z z g g 2
z z z z 2 z 2
z z z z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 机械优化设计案例 1
1. 题目
对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设 计。
2.已知条件
已知数输入功 p=58kw ，输入转速 n 1=1000r/min ，齿数比 u=5，齿轮的许用应力[ δ ]H =550Mpa ，许用弯曲应力[ δ ] F =400Mpa 。 3.建立优化模型
3.1 问题分析及设计变量的确定
由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体 积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件） 是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建 立目标函数。
单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：
v = 0.25πb (d 12
- d 21) + 0.25πb (d 2 - d 22 ) - 0.25(b - c )(D 22 - d 22 ) -
πd 0 c + 0.25πl (d 21 + d 22 ) + 7πd 21 + 8πd 22
= 0.25π [m 2
z 1 b - d 21b + m 2
z 1 u 2
b - d 22
b - 0.8b (mz 1u -10m )2
+ 2.05bd 22 - 0.05b (mz 1u -10m -1.6d z 2 ) + d 22l + 28d 21
+ 32d 22 ] 式中符号意义由结构图给出，其计算公式为
d 1 = mz 1, d 2 = mz 2 D g 2 = umz 1 -10m
d g 2 = 1.6d z 2 , d 0 = 0.25(umz 1 -10m -1.6d z 2 )
c = 0.2b
由上式知，齿数比给定之后，体积取决于 b 、z 1 、m 、l 、d z1 和 d z2 六个参数，则设计变量可取为
x = [x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ]T = [b z 1 m l d z 1 d z 2 ]T
3.2 目标函数为
f (x ) = 0.785398(4.75x 1x 2 x 3 + 85x 1x 2 x 3 - 85x 1x 3
+ 0.92x 1x 6 - x 1x 5 + 0.8x 1x 2 x 3x 6 -1.6x 1x 3x 6 + x 4 x 5 + x 4 x 6 + 28x 5 + 32x 6 ) → min
3.3 约束条件的建立
1）为避免发生根切，应有z≥z min=17，得g1(x)=17-x2≤0
2)齿宽应满足ϕmin≤b
d
≤ϕmax
，ϕmin和ϕmax为齿宽系数ϕd的最大值
和最小值，一般取ϕmin=0.9，ϕmax=1.4，得
g2(x)=0.9-x1(x2x3)≤0
g3(x)=x1(x2x3)-1.4≤0
3）动力传递的齿轮模数应大于2mm，得
g4(x)=2-x3≤0
4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于d1max，得
g5(x)=x2x3-300≤0
5）齿轮轴直径的范围：d z min≤d z≤d z max得
g6(x)=100-x5≤0
g7(x)=x5-150≤0
g8(x)=130-x6≤0
g9(x)=x6-200≤0
6）轴的支撑距离l按结构关系，应满足条件：l
≥b+2∆min+0.5d z2（可取∆min=20），得
g10(x)=x1+0.5x6-x4-40≤0
7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得
2 2 4 2.85⨯106
x 4 2
2.85⨯106
x 4 2
3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
g 11(x ) = 1468250 (x 2 x 3 x 1 ) - 550 ≤ 0
g 12 (x ) = 7098 x 1x 2 x 3
(0.169 + 0.6666 ⨯10-2 x 2 - 0.854 ⨯10-4
x 2 ) - 400 ≤ 0
g 13 (x ) = 7098
x 1x 2 x 3
(0.2824 + 0.177 ⨯102 x 2 - 0.394 ⨯10-4
x 2 )
- 400 ≤ 0
8）齿轮轴的最大挠度 δ max 不大于许用值[δ ] ，得
g 14 (x ) = 117.04 x 4 (x 2 x 3x 5 ) - 0.003x 4 ≤ 0
9）齿轮轴的弯曲应力 δ w 不大于许用值[δ ]
w ，得
g 15 (x ) =
g 16 (x ) = 1 x 5 1 x 6 ( ( x 2 x 3
x 2 x 3
) + 2.4 ⨯1012 - 5.5 ≤ 0
) + 6 ⨯1012 - 5.5 ≤ 0
4.优化方法的选择
由于该问题有 6 个设计变量，16 个约束条件的优化设计问题， 采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用 Matlab 优化工具箱中的 fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了 较为繁重的计算过程。
5.数学模型的求解
5.1.1 将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：
min f (x ) = 0.785398(4.75x 1x 2 x 3 + 85x 1x 2 x 3 -
85x 1x 3 + 0.92x 1x 6 - x 1x 5 + 0.8x 1x 2 x 3x 6 -1.6x 1x 3x 6+ x 4 x 5 + x 4 x 6 + 28x 5 + 32x 6 )
Subject to:
