母函数

母函数

母函数思想的起源可以追溯到18世纪Jacob B的《猜度术》一书。这本书是在作者去世8年后的1713年出版的，它是早期概率论中最重要的著作。《猜度术》一书共分四个部分，其中在第二部分中，作者讨论了组合论问题。主要是运用伯努利数通过完全归纳法证明了n 为正整数时的二项式定理。在第三部分中，作者把排列和组合的理论运用到概率论中，给出了24种有关在各种赌博情形中利益预测的例子。在第四部分中作者给出了著名的伯努利大数定律:若P是事件发生一次的概率，q是该事件不发生的概率，则在n次实验中该事件至

少出现m次的概率等于的展开式中从项到包括为止的各项之和。

母函数是组合数学的一个重要理论。Jacob B考虑掷n粒骰子时所得点数总和等于m，这种场合的数目等于

的展开式中这一项的系数，开了母函数研究的先河。在18世纪，Euler L对组合方法的发

展做出了重大贡献。他关于自然数的分解与合成的研究为母函数方法奠定了基础。

1812年，法国数学家Laplace P.S. 出版了《概率的分析理论》一书。这本书第一部分的小标题为“母函数的计算”，这一部分致力于母函数计算的数学方法及其一般数学理论，这是对Euler L所提出的母函数理论的发展。所以现代学术界认为母函数方法是由Euler L和Laplace P.S. 共同发现的。由此，组合数学中的母函数理论基本建立起来了。

在当代组合学理论中，母函数是解决计数问题的重要方法。一方面，母函数可以看成是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性的数目；另一个方面，母函数是无限可微分函数的Taylor级数。如果能够找到函数和它的Talor级数，那么Taylor级数的系数则给出了问题的解。

本章主要介绍母函数的两种形式：普通型母函数和指数型母函数。然后通过一些典型问题的分析，帮助读者加深对这一方法的理解。并且在分析中，有的问题采用多种方法求解。通过对比，读者可以明显地看到用母函数的方法解决问题具有较高的效率，并且程序具有非常规范的形式，易于实现。在本章的最后，我们就组合计数的常用方法加以归纳，并用母函数的方法来描述SAT问题和顶点覆盖问题，以帮助读者更好地理解母函数的方法。

1普通型母函数

大家对图1所示的三角形一定不会感到陌生，这个三角形就是通常所说的杨辉下角形，在西方则称之为帕斯卡三角形。世界上最早研究帕斯卡二角形的是中国的贾宪。贾宪生活在大约11世纪上半叶。他发展了中国古代数学的算法理论，在算法的抽象化、程序化，一般化方面做出了极大贡献。贾宪总结了《九章算术》以来的开方程序，并创造了“开方作法本源”。在《释锁》一书中，贾宪将0~6次的二项式展开式的系数，从上而下排成三角形，并提出了增乘方求廉法作为造表法，这是世界上最早的帕斯卡三角形。继贾宪后，在杨辉(1261)、朱世杰(1303)、吴敬(1450)的著作中，都有关于帕斯卡三角形的研究。在欧洲，15世纪的阿拉伯数学家Al-KashiG于1427年在《算术之钥》一书中给出了一个二项式展开式的系数表，这是欧洲对帕斯卡三角形的最早研究；而法国数学家Pascal B则于1654年在《算术三角形》中给出了如图2所示的三角形，但没有给出证明。

在杨辉三角形中的第n行的数字就是的展开式从低项到高项的各项系数。其实，它的展开式就是一个母函数。我们首先从分析开始来学习母函数。

首先分析(1+x)的物理意义。它和选择物品的情形联系了起来。

在构造和分析一个母函数时，“1”一般都看做，虽然，但是比1具有更为丰富的物理意义。这样，可对应于从n个物品中选取物品的情况。在这n个物品中，如果没有选取第i () 个物品，则相当于从第i个括号中取出了;如果选取了第i个物品，则相当于从第i个括号中取出了；由于对于每一件物品而言，“选”与“不选”这两个事件是相互排斥的，也就是说，不可能同时做这两件事情，也不可能这两件事情都不

做。所以每一个括号写为1 +x，这是加法原理的应用。

再来分析。(1+x)表示对于每一件物品，都有“选”与“不选”两种可能性。而

对于总共的n个物品而言，都要做出这样的选择，也就是说，对于每一件物品，都要决定“选择它”或者是“不选择它”，所以在这个时候就需要用到乘法原理了。也就是把n个(1+x)乘

起来，就得到了。这样在一个具体的选择中，如果没有选择第i个物品，则相当于从第i个括号中取出了；如果选择了第i个物品，则相当于从第i个括号中取出了。这样，在的展开式前面的系数就是从n个物品中选取i个物品的所有组合情况的总数。即的展开式

中前面的系数就是从n个物品选取i个物品的所有组合情况的总数。

下面我们给出普通型母函数的定义。

定义1给定数列，构造一函数

称F(x)为数列的母函数，其中序列只作为标志用，所以称之为标志函数。

标志函数的最有用和最重要的形式是。在这种情况下，对于数列

的母函数为

这是我们研究的重点。

普通型母函数用下面的定理描述。

定理1设从n元集合中取k元素的组合是，若限定元素出现的次数集合为，则该组合数序列的母函数为

下面举几个简单的例子帮助读者理解普通型母函数的概念。关于普通型母函数在程序设计竞赛中的具体应用读者可在本章后面几节中看到。

例1有重量为1, 3, 5（克）的砝码各两个，问:

(1)可以称出多少种不同重量的物品?

(2)若要称出重量为7（克）的物品，所使用的砝码有多少种本质不同的情况?

解根据定理1，构造母函数如下

其中，第一个括号中的1表示可以不用重量为1的砝码，x表示可以使用1个重量为1的砝码，表示可以使用2个重量为1的砝码。同理，第二个括号中的1表示可以不用重量为3的砝码，表示可以使用1个重量为3的砝码，表示可以使用2个重量为3的砝

码，以此类推。我们将上面的多项式展开后，比如多项式扩，它表示我们可以用2个重量为1的砝码和1个重量为5的砝码来称出重量为7的物体，代表了一种称

重量的方法。显然当把G(x)展开并将指数相同的项进行合并后有多少个系数非0的项，就代表了可以称量出多少种不同重量的物品，而相应的前而的系数则表明了称量出重量为i的物品可选砝码的方案数。

所以，项前面的系数就是本题第二问的解，而G(x)的展开式中系数不为0的项的个数就是我们所求的方案数。

例2投掷一次色子，出现点数的概率为1/6。问连续投掷10次，出现的点数之

和为30的概率是多少?

解用多项式

表示投掷一次可能出现的点数，则连续投掷10次，其和为30的方法总数为

中的系数，而

所以的系数为

=2930455

故其所求概率为

例3求多重集合的每个至少出现一次的K-组合数。

解依题意，可构造母函数

所以可得

2指数型母函数

在1节中介绍的普通型母函数用来求解多重集的组合问题，而解决多重集的排列问题时，则需要引入另外一种形式的母函数，这就是在本节中所要介绍的指数型母函数。

指数型母函数由下面的定理来加以描述。

定理2从多重集合中选取k个元素的k- 排列中，若限定元素出现的次数集合为，则该组合数序列的母函数为

在应用指数母函数解题时，我们经常需要应用的Taylor展开式，即

对此稍加变换便可得到

关于级数的有关知识可以参考附录。

比较普通型母函数和指数型母函数，可以看到普通型母函数的标志函数为

而指数型母函数的标志函数为

关于指数型母函数的标志函数的物理意义可以这样来理解。对于

表示在一个方案中某个元素出现了j次，而在不同位置中的j次出现是相同的，所以在计算排列总数时，只应算作一次。由第3章的知识可以知道，最后的结果应该除以j! 。

在应用指数型母函数时，还应该特别注意，对于一个指数型母函数的展开式

我们应将化为这样的形式

在指数型母函数中，只有才是我们所需要的结果。读者在下面两个例题中可

以体会出这一点。

例4 设有六个数字，其中三个数字1，两个数字5，一个数字8。问能组成多少个四位数?

解这实际上是求中取四个的多重集排列数问题。其指数型母函

数为

所以可以组成38个四位数。

例5多重集合的k- 排列数序列的指数型母函数为

我们发现在这道题目中运用指数型母函数得到的结果与直接用排列组合的知识求得的结果是一样的。

例6由1,2,3,4这四个数字能组成多少个五位数?要求这五位数中1出现两次或三次，2最多出现一次，4出现偶数次。

解1出现两次或三次，对应的母函数为

2最多出现一次，对应的母函数为

3的出现次数不做要求，对应的母函数为

4出现偶数次，对应的母函数为

所以可得母函数如下

所以满足题意的五位数有

3质数分解问题

3.1问题描述

任何大于1的自然数n都可以写成若干个大于等于2且小于等于n的质数之和的表达式（包括只有一个数构成的质数之和的表达式的情况），并且可能有不止一种质数和的形式。例如，9的质数和表达式就有四种本质不同的形式：9=2+5+2=2+3+2+2=3+3+3=2+7 这里所谓两个本质相同的表达式是指可以通过交换其中一个表达式中参加和运算的各个数的位置而直接得到另一个表达式。

试编程求解自然数可以写成多少种本质不同的质数和表达式。

3.2试题分析

构造普通型母函数如下

在第一个括号中，的指数都为2的倍数，其中“1”可以看做；在第二个括号中，的指数都为3的倍数，在第三个括号中，的指数都是5的倍数，……，在任意一个括号中，的指数一定都为某一质数的倍数，将多项式展开后，前面的系数便是我们所求的方案数。例如，对于题中所给出的式子：9=2+5+2=2+3+2+2=3+3+3=2+7，我们可写成指数的形式

上面式子的第一行表示，在第一个括号中提出，在第二个括号中提出1，在第三个括号中提出。这样便得到了。对于第二、三、四行的意义也如此。下面给出参考程序代码。

参考程序1:example3

programs examples 3;

const

infile=’input.txt’;

outfile=’output.txt’;

var

dada,s:array[0..100] of longint; {data记录展开多项式的系数}

info:array[1..46] of integer; {数组info记录200以内的所有质数}

l,n:integer;

ans:longint;

procedure makeinfo; {产生200以内的所有质数}

var

i,j:integer;

check:Boolean;

begin

info[1]=2;

l:=1; {l表示质数的个数}

for i:=2 to 200 do

begin

Check:=true;

for j:=2 to trunc(Sqrt(i))+1 do

if (i mod j=0) then

begin

check:=false;

break;

end;

if check then {当i是质数时进入数组} begin

inc(l);

info[l]:=i;

end;

end;

end;

procedure done;

var

I,j,k:longint;

begin

fillchar(data,sizeof(data),0); {初始化操作}

for k:=0 to trunc(n/2)do data[k*2]:=1;

for j:=2 to 46 do {将多项式展开}

begin

fillchar(s,sizeof(s),0);

if info[j]>n then break;

for i:= 0 to n-1 do

if data[i]>0 then

for k:=1 to trunc((n-i)/info[j])+1 do inc(s[i+info[j]*k],data[i]);

for i:=0 to n do inc(data[i],s[i]);

end;

end;

procedure main; {主程序}

var

fl,f2:text;

begin

assign(f1,infile);

reset(f1);

assign(f2,outfile);

rewrite(f2);

while not (eof(f1)) do

begin

readln(f1,n);

ans:=0;

done;

writeln(f2,data[n]);

end;

close(f1);

close(f2);

end;

begin

makeinfo;

main;

end.

4“红色病毒”问题

4.1 问题描述

最近医学研究者发现了一种新病毒，因为其蔓延速度与最近在Internet上传播的“红色代码”不相上下，故被称为“红色病毒”。经研究发现，该病毒及其变种的DNA的一条单链中，胞嘧啶、腺嘧啶均是成对出现的。这虽然是一个重大发现，但还不是该病毒的最主要特征，因为这个特征实在太弱。为了搞清楚该病毒的特征，软件工程师Grant对此产生了兴趣。他想知道在这个特征下，可能成为病毒的DNA序列的个数。更精确地说，Grant需要统计所有满足下列条件的长度为n的字符串的个数：

(1)字符串仅由A、T、C、G四个英文字母组成。

(2)A出现偶数次(也可以不出现)。

(3)C出现偶数次(也可以不出现)。

当时，所有满足条件的字符串有如下六个:TT、TG、GT、GG、AA、CC。

由于这个数可能非常庞大，你只需给出最后两位数字即可。

4 .2试题分析

这道题目的解法有许多种，在此讨论本题的母函数解法。由于字符串由A、T、C、G四个英文字母组成，且每个字母的出现次数均可多于一次，所以此题可应用指数型母函数求解。

设是满足条件的长度为n的字符串个数，则对于数列的指数型母函数为

其中第一个括号表示A、C只能出现偶数次(包括不出现的情况)，第二个括号表示T、G可以出现任意多次，化简原式得

所以有

即为满足条件的、长度为的字符串的个数目

令，则就是本题的解。因为题目中输入数据的范围是，所以需要对进行化简。

对于，当时，

当时，

又当时，且

对于，20是它的一个周期。

问题分析到这里便得到了解决。

参考程序2 : example4

Program example4

const

infile=’input.txt’;

outfile=’output.txt’;

var

a1,a2:extended;

ans:array[1..24] of integer;

I,n,j:longint;

f1,f2:text;

begin

assign(f1,infile);

assign(f2,outfile);

reset(f1);

rewrite(f2);

for j : =1 to 24 do {产生n=1 , 2时的特殊情况和一个周期的结果} begin

a1:=1;

a2:=1;

for i:=1 to j-1 do

begin

a1:=trunc(a1*2) mod 100;

a2:=trunc(a2*4) mod 100;

end;

ans[j]:=trunc(a1+a2) mod 100;

end;

readln(f1,n);

while (n<>0) do

beg in

if n<4 then j:=n

eise begin

j:=(trunc(n) mod 20);

if j <4 then j:=j+20;

end;

writeln (f2,ans[j]);

readln(f1,n);

end;

close(f1);

close(f2);

end.

5“自共轭Ferrers图”问题

5.1 问题描述

整数的拆分问题是组合数学中的一个基本问题。一个整数的拆分是指把这个整数分成若干个与次序无关的正整数之和。在人们研究整数拆分问题时，为了直观地帮助人们的思维，

可以用Ferrers图来表示。

Ferrers图是一个自上而下的层格子，且上层格子数不少于下层格子数，如图3所示，图中的虚线称为Ferrers图的虚轴。

若将图3绕虚轴旋转，即将第一行与第一列对调，将第二行与第二列对调，……，这样所得到的图仍为Ferrers图，如图4所示。

这两个图称为一对共扼Ferrers图。有一些Ferrers图，沿虚轴转换后

的Ferrers图仍为它本身，也就是说这个Ferrers图关于虚轴对称，那么这

个Ferrers图称为自共轭Ferrers图。图5便是一个自共扼Ferrers图。

在组合数学中，一个含有个格了的Ferrers图对应一个数的拆分。在

本题中，我们称含有个格子的Ferrers图的大小为。例如把6拆分成三

个整数3,2,1之和，即6=3+2+1，对应的Ferrers图的第一行有3个格子，

第二行有2个格子，第三行有1个格子，如图5所示。这个Ferrers图的

大小为6。

由于一个整数拆分成若干个整数之和的拆分方法是不惟一的，所以

说一个大小为的Ferrers图的数量也是不惟一的。现在需要寻找的是大小为的自共扼

Ferrers图的总数。

5.2 试题分析

组合数学中的Ferrers图是组合计数的重要工具，对自共扼Ferrers图的深入理解是解决这道题目的出发点。在组合数学中，关于自共扼Ferrers图有下面一个性质：整数的Ferrers

图为自共轨的数量与整数n拆分成若干个互异的奇数的拆分数相等。由此可以推出一个结论:若一个整数的Ferrers图是自共扼的，则这个整数必定能拆分成若干个互异的奇数，这是解题的关键。这一结论是不难理解的。因为一个Ferrers图若为自共扼的，那么这个图第一行的格子数和第一列的格子数一定是相等的，由于它们共用左上角的一个格子，所以这些格子数量之和一定为奇数；若去掉第一行和第一列后，剩下的第一行的格子数和第二列的格子数

也一定是相等的;若去掉第行和第列后，剩下的第行和第列的格子数也是相等的。所以说一定可以把n拆分成若干个奇数的和。由于ferrers图中第层中共有格子数不能

多于第层格子数，所以这些奇数一定互异。一个大小为6的自共扼Ferrers图用这样的方法拆分得到的图形如图5.6所示，对应的表达式为6=5+1。

1.算法1:用递推法求解

用表示大小为且第一行和第一列均有个格子的自共扼Ferrers图的总数，令

我们所要求解的方法总数为

其中，且。

经过分析可知

其中，且

初始条件为

有了上面两个递推公式，便不难求解此题了。

参考程序3: examples5_1

program example5_1;

type

a=array [ 1..200] of lonqint;

const

infile=’ferrers.in’;

outfile=’ferrers .out’;

var:integer;

ans:longint;

d:array [1..400] of of ^a;

procedure init;

var

f:text;

x:integer;

begin

assign(f,infile);

reset(f);

readln (f, n); {读入数据}

for x:=1 to n do {申请动态存储空间，并进行初始化操作} begin

new(d[x]);

fillchar(d[x]^,sizeof(d[x]^),0);

end;

close(f);

end;

procedure done; {运用上面建立的递推关系求解本题}

var

i,j,k,l,x:longint;

begin

d[1]^[1]:=1;

i:=1:

while (i

begin

i:=i+2;

k:=(i+1) div 2;

d[i]^[k]:=1;

end;

for i:=2 to n do

begin

k:=(i+1) div 2;

for j:=2 to k do

begin

l:=0;

repeat

inc(l);

until (l*l>=i-2*j+l) and (l*l

for x:=1 to j-1 do d[i]^[j]:=d[i]^[j]+d[i-2*j+l]^[x];

end;

end;

l:=0;

repeat

inc(l);

until (l*l>=n) and(l*l-2*j+l

x:=(n+1)div 2;

for i:=1 to x do ans:=ans+d[n]^[i];

end;

procedure out; {输出结果}

var

f:text;

begin

assign(f,outfile);

rewrite(f);

if ans>0 then writeln(f,ans)

else writeln(f,’NO ANSWER’);

close(f);

end;

begin

init;

done;

out;

end.

2. 算法2:用母函数求解

是否有更好一些的算法呢?在上面的分析中，我们发现：若一个整数的Ferrers图是自共轭的，则这个整数必定能拆分成若干个互异的奇数。反之，若干个互不相同的奇数必对应于一个自共扼Ferrers图。于是这个问题的解就是母函数

的展开式中项的系数，若项的系数为0，则说明不存在大小为的自共轭Ferrers图。

参考程序4：examples5_2

program example5_2;

const

infile=’ferrers.in’;

outfile=’ferrers.out’;

var

n:integer;

ans:longint;

procedure init;读入数据}

var

f:text;

begin

assign(f,infile);

readln(f,n);

close(f);

end;

procedure out; {输出结果}

var

f:text;

begin

assign(f,outfile);

rewrite(f):

if ans>0 then writeln(f,ans)

else writeln(f,’NO ANSWER’);

close(f);

end;

procedure done; {计算中项的系数}

var

i,j,k:longint;

data,s:array [0..300] of longint;

begin

fillchar(data,sizeof(data),0);

data[0]:=1;

dada[1]:=1;

for j:=2 to trunc(2*n-1) do

begin

fillchar(s,sizeof(s),0);

for i:=0 to n d0

if data[i]>0 then begin

if (i+2*j-l<=n) then inc(s[i+2*j-1],data[i]);

inc(s[i],data[i]);

end;

for i:=0 to n do data[i]:=s[i];

end;

ans:=data[n];

end;

begin

init;

done;

out;

end.

3.两种算法的比较

对这两个程序运行的时间进行比较，我们得到表5.1所示的结果。

比较这两个算法所使用的空间。算法1的空间复杂度为。算法2的空间复杂

度为。由此可见，运用母函数的原理设计的算法，无论是在时间上还是空间上，

都要比普通的递推算法高效得多。

实际上，算法2参考程序4在空间上还有进一步优化的余地。首先考察我们在前面给出的母函数

程序的执行过程就是将这个多项式展开并求得项的系数。假设现在已经将前p个括号展

开，得到展开后的多项式为

第p+1个括号中的多项式为，则将前p+1个括号展开后的结果为

即

所以在计算时，可将已经得到的多项式中的每一项(按照的递减顺序)直接乘以，即执行操作。

经过修改后的done子过程代码如下:

procedure done;

var

i,j,k:longint;

data:array[0..300] of longint;

begin

fillchar(data,sizeof(data),0);

data[0]:=1;

data[1]:=1;

for j:=2 to trunc(2*n-1) do

for i:=n downto 0 do

if data[i]>0 then

if (i+2*j-1<=n) then data[i+2*j-1]:=data[i+2*j-1]+data[i];

ans:=data[n];

end;

算法2经过这样的修改后，空间复杂度降为，时间复杂度与原来的算法相同。

母函数

母函数 （生成函数）（发生函数）（发生函数） 英文：generating function 我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换） §1 母函数 利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k =≥的知识，我们用一个母函数 +++=∑=≥2 2100 )(x a x a a x a x g k k k 这里x k 是指数函数 来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转 记为成函数。 假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。 这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数 指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的 母函数仅只是序列的另一种表示。如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{} 2,,1ωω的母函数为 +++++=rx x x x F r cos 2cos cos 1)(2ωωω 另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ， x x x x x 411)1()1()1(6)1(212 2 -=-+++-+++ 故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。

函数的易错点分析

函数的纠错笔记 易错点一：求定义域忽视细节致误。 例题1：（1 ）求函数0 ()f x =的定义域。 （2 ）求函数y = 错因分析：（1）忘了分析0的0次无意义，导致在定义域中多了解；（2）把看成是真数减2，即由得真数且，所以，另外出现忽略真数大于零的错误：如由，得。 正解分析： （1）由函数解析式有意义知256010||0x x x x x ?-+≥?-≠??+>? 得3210x x x x ≥≤??≠??>?或即0132x x x <<≥≤或或 故函数的定义域是()(][)0,11,23,+∞U U （2）由12log 200 x x -≥????>?，解得104x <≤所以函数定义域是10,4?? ???。 误区分析：求函数定义域，关键是依据含变量的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定非负；对数式中的真数是正数；涉及到对数或指数不等式的求解，应依据单调性来处理。 变式练习： 已知函数()f x 的定义域为(),a b ，求函数(31)(31)f x f x -++的定义域。 错因分析：理解错()f x 的定义域与(31)(31)f x f x -++的定义域之间的关系，致使(31)f x -函数的定义域由31a x b <-<得，函数(31)f x +的定义域由31a x b <-<得，这样得到的定义域就是()31,31a b +-。 正解分析：由3131a x b a x b <-此时，函数的定义域为11,33a b +-?? ??? 。 误区分析：复合函数中定义域的求法：在复合函数中，外层函数的定义域是由内层函数决定的，即已知[]()f g x 的定义域为(),a b ，求()f x 的定义域方法是利用a x b <<，求得()g x 的范围即为函数()f x 的定义域。而已知()f x 的定义域(),a b ，求函数[]()f g x 的定义域，

Python实现接受任意个数参数的函数方法

Python实现接受任意个数参数的函数方法 Python开发如今已经深入到人们的生活之中，本篇小编给大家分享一下Python实现接受任意个数参数的函数方法，喜欢Python想要了解学习的小伙伴就随着小编一起来了解一下吧。 其实，在C语言中这个功能是熟悉的，虽说实现的形式不太一样。C语言中的main函数是可以实现类似的功能的，可以通过这种方式实现一个支持命令行参数的程序。 先写一段python实现相应功能的示范代码： defFuncDemo(*par): print("number of pars: %d" %len(par)) print("type of par: %s" %type(par)) i = 0 if len(par) != 0: for p in par: i = i + 1 print("%d par is:%s" %(i,p)) 加载后运行测试交互记录： >>>FuncDemo() number of pars: 0 type of par: >>>FuncDemo(1,2,3) number of pars: 3 type of par: 1 par is: 1 2 par is: 2 3 par is: 3 >>>FuncDemo(1,2,3,'abc') number of pars: 4 type of par: 1 par is: 1

2 par is: 2 3 par is: 3 4 par is: abc 这基本上就是Python实现接受任意参数函数的方法以及应用，接下来小结一下相应的知识。 实现Python接受任意个数参数的函数，在形式上比较简单。就是在参数前面加上一个星号，这样相应的参数位置就能够接受任意个参数。相应的参数在函数中是一个元组，从上面交互的结果也能够看得出。 其实，这个功能还能能够支持字典的传入。如果是字典的传入，那么就需要传入成对儿的参数。 以上就是小编给大家分享的Python实现接受任意个数参数的函数方法，希望对小伙伴们有所帮助，想要了解更多内容的小伙伴可以登录扣丁学堂官网咨询。

概率论上的母函数

概率论上的母函数（genera t ing fucnc t ion ）定义： 若随机变量ξ取非负整数值，且相应的分布列为： （ 0，1，2） （ p 0，p 1，p 2 ） 则p k *s k （k 从0到无穷）的和为s 的函数，此函数称为的母函数。 特征函数 (概率论) 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X 是任何具有该分布的随机变量： ()()itX X t E e ?= 其中t 是一个实数，i 是虚数单位，E 表示期望值。 用矩母函数M X (t )来表示（如果它存在），特征函数就是iX 的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 ()()()X iX X t M t M it ?== 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X 是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： ()()itX itx X E e e dF x ∞ -∞=? 在概率密度函数f X 存在的情况下，该公式就变为： ()()itX itx X E e e f x dx ∞ -∞=? 如果X 是一个向量值随机变量，我们便取自变量t 为向量，tX 为数量积。 R 或R n 上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X (x ) = f X (-x )）是实数，因为从x >0所获得的虚数部分与从x <0所获得的相互抵消。 性質 连续性

勒维连续定理 勒维连续定理说明，假设1()1n n X ∞ ==为一个随机变量序列，其中每一个X n 都有特征函数?n ，那么 它依分布收敛于某个随机变量X ： D n X X ??→当 n →∞ 如果 pointwise n ??????→ 当 n →∞ 且? (t )在t =0处连续，?是X 的特征函数。 莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。 反演定理 在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。 给定一个特征函数?，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F ： 1()()()lim 2itx ity X X X e e E y E x t dt it τττ?π--+-→+∞--=? 一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。[1] 博赫纳-辛钦定理/公理化定義 博赫纳定理 任意一个函数?是对应于某个概率律μ的特征函数，当且仅当满足以下三个条件： 1. ? (t )是连续的； 2. ? (0)=1； 3. ? (t )是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与? (t )>0不等价）。 計算性质 特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X 1、X 2、……、X n 是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且 1n n i i i S a X ==∑

函数教材分析解读

《函数》教材分析 1、哪儿发生变化，哪没变？从教材内容，（或添加、删减），内容 没变，但是呈现方式发生改变，体现的理念变化，为什么这么 变？实际上是要学有用的数学，身边的数学，应用数学，学是 为了用，设计思想，体现的理念。做数学，让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来，要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化，技术所起的作用。技术的使用，引起学习方式的改变，怎么用？明确指出需要用技术的地方，形与数要结合。使用技术到非用不可，举例说明。重点！ “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社

会中的简单问题。” 二、内容安排： 函数这章教材共分个大节：第一大节是函数的概念及函数的一般性质；第二大节是指数与指数函数；第三大节是对数与对数函数；第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段，初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象，并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等，使学生获得感性知识；本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段，用集合、映射的思想理解函数的一般定义，通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分，极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。 高中的函数知识是在初中的基础上学习的，主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看，函数是集合A到集合B的映射（A、B是非空数集），映射是特殊的对应，函数是特殊的映射，反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点，要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景，通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质，反之，函数性质又直观反映在图象上，指导准确作出函数图象。

s波接收函数

竭诚为您提供优质文档/双击可除 s波接收函数 篇一：接收函数方法软件 1接收函数研究概况： 转换波的地壳测深方法自70年代被介绍到我国，并曾经成为除人工地展测深以外研究地壳和上地幔结构的重要方法(邵学钟和张家茹，1978；刘启元和邵学钟，1985；张家茹和邵学钟，1994)。它利用远震p波入射到台站下方时在介质间断面上产生的ps转换震相与透射p波的相对到时差研究地下介质间断面的深度分布。 转换波测深的一些主要思想在进一步的接收函数研究中得到了极大发展。 langston(1979)利用远震p波波形的这个特点提出了等效震源假定，并提出了从长周期远震体波波形数据中分离接收台站下地球介质对入射p波的脉冲响应(即接收函数)的方法。owensetal.(1984)将接收函数的方法进一步扩展到宽频带记录的情况，并发展了相应的远震体波接收函数的线性波形反演方法。利用远震接收函数反演方法，人们可以根据宽

频带远震p波的波形数据获得台站下方岩石圈的s波速度结构。 其理论和方法也获得了不断的改进和发展.其中， randall(1989)提出了计算微分地震图的高效率方法，ammonetal.(1990)针对接收函数反演的非唯一性提出了保 留接收函数径向分量绝对振幅的接收函数分离方法。刘启元等(1996)提出了从宽频带地震台阵资料获取三分量接收函 数的方法并实现了基于tarantola矢量反演理论的接收函数非线性反演方法，接收函数的反演方法在国内外己获得了日益广泛的实际应用。 在研究基于一维介质假设的接收函数及其反演方法的 同时，针对接收函数切向分量上地震波能量的研究也在同时进行。主要是研究介质的非均匀性，各向(:s波接收函数) 异性。 zandt刘启元等，1996）、同步时间域反褶积（gurrolaetal.,1995），以及迭代反褶积方法（kikuchiandkanamori,1982;ligorriaandammon,1999）等。 wiener滤波反褶积以远震p波波形的垂直分量作为输入，以接收函数作为滤波因子，以远震p波波形的水平分量（径向和切向）作为期望输出，通过远震p波波形垂直分量与接收函数的褶积得到wiener滤波器的实际输出，以期望输出 与实际输出的均方误差取极小，作为求取接收函数的准则。

《函数》教材分析

第三章《函数》教材分析 本章为函数，共6节，内容如下映射、函数、作函数图像的描点法、函数的性质、反函数、函数的应用举例. 本章共需17课时，具体分配如下： 3.1映射约1课时 3.2 函数约3课时 3.3作函数图像的描点法约2课时 3.4函数的性质约3课时 3.5 反函数约2课时 3.6 函数的应用举例约2课时 小结与复习约4课时 一、内容与要求 函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、 积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本 概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函 数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数中学的其他数学内容也都与函数内容有关 函数在中学教材中是分三个阶段安排的第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一 次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次 函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象 及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用 集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数 的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下 良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成 学的限定选修课中安排的，选修Ⅰ的内容有极限与导数，选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的 基础知识 (一)内容安排 本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念，这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的而且有利于初中和高中知识的自然过渡和衔接 映射是在学习完集合与函数的基本概念之后学习的它是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念学习集合的映射概念的目的主要为了进一步理解函数的定义 的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随 - 1 -

什么是接收函数

竭诚为您提供优质文档/双击可除 什么是接收函数 篇一：几种收敛函数的介绍 概率论中的收敛-正文 概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极 限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。 设{xn,n≥1}是概率空间(Ω,F,p)（见概率）上的随机 变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：以概率1收敛若,则称｛xn,n≥1｝以概率1收敛于x。强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样 本观测值的算术平均分别以概率1收敛于该事件的概率和总体的均值。以概率1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。 依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{xn,n≥1}依概率收敛于x。它表明随机变量xn与x发生较大偏差(≥ε) 的概率随n无限增大而趋于零。概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件A发生的频率依概率收敛于其概率p(A)的。依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。

r阶平均收敛对r≥1,若xn-x的r阶绝对矩(见矩) 的极限,则称{xn,n≥1}r阶平均收敛于x。特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。 弱收敛设xn的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y 都有 可以推出弱收敛。 从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。,则称{xn,n≥1}弱收敛于x。由平均收敛分布弱收敛设Fn、F分别表示随机变量xn、x的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称xn的分布Fn弱收敛于x的分布F,也称xn依分布收敛于x。分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数?(x)，imgsrc="image/254-6.gif"align="absmiddle">。 分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。 分布淡收敛设{Fn(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是分布函数），若对F(x)的每一个连续点x

浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用

浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用 申广君 （安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003） [摘 要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。 ［关键词 特征函数 母函数 应用 ［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。 一、特征函数 （一）特征函数的定义及性质 设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itX e 的数学期望itX Ee 为随机变 量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ?，即)()(x dF e Ee t itX itX X ?+∞∞ -==?，其 中1-=i ， R t ∈。 分析 按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。由于对任意实数R t ∈，都有 1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。并且它能把 寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。下面介绍特征函数的主要性质 性质1 如果随机变量n X X X ,...,,21相互独立，则有∏==∑ =n i X X t t i n i i 1 )()(1 ?? 。 分析 特征函数的这一性质在证明随机变量列的极限问题时将发挥重要作用，然而这一性质的逆不成立。在教学中我们举如下例子来说明逆不成立，以此来加深学生对此性质的理解。 例1设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ???<<-+=.,01||,1||)],(1[41 ),(22其他； y x y x xy y x p ， 可以证明Y X +的特征函数等于Y X ,的特征函数的乘积，但是X 与Y 并不相互独立。 性质2 如果随机变量X 有n 阶（原点）矩，则它的特征函数可微分n 次，并且有 n k i EX k X k k ,...,2,1),0()() (=-=? 成立。 分析 性质2表明，如果已知随机变量的特征函数，且其矩存在，则可以通过对特征函数微分来求得随机变量的矩，这比由分布函数通过积分求矩要简单的多。 （二）特征函数的应用举例 1求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算 在概率论中，独立随机变量和的问题占有“中心”地位，用卷积公式去处理独立随机变量和的问题是常用的方法但相当复杂，然而可以很方便的运用特征函数相乘求得独立随机变量和的特征函数，由此大大简化了处理独立随机变量和的难度。

接收函数法基本原理

深部速度结构反演的接收函数法 3.1远震P 波波形接收函数的求取方法 接收函数法是利用远震P 波波形的单台记录来反演台站下方一维S 波速度结构的波形反演方法。远震P 波波形含有关于震源时间函数、源区介质结构、上地幔传播路径以及接收区介质结构的丰富信息。远震P 波波形与这些影响机制的关系可表示成： )(*)(*)(*)(*)()(t I t M t M t M t S t D R Ray S = （6） 其中：)(t D 为所记录的远震P 波波形数据； )(t S 为震源时间函数； )(t M S 为近源介质结 构响应；)(t M Ray 为P 波在地幔中传播的透射响应； )(t M R 为台站下方接收介质的响应；)(t I 为仪器响应。 在以上因素中，除了仪器响应外，其它因素都是难以一一加以确定的。而只有台站下方介质的响应才是我们所感兴趣的、可用来反演台站下方地壳、上地幔速度结构的波形信息。因此要有一种方法将接收介质的响应从整个P 波波形中分离出来，而接收函数法就是这样一种行之有效的方法。Langston(1979)提出用震源等效化方法来消除有效震源时间函数对远震P 波波形的影响，得到了所谓的接收函数。他认为从一系列水平分层或倾斜分层介质底部入射的平面P 波产生的地表位移响应在时间域可表示为： ?????===)(*)(*)()()(*)(*)()()(*)(*)()(t E t S t I t D t E t S t I t D t E t S t I t D T T R R V V （7） 其中，)(t S 代表入射平面波的有效震源时间函数，)(t I 代表仪器的脉冲响应，)(t E V 、)(t E R 、)(t E T 分别代表介质结构脉冲响应的垂直分量、径向分量和切向分量。 对于许许多多波形简单的远震事件的观测表明，深源远震地表位移的垂直分量表现为尖脉冲的时间函数与仪器响应的褶积，紧随其后的续至震相非常小（Burdick and Helmberger,1974）。理论计算也表明，即使地壳内存在角度适中的强速度界面，陡角度入射P 波所产生的转换波及地壳内部的鸣震震相的垂直分量也是非常小的（Burdick and Langston,1977）。因此，可以认为介质结构响应的垂直分量近似为Dirac 函数，即： )()(t t E V δ≈ （8） 显然在（8）的假设条件下，地表位移的垂直分量可作为与接收介质响应无关的远震P 波波形的影响因素， 也就是说，地表位移的垂直分量可以近似为仪器响应和有效震源时间函数

15个常用EXCEL函数,数据分析新人必备

15个常用EXCEL函数,数据分析新人必备 本文实际涵盖了15个Excel常用函数，但是按照分类只分了十类。 很难说哪十个函数就绝对最常用，但这么多年来人们的经验总结，一些函数总是会重复出现的。 这些函数是最基本的，但应用面却非常广，学会这些基本函数可以让工作事半功倍。 SUM 加法是最基本的数学运算之一。函数SUM就是用来承担这个任务的。SUM的参数可以是单个数字、一组数字，因此SUM的加法运算功能十分强大。 统计一个单元格区域： =sum(A1:A12) 统计多个单元格区域： =sum(A1:A12,B1:B12) AVERAGE 虽然Average是一个统计函数，但使用如此频繁，应在十大中占有一席之位。 我们都对平均数感兴趣。平均分是多少？平均工资是多少？平均高度是多少？看电视的平均小时是多少？

Average参数可以是数字，或者单元格区域。 使用一个单元格区域的语法结构： =AVERAGE(A1:A12) 使用多个单元格区域的语法结构： =AVERAGE(A1:A12,B1:B12) COUNT COUNT函数计算含有数字的单元格的个数。 注意COUNT函数不会将数字相加，而只是计算总共有多少个数字。因此含有10个数字的列表，COUNT函数返回的结果是10，不管这些数字的实际总和是多少。 COUNT函数参数可以是单元格、单元格引用，甚或数字本身。 COUNT函数会忽略非数字的值。例如，如果A1:A10是COUNT函数的参数，但是其中只有两个单元格含有数字，那么COUNT函数返回的值是2。 也可以使用单元格区域作为参数，如： =COUNT(A1:A12) 甚至是多个单元格区域，如： =COUNT(A1:A12,B1:B12) INT和ROUND INT函数和ROUND函数都是将一个数字的小数部分删除，两者的区别是如何删除小数部分。

习题2 母函数

习 题 二 2-1 求下列数列的母函数（n ＝0,1,2，…）： （1）()??? ? ?????? ??-n n α1 ； （2）{ n ＋5 } （3）{ n (n －1) } ； （4）{ n (n ＋2) } （解）（1）()x G ＝()∑∞ =??? ? ??-01n n n x n α＝()∑∞ =-? ??? ??0n n x n α＝()αx -1 （2）()x G ＝()∑∞=+05n n x n ＝()∑∑∞ =∞=++0 41n n n n x x n ＝() x x n n -+' ∑∞ =+1401＝x x n n -+'???? ??∑∞ =+1401 ＝x x -+' ??? ??--14111＝()x x -+-14112 ＝ () 2 145x x -- （3）()x G ＝ ()∑∞=-01n n x n n ＝()∑∞ =--++2 2 2 100n n x n n x ＝()()∑∞ =++0 212n n x n n x ＝()∑ ∞ =+"0 2 2 n n x x ＝"???? ??∑∞ =+022n n x x ＝"??? ? ??-x x x 122 ＝ ()3212x x - （4）()x G ＝ ()∑∞ =+02n n x n n ＝ ()()()∑∑∑∞ =∞=∞ =-+-++0 121n n n n n n x x n x n n ＝ () () x x x n n n n --' -" ∑∑∞ =+∞ =+11 1 2 ＝x x x n n n n --' ??? ? ??-"???? ??∑∑∞=+∞=+110102 ＝x x x x x --' ??? ??--"???? ??-11112 ＝()()x x x -----11111223＝() 3 2 13x x x --

接收函数方法软件

1 接收函数研究概况： 转换波的地壳测深方法自70年代被介绍到我国，并曾经成为除人工地展测深以外研究地壳和上地幔结构的重要方法(邵学钟和张家茹，1978；刘启元和邵学钟，1985；张家茹和邵学钟，1994)。它利用远震p波入射到台站下方时在介质间断面上产生的ps转换震相与透射p 波的相对到时差研究地下介质间断面的深度分布。 转换波测深的一些主要思想在进一步的接收函数研究中得到了极大发展。 langston (1979)利用远震p波波形的这个特点提出了等效震源假定，并提出了从长周期远震体波波形数据中分离接收台站下地球介质对入射p波的脉冲响应(即接收函数)的方法。 owens et al. (1984) 将接收函数的方法进一步扩展到宽频带记录的情况，并发展了相应的远震体波接收函数的线性波形反演方法。利用远震接收函数反演方法，人们可以根据宽频带远震p波的波形数据获得台站下方岩石圈的s波速度结构。 其理论和方法也获得了不断的改进和发展.其中，randall(1989)提出了计算微分地震图的高效率方法，ammon et al. (1990) 针对接收函数反演的非唯一性提出了保留接收函数径向分量绝对振幅的接收函数分离方法。刘启元等(1996)提出了从宽频带地震台阵资料获取三分量接收函数的方法并实现了基于tarantola矢量反演理论的接收函数非线性反演方法，接收函数的反演方法在国内外己获得了日益广泛的实际应用。 在研究基于一维介质假设的接收函数及其反演方法的同时，针对接收函数切向分量上地震波能量的研究也在同时进行。主要是研究介质的非均匀性，各向异性。 zandt & ammon (1995)以及zhu & kanamori(2000) 利用接收函数ps转换震相和多次震相研究了地壳厚度和地壳平均poisson比结构。由于地壳poisson比结构包含着比地壳p波和s波速度结构更多的地壳介质成分和动力学演化信息，这个方法得到了越来越多的应用 近年来，接收函数方法的一个重要发展方向就是将地震勘探中广为应用的地震偏移技术移植到天然地震台阵观测数据的解释，用以研究地壳和上地慢速度间断面的横向变化。 2 接收函数的提取方法： 所谓远震体波接收函数即地震台站下方(接收区)介质对以近垂直角度入射到接收区的地震体波的脉冲响应。 传统的接收函数，也可以称为ｐ波接收函数，主要利用坐标旋转和反卷积的方法从远震ｐ波中分离ｐｓ震相，并且目前已经成为一种常规的数据分析工具来研究区域性的壳幔结构。 首先，可以利用后方位角把原始的ｚｎｅ三分量地震记录旋转到ｚｒｔ（垂向，径向和切向）坐标系，后方位角根据震中和台站的位置由理论计算得到。 langston(1979)提出用震源等效化方法来消除有效震源时间函数对远震p波波形的影响，得到了所谓的接收函数。他认为从一系列水平分层或倾斜分层介质底部入射的平面p波产生的地表位移响应在时间域可表示为： ?dv(t)?i(t)*s(t)*ev(t)??dr(t)?i(t)*s(t)*er(t) （7） ?d(t)?i(t)*s(t)*e(t)t?t 其中，s(t)代表入射平面波的有效震源时间函数，i(t)代表仪器的脉冲响应，ev(t)、er(t)、et(t)分别代表接收区介质结构脉冲响应的垂直分量、径向分量和切向分量。 频率域表示为： ?dv(?)?i(?)s(?)ev(?)??dr(?)?i(?)s(?)er(?) ?d(?)?i(?)s(?)e(?)t?t 理论计算与实际观测表明，近垂直入射的远震p波波形的垂直分量主要由近似脉冲的直达波构成，尾随波列能量较弱，可忽略不计，于是可做如下近似： ev(t)??(t),ev(?)?1.

oracle分析函数

Oracle开发专题之：分析函数(OVER) (1) Oracle开发专题之：分析函数2(Rank, Dense_rank, row_number) (6) Oracle开发专题之：分析函数3(Top/Bottom N、First/Last、NTile) (10) Oracle开发专题之：窗口函数 (14) Oracle开发专题之：报表函数 (20) Oracle开发专题之：分析函数总结 (22) Oracle开发专题之：26个分析函数 (24) PLSQL开发笔记和小结 (28) 分析函数简述 (60) 说明: 1)Oracle开发专题99%收集自: https://www.doczj.com/doc/c015872391.html,/pengpenglin/(偶补充了一点点1%); 2) PLSQL开发笔记和小结收集自https://www.doczj.com/doc/c015872391.html,/cheneyfree/ 3)分析函数简述收集自https://www.doczj.com/doc/c015872391.html,/7607759/ 昆明小虫https://www.doczj.com/doc/c015872391.html,/ 收集,并补充了一点点1% Oracle开发专题之：分析函数(OVER) 目录： =============================================== 1.Oracle分析函数简介 2. Oracle分析函数简单实例 3.分析函数OVER解析 一、Oracle分析函数简介： 在日常的生产环境中，我们接触得比较多的是OLTP系统(即Online Transaction Process)，这些系统的特点是具备实时要求，或者至少说对响应的时间多长有一定的要求；其次这些系统的业务逻辑一般比较复杂，可能需要经过多次的运算。比如我们经常接触到的电子商城。 在这些系统之外，还有一种称之为OLAP的系统(即Online Aanalyse Process)，这些系统一般用于系统决策使用。通常和数据仓库、数据分析、数据挖掘等概念联系在一起。这些系统的特点是数据量大，对实时响应的要求不高或者根本不关注这方面的要求，以查询、统计操作为主。 我们来看看下面的几个典型例子： ①查找上一年度各个销售区域排名前10的员工 ②按区域查找上一年度订单总额占区域订单总额20%以上的客户 ③查找上一年度销售最差的部门所在的区域 ④查找上一年度销售最好和最差的产品 我们看看上面的几个例子就可以感觉到这几个查询和我们日常遇到的查询有些不同，具体有：

揭示函数的本质及其研究方法

揭示函数的本质及其研究方法 ——记一堂高三函数复习课 常州市北郊高级中学马剑飞213000 摘要：数学学习是一个由薄到厚，再由厚到薄的过程，高三的学生经历了由薄到厚的过程，所以高三更加要关注学生由厚到薄的过程，让学生真正明白数学知识的本质及方法，从而提高数学能力与素养．函数是一个重要的知识点，通过这一章让学生经历这个过程，理解函数的本质，明白数学的学习方法．关键词：函数，本质，方法，数形结合 数学课程标准指出“高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备．”高三的数学复习是为了让学生在这两方面能够得到更进一步的提升，但是，往往我们给学生的是无数的题，无数的方法，学生学到最后变成了用记忆的方法来学习数学，这样既不利于学生的水平的提高，也影响学生对数学的兴趣及后续的数学学习，所以高三的复习课更应让学生感受数学的本质，体会数学的研究方法，真正感受数学是思维的体操，感受数学的美．函数一章是学生进入高中学的第一个难点知识，也是高考重要的一个知识考点，是贯穿整个数学学习过程的一块知识．对于本章内容，学生做了很多的题，但是总是一遇到问题就没有方法，遇难而退，其主要原因在于不能掌握函数的本质．笔者在一节课中用几道函数题让学生经历探究的过程，感受数学的研究方法，培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，促进数学素养的提高，揭示数学的本质，感受数学思维的快乐！ 一、揭示函数的本质 函数的最大难点是变化，所以函数的本质是研究两个变量之间的相互关系，解决的方法就是找到两个变量之间的变化关系，从而转化为函数关系，这就是函数思想。体会这个本质后，就形成了函数思想，就能够用函数的方法研究问题．为了让学生体会函数的本质，本节课给出了2011年江苏高考卷12题及一个练习，让学生真正感受函数的本质，形成函数的思想． 例1、在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0 x f x的图象上 e (> ( ) =x

基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移

王红落,常　旭,陈传仁.基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移.地球物理学报,2005,48(2):415～422 Wang H L ,Chang X ,Chen C R.Receiver function forward m odeling and migration based on wave 2equation finite difference method.Chinese J .G eophys .(in Chinese ),2005,48(2):415～422 基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移 王红落1 ,常　旭1 ,陈传仁 2 1中国科学院地质与地球物理研究所,北京　1000292长江大学地球物理与石油资源学院,荆州　434023 摘　要　针对接收函数正演与偏移,本文采用波动方程有限差分算法.借鉴成熟的勘探地震学方法,引入等效速度概念,建立接收函数转换波与地震勘探反射波的等效走时方程,实现了基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移.数值计算表明,波动方程有限差分叠后偏移方法可以对点绕射和穹隆构造模型实现高精度成像.本文利用数值计算讨论了波动方程有限差分叠后偏移与K irchhoff 叠后偏移对于接收函数偏移的适用性,还对偏移过程中速度模型的误差进行了分析. 关键词　有限差分正演,接收函数阵列,共转换点(CCP )叠加,有限差分偏移 文章编号　0001-5733(2005)02-0415-08 中图分类号　P631 收稿日期　2004-04-13,2004-12-08收修定稿 基金项目　国家自然科学基金项目(40174017,40235055)资助. 作者简介　王红落,男,1975年生,1998年毕业于大庆石油学院,现为中国科学院地质与地球物理研究所博士研究生,主要从事勘探地震数 字处理方面的工作.E 2mail :whl @https://www.doczj.com/doc/c015872391.html, R eceiver function for w ard modeling and migration based on w ave 2equation finite difference method WANG H ong 2Luo 1,CHANG Xu 1,CHE N Chuan 2Ren 2 1Institute o f G eology &G eophysics ,Chinese Academy o f Sciences ,Beijing 100029,China 2The College o f G eophysics and P etroleum Resources ,Yangtze Univer sity ,Jingzhou 434023,China Abstract The wave 2equation finite difference alg orithm is applied here as a s olution for forward m odeling and migration of receiver function.With the help of exploration seism ology concepts ,the equivalent velocity and traveltime equation are established ,therefore the forward calculation and migration of receiver function are im plemented by wave 2equation finite difference method.The numerical calculation indicates that imaging of point diffractor and dome can be accom plished with high accuracy em ploying poststack wave 2equation finite difference migration.Then the applicabilities for receiver function imaging between poststack finite difference migration and K irchhoff migration are discussed according to numerical results.Finally ,the effects on velocity error for imaging are analyzed. K eyw ords Finite difference m odeling ,Receiver function array ,C omm on converted point stack ,Finite difference migration 1　引　言 地震台站记录是震源时间函数、地下介质结构 以及仪器特性耦合作用的结果.接收函数是消除震 源效应以及仪器特性后,台站下方介质结构的径向响应.早期的接收函数方法是用单个固定台站远震体波资料来反演台站下方地壳的一维速度结 第48卷第2期2005年3月 地　球　物　理　学　报 CHI NESE JOURNA L OF GE OPHY SICS V ol.48,N o.2 Mar.,2005