必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点

在日常的学习中，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。掌握知识点是我们提高成绩的关键！以下是店铺整理的必修五数学解三角形知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。

判断解法

已知条件：一边和两角

一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

已知条件：两边和夹角

一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。

已知条件：三边

一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。

已知条件：两边和其中一边的对角

一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C)

①若a>b，则A>B有唯一解;

②若b>a，且b>a>bsinA有两解;

③若a

常用定理

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式

(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c

(3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB

(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)

余弦定理

a?=b?+c?-2bccosA

b?=a?+c?-2accosB

c?=a?+b?-2abcosC

注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式

cosC=(a?+b?-c?)/2ab

cosB=(a?+c?-b?)/2ac

cosA=(c?+b?-a?)/2bc

数学二元一次方程组知识点

1.定义：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

2.二元一次方程组的解法

(1)代入法

由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。

(2)因式分解法

在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。

(3)配方法

将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。

(4)韦达定理法

通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次

方程。

(5)消常数项法

当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。

高三数学知识点有哪些

1、混淆命题的否定与否命题

命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。

2、忽视集合元素的三性致误

集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

3、判断函数奇偶性忽略定义域致误

判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。

4、函数零点定理使用不当致误

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y=f(x)在(a，b)内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。

5、函数的单调区间理解不准致误

在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

6、三角函数的单调性判断致误

对于函数y=Asin(ωx+φ)的单调性，当ω>0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x的单调性相

同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决;但当ω<0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。

7、向量夹角范围不清致误

解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的.关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。

8、忽视零向量致误

零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。

9、对数列的定义、性质理解错误

等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数;一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N_)是等差数列。

10、an与Sn关系不清致误

在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点。

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解三角形知识点

《必修五》解三角形知识点归纳 一、正弦定理 正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言： 2sin sin sin a b c R A B C === 特点：对称美、和谐美 （一）理解定理 1、正弦定理：在△ABC 中， 2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】 2、正弦定理的基本作用： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b A a B = ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a B A b = 3、常用公式及其结论 ⑴正弦定理包含三个等式 sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C =每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180?即180A B C ? ++=，222 A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abc S ab C bc A ac B R A B C R = ==== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-， sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=?? ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2=== ⑻边化角:R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin = = = ⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =， 则△ABC 是等腰三角形;③若222 cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形. ⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>?>>?>>

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识 点

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

数学_高中必修五_解三角形_

第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在 ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== = 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2 在ABC 中，已知 C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒ ∴ （150°-A ）. ∴ ° ·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 综合①②可得a+b 的取值范围为 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。

人教新课标版数学高二-数学必修5第一章《解三角形》知识整合

数学·必修5(人教A版) 一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标： 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题． 3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”． “在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题． 4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习 高中数学必修5第一章解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理: ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径 2正弦定理的一些变式： iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2R iiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4） 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】 a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB

2推论： 设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90； ②若abc，则C90；③若abc，则C90． 3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角1 2222222 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径） 12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？ 扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习 高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习

高二数学必修五 第一章 解三角形

高二数学必修五 第一章解三角形 一、本章知识结构： 二、基础要点归纳 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π, 222 A B C π+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sin cos 22 A B C += ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B , A ＞ B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B ③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞ 2π,B+C ＞2π,A+C ＞2 π ; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-222 cos 2b c a A bc +-= 2 2 2 2cos b a c ac B =+-222 cos 2a c b B ac +-=

2 2 2 2cos c a b ab C =+-222 cos 2a b c C ab +-= 〔必修五〕第二章、数列 一、本章知识结构： 二、本章要点归纳： 1、数列的定义及数列的通项公式： ①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。 ②.n a 的求法： i.归纳法。 ii.11,1 ,2 n n n S n a S S n -=⎧=⎨ -≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。 iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。 iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：1 1() ()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的 递推关系式.

数学必修五解三角形知识点

数学必修五解三角形知识点 人教版数学必修五解三角形知识点 漫长的学习生涯中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。掌握知识点有助于大家更好的学习。下面是店铺整理的人教版数学必修五解三角形知识点，欢迎大家分享。 (一)解斜三角形 1、解斜三角形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射影公式和各种形式的面积的公式。 2、能解决的四类型的问题：(1)已知两角和一条边(2)已知两边和夹角(3)已知三边(4)已知两边和其中一边的对角。 (二)解直角三角形 1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直角为角C，角A和角B是它的两锐角，所对的边a、b、c，(1)角A和角B的和是90度;(2)勾股定理：a的平方加上+b的平方=c的平方;(3)角A的正弦等于a比上c，角A的余弦等于b比上c，角B的正弦等于b比上c，角B的余弦等于a比上c;(4)面积的公式s=ab/2;此外还有射影定理，内外切接圆的半径。 2、解直角三角形的四种类型：(1)已知两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐角中的两角;(2)已知一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1);(3)已知一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，算出斜边，用勾股定理算出另一直角边;(4)已知斜边和一锐角，先算出已知角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)。 (1)两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题：

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当ab 时，B 有一解 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ， 2 2 2 2cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)

必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点 必修五数学解三角形知识点 判断解法 已知条件：一边和两角 一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。 已知条件：两边和夹角 一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。 已知条件：三边 一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。 已知条件：两边和其中一边的对角 一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C) ①若ab，则AB有唯一解; ②若ba，且babsinA有两解; ③若absina则无解。 p=

常用定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。 变形公式 (1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c (3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB (4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R 面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式) 余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cosC=(a²+b²-c²)/2ab cosB=(a²+c²-b²)/2ac cosA=(c²+b²-a²)/2bc

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系 （１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系： α α ααααsin cos cot ,cos sin tan == 特殊角的三角函数值 三角 函数值 0 1 1

高中数学必修五知识点公式总结

必修五数学公式概念 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C == . 正弦定理推论：① 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为三角形外接圆的半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A b B c C c C === ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++===++ 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 3、正弦定理确定三角形解的情况 图 形 关 系 式 解 的 个 数 A 为 锐 角 ①sin a b A = ②a b ≥ 一 解 sin b A a b << 两 解 sin a b A < 无 解 A 为钝角或直角 b a > 一 解 b a ≤ 无 解 4、任意三角形面积公式为：

2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2ABC abc S bc A ac B ab C R r p p a p b p c a b c R A B C =====---=++= 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222cos a b c bc A =+-，222 2cos b a c ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-. 余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 6、不常用的三角函数值 15° 75° 105° 165° αsin 4 26- 4 2 6+ 4 2 6+ 4 2 6- αcos 4 2 6+ 4 2 6- 4 2 6+- 4 2 6+- αtan 32- 32+ 32-- 32+- 1.2 应用举例 1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。 2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正西或正东） 3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。 （1）方位角 （2）方向角 （3）仰角和俯角 （4）视角 4、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。 5、铅直平行：于海平面垂直的平面。 6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比h i l ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ . （5）坡角与坡比

必修五解三角形重难点题型归纳梳理非常完美

专题02 解三角形 【重难点知识点网络】： 【正弦定理】 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 【正弦定理的变形】①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ② 2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++ 【三角形常用结论 】 （1）B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔>⇔> （2）在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222 C A B π+⇔ =-222()C A B π⇔=-+. （3)面积公式： ①111222a b c S ah bh ch ===，②111sin sin sin 222 S ab C bc A ca B ===. 【三角恒等变换公式】 ()()()()1.sin sinC,cos =-cos tan =-tan A B A B C A B C +=++，（其中,,A B C 是三角形的三个内角） ()()2.sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()()3.sin -sin cos -cos sin αβαβαβ= ()()4.sinx cosx ,tan b y a b x a ϕϕ=+=+=其中 【内角和定理】三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔A,B,C 成等差数列B=

高中数学必修五知识点整理

《必修五知识点整理》 第一章 解三角形 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C ==. 正弦定理推论：① 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为三角形外接圆的半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A b B c C c C === ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++ 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 4、任意三角形面积公式为： 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222cos a b c bc A =+-，222 2cos b a c ca B =+-，2 2 2 2cos c a b ab C =+-.

余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 6、不常用的三角函数值 15° 75° 105° 165° 1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。 2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正西或正东） 3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。 （1）方位角 （2）方向角 （3）仰角和俯角 （4）视角 4、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。 5、铅直平行：与海平面垂直的平面。 6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比h i l ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ . （5）坡角与坡比 第二章 数 列 1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。所以，数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为{}n a . 2、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 3、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）（2≥n ）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为121+=-n n a a （1>n ） 4、数列与函数：数列可以看成以正整数集* N （或它的有限子集{}1,2,3,4,n …,）为定 义域的函数()n f a n =，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。通项公式可以看成函数的解析式。 5、数列的单调性：若数列{}n a 满足：对一切正整数n ，都有1n n a a +>（或1n n a a +<），则称数列{}n a 为递增数列（或递减数列）。

高中数学必修5之解三角形(教师版)

高中数学必修5第一单元 解三角形 【第一部分】基础知识提要 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C ==. 正弦定理推论：①2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为三角形外接圆的半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A b B c C c C === ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++ 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 3、正弦定理确定三角形解的情况 A 为 锐

4、任意三角形面积公式为： 2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2 ABC abc S bc A ac B ab C R r p p a p b p c a b c R A B C ==== =---=++= 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222cos a b c bc A =+-，222 2cos b a c ca B =+-，2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 6、不常用的三角函数值

数学必修五知识点总结归纳

（一）解三角形 1、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外 a b c 2R ． 接圆的半径，则有 sin sin sin C 正弦定理的变形公式：① a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2Rsin C ； ② sin a ， sin b ， sin C c 2R ； 2R 2R ③ a : b : c sin :sin :sin C ； ④ a b c a b c ． sin sin sin C sin sin sin C 2、三角形面积公式： S C 1 bc sin 1 ab sin C 1 ac sin ． 2 2 2 3、余弦定理：在 C 中，有 a 2 b 2 c 2 2bc cos ， b 2 a 2 c 2 2ac cos ， c 2 a 2 b 2 2ab cosC ． 4、余弦定理的推论： cos b 2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2bc ，cos 2ac ，cosC 2ab ． 5、射影定理： a b cosC c cos B,b a cosC c cos A, c a cos B bcos A 6、设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则：①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ； ②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ． (二)数列 1、数列：依据必定次序摆列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无量数列：项数无穷的数列． 5、递加数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列．a n 1a n0 6、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列．a n 1a n0 7、常数列：各项相等的数列． 8、摇动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列a n的第n项与序号n之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项a n与它的前一项 a n 1（或前几项）间的关系的公式． 11、假如一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称 为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 12、由三个数a，， b 构成的等差数列能够当作最简单的等差数列，则称为 a 与b的 等差中项．若 b a c ，则称 b 为a与c的等差中项．2 13、若等差数列a n的首项是 a1，公差是d，则a n a1n 1 d ． 14、通项公式的变形：①a n a m n m d ；② a1a n n 1 d ；③d a n a 1 ； a n a1a n a m．n1 ④ n1；⑤ d d n m 15、若a n是等差数列，且 m n p q（m、n、 p 、q*），则 a m a n a p a q；若 a是等差数列，且2n p q （ n 、p、 q*），则 2a n a p a q．n 16、等差数列的前n 项和的公式：①S n n a1a n ；② S n na1 n n1 22 d ． 17、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为2n n*，则 S2 n n a n a n 1，且 S偶S奇nd ，S奇 a n．S偶a n1

高中数学必修五知识点大全

知识点串讲 必修五

第一章：解三角形 1．1．1正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 2、已知∆ABC 中,∠A 060=，a =求 sin sin sin a b c A B C ++++ 证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C ++++ 解:设sin sin a b A B =(>o)sin c k k C == 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C = 从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C ++++=k 又sin a A =2k ==，所以sin sin sin a b c A B C ++++=2 评述：在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++ 恒成立。 3、已知∆ABC 中,sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1:2:3） 1.1.2余弦定理 1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2+-=b c a A bc 222 cos 2+-=a c b B ac 222 cos 2+-=b a c C ba 2、在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A

高中数学解三角形知识点归纳和分类习题测试

必修五：解三角形 知识点一：正弦定理和余弦定理 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪ +-⎪ = ⎨⎪ ⎪+-= ⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形问题：1、已知两角和任意一边，求其他两边及一角. 2、已知两角和其中一边对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边形式或角形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得一些基本关系式进行三角变换运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===.、 1. 若ABC ∆三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆是 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若2=a ，b=2，sinB+cosB=2，则 角A 大小为 （ ）A ． 2π B ．3π C 4π D ．6 π 3. 在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、 3π B 、6π C 、4π D 、12 π 4. 已知ABC ∆中，︒=∠==60,3,4BAC AC AB ，则=BC ( ) A. 13 B. 13 C.5 D.10 5. 在锐角ABC ∆中，若2C B =，则c b 范围（ ） A ． B ． )2 C ． ()0,2 D ． ) 2 6. 在ABC ∆中，A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ， 已知2 2 2 a b c +=，则C =( ) A.2π B.4π C.23π D.34π 7.在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 8.在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、 150 9. 已知ABC ∆中，4,45AB BAC =∠=︒，AC =ABC ∆面积为_______ 10. 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,对边,且c a b C B +- =2cos cos ,则角B 大小为_______ 11.已知锐角三角形边长分别是2,3,x ，则x 取值范围是 A 、15x << B x < 、0x << 5x << 12．ABC ∆中，2,1==BC AB 则角C 取值范围是__________．