高二数学必修五 第一章解三角形
一、本章知识结构：
二、基础要点归纳
1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,
222
A B C
π+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sin
cos 22
A B C
+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,
A ＞
B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B
③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞
2π,B+C ＞2π,A+C ＞2
π
; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b
2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111
sin sin sin 222
ABC
S ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2
2
2
2cos a b c bc A =+-222
cos 2b c a A bc +-=
2
2
2
2cos b a c ac B =+-222
cos 2a c b B ac
+-=
2
2
2
2cos c a b ab C =+-222
cos 2a b c C ab
+-=
〔必修五〕第二章、数列
一、本章知识结构：
二、本章要点归纳：
1、数列的定义及数列的通项公式：
①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。 ②.n a 的求法：
i.归纳法。 ii.11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。
iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。
iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：1
1()
()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的
递推关系式.
2.等差数列：
① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。
② 通项:1(1)n a a n d =+-,0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，n a 为单调递增数
列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。 ③ 前n 项和：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。
④ 性质：i. m n p q a a a a +=+ 〔m+n=p+q 〕
ii. 假设{}n a 为等差数列，那么m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。 iii. 假设{}n a 为等差数列，那么n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。 iv 假设A 为a,b 的等差中项，那么有2
a b
A +=。 3.等比数列： ① 定义：
1
n n
a q a +=〔常数〕，是证明数列是等比数列的重要工具。 ② 通项:1
1n n a a q -= (q=1时为常数列)。
③.前n 项和,()111,11,111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪
=-⎨-=≠⎪
--⎩
,需特别注意,公比为字母时要讨论.
④.性质：i.()q p n m a a a a q p n m +=+•=•。
ii.{}
仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k
q 。 iii.{}232,,,,n n n n n n a S S S S --为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。
iv.G 为a,b 的等比中项,ab G ±=
4.数列求和的常用方法:
①.公式法:如1
3,32+=+=n n n a n a
②.分组求和法:如52231
-++=+n a n n n ，可分别求出{}3n ，{}
12n +和{}25n -的和，然
后把三部分加起来即可。
③.错位相减法:如()n
n n a ⎪⎭⎫
⎝⎛⨯+=2123，
()2
3
1
11111579(31)3222222n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
12n S =2
3
4
111579222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＋()()1
11313222n
n n n +⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两式相减得：()2
3
1
111111522232222222n
n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，以下略。
④.裂项相消法:如()n n n
n a n n n n a n n -+=++=
+-=+=
111;1
1
111，
()()1
111212122121n a n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
等。
⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n 个数12,3,,,n a a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等差数列， 求：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，〔答案：3
2
n S n =
〕
〔必修五〕第三章 、不等式
一、本章知识结构：
二、知识要点归纳：
1.不等式的性质:
① 不等式的传递性:c a c b b a >⇒>>,
② 不等式的可加性:,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:
d b c a d c b a +>+⇒⎭
⎬⎫
>> ③ 不等式的可乘性:000;0;0>>⇒⎭
⎬⎫
>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a
④ 不等式的可乘方性:00;00>>⇒
>>>>⇒>>n n
n
n b a b a b a b a
2.一元二次不等式及其解法:
①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++2
2
2
,0,0注重三者之间的密切联系。
如：2ax bx c ++＞0的解为：α＜x ＜β, 那么2
ax bx c ++＝0的解为12,x x αβ==；
函数()2f x ax bx c =++的图像开口向下，且与x 轴交于点(),0α，(),0β。 对于函数()c bx ax x f ++=2
，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。
②.注意二次函数根的分布及其应用.
如：假设方程2
280x ax -+=的一个根在〔0，1〕上，另一个根在〔4,5〕上，那么有
(0)f ＞0
(1)f ＜0
(4)f ＜0 (5)f ＞0
：
①基本不等式：
()()
00222
0221.0,0,
2
2.2.
3.2a b
a b a b ab a b a b +>>≥+≥+≥+ 当a ＞0,b ＞0且ab 是定值时，a+b 有最小值； 当a ＞0,b ＞0且a+b 为定值时，ab 有最大值。 ②简单的线性规划:
()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域. ()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是： ①.找出所有的线性约束条件。 ②.确立目标函数。
③.画可行域，找最优点，得最优解。
需要注意的是，在目标函数中，x 的系数的符号，
当A ＞0时，越向右移，函数值越大，当A ＜0时，越向左移，函数值越大。
〔选修2－1〕第二章、圆锥曲线
一、本章知识结构：
二、知识要点归纳：
1．曲线与方程：
⑴．曲线与方程的关系：
①．曲线C 上点的坐标都是方程(,)0f x y =的解； ②．以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点。
那么称曲线C 是方程(,)0f x y =的曲线，方程(,)0f x y =是曲线C 的方程。 ⑵．求曲线方程的一般步骤：
①建系、设点〔求谁设谁〕；②寻求等量关系：{p M =|()P M }；
③列方程(,)0f x y =； ④化简方程(,)0f x y =为最简形式。〔注意特殊点〕 ⑶．求曲线方程的常用方法：
①直接法：根据告诉的等量关系直接列方程；
②定义法：假设动点满足圆锥曲线的定义，可以通过求出“基本量〞来求方程； ③代入法：动点对应一个相关的点在某个的曲线上运动时；
④待定系数法：当所要求曲线类型确定，还需要通过其他条件确定系数时； ⑤消参法：当动点的x 和y 都可以用另外的一个参数来表示时。 2.椭圆：
⑴.定义：{M ︳122MF MF a +=，2a ＞12F F ｝,当12F F ＝2a 时，M 点的轨迹为线段.
⑵.椭圆的标准方程：22221x y a b += 〔a ＞0,b ＞0,222
a b c =+〕或22221y x a b
+=
⑶.椭圆的几何性质：
①.X 围：－a ≤x ≤a , -b ≤y ≤b ②.对称性：中心对称图形。
③.顶点：曲线与其对称轴的交点叫顶点.
()1,0A a -,()2,0A a ,()10,B b -,()20,B b
长轴长为2a, 短轴长为2b ④.离心率：c
e a
=
，0＜e ＜1,焦点()1,0F c -，()2,0F c ，焦距为2c ⑤.通径长：2
2b a
⑥.近地点、远地点：11A F a c =- ，21A F a c =+
⑦.焦点角：P 为椭圆上任一点，那么0≤∠12F PF ≤∠12F BF 3.双曲线：
⑴.定义：{M ︳122MF MF a -=±，2a ＜12F F ｝ 当12F F =2a 时，M 点的轨迹是两条射线。
⑵.标准方程：22221x y a b -=，〔a ＞0,b ＞0，222a b c +=〕 22221y x a b
-=
⑶.几何性质：
①.X 围：x ≤-a 或 x ≥a ,y R ∈ ②.对称性：中心对称图形
③.顶点：()1,0A a -()2,0A a ，实轴长为2a,虚轴长为2b
④.离心率：c
e a =＞1， 通径长：22b a
⑤.渐近线：b
y x a
=± 〔22220x y a b -=〕
⑥.等轴双曲线：2
2
x y λ-=〔0λ≠〕，e =y x =±
4.抛物线：
⑴.定义：{M ︳MF d =, F l ∉﹜,F 为焦点，l 为准线。 ⑵.标准方程：2
2y px =±2
2x py =± 〔FN ＝P 〕 ⑶.几何性质：〔22y px =〕
①.X 围：x ≥0,y ∈R ；对称性：关于y 轴对称；顶点O(0,0) ;离心率e=1。 ②.准线：2p x =-
，(,0)2
p
F ；通径长：2p ； ③.焦点弦问题：122
2sin p AB x x p α
=++=；2124p x x =；2
12y y p =- ④.(,0)M a 到抛物线上动点P 的最小距离：当a ≤p 时，min
PM a =
当a ＞p 时，min
PM =
5.直线与圆锥曲线的位置关系：
①.2
4b ac ∆=-,∆＞0时，相交；∆＝0时，相切；∆＜0时，相离。〔解这类题目时要
注意数形结合法的灵活应用〕
②.弦长公式：AB =
= 〔其中k 表示直线的斜率〕
注意：在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，要充分利用向量的工具作用。
〔选修1－1〕第二章、圆锥曲线
一、本章知识结构：
二、知识要点归纳：
1.椭圆：
⑴.定义：{M ︳122MF MF a +=，2a ＞12F F ｝,当12F F ＝2a 时，M 点的轨迹为线段.
⑵.椭圆的标准方程：22221x y a b += 〔a ＞0,b ＞0,222
a b c =+〕或22221y x a b
+=
⑶.椭圆的几何性质：
①.X 围：－a ≤x ≤a , -b ≤y ≤b ②.对称性：中心对称图形。
③.顶点：曲线与其对称轴的交点叫顶点.
()1,0A a -,()2,0A a ,()10,B b -,()20,B b
长轴长为2a, 短轴长为2b ④.离心率：c
e a
=
，0＜e ＜1,焦点()1,0F c -，()2,0F c ，焦距为2c ⑤.通径长：2
2b a
⑥.近地点、远地点：11A F a c =- ，21A F a c =+
⑦.焦点角：P 为椭圆上任一点，那么0≤∠12F PF ≤∠12F BF 2.双曲线：
⑴.定义：{M ︳122MF MF a -=±，2a ＜12F F ｝ 当12F F =2a 时，M 点的轨迹是两条射线。
⑵.标准方程：22221x y a b -=，〔a ＞0,b ＞0，222a b c +=〕 22221y x a b
-=
⑶.几何性质：
①.X 围：x ≤-a 或 x ≥a ,y R ∈ ②.对称性：中心对称图形
③.顶点：()1,0A a -()2,0A a ，实轴长为2a,虚轴长为2b
④.离心率：c
e a =＞1， 通径长：22b a
⑤.渐近线：b
y x a
=± 〔22220x y a b -=〕
⑥.等轴双曲线：2
2
x y λ-=〔0λ≠〕，e =y x =±
3.抛物线：
⑴.定义：{M ︳MF d =, F l ∉﹜,F 为焦点，l 为准线。
⑵.标准方程：22y px =±2
2x py =± 〔FN ＝P 〕 ⑶.几何性质：〔2
2y px =〕
①.X 围：x ≥0,y ∈R ；对称性：关于y 轴对称；顶点O(0,0) ;离心率e=1。 ②.准线：2p x =-
，(,0)2
p
F ；通径长：2p ； ③.焦点弦问题：1222sin p AB x x p α
=++=；212
4p x x =；2
12y y p =- ④.(,0)M a 到抛物线上动点P 的最小距离：当a ≤p 时，min
PM a =
当a ＞p 时，min
PM =
4.直线与圆锥曲线的位置关系：
①.2
4b ac ∆=-,∆＞0时，相交；∆＝0时，相切；∆＜0时，相离。〔解这类题目时要
注意数形结合法的灵活应用〕
②.弦长公式：AB =
= 〔其中k 表示直线的斜率〕
注意：在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，要充分利用向量的工具作用。
〔选修1－1〕第一章、常用逻辑用语一、本章知识结构：
二、知识要点归纳：
⑴命题及其关系：
①命题――能够判断真假的陈述句叫命题。如：比3小的数有两个。
②“假设p那么q〞形式的命题----P是条件，q是结论。
如：假设x 不是0,那么2x 大于0。
③．四种命题及其相互关系：
原命题：“假设p 那么q 〞,如：假设数列{}n a 是等差数列，那么n a pn q =+〔p,q 是常数〕 逆命题：“假设q 那么p 〞，如：假设n a pn q =+〔p,q 是常数〕，那么数列{}n a 是等差数列。
否命题：“假设p ⌝
那么q ⌝〞，如假设数列{}n a 不是等差数列，那么n a pn q ≠+〔p,q
是常数〕。
逆否命题：“假设q ⌝那么p ⌝〞，如：假设n a pn q ≠+〔p,q 是常数〕，那么数列{}n a 不
是等差数列。
⑵充分必要条件：
①假设有条件p,那么结论q 成立，即p q ⇒，称p 是q 的充分条件；
如：x ＞3是x ＞2的充分条件。
②假设有p 推不出q ，但由q 能推出p,即p q ⇐，那么称p 是q 的必要条件； 如：x ＞2是x ＞3的必要条件。
③假设由p 可以推出q ，由q 也能推出p,即p q ⇔，那么称p 是q 的充要条件。 如：在三角形ABC 中，A ＞B 是sinA ＞sinBd 的充要条件。
④假设由p 推不出q 同时由q 也推不出p,那么称p 是q 既不充分也不必要的条件。
如：α＞β是sin α＞sin β的既不充分也不必要的条件。 注意：证明p 是q 成立的充要条件,既要证明充分性：p q ⇒，
又要证明必要性：p q ⇔
⑶简单的逻辑联结词：
①“且〞：
假设命题p 、q 、r …等都是简单命题，那么可以得到以下复合命题： “P 且q 〞,记作p q Λ，
如：p ：非零常数列是等差数列，q ：非零常数列是等比数列。 p q Λ：非零常数列是等差数列又是等比数列。
当且仅当p 与q 都真时，p q Λ是真命题，否那么是假命题。
②“或〞：
假设命题p 、q 、r …等都是简单命题，那么可以得到以下复合命题： “P 或q 〞,记作p q ∨，
如：p ：一个无理数的平方是有理数 q ：一个无理数的平方是无理数。
p q ∨：一个无理数的平方是有理数或一个无理数的平方是无理数。〔假〕 当且仅当p 与q 都假时，p q ∨为假，否那么都是真命题。 ③“非〞
假设命题p 、q 、r …等都是简单命题，那么可以得到以下复合命题： “非p 〞记作“p ⌝〞
假设：p ：sin y x =是周期函数，p ⌝
：sin y x =不是周期函数。 命题p 与命题p ⌝
必定一真一假，互为相反。
⑷、全称量词和存在量词：
①全称命题：含有全称量词〔所有的，任意一个等〕的命题叫做全称命题。
“对M 中任意一个x ，有p(x)成立〞简记为：,()x M p x ∀∈ 如：对每一个无理数x ，2
x 也是无理数。
全称命题的否定是特称命题：存在一个无理数，2
x 不是无理数。
②特称命题：含有存在量词〔存在一个，至少有一个等〕的命题叫做特称命题。
“存在M 中的元素0x ，使p(0x )成立〞简记为：0x M ∃∈，p(0x )。 如：存在一个数列既是等差数列，又是等比数列。
特称命题的否定是全称命题：对任意一个数列，既不是等差数列，又不是等比数列。 注意“否命题〞与“命题的否定〞的区别，否命题一般是对“假设p 那么q 〞形式的命题而言， 命题的否定是对全称命题或特称命题而说的。
〔选修2－1〕第一章、常用逻辑用语
一、本章知识结构：
三、 知识要点归纳：
⑴命题及其关系：
①命题――能够判断真假的陈述句叫命题。如：比3小的数有两个。 ②“假设p 那么q 〞形式的命题----P 是条件，q 是结论。 如：假设x 不是0,那么2x 大于0。
③．四种命题及其相互关系：
原命题：“假设p 那么q 〞,如：假设数列{}n a 是等差数列，那么n a pn q =+〔p,q 是常数〕 逆命题：“假设q 那么p 〞，如：假设n a pn q =+〔p,q 是常数〕，那么数列{}n a 是等差数列。
否命题：“假设p ⌝
那么q ⌝〞，如假设数列{}n a 不是等差数列，那么n a pn q ≠+〔p,q
是常数〕。
逆否命题：“假设q ⌝
那么p ⌝〞，如：假设n a pn q ≠+〔p,q 是常数〕，那么数列{}n a 不
是等差数列。
⑵充分必要条件：
①假设有条件p,那么结论q成立，即p q
⇒，称p是q的充分条件；
如：x＞3是x＞2的充分条件。
⇐，那么称p是q的必要条件；
②假设有p推不出q，但由q能推出p,即p q
如：x＞2是x＞3的必要条件。
⇔，那么称p是q的充要条件。
③假设由p可以推出q，由q也能推出p,即p q
如：在三角形ABC中，A＞B是sinA＞sinBd的充要条件。
④假设由p推不出q同时由q也推不出p,那么称p是q既不充分也不必要的条件。
如：α＞β是sinα＞sinβ的既不充分也不必要的条件。
⇒，
注意：证明p是q成立的充要条件,既要证明充分性：p q
⇔
又要证明必要性：p q
⑶简单的逻辑联结词：
①“且〞：
假设命题p、q、r…等都是简单命题，那么可以得到以下复合命题：“P且q〞,记作p qΛ，
如：p：非零常数列是等差数列，q：非零常数列是等比数列。
p q
Λ：非零常数列是等差数列又是等比数列。
Λ是真命题，否那么是假命题。
当且仅当p与q都真时，p q
②“或〞：
假设命题p 、q 、r …等都是简单命题，那么可以得到以下复合命题：
“P 或q 〞,记作p q ∨，
如：p ：一个无理数的平方是有理数 q ：一个无理数的平方是无理数。
p q ∨：一个无理数的平方是有理数或一个无理数的平方是无理数。〔假〕 当且仅当p 与q 都假时，p q ∨为假，否那么都是真命题。 ③“非〞
假设命题p 、q 、r …等都是简单命题，那么可以得到以下复合命题： “非p 〞记作“p ⌝〞
假设：p ：sin y x =是周期函数，p ⌝
：sin y x =不是周期函数。 命题p 与命题p ⌝
必定一真一假，互为相反。
⑷、全称量词和存在量词：
①全称命题：含有全称量词〔所有的，任意一个等〕的命题叫做全称命题。
“对M 中任意一个x ，有p(x)成立〞简记为：,()x M p x ∀∈ 如：对每一个无理数x ，2
x 也是无理数。
全称命题的否定是特称命题：存在一个无理数，2
x 不是无理数。
②特称命题：含有存在量词〔存在一个，至少有一个等〕的命题叫做特称命题。 “存在M 中的元素0x ，使p(0x )成立〞简记为：0x M ∃∈，p(0x )。 如：存在一个数列既是等差数列，又是等比数列。
特称命题的否定是全称命题：对任意一个数列，既不是等差数列，又不是等比数列。 注意“否命题〞与“命题的否定〞的区别，否命题一般是对“假设p 那么q 〞形式的命题而言， 命题的否定是对全称命题或特称命题而说的。
高中数学必修五第一章《解三角形》知识 点
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理: 第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在 ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== = 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2 在ABC 中，已知 C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒ ∴ （150°-A ）. ∴ ° ·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 综合①②可得a+b 的取值范围为 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 数学·必修5(人教A版) 一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标： 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题． 3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”． “在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题． 4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广． 高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习 高中数学必修5第一章解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理: ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径 2正弦定理的一些变式： iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2R iiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4） 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】 a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB 2推论： 设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90； ②若abc，则C90；③若abc，则C90． 3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角1 2222222 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径） 12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？ 扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习 高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习 高二数学必修五 第一章解三角形 一、本章知识结构： 二、基础要点归纳 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π, 222 A B C π+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sin cos 22 A B C += ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B , A ＞ B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B ③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞ 2π,B+C ＞2π,A+C ＞2 π ; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-222 cos 2b c a A bc +-= 2 2 2 2cos b a c ac B =+-222 cos 2a c b B ac +-= 2 2 2 2cos c a b ab C =+-222 cos 2a b c C ab +-= 〔必修五〕第二章、数列 一、本章知识结构： 二、本章要点归纳： 1、数列的定义及数列的通项公式： ①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。 ②.n a 的求法： i.归纳法。 ii.11,1 ,2 n n n S n a S S n -=⎧=⎨ -≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。 iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。 iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：1 1() ()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的 递推关系式. 课题: §1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A c =， sin b B c =，又sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （证法二）：过点A 作j AC ⊥u r u u u r ， 由向量的加法可得 AB AC CB =+u u r u u u r u u r 则 ()j AB j AC CB ?=?+u r u u r u r u u u r u u r ∴j AB j AC j CB ?=?+?u r u u r u r u u u r u r u u r 第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a ====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删==== 人教版数学必修五 第一章 解三角形 重难点解析 【重点】 1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。 4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。 5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。 【难点】 1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。 4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。 【要点内容】 一、正弦定理： 在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB=c b ， sinC=1 即 c= A a sin ， c= B b sin ， c=C c sin ． ∴ A a sin = B b sin =C c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1 sin 21sin 2 1 == a b c O C A D 第一章解三角形 一、选择题 1．已知A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则 A ，C 两地的距离为()． A ．10km B ．103km C ．105km D ．107km 2．在△ABC 中，若2 cos A a ＝ 2 cos B b ＝ 2 cos C c ，则△ABC 是()． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于()． A ．15° B ．45° C ．60° D ．120° 4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝()． A ．3∶2∶1 B ．2∶3∶1 C ．1∶2∶3 D ．1∶3∶2 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则()． A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 6．在△ABC中，a＝23，b＝22，∠B＝45°，则∠A为()． A．30°或150°B．60°C．60°或120°D．30° 7．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2 )sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为()． A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不存在 8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为()． A ． 22 3 B ． 2 3 3 C ． 2 3 D ．33 9．在△ABC 中，c b a c b a －＋－＋333＝c 2 ，sin A ·sin B ＝43，则△ABC 一定是()． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 10．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是()． A ．①只有一解，②也只有一解． B ．①有两解，②也有两解． C ．①有两解，②只有一解． D ．①只有一解，②有两解． 二、填空题 11．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 12．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2 2 A ，则此三角形是__________三角形． 13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4， b ＝5，S ＝53，求 c 的长度 ． 14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2 －3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ． 15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为 4 39 3，则△ABC 的周长为________________． 16．在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ． 数学人教B 必修5第一章解三角形 知识建构 综合应用 专题一 判断三角形的形状 正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，利用余弦定理的推论如cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 把角的余弦化边，或利用sin A ＝a 2R 把角的正弦化 边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简， 从而得出结论． 常见结论有：设a ，b ，c 是△ABC 的角∠A ，∠B ，∠C 的对边， ①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°； ②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°； ④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2 . 应用1在△ABC 中， 若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形． 提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可． 应用2在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断． 专题二 恒等式的证明 证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决． 应用1在△ABC 中，求证： (1)a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C ； 必修五数学公式概念 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C == . 正弦定理推论：① 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为三角形外接圆的半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A b B c C c C === ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++===++ 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 3、正弦定理确定三角形解的情况 图 形 关 系 式 解 的 个 数 A 为 锐 角 ①sin a b A = ②a b ≥ 一 解 sin b A a b << 两 解 sin a b A < 无 解 A 为钝角或直角 b a > 一 解 b a ≤ 无 解 4、任意三角形面积公式为： 2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2ABC abc S bc A ac B ab C R r p p a p b p c a b c R A B C =====---=++= 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222cos a b c bc A =+-，222 2cos b a c ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-. 余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 6、不常用的三角函数值 15° 75° 105° 165° αsin 4 26- 4 2 6+ 4 2 6+ 4 2 6- αcos 4 2 6+ 4 2 6- 4 2 6+- 4 2 6+- αtan 32- 32+ 32-- 32+- 1.2 应用举例 1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。 2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正西或正东） 3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。 （1）方位角 （2）方向角 （3）仰角和俯角 （4）视角 4、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。 5、铅直平行：于海平面垂直的平面。 6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比h i l ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ . （5）坡角与坡比 必修五数学解三角形知识点 必修五数学解三角形知识点 判断解法 已知条件：一边和两角 一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。 已知条件：两边和夹角 一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。 已知条件：三边 一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。 已知条件：两边和其中一边的对角 一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C) ①若ab，则AB有唯一解; ②若ba，且babsinA有两解; ③若absina则无解。 p= 常用定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。 变形公式 (1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c (3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB (4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R 面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式) 余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cosC=(a²+b²-c²)/2ab cosB=(a²+c²-b²)/2ac cosA=(c²+b²-a²)/2bc 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C 解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3 ＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( ) A ．120° B ．105° C ．90° D ．75° 答案 A 解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题 7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75° 解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22 . ∵BC ＝2 高中数学必修5知识点 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高中数学（必修5）第一章：解三角形测试（一） 班级： 姓名 成绩：__________ 正弦定理及余弦定理： 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- [基础训练A 组]一、选择题 1．在ABC ∆中，角::1:2:3A B C =，则边::a b c 等于（ ） ． A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 2．以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形 3．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则角A 等于（ ）． A ．3060,或 B ．4560,或 C ．12060,或 D ．30150,或 必修五第一章解三角形 昌邑一中张秀芬 （一）单元教学整体设计 1、主要内容及目标定位： 本章的主要内容是正弦定理、余弦定理及其应用。教材采用由特殊到一般的呈现方式,以直角三角形为例证明了正弦定理.然后,用几何法通过构造直角三角形,利用勾股定理证明了余弦定理.教材通过例题说明解三角形在测量建筑物的高度、求两点间的距离,以及求力的大小等方面的应用。正、余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具.本章知识在现实生活中有着广泛的应用,通过本章的学习可以提高学生的数学建模能力. 2、教学重、难点 本章的重点是运用正、余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之有关的计算问题,运用这两个定理解决一些测量以及几何计算有关的实际问题。 本章的难点是两个定理的推导，以及运用两个定理解决实际问题. 3、教学课时与安排 本章教学时间约需8课时，具体分配如下： 1.1.1 正弦定理２课时; 1。1。２余弦定理2课时; 1。2 应用举例２课时； 实习作业1课时; 本章小结与复习１课时。 (二）每节课的教学内容分析 １。1。1正弦定理 一、教材分析 1．教材的地位和作用 本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系,在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数也有联系,在高考当中也时常考一些选择题、填空题、解答题。因此,正弦定理的知识非常重要。ﻩ2.教学的重点和难点 教学重点:正弦定理的内容,正弦定理的推导及基本应用; 教学难点:正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 专题22 正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 1．正、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 22bc cos__A ； b 2＝ c 2＋a 22ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见 变形 (1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin_C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝ c sin A cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 2 2ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)， 并可由此计算R ，r . 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6 ，则b ＝________. 2021年高中数学第一章解三角形教案完整版新人教A版必修5（一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
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