函数在该点的梯度可表示为诸约束面梯度的线性组合的负值。从几何
意义上来说，即约束极小点目标函数梯度向量的反方向必须落在诸约束面所构成的锥角范围之内。
对于凸规划问题，K-T 条件是充要条件。
只能作为验证条件，但到底是局部最优点还是全域最优点尚不能确定。
2.6 优化问题的数值迭代法
1．迭代过程 k
k k
k S X X α+=+1 (k=0,1,2,…) 迭代的基本思想：搜索、迭代、逼近。 2．迭代终止条件：
点距准则：ε≤-+k
k X X 1
函数值下降准则：ε≤-+)()(1k
k X f X f 梯度准则：ε≤?)(k
X f
第三章 一维搜索的优化方法
一维优化是多维优化的基础。包含两个步骤 1．确定搜索区间（进退法）
2．寻优（黄金分割法、二次差值法）
3.1 进退法——一维搜索区间的确定
基本思想：对单峰函数（凸函数）f(x)，只要找到可行域内三个点a 算法流程： 3.2 一维优化方法——黄金分割法 一维搜索的基本思想：在确定了搜索区间的前提下，不断缩小搜索区间，直到区间的宽度小于预定的精度。 黄金分割法的基本思想： 黄金分割点的计算：λλλ:)(:-=L L 算法流程： 3.3一维优化方法——二次插值法 首先，10分钟回顾上次课的内容，并讲解作业：进退法、黄金分割法概要、103页作业（程序演示） 30分钟： 基本思路：类似于二次曲线拟合。以搜索区间三个点构造一个二次曲线（抛物线），并以该二次曲线的极值点替代目标函数的最优点，若不满足迭代中止条件，缩短搜索区间，反复迭代，直到相近两次二次曲线极值满足精度要求（点距准则）。 3.3.1 基本原理 搜索区间[a 1，a 3 ]及其中间某一点（a 2 ）这三个点构造一个二次曲线。这三个点构成 一个三元线性方程组,可求得该二次曲线极值点a* p 作为a 4 。 其中a* p = 0.5(a 1 +a 3 -C 1 /C 2 ) C 1 = (f 3 -f 1 )/(a 3 -a 1 ) C 2 = [(f 2 -f 1 )/(a 2 -a 1 )-C 1 ]/(a 2 -a 1 ) 若a 2与a 4 之间趋于重合，则迭代结束；否则比较这四点的函数值，并在其中选择三 点，满足函数值“先递增再递减”的趋势，构成新的a1、a2、a3。开始新一轮迭代。 3.3.2 迭代过程和算法流程 例题 第四章 （多维）无约束优化方法 概述：工程优化问题通常都是多维有约束优化问题，但需从一维无约束问题到多维无约 束优化问题再到多维约束优化问题的由简单到复杂的循序渐进的学习研究过程。 无约束优化问题数学模型：n R X X f ∈ ),(min 分类，从是否利用目标函数的导数信息，分直接法和间接法 4.1 坐标轮换法 4.1.1 坐标轮换法基本原理 将多维无约束优化问题分解、转化为一系列一维优化问题，轮换沿各个坐标轴一维搜索，直到求得最优点。 在每次迭代内部，要依次沿各坐标轴进行N 次（N 为优化问题的维数）一维搜索。这种一维搜索是固定其它N-1维变量，视为常量，然后进行一维搜索，),,2,1(,1N j e X X j k j k j k j =+=-α，对于第k 轮迭代，须重复N 次该式的一维搜索，搜索的参数为a j k （即要优化的参数是a j k ），为相对第j 维变量的搜索步长，搜索方向为第j 维 空间坐标的方向。当k 轮迭代结束后，本轮搜索的重点作为下一轮的起点，即k N k X X =+10，然后投入下一轮迭代。 4.1.2 该方法特点 不考虑目标函数本身的变化情况（函数特点），简单、效率低、收敛速度慢。 4.2 共轭方向法 4.2.1 共轭方向 对于N 维正定二次函数[]c X b X A X X f T T ++= 2 1)( (当N=2，为同心椭圆族)，[H] 为函数f 的黑塞矩阵(正定对称阵)。若存在两个方向向量1S ，2S ，满足[]021=S H S T ，则 称1S 与2S 为共轭方向。 如何构造共轭方向（二维）？对于某两点2010,X X ，沿方向1S （12010,S X X -不平行）一维搜索得到两个最优点21,X X ，构成方向122X X S -=，则可以证明1S 与2S 为共轭方 向，即[]021=S H S T （对于二维问题，可以简单证明） 当然，这个结论可以从2维推广到N 维。同样，说明对于N 维函数，有N 个共轭方向。对于二次函数，只要经过N 个一维搜索即可到达最优点（即N 维空间内完成一轮迭代）。对于大于二次的函数，则可能需要将上一轮迭代的终点作为新一轮迭代的起点。在构造迭代方程式时，可以用二次泰勒展开式来近似目标函数的等值面。 第二课时： 4.2.2 共轭方向法基本原理 第一轮迭代与坐标轮换法相同。将起点和N 次一维搜索的末点组成一个新的方向，沿这个方向一维搜索，得到本轮迭代的终点。 从第二轮起，舍去前一轮的第一个一维搜索方向，将前一轮的后N 个一维搜索方向作为本轮迭代的前N 个方向，这N 个方向的一维搜索终点与本轮搜索的起点构成第N+1个一维搜索方向，沿这个方向做一维搜索，得到本轮搜索的终点。 若不满足精度要求，则重复迭代。 4.2.3 共轭方向法的特点 收敛速度比坐标轮换法有明显的提高，但前提是每次迭代所产生的新的方向与原来的N-1个方向之间要保持线性无关，若这些方向之间线性相关，则降低了搜索空间的维数，导致不能完全穷尽对设计空间每个方向的搜索，从而不能收敛于真正的最优解。 上机调试内容：2122 1221)1()(*100),(x x x x x f -+-= 4.3 鲍威尔法 4.3.1 鲍威尔法基本原理 共轭方向法的前提是每一轮迭代中新生成的第N+1个方向（共轭方向）与其它方向线性无关，如果出现线性相关，则导致算法不能正确收敛。鲍威尔为了解决该问题，加入了对共轭方向的判断，如果线性无关则采用该方向，但并不是机械的替换上一轮第一个方向，而是替换函数值下降最多的方向；如果相关，则还是用上一轮迭代的方向。 对于共轭方向法的判别准则。 ??? -? 13)(5.0))(2(f f f f f f f f f k m k m （4-2） 其中： f 1 ——本轮迭代起点函数值 f 2 ——本轮迭代终点函数值 f 3 ——映射点函数值 Δ k m ——函数值下降最大的一步一维搜索 )()(},,2,1),()(max{11k m k m k i k i k m X f X f N i X f X f -==-=?-- 若满足公式（4-2）则去掉第m 个方向，下一轮的m 到N 方向采用本轮次第m+1到N+1个方向；若不满足，则本轮迭代结束，以本轮终点为下一轮起点，仍采用本轮的N 个方向进行迭代。 4.3.2 迭代步骤 （1）给定初始点和计算精度。 （2）置k=1，取N 个坐标轴的单位向量为搜索方向i k i e S ←（i=0,1,…,N-1），,00X X k ← （3）从k X 0 出发，沿k i S 一维搜索，得到N 个极小点k i X （i=1,2,…,N ）,找到函数值下降最 快的一次一维搜索的函数下降值和方向，记作Δk m ，k m S （4）计算反射点k k N k N X X X 012 -←+，计算f 1，f 2，f 3。 （5）若满足（4-2）式，构造本轮迭代第N+1个方向k k N k N X X S 0 -←，由N 次一维搜索的 终点沿k N S 一维搜索得到本轮迭代终点，作为下一轮迭代（k+1轮）起点；去掉k m S 方向，将k N S 作为下一轮迭代的第N 个方向。 否则，保留前N 个搜索方向到下一轮迭代，取min(f 2，f 3)对应的点作为下一轮起点。 （6）若满足迭代终止条件 1010210010)() ()(εε<-?<-+++k k k k k X X X f X f X f ，终止迭代，输出优化结果，否则k k+1,返回（3）。 4.3.3 算法流程 （见下页） 共轭方向法习题课： 用共轭方向法和鲍威尔法求解优化问题221221)()5(10)(min x x x x X f -+-+= ，初始点[0,0]T ,精度ε=0.01。 解：共轭方向法： 鲍威尔法： 4.4 梯度法（最速下降法） 4.4.1 梯度法基本原理 无约束优化的直接法（坐标轮换法和共轭方向法、鲍威尔法）没有考虑无约束优化最优解存在的必要条件（梯度为零），使用这一条件，可以设计出更为高效的算法，所谓间接法（梯度法、牛顿法、变尺度法）。 梯度方向是函数值变化最快的方向，那么负梯度方向便是函数值下降最快的方向。从这一点受启发，可以使迭代方向沿梯度方向进行一维搜索来再多维空间寻优。即搜索方 向为梯度方向：)(k k X f S -?=，或)()(k k X f X f k S ??-=，则迭代公式为)() (1k k X f X f k k k X X ??+-=α。 4.4.2 梯度法的特点 前提是梯度存在。 优点是算法简单。 相邻两次迭代的搜索方向垂直。即0)()(1=??+k T k X f X f 证明：)(1k k k k X f X X ?-=+α，即k 轮迭代经过一次一维搜索由k 点到达k+1点，那么 )) ((min k k k X f X f ?-α，对于一维优化有 =??k f α，所以 0)()() ( 1))((1=??=+??-???+k T k X f X T X f X f X f k k k k k αα 可见，相邻两轮迭代的搜索方向并不一致，为相互垂直的锯齿形过程。剃度法对于迭代出发点目标函数等值面偏心率为零时很有效，但对于有偏心的其效率就低了，随偏心率的增加，迭代终止的难度也在增加。可见这种搜索在接近目标时的收敛是比较慢（缺点）的，效率也就不会高了。剃度法一般并不作为工程中实际应用的方法，常用于其他方法的初始迭代（类似于坐标轮换法）。 4.5 牛顿法 4.5.1 牛顿法基本原理 类似二次插值法，将目标函数在某一点附近二阶泰勒展开，用这个二次函数的最优点近似目标函数的最优点；若不满足精度要求，在上一轮得到的最优点最为本轮起点，再次用上述方法求最优点；直到满足精度要求。 4.5.2 牛顿法迭代公式 目 标函数在的二次展开 [] )()()()()()()()(* **!21 ***X X X H X X X X X f X f X X f T T --+-?+=≈φ， 求近似目标函数的最优解，即0)(=?X φ，有[] 0)()()(***=-+?X X X H X f 即 [] )()(*1**X f X H X X ?-=-，所以牛顿法迭代公式为[] )()(1 1k k k k X f X H X X ?-=-+。 从牛顿法的原理分析，如果目标函数为二次函数，有)()(X X f φ=，即牛顿法一轮迭代的终点就是最优解，而且是精确解。因此，牛顿法解决了二次函数非球面时的搜索方向问题，找到了一个可以消除偏心存在对采用梯度方向为搜索方向时的影响，直接给出了搜索二次函数最优点的方向。或者说，牛顿法对偏心率进行了变化，消除了二次曲面的偏心率，对于更高次曲面，也可以减小这种偏心。从而在一定程度上解决了梯度发收敛慢的缺点。 4.5.3 牛顿法的特点 （1）由于采用了目标函数二阶导数信息，收敛速度比梯度法快。 （2）牛顿法迭代公式与一般迭代公式的区别在于，没有步长系数。这使得在接近最优点时由于步长不能调节，可能会错过最优点，造成算法的稳定性欠佳，甚至造成不能收敛而导致计算失败。为了克服这一点提出阻尼牛顿法，添加阻尼因子，迭代公式为[] )()(1 1k k k k k X f X H X X ?-=-+α。 （3）需要计算黑塞矩阵及其逆矩阵，内存占用、计算量大；此外二阶导数不存在，或者逆矩阵不存在的情况不能应用。 4.6 变尺度法 4.6.1 变尺度法基本原理 牛顿法的缺点集中在黑塞矩阵及其逆的计算上，解决的方法是保留牛顿迭代法的迭代公式的形式，但不计算黑塞矩阵的逆，而是用一个矩阵去近似和逼近[H]-1,以减少计算量。 4.6.2 变尺度法迭代公式 [] )(1k k k k k X f A X X ?-=+α [A k ]——称为变尺度矩阵 对第一轮迭代，[A 0]←[I], 即)(0001X f X X ?-=α，也就是梯度法 当迭代过程逼近最优点，[A k ]→[H]-1 ,迭代公式变成[] )()(1 1k k k k k X f X H X X ?-=-+α，也 就是阻尼牛顿法。 所以，可以把变尺度法看作梯度法和牛顿法的改进算法。或者梯度法和牛顿法是变尺度法的特例。 至于变尺度矩阵[A k ]如何构造，才能达到预期的效果，方法很多，主要介绍DFP 法和BFGS 法。思路为：为了使变尺度矩阵随着迭代过程逐渐逼近黑塞矩阵的逆，构造 ][][][1k k k A A A ?+=+，其中][k A ?为k 次迭代的修正矩阵。 4.6.2 DFP 变尺度法 变尺度矩阵的修正是变尺度法区别于牛顿法之处： 修正矩阵k k k k T k k k k k T k k k g A g A g g A g X X X A ????-????=?][][][][ 其中 k k k X X X -=?+1，相邻两迭代点之间的变化量 )()(1k k k X f X f g ?-?=?+，相邻两迭代点之间梯度的变化量 4.6.3 BFGS 变尺度法 修正矩阵k T k T k k k k T k k k T k T k k k T k k k T k k g X X g A A g X g X X X g X g A g A ????+??-????????+=?][][)][1(][ 4.6.4变尺度法迭代步骤和算法流程 迭代步骤 （1）给定初始点，精度，维数N ； （2）置k ←0，[A k ]←[I],计算初始点梯度； （3）计算搜索方向[] )(k k k X f A S ?-=； （4）从k 点开始一维搜索，得到k+1点； （5）迭代终止条件ε≤?+)(1 k X f ，若满足，输出最优点和最优解；否则下一步； （6）检验迭代次数，若为N,置k+1点为初始点，转（2）重新构造变尺度矩阵；否则下一步； （7）计算k X ?、k g ?，修正矩阵[]k A ?、变尺度矩阵[] k A ，置k ←k+1,转（3）。 算法流程图： 第五章 约束优化方法 前言：实际工程优化问题大多数为设计空间多维且带有约束条件的非线性优化问题。其数学模型为 ??? ??<===≥∈n p v X h m u X g t s R X X f v u n ,,2,1,0)(,,2,1,0)(..),(min 根据对约束条件处理方法的不同： 直接法（约束坐标轮换法、随机方向法、复合形法、可行方向法） 间接法（简约梯度法、惩罚函数法等）。 直接法可以直接从可行域中找到最优解；将问题分解为一系列比较简单的子问题，用子问题的解逼近原问题的解。 直接法简单直观、对目标函数要求不高；计算量大、收敛慢，因此效率低。 5.1 约束随机方向搜索法（随机方向法） 5.1.1 基本原理 从可行域内某一点出发，沿某一给定步长，并随机产生搜索方向，直到该方向同时满足可行性和下降性要求，沿着这个方向以该步长继续搜索，直到不满足可行性及下降性条件为止。把上述满足要求的终点作为新的起点，重新产生随机方向，如果能够找到一个合适的方向，同时满足条件，则沿该方向以原步长继续搜索；如若找不到适合的方向，则将步长减半，仍以该点为起点随机搜索，如果能找到新的方向，则沿该方向继续，如果不能，步长再减半。直到找不到新的搜索方向，且步长满足精度要求，则以该起点为最优点。 一个需要说明的问题：从某一点出发，如何判断沿某一给定步长找不到可行的方向呢？如果不靠目标函数和约束条件中隐含的指引信息，那么只有对搜索空间进行机械的排查，对随机方向搜索法而言，就是在产生并搜索了足够多方向之后，认为可以近似的得出这个结论。那么，到底随机搜索了多少个方向才能得出结论呢？一般取50~500个方向，当然，如果不考虑计算的速度和效率，这个最大的方向数大一些更好，而且设计空间维数越大，这个数也应越大。 5.1.2 初始点的选取 )(0 i i i i i a b r a x -+= 其中r i 为随机数，对C 语言，有函数rand()产生一个0到RAND_MAX 的伪随机整数，则 MAX RAND rand r i _() = 5.1.3随机搜索方向的产生 T r y )1,,1,1(2 -=。通过该变换，使搜索方向的每个分量为-1到1之间的随机值，从而确保对每个坐标方向的正负两方向的搜索。之后可以进行标准化处理y y e = 5.1.4 算法流程 （下一页） 5.1.5 随机法的特点 算法简单，对目标函数要求不高；由于随机搜索带有盲目性，效率低，速度慢，可能不收敛。 （false）随即产生搜索方向 间的排查） 机械优化设计实验指导 书 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 《机械优化设计》 实验指导书 武秋敏编写 院系：印刷包装工程学院 专业：印刷机械 西安理工大学 二00七年九月 上机实验说明 【实验环境】 操作系统： Microsoft Windows XP 应用软件：Visual C++或TC。 【实验要求】 1、每次实验前，熟悉实验目的、实验内容及相关的基本理论知识。 2、无特殊要求，原则上实验为1人1组，必须独立完成。 3、实验所用机器最好固定，以便更好地实现实验之间的延续性和相关性，并便于检查。 4、按要求认真做好实验过程及结果记录。 【实验项目及学时分配】 【实验报告和考核】 1、实验报告必需采用统一的实验报告纸，撰写符合一定的规范，详见实验报告撰写格式及规范。 （一）预习准备部分 1. 预习本次实验指导书中一、二、三部分内容。 2. 按照程序框图试写出汇编程序。 （二）实验过程部分 1. 写出经过上机调试后正确的程序，并说明程序的功能、结构。 2. 记录4000～40FFH内容在执行程序前后的数据结果。 3. 调试说明，包括上机调试的情况、上机调试步骤、调试所遇到的问题是如何解决的，并对调试过程中的问题进行分析，对执行结果进行分析。 （三）实验总结部分 实验（一） 【实验题目】 一维搜索方法 【实验目的】 1．熟悉一维搜索的方法－黄金分割法，掌握其基本原理和迭代过程； 2．利用计算语言（C语言）编制优化迭代程序，并用给定实例进行迭代验证。 【实验内容】 1．根据黄金分割算法的原理，画出计算框图； 2．应用黄金分割算法，计算：函数F(x)=x2+2x，在搜索区间-3≤x≤5时，求解其极小点X*。 【思考题】 说明两种常用的一维搜索方法，并简要说明其算法的基本思想。 【实验报告要求】 1．预习准备部分：给出实验目的、实验内容，并绘制程序框图； 2．实验过程部分：编写上机程序并将重点语句进行注释；详细描述程序的调过程（包括上机调试的情况、上机调试步骤、调试所遇到的问题是如何解决的，并对调试过程中的问题进行分析。 3．实验总结部分：对本次实验进行归纳总结，给出求解结果。要求给出6重迭代中a、x1、x2、b、y1和y2的值，并将结果与手工计算结果进行比较。 4.回答思考题。 基于MATLAB工具箱的机械优化设计 长江大学机械工程学院机械11005班刘刚 摘要：机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法，能从众多的设计方案中找出最佳方案，从而大大提高设计效率和质量。本文系统介绍了机械优化设计的研究内容及常规数学模型建立的方法，同时本文通过应用实例列举出了MATLAB 在工程上的应用。 关键词：机械优化设计；应用实例；MATLAB工具箱；优化目标 优化设计是20世纪60年代随计算机技术发展起来的一门新学科, 是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。机械优化设计是综合性和实用性都很强的理论和技术, 为机械设计提供了一种可靠、高效的科学设计方法, 使设计者由被动地分析、校核进入主动设计, 能节约原材料, 降低成本, 缩短设计周期, 提高设计效率和水平, 提升企业竞争力、经济效益与社会效益。国内外相关学者和科研人员对优化设计理论方法及其应用研究十分重视, 并开展了大量工作, 其基本理论和求解手段已逐渐成熟。 国内优化设计起步较晚, 但在众多学者和科研人员的不懈努力下, 机械优化设计发展迅猛, 在理论上和工程应用中都取得了很大进步和丰硕成果, 但与国外先进优化技术相比还存在一定差距, 在实际工程中发挥效益的优化设计方案或设计结果所占比例不大。计算机等辅助设备性能的提高、科技与市场的双重驱动, 使得优化技术在机械设计和制造中的应用得到了长足发展, 遗传算法、神经网络、粒子群法等智能优化方法也在优化设计中得到了成功应用。目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。 一、机械优化设计研究内容概述 机械优化设计是一种现代、科学的设计方法, 集思考、绘图、计算、实验于一体, 其结果不仅“可行”, 而且“最优”。该“最优”是相对的, 随着科技的发展以及设计条件的改变, 最优标准也将发生变化。优化设计反映了人们对客观世界认识的深化, 要求人们根据事物的客观规律, 在一定的物质基和技术条件下充分发挥人的主观能动性, 得出最优的设计方案。 优化设计的思想是最优设计, 利用数学手段建立满足设计要求优化模型; 方法是优化方法, 使方案参数沿着方案更好的方向自动调整, 以从众多可行设计方案中选出最优方案; 手段是计算机, 计算机运算速度极快, 能够从大量方案中选出“最优方案“。尽管建模时需作适当简化, 可能使结果不一定完全可行或实际最优, 但其基于客观规律和数据, 又不需要太多费用, 因此具有经验类比或试验手段无可比拟的优点, 如果再辅之以适当经验和试验, 就能得到一个较圆满的优化设计结果。 传统设计也追求最优结果, 通常在调查分析基础上, 根据设计要求和实践 机械优化设计习题及参考答案 1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12 T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤= 2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向与数值。 解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表 示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ?。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下: ()??????-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p 2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降 方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是 ??????-=??????-+-=????????????????-=-?=====462446)(0121210 121021 21x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点就是 ????? ???????-=+=132133101e X X 新点的目标函数值机械优化设计实验指导书
机械优化设计论文(基于MATLAB工具箱的机械优化设计)
《机械优化设计》习题及答案
机械优化设计复习总结.doc