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机械优化设计大作业

一、问题描述

1.1结构特点

(1)体积小、重量轻、结构紧凑、传递功率大、承载能力高； (2)传动效率高，工作高；(3)传动比大。

1.2用途和使用条件

某行星齿轮减速器主要用于石油钻采设备的减速，其高速轴转速为1300r/min ；工作环境温度为-20℃～60℃，可正、反两向运转。按该减速器最小体积准则，确定行星减速器的主要参数。

二、分析

传动比u=4.64，输入扭矩T=1175.4N.m ，齿轮材料均选用38SiMnMo 钢，表面淬火硬度HRC 45~55，行星轮个数为3。要求传动比相对误差02.0≤?u 。

弹性影响系数Z E =189.8MPa 1/2；载荷系数k=1.05；齿轮接触疲劳强度极限[σ]H =1250MPa ；齿轮弯曲疲劳强度极限[σ]F =1000MPa ；齿轮的齿形系数Y Fa =2.97；应力校正系数Y Sa =1.52；小齿轮齿数z 取

值范围17--25；模数m取值范围2—6。

注：优化目标为太阳轮齿数、齿宽和模数，初始点[24，52，5]T

三、数学建模

建立数学模型见图1，即用数学语言来描述最优化问题，模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。

3.1设计变量的确定

影响行星齿轮减速器体积的独立参数为中心轮齿数、齿宽、模数及行星齿轮的个数,将他们列为设计变量，即：

x=[x

1 x

]T=[z

b m c]T [1]

式中：z1

ˉ￣太阳轮齿数；b―齿宽（mm）；m—模数（mm）;行星轮的个数。通常情况下，行星轮个数根据机构类型以事先选定，由已知条件c=3。这样，设计变量为：

x=[x

1 x

]T=[z

b m]T [1]

3.2目标函数的确定

为了方便，行星齿轮减速器的重量可取太阳轮和3个行星轮体积之和来代替，即：

V=π/4（d

12+Cd

2）b

式中：d1--太阳轮1的分度圆直径，mm；d2--行星轮2的分度圆直径，mm。

将d

1=mz

1，

=mz

，z

（u－2）/2代入（3）式整理，目标函

数则为：

F（x）=0.19635m2z

2b［4+（u－2）2c］[1]式中u--减速器传动比;c--行星轮个数

由已知条件c=3,u=4.64,因此目标函数可简化为：

F（x）=4.891x

32x

3.3约束条件的建立

3.3.1限制齿宽系数b/m的范围5≤b/m≤17，得：

（x）=5x3-x2≤0[1]

（x）=x2-17≤0[1]

3.3.2保证太阳轮z1不发生跟切，得：

（x）=17-x1≤0[1]

3.3.3限制齿宽最小值，得：

（x）=10-x2≤0[1]

3.3.4限制模数最小值，得：

（x）=2-x3≤0[1]

3.3.5按齿面接触疲劳强度条件，有：

（x）=750937.3/﹙x1x2x31/2)－[σ]H≤0[1]式中：[σ]H--齿轮接触疲劳强度极限。

3.3.6按齿根弯曲疲劳强度条件，有：

（x）=1482000Y Fa Y Sa/﹙x1x2x32)－[σ]F≤0[1]

式中：[σ]

F --齿轮弯曲疲劳强度极限；Y

--齿轮的齿形系数；

--应力校正系数。

四、优化方法、编程及结果分析

4.1优化方法

综合上述分析可得优化数学模型为：()T

x x X 21,=；)(min x f ；()0..≤x g t s i 。考察该模型，它是一个具有2个设计变量，6个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用SUMT 惩罚函数内点法求解。

4.2方法原理

内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。

对于只具有不等式约束的优化问题

)(min x f

),,2,1(0)(..m j x j

g t s =≤ 转化后的惩罚函数形式为

?∑=-=m j j x g r x f r x 1)

(1)(),(φ 或[]

∑=--=m j j x g r x f r x 1)(ln )(),(φ

式中r ——惩罚因子，它是由大到小且趋近于0的数列，即0210→>>> r r r 。

[]

∑∑==-m j m j j j x g x g 11)(ln )(1—障碍项—或。由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子0→r 时，才能求得在约束边界上的最优解。

4.3编程

首先编制两个函数文件，分别保存为目标函数和约束函数。 function f=objfun(x)

B=1520;T=2.5;P=7.8e-3;

f=2*pi*P*x(1)*T*sqrt((B/2)^2+x(2)^2);

再编写非线性约束函数文件M 文件confun.m;

function [c,ceq]=confun(x)

B=1520;T=2.5;P=300000;E =2.1e5;F1=420;

Q=0.5*P*sqrt((B/2)^2+x(2)^2)/x(2);

st=Q/(pi*T*x(1));

g(1)=st-F1;

F2=0.125*pi^2*E*(x(1)^2+T^2)/((B/2)^2+x(2)^2);

g(2)=st-F2;

ceq=[];

在MATLAB 命令窗口给出搜索值和线性约束，调用优化程序： x0=[100;700];

a=[-1,0 ;1,0 ;0 ,-1;0,1];

b=[-10;120;-200;1000];

1b=[10;200];

ub=[120;1000];

[x,fval]=fmincon(@objfun,x0,a,b,[],[],1b,ub,@confun)

4.4结果分析

运行结果如下图所示：

=17.0000，齿宽由图可知，优化的结果为齿数z

=5.5628×105mm3。

b=27.8872mm，模数m=3.7566mm，总体积V

min

不过优化结果中的齿数z

必须为整数，齿宽b应圆整为27

或者28；对于模数m，必须标准化为3.5或4。经过计算比较取：=17，b=27mm，m=4mm为最优解。

5.结果对比分析

若按初始值减速器的体积V大约为7.3247×105mm3，而优化后的体积V则为6.1063×105mm3,优化结果比初始值体积减少为：ω＝1－(6.1063×105/7.3247×105)×100%＝16.6% 所以优化后的体积比未优化前减少了16.6%，说明优化是很成功的。

学习机械优化设计课程体会

《机械优化设计》是将机械工程设计问题转化为最优化问题，然后选择适当的最优化方法，利用电子计算机从满足要求的可行设计方案中自动寻找实现预期目标的最优化设计方案。最为机械专业的一名学生，本课程，掌握最优化问题的基本解决方法，从多个可能的方案中选出最合适的、能实现预定最优目标的最优方案有着很现实的意义，为今后的工程实际提供了良好的理论储备。

而在机械优化设计基本理论学习的基础上，再使用美国Math Works开发的Matlab软件，及其附带的优化工具箱作为最优化问题的运算工具，通过对行星齿轮减速器的优化求解，可以看出运用Mtalab优化工具箱来求解优化问题，计算方便、快捷，高效的处理了涵盖各种难度的最优化问题，着实丰富了我的本课程的学习。。不过在初期学习使用的过程中还是出现了很多问题，每次运行都会提示出现错误的地方，在不断排除错误、重新编写程序的过程中，渐渐的对Mtalab熟悉起来，出现的Error不断消失，最终在显示器上通过自己从无到有的知识积累才得到的优化结果，感觉一切的郁闷、烦恼都不翼而飞。

所以虽然这门课对数学水平有一定的要求，原理的推导复杂、诡异，各种各样的优化过程更是看的头晕目眩、似懂非懂，不过通过计算机程序还是能便捷的实现各种优化方法。这门课程让我加深了对前人的敬佩，懂得了一些优化方法的简单计算计算过程和原理，不过有了软件一切计算都交给了计算机，让我省去了优化计算过程，也加深了学好英语的决心，因为一切先进的软件大都是英文的，看不太懂让我在这次设计过程中多走了很多弯路。

《机械优化设计》习题与答案

机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f ρ 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]2 1[)0(，则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： ()??? ???-=????? ?+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ? 2-3.试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解：求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是 ??????-=??????-+-=?????? ??????????-=-?=====462446)(0 121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是： 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是

~机械优化设计复习题及答案

机械优化设计复习题一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（） A ．()* 0F X ?= B. ()* 0F X ?=,()* H X 为正定 C ．()* 0H X = D. ()* 0F X ?=,()* H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（） A ．1 B ． 19.05 C ． D ． 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 10C. 13A 16 D 0.186 C (X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 1 3 C 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21 T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X *附近的偏导数连续，?F(X *)=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的（）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 (X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（）。 A.凸函数 B.凹函数 C.严格凸函数 D.严格凹函数 10C. 13A 16 D 11.在单峰搜索区间[x 1 x 3] (x 1

《机械优化设计》习题及答案

机械优化设计习题及参考答案 1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12 T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤= 2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向与数值。解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表

示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ?。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下: ()??????-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p 2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是 ??????-=??????-+-=????????????????-=-?=====462446)(0121210 121021 21x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点就是 ????? ???????-=+=132133101e X X 新点的目标函数值

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?? ????=? ??? ??二级检验员一级检验员 21x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321；（2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型：

《机械优化设计》复习题-答案

《机械优化设计》复习题解答一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。 2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。 3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高－低－高趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。 8、设计变量、目标函数、约束条件是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 ?f(x 10,x 20)=0 ，充分条件是 ?2f (x 10,x 20)=0正定。 10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、目标函数、约束条件。 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量大，且要求初始点在极小点附近位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 12 [x 1 x 2][2 ?1?1 2][x 1 x 2 ]+[?10?4][x 1x 2 ]+60 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有单调递增特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最优步长。 1k k H g --

《机械优化设计》第6章习题解答-1

第六章习题解答 1．已知约束优化问题： 2)(0)() 1()2()(m in ≤-+=≤-=?-+-=x x x g x x x g t s x x x f 试从第k 次的迭代点[ ]x 2 1-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254 所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点+ x 。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向： [ ] S 0.412 0.911 0.254 0.562 0.254 0.2540.5620.5622 2 2 2-=??? ? ?? ? ?++= 2) 用公式：S x x α+= + 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则： 176 .1)412.0(22822.0911.02 1=-?+=+==?+-=+=+ +S x x S x x αα ?? ? ???=+ 176.1822. 0X 即：该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2．已知约束优化问题： )(0)(0 25)(12 4)(m in ≤-=≤-=≤-+=?--=x x g x x g x x x g t s x x x f 试以[][][]x x x 33,14,1 2===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。 [解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点： [][][]9 35 1 2-=? ==?=-=?=0 303 2023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。为最好点，x x 2）计算去掉最坏点 02 x 后的复合形的中心点： ??????+????? ?=???? ????????+??????= = ∑ ≠ = 3325.221 1331 2x L x 3 ）计算反射点x （取反射系数3.1=α） 20.69 3.30.551422.51.322.5)(1 1 02 1 -=??????=? ??? ????????-??????+??? ???=-+ =f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1 R 0 30 1x x x x 和，，由构成新的复合形，在新的复合形中为最坏点为最好点，0 11R x x ，进行新的一轮迭代。 5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得： ????? ?=???? ????????+??????= 3.151.7753.30.55332 1x 6）计算新一轮迭代的反射点得：，完成第二次迭代。值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1 2 11 1 2 -=?? ????=? ??? ????????-??????+??????=-+ =f x x x x x α

机械优化设计课程教学大纲知识分享

《机械优化设计》课程教学大纲一．课程基本信息开课单位：机械工程学院英文名称：Mechanical Optimize Design 学时：总计48学时，其中理论授课36学时，实验（含上机）12学时学分：3.0学分面向对象：机械设计制造及其自动化，机械电子工程等本科专业先修课程：高等数学，线性代数，计算机程序设计，工程力学，机械原理，机械设计教材：《机械优化设计》，孙靖民主编，机械工业出版社，2012年第 5版主要教学参考书目或资料： 1.《机械优化设计》，陈立周主编，上海科技出版社，1982年 2.《机械优化设计基础》，高健主编，机械工业出版社，2000年 3. 其它教学参考数目在课程教学工作实施前另行确定二．教学目的和任务优化设计是60年代以来发展起来的一门新学科，它是将最优化方法和计算机技术结合、应用于设计领域而产生的一种现代设计方法。利用优化设计方法可以从众多的设计方案中寻找最佳方案，加快设计过程，缩短设计周期，从而大大提高设计效率和质量。优化设计方法目前已经在机械工程、结构工程、控制工程、交通工程和经济管理等领域得到广泛应用。在机械设计中采用最优化方法，可以加速产品的研发过程，提高产品质量，降低成本，从而达到增加经济效益的目的。学生通过学习《机械优化设计》课程，可以掌握优化设计的基本原理和方法，熟悉建立最优化问题数学模型的基本过程，初步具备对工程中的优化设计问题进行建模、编程和计算的应用能力，为以后从事有关的工程技术工作和科学研究工作打下一定的基础。三．教学目标与要求本门课程通过授课、计算机编程等教学环节，使学生了解优化设计的基本思想，优化设计在机械中的作用及其发展概况。初步掌握建立数学模型的方法，掌握优化方法和使用MATLAB优化工具箱能力。并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力四．教学内容、学时分配及其基本要求第一章优化设计概述（2学时）（一）教学内容 1、课程的性质、优化的含义；优化方法的发展与应用；机械优化设计的内容及目的；机械优化设计的一般过程 2、机械优化设计的基本概念和基本术语；优化设计的数学模型；优化问题的几何描述；优化设计的基本方法（二）基本要求机械优化设计的内容及目的。明确优化的含义、任务，性质、内容、明确本课程的研究对象、、1． 2、了解机械忧化设计的一般过程（步骤）。 3、掌握设计变量、目标函数、约束条件以及优化设计数学模型的一般形式。第二章优化方法的数学基础（6学时）（一）教学内容 1、函数的梯度与二阶导数

机械优化设计习题参考答案

第六章习题解答．已知约束优化问题：122)(x?(x?2)1?xminf()?2120??xtg(x)?xs? ??T)(k2?1x?-0.254）区间的随机数0.562和出发，沿由（-1 1 试从第k次的2110?2?x)?x?xg(212 迭代点)k?1(x。并作图画出目标函数所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。解] 1）确定本次迭代的随机方向： [T??0.2540.562??T0.412S???0.911??R2222??0.254?0.254?0.5620.562??(1)k)?(k?Sx?x?计算新的迭代点。步长α用公式：2)取为搜索到约束边界R上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则： k?1k?S??1?2?0?x.?911?0.x82211R1k?k?x)?1.176412(2?x?S??2??0.222R0.822??1?k?X即： ??1.176??该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。 2．已知约束优化问题： 2minf(x)?4x?x?122122?x?25?0sg(x)?x?t211 0??x?g(x)120??x?g(x)23??????TTT000312x,x?13?4,x?为复合形的初始顶点，用复合形法进行试以213两次迭代计算。 [解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点： ??00??5x??f2111??00?f13x??422??00????xf3393300为最坏点。x为最好点，x经判断，各顶点均为可行点，其中，230x后的复合形的中心点：2）计算去掉最坏点 ?00????xx?????????????ic32132L??????????1i?2?i1?x3.?1（取反233532.2??????????11

机械优化设计习题集

机械优化设计复习题一、单项选择题 1.机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（）（P19-21） A ．设计变量 B ．目标函数 C ．设计常量 D ．约束条件 2.下列哪个不是优化设计问题数学模型的基本要素（）（P19-21） A ．设计变量 B .约束条件 C .目标函数 D .最佳步长 3.凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点为（）（P19-21） A .边界设计点 B .极限设计点 C .外点 D .可行点 4.当设计变量的数量n 在下列哪个范围时，该设计问题称为中型优化问题（P19-21） A .n<10 B .n=10~50 C .n<50 D .n>50 5. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（）（P19-24） A .约束线性 B .无约束线性 C .约束非线性 D .无约束非线性 6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（）（P22-24） A .多变量无约束的非线性 B .多变量无约束的线性 C .多变量有约束的非线性 D .多变量有约束的线性 7. n 元函数在()k x 点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目标函数值（）（P25-28） A .变化最大 B .变化最小 C .近似恒定 D .变化不确定 8.()f x ?方向是指函数()f x 具有下列哪个特性的方向（）（P25-28） A . 最小变化率 B .最速下降 C . 最速上升 D .极值 9. 梯度方向是函数具有（）的方向（P25-28） A ．最速下降 B ．最速上升 C ．最小变化 D ．最大变化率 10. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28） A .最速上升方向 B .上升方向 C .最速下降方向 D .下降方向 11. n 元函数()f x 在点x 处梯度的模为（）（P25-28） A .f ?= B .12...n f f f f x x x ????=++??? C .22212()()...()n f f f f x x x ????=++??? D .f ?=12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（）（P25-31） A ．曲面或曲线 B ．曲线或等值面 C ．曲面或等值线 D ．等值线或等值面 13.一个多元函数()f x 在*x 点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件（）（P29-31） A.*()0f x ?= B. *()0G x = C. 海赛矩阵*()G x 正定 D. **()0G()f x x ?=，负定

机械优化设计

[1] 《机械最优化设计》，刘惟信主编，清华大学出版社（第二版）机械优化设计试题浏览次数：910次悬赏分：20 |解决时间：2009-3-17 10:06 |提问者：xmtxmtxmt9 1、有一圆截面的销轴，一端固定在机架上，另一端作用着集中载荷P和扭矩T，其简化模型如图，由于结构需要，轴的长度不得小于80mm，其材料密度为，许用弯曲应力为[σF]，许用扭剪应力为[τ]，允许挠度为[?]，弹性模量为E。要求设计此梁重量最轻，试写出这一优化问题的数学模型。（圆轴的抗弯截面模量为W=πd3/16，抗扭截面模量为WT=πd3/32，挠度公式为fmax=Pl3/3EI，惯性矩为I=πd4/64）（20分） 2、将优化问题画出此优化问题的目标函数等值线和约束曲线，并确定：（1）可行域的范围（用阴影线画出）。（2）在图中标出无约束最优解、和约束最优解、。（3）若再加入等式约束，在图中标出约束最优解、。（20分） 3、目标函数，初始点，试用变量轮换法求迭代两轮的设计变量和目标函数的值。（20分） 4、已知约束优化问题试从迭代点出发，沿方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点，并画出本次迭代的搜索路线。（20分） 5、试画出离散变量优化设计方法网格法的算法框图。（20分）问题补充：请研究生帮忙做一下，谢谢！原题点下面图片放大即可一种优化设计方法在圆柱蜗杆减速器设计中的运用

https://www.doczj.com/doc/6b17840119.html, 期刊门户-中国期刊网2009-5-26来源:《中小企业管理与科技》2009年4月下旬供稿文/摆亚辉 [导读]明确设计任务——确定设计参数（变量）——确定设计函数（明确变量的取值范围）——确定优化方法——编写优化程序——得出优化结果并圆整。期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆摘要：一般的机械设计都是设计人员按照各种资料提供的数据，结合自己的经验，对已有产品进行类比，初步定出方案，再通过验算确定方案是否是可用的。这样的方案不能说是最优的。优化设计，是利用计算机的计算优势采用数学方法，用数量指标对方案进行评判和选择。通过这样的过程获得的方案不仅是可用的，而且也是相对最优的。它的一般过程如下：明确设计任务——确定设计参数（变量）——确定设计函数（明确变量的取值范围）——确定优化方法——编写优化程序——得出优化结果并圆整。关键词：优化设计减速器运用本文介绍一种优化设计方法（复合形法）在圆柱蜗杆减速器设计中的运用。题目：设计一由功率为3KW的电动机驱动的双级圆柱蜗杆减速器，第一级蜗杆转速960r/min，总传动比220.载荷平稳，单向回转。按在保证承载能力的前提下，最大限度的减轻体积。已知:各级许用应力155Mpa、传动效率0.9、载荷系数1.2、蜗杆头数4、蜗杆选用40cr，表面淬火HRC>45.蜗轮材料为铸锡青铜ZQSn10-1。从题设条件可知啮合参数：传动比[i]、模数[m]、齿数（头数）[z]、直径系数[q]是设计待定参数。结合蜗轮齿面接触强度的计算可确定设计变量如下：X=[x1 x2 x3]T=[i1 q1 q2]T。据蜗轮齿面接触强度设计公式可得题设条件的目标函数如下：从工程意义上看，确定未知数的范围可以保证蜗杆传动的应有性能，并明确了变量的可行区域，这样就控制了优化结果的搜寻区域。据传动特点可以确定约束条件如下： g1（x）=7-x1≤0g2（x）=x1-33≤0g3（x）=7-x2≤0 g4（x）=x2-18≤0g5（x）=7-x3≤0g6（x）=x3-18≤0 对已定的数学模型，正确选用优化算法，对计算成功有很大关系。本次设计任务选择的依据：设计是有约束问题，规模不大，所要达到的精度较高，目标函数为非线性函数、其他的数学性态未知。为使优化计算过程可靠完成，选择优化算法为：复合形法，它的关键是确定每步迭代的搜索方向和步长。它是利用由若干个顶点构成复合形，通过顶点的不断更迭而发生形变和位移，最终趋向最优点。由于复合形是一种在可行域内直接求优的方法，因此要求第一个复合形就必须在可行域内。这样，其k个复合形顶点才是可行点，通常顶点数取n+1≤k≤2n。则本设计任务的寻优规则如下:①给出四个初始顶点②计算复合形4个顶点的目标函数值，选出最坏点x(H)、次坏点x(G)、最好点x(L)。计算4个顶点的中心点x(C)及其函数值，判断，如成立则停止运行，x(L)即为最优解，否则执行下一步。③计算出最坏点外的3个顶点的中心点x(S)，检验是否可行。如果在可行域内则继续执行下一步，否则结束程序，重新构造复合形。④若在可行域内，则求映射点x(R)=x(S)+a（x(S)-x(H)）。⑤检验映射点是否在可行域内，如在执行下一步，否则转向第8步。⑥若在可行域内，则计算其函数值，判断其与最坏

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1 某厂每日（８h 制）产量不低于１800件。计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为:速度为25件/ｈ，正确率为98%,计时工资为4元/h;二级检验员标准为：速度为１5件／h ，正确率为95%，计时工资3元/h 。检验员每错检一件,工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为:一级8人和二级10人。为使总检验费用最省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人? 解：(1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ?? ????=??????二级检验员一级检验员 21x x ; (2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即: ｆ(Ｘ) = 8*4*x 1＋ 8*3*x 2 + 2(８*25*0．02ｘ1 +8*15*0．05x ２） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min ｆ (X ） = 40x 1+ 3６x ２ X ∈R ３· ｓ.ｔ. g 1（X ) =1800-８＊25x 1+8*１５x 2≤0 g 2(X ） =ｘ1 -8≤0 g ３(X ) =x 2-10≤0 ｇ4(Ｘ) = -x 1 ≤0 ｇ5(Ｘ) = -x ２ ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ,许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻,同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥,弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），解: （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； (２)建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：ｆ（Ｘ） = 322 12 4 x x rx π (3）本问题的最优化设计数学模型:

~机械优化设计复习题及答案

机械优化设计复习题一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（） A ．() *0F X ?= B. ()* 0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()* 0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)= AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的（）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（）。

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1 某厂每日(8h 制)产量不低于 1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为件/h,正确率为98%，计时工资为 4元/ h;二级检验员标准为：速度为元/h。检验员每错检一件，工厂损失 2元。现有可供聘请检验人数为：省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1 )确定设计变量； g2( X) = X1 -8 w 0 g3( X) = X2-10 w 0 g4( X) = -X1 w 0 g5( X) = - X2 w 0 X3 (2)建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即: 2 2 f(X)=——rx1 X2X3 4 (3)本问题的最优化设计数学模型: 2 2 min f (X) = —rx1 X2X3 4 25 15件/h,正确率为95%，计时工资 3 —级8人和二级 10人。为使总检验费用最根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= X1 X2 一级检验员二级检验员 (2)建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即： f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 + 2 =40x1+ 36x2 ( 8*25*0.02x1 +8*15*0.05 X2) s.t. min f (X) = 40X1+ 36X2 g i(X) =1800-8*25 3’ X € R X i+8*15X2< 0 1-2已知一拉伸弹簧受拉力选择一组设计变量X [X1 X2F，剪切弹性模量G，材料重度 X3]T[d D2 n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数 r，许用剪切应力[],许用最大变形量[]。欲簧丝直径d 0.5，弹簧中径10 D2 50。试建立该优化问题的数学模型。注：弹簧的应力与变形计算公式如下 ks^ , k s 1 ± d 2c D2 (旋绕比)， 8F n D Gd4 解：(1)确定设计变量; X1 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X2 D2 3 ? X€ R

机械优化设计第1阶段练习题

江南大学现代远程教育第一阶段练习题考试科目:《机械优化设计》第一章至第三章（总分100分）学习中心（教学点）批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在横线上。） (1)、对于约束问题 ()()()()22 12221122132min 44 g 10 g 30 g 0 f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥ 根据目标函数等值线和约束曲线，判断() 1[1,1]T X =为，()2 51[,]22 T X =为。 A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点 (2)、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1

(4) 、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度。 A 、慢 B 、快 C 、一样 D 、不确定 (5)、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，假设要求在区间[a ，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。 A 、其缩短率为0.618 B 、α1=b-λ（b-a ） C 、α1=a+λ（b-a ） D 、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。二、填空题(本题共9个空，视难易程度每空3-4分，共30分。) (1)、机械优化设计的一般过程中，是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 (2)、当优化问题是________的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 (3)、应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成趋势。 (4)、包含n 个设计变量的优化问题，称为维优化问题。 (5)、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为。 (6)、、、是优化设计问题数学模型的基本要素。 (7)、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为。三、已知实对称矩阵 522251215A ??-?? =-????--?? 判别A 是否正定。（本题共10分。）四、求二元函数22 121221x 4820f x x x +--+（,x ）=x 在[](0)00T X =处函数变化率最大的方向和数值。（本题共20分）

《机械优化设计》试卷及答案

《机械优化设计》复习题及答案一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6 、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定。 10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间

]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++2 1的形式。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1 和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求。二、选择题 1、下面方法需要求海赛矩阵。 A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法 2、对于约束问题

机械优化设计题库

一、绪论 1.思考题 1.何为约束优化设计问题什么是无约束优化设计问题试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分写出一般形式的数学模型。 3.机械优化设计的过程是怎样的它与常规的机械设计有什么不同 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解 5.试简述优化算法的迭代过程。 6.何为可行域为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小当优化问题中有—个等式约束时可行域是什么当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么当n维优化问题中有n个等式约束时可行域是什么 7.什么是内点、什么是外点在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗为什么 8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。 9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么 2.习题 1.设计一容积为V的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。 2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S时，怎样设计可使油箱的容量最大试列出这个优化问题的数学模型，并回答： ①属于几维的优化问题 ②是线性规划还是非线性规划 3.欲造容积为V的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少试写出其数学模型。 4.试求直径为D的圆内所有内接三角形面积中的最大值。 5.在曲面f1(x1,x2,x3)=0上找一点P1，在曲面f2(x1,x2,x3)=0上找一点P2，使得P1与P2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。 6.有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长x和倾斜角α为多大时，槽的容积最大试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。 7.欲制—批如图2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为2m3，问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。 8.一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化问题的数学模型。 9.某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤3600kN、电200度、劳动日300个，试问A、B各生产多少桶时利润最大列出其教学模型，并说明属于何种数学规划问题 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所需钢材分别为2吨和3吨，所需工时数分别为4千小时和8千小时，而产值分别为4万元和6万元。如果每月工厂能获得的原材料为100吨，总工时数为120千小时。现应如何安排两种机器的月产台数，才能使月产值最高。试写出这一优化问题的数学

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机械优化设计第六章

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