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母函数

（生成函数）（发生函数）（发生函数）

英文：generating function

我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换）

§1 母函数

利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k

=≥的知识，我们用一个母函数

+++=∑=≥2

2100

)(x a x a a x

a x g k

k k

这里x k 是指数函数

来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转

记为成函数。

假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。

这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数

指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的

母函数仅只是序列的另一种表示。如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{}

2,,1ωω的母函数为

+++++=rx x x x F r

cos 2cos cos

1)(2ωωω

另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ，

x x x x 411)1()1()1(6)1(212

-=-+++-+++

故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。

结论是（ r a a ,,0）可能无限，故应注意，)(x F 的收敛性。

例1，设三种物，a ，b ，c ，现从中 0，1，2，3的不同取法有3

3231303,,,C C C C 。

已知多项式)1)(1)(1(cx bx ax +++即为a 、b 、c 不同取法的母函数，显然可知。

只有一种方法)1(03C =从三个中一个也不取，有三种方法)3(13

=C ，从三中取一

把元扩广到n ，有

n n r

r n n n n n

C x C x C x C C x ++++++=+ 2

)1(为0n C ，n

n m C C 1的母函数

是上式1=x 得n

k n n

k C 2

=∑=

是1-=x 得0

)1()1(2

0=-++-+-+-n

n n

n r

n n n C C C C C 。

得 ++=++3

n n n n C C C C

例2，可用母函数证明恒等式

n r n n n C C C C C 22

)

()()()(=+++++

证明：∵左边为n n x x )1()1(1-++的常数项之和又∵n

x x x x x

x --+=?

??++=++21)

1(1)1()

1()

而n n x x 2)1(+-中常数项系数为n n C 2∴左=右。例3，在100

95)

1(x x ++中项23x 的系数是什么？

解：因为100

)

1(x x ++的展式中，项23x 只能有一种方式生成：23

95x

x x x =，且有2

100C 种方式取9x 之后，有198C 种取5x ，故23x 的系数是97

991

1001

982

10097

97485100C C C C C C ??==?

，余下97项中取1即0x ： 9797C

解4：证明序列00C ，12C ，24C ，36C ，…r r C 2…的母函数为2

)

41(--x

证：∵r

r n

r r n n n x !

()1(1)1(1

+--+

=+∑

= ，n 为任意实数。

这里求和上限，当n 是一个正整数时是n ，否则为∞。由此定理有：

[]

r r r r

r r

r r r

r r

r r r r x

C x r r r x

r r r r x

r r x

r r x r r x 21

111112

11!

!)!2(1!

!))

12(5,3,1)(26,4,2(1!

!))

12(5,3,1)(!2(1!

)12(5,3,121!212232141)

4(!121121211)41(∑

∑

∞

=∞

=-+

=-?+

=-+

=??? ??-???

????? ??+

=-?

? ??+--??? ??--??? ??-+

作为这一定理的一个应用，今对一给定的t ，计算和式i

t i

t i i t

i C C --=∑

2220

的值

解：∵i i

C 2是2

)

41(--x 中项i x 的系数

而i

t i t C --22是2

)

41(--x 中项i t x -的系数

故i

t i

t i i t

i C C --=∑

220

是2

41()

41(---?-x x 中项t x 的系数，

因为2

)41(--x

+++++=-=---t

x x x x x )4()4(41)

41()

41(2

故有t

t i t i

i t

i C C 4

2220=∑

--=。

当允许重复选取时，或等价地，当同一类的物可能多于一个时，上面结果可直接推广，如多项式

23222

)()()()(1)1)(1)(1(x

bc a x c a b a abc x

a ac bc a

b x

c b a cx bx x a ax +++++++++++=++++是三物体a ，b ，c 的普通母函数，这里a 可以在两次之内选取。

例5：有p 个类的每一类中给两个物，在另外的q 个类的每一类中给出一个物，问有多少种方法选取r 个物。 p ：0，1，2， q ：0，1 解：此时组合的计数的普通母函数是

x x x )

1()1(2

+++

在其中的系数是

r i

q p i

p r i C

C 2]

2/[0

--+=∑

这是因为在形如21x x ++的p 个因子中，可以选出i 个2x ，而在其余i p -个形如

x ++的因子和q 个形如x +1的因子中，可以选出i r 2-个x 。

例6，从n 个物中不限重复地选取r 个物的组合的计数普通母函数是

r n r r

r r

r n

C x

r r n n n x r r n n n x x x

x x 10

)

1()1(1)

)

1()1)((1)

1(11)

1(-+∞

=∞

=-∑=-++∑

+=-+-----∑

+=-=?

? ??-=+++++

这表明有r n C 11-+种方法从n 个物中不限重复地选取r 物，这在组合中已证完。例7，从n 个物中不限重复地选取r 个（r ≥n ），每一选取至少有一个，这样的组合的计数普通母函数是

n i

i n i i

i n i n n

n n

C x C x

x x x x x x x +-+∞

=-+∞

=-∑

∑

=-=?

??-=++++10

)

1(11

)

(

令r

n r r n

r x

C i n r --∞

=∑

+=1

例8，把r 个相同的球放入n 个不同的盒子中，且无一盒子含少个q 个球，也无一盒含多于q +j -1个球？

证明：这样的分配方法个数是n

x ???

? ?

?--11的展式中qn r x -的系数。

解：因为某个盒子可以装球的方法的计数普通母函数是1

-+++++j q q q x

故所求放法的母函数是

qn n

j nq

n j q q q

x x x

x x

x ???

? ?

?--=+++=+++--++11)

1()(1

作为这一结果的应用，如，今有四人，每人掷一骰子一次，求四人所得点数总和为17的个数。

这里.

6,1,4,17====δ

q n r 计算母函数为

46411

???

??--x x x

,因为

64641)1(x

x x +-+-=- ①

11713

362

251

3654!

254!

141)1(x

x C x C x C x x x x qn r ===++++=+??+

+=-?---

故446)1()1(---x x 中13x 的系数是

146!710

6544!

1316

654?

+?????

-????

=104

!146!

310

984!

316

1514=?

+???

-??

指数母函数(exponential genenating functios)

现讨论排列的母函数，然而把前面结果推广到排列，就存在一些困难，因为在整数城中两个数相乘是可交换的，即ab=ba ，故不能用普通的代数来完全处理排列问题。

设a 、b 两球，作为排列的母函数我们想有的式子是

)()(1x

ba ab x b a ++++然而这式子等价于2)2()(1x ab x b a +++

其中两个不同的排列ab ，ba 不被识别了。故不妥！

这里，我们不准备对排列情况引入一个新的不可换代数，而只限于讨论排列的计数母函数这计数母函数，仍可借助于实数域上普通的代数而得到处理。

由组合的计数母函数的概念的直接推广指出n 个不同事物的排列计数母函数应如下：

n h r

r n n n n x

P x P x P x P P x F ++++++= 2

)(

n x r n n x n n x n n !)!

(!)!

2(!)!

1(!12

++-+

+-+

然而上式没有简单了“和式”，故为用F(x)来处理，会使母函数的目的落空组，但由二项式展式：

n h r

r n n n n

C x C x C x C x ++++++=+ 2

1)1(

n x

n P x r P x r P x P x P !

112

可见，定义另一类的母函数（即指数母函数）的关键：设（a 0,a 1,……a r ,…）是序列。函数

)(!

1)(!

0)(1100x r a x a x a x F r r μμμ，叫作以 ),(),(),(10x x x r μμμ作为指

标函数时序列)(0 r a a 的指数母函数，这样一来n x )1(+是r n P 以x 为方作为指标函数的指母函数。

例9，由例4中结果2

41(--x 是系列（ r r P P P 21200,,,）的指母函数。

序列（1，1×3，1×3×5，…，1×3×5，…x （2r+1），…）的指母函数为2

3)21(--x

序列（1，1，1，…，1）的指母函数为x e

*1 显然,一个物的无重复排列的计数指数母函数是1+x(0,1两种).

*2 当排列中定允许重复时，推广是直接的，个个相同物的全排列的计数指母函数为

p x

,因为只有一种方法这样做,故p 个相同物的0—排列,1—排列…，2—排列，…，

P —排列的计数母函数为P

P x x !

21!1112

同样，当P 物属于一类，q 物体属于另一类时，这P+q 物的全排列的计数母函数为

q p x

q x

p x

p q

同这样的排列的个数是!

!)!(q p q p +的已知结果一致。

* 这就推得，当p 个物属于一类，q 个物属另一类时这p+q 个物的0—排列，1—排列，…（p+q ）—排列的计数母函数为

)

111)(!

21!111(2

x q x x p x x +

例当两物属一类，另三物属另一类时，这些物的计数母函数是

3!21(

2!21!

3!11(

31!

2!11!

2!11(

21!1!11

(

11!

11(

1)!3!2!

11)(!2!

11(x

x x x x x

x x

x ++

+++

+=+++

例当重复相抽样时，n 个不同物的r —排列的个数由计数指母函数

r nx

n x r n

x !

21(0

∑

∞

=++

+ 给出。

例求1，2，3至少出现一次的r 码四元系列的这问题等价于求四个不同物，满足以下性质的排列：

①这些排列必含四个物中某固定3个，数码0的排列计数指母函数是

x =++

+)!

21(3

（可以不取0）

数据1，（2），（3）的排列的计数指母函数是

21(3

-=++

e x

x （至少有一个）

故得这四数码的排列的计数指母函数是

r x x x

x x

r e

e e

e e e

e e e e e e ?

-?+?-=

-+-=-+-=---∑

∞

)

123334(33)

133()1)(1)(1(0

23423

故所有的序列的个数是123334-?+?-r r r

例求包含偶数个0的r 码四元序列的个数，数码0的排列的计数指母函数是

)

1)!

21(6

x e

e x

-+=

数据1，2，3的排列的计数指母函数为

x =++

+)!

21(2

这得，包含偶数个0的四元序列的个数计数指母函数是

r r x

x x x

r e

e e e

e !

)24(2

11)(2

1)(211

24++

=+=

+∑

∞

∴包含偶数个0的r 项四元序列的个数为r

r r 24+。

例从r 个不同物中取出不多于r 个物来，且把它们放入n 个不同的盒，而同一盒里的物是有序的，求这样的分配方法的个数的计数指母函数。

解：因为有m r C 种方法从r 个为中取m 个物，且有)1m n ()2n )(1n (n -+++ 方法把它们排在n 个盒中不同的位置上，因为m 从o 的r ，数总的方法个数是

)]

1r n ()1n (n !

r 1)1n (n !

2)!2r (1n !

1)!1r (11!r 1[

!r )1r n ()1n (n C )1n (n C n C C r

r 2

r 1

r 0

r -+++

++-+

?=+++?++++?+

（即把n 个盒中以及m 个位置一起合并成n+m 个“球”，而其中共有n+m-1个间

隔，在这n+m-1个间隔中取m 的排列m 1n m P -+。

）方括号中的式子是下面两个级数的乘积中项x r 的系数

r x

1x 1e

和

+-+++

+++

=--r

n x !

r )

1r r ()1n (n x

2n )(1n (n x

2)1n (n x !

1n 1)x 1(

故，

)

x 1(e

-是所求分配的计数指母函数。

逆归关系

确定一个数列a 0,a 1…的最常用方法有三种： ①一般项a n 的表示法，如a n =a 1q n-1,a n =a 1+(n-1)d … ②得到该数列的生成函数如(1+x)n

③还有一种是建立数列所满足的逆推关系，也就是建立一种规则，所得通过这种规则，数列的每一项可由其前面项唯一确定。

逆归关系可分成有限阶与无限阶

一个r 阶逆归关系的定义：有正整数r 以及一个r+1元函数F ，所得对所有n ≥r 有

)

;,,(21n a a a F a r n n n n ---= (1)

这样，若已知数列开始了r 项：a o ,a 1…a r-1(称为初始条件)，则可通过（1）逐

项确定整个数列N r ∈为有限，非有限阶的为无限阶。

例1 Hanoi 塔问题

设n-1个盘子已转移的项数a n －1已定对于一般n 个盘子的问题，先将上面的n －1个从A 转移到B 上，把第n 个放在c 上然后把B 上n －1个盘子放到c 上即

a n =2a n －1+1 a 1=1 （*）利用母函数了解之

令H （x ）=a 1x+a 2x 2+… （1）则 H （x ）为a 1a 2…的母函数 2xH （x ）=2a 1x+2a 2x 3+… （2）（1）－（2）得

（1－2x ）H （x ）=a 1x+(a 2－2a 1)x 2+(a 3－2a 2)x -3+… 由（*）式得

（1－2x ）H （x ）=x+x 2+…=x

x -1

∴ H （x ）=

)

21)(1(x x x

由待定系数法

B x

A x H 211)(-+

)

21)(1()2()()

21)(1()1()21(x x x

B A B A x x x B x A --+-+=

---+-

∴x x B A B A =+--)2()( ∴??

?-=+=+1

20B A B A ? ??

?=-=1

1B A

∴ x

x H --

211)(

)1()2221(23322 +++-++++=x x x x x = +-+-+-3322)12()12()12(x x x

=∑∞

=-1

)12(k k k x

∵ H （x ）=∑∞

k k k x a

∴ 12-=k k a

例2 求n 位十进制数中出现偶数个5的数的个数

分析：从n 位十进制数出现偶数个5的数的结构入手，p 1p 2……p n －1是n-1经十进制数；①若含有偶数个5，则p n 取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中一个

②若p 1p n －1中只有奇数个5，则取p n =5，使p 1…p n 成为出现偶数个5的十进制数

解：n －1位的十进制数的全体共9×10n －2个，从中去掉含有偶数个5的数，余下便是n －1位中含有奇数个5的数，故有

a n =9a n －1+

b n －1

a n: n 经十进制中出现偶数个5的数的个数

b n n 经十进制中出现奇数个5的数的个数

a n －1 表示n －1位数中有偶数个5的数的个数，故第n 位上可放0～4，6～9中任一个，数量2种

b n －1：n －1位数中只有奇数个5的数的个数，故第n 位只能加5，故只有一种情况

110

9----?=n n n a b

∴ 1211110999------?+=+=n n n n n n a a b a a 8,

1098121=?+=--a a n n

（∵ n=2时（n －1=1）即1位数的十进制数个为9个，“o ”不开头即1，2，3，…，9，去掉一个“5”为奇数，故a n =8。设g(x)=a 1+a 2x+a 3x 2+…

－8xg(x)=－8a 1x －8a 2x 2－…

（1－8x ）g(x)=8+（a 2－8a 1）x+(a 3－8a 2)x 2+… ∴ (1－8x)g(x)=8+9x+9×10x 2+9×102x 3+… =8+x

x x

x 1017181019--=-

∴ g(x)=

)

101)(81(718x x x ---

∑∞

=?+?=

)10987(2

)1019817

(21

k k

望k 从0开始，故退一格！ ∴ 1

27--?+

k k k a

Fibonacci 数列（数）

Fibonacci 数是逆归中一典型问题，它是初等数学与高等数学共同感兴趣的，这个数列的应用极广，所以美国数学学会每三个月就出版一本专门对这数列进行研究的季刊，称为《斐波那契季刊》（Fibonacci Quarterly ）

问题：有雌雄一对兔子，假定过二个月便了繁殖雌雄各一的一对小兔，问过n 个月后共有多少对兔子？

这个问题：是Pisa 的Leonardo 在它的1202年出版的Liber Abacci （照原文上讲是一本关于称盘的书）中提出一对兔子在一年里能产生多少对兔子的问题Leonardo 以 Fibonacci （Filius Bonacci ）的缩写）这名字而闻名于世，他了主要工作是在西欧引入现代计数系统。

解：设满n 个月时兔子的对数为F n ，其中当月新生兔数目为N n 对，第n －1个月留下的兔子数目为M n 对

则F n =N n +M n

但M n =F n －1，N n =M n －1=F n －2

即第n －2个月的所有兔子到第n 个月却有繁殖能力

∴ 1,

2121==+=--F F F F F n n n

由上式可依次得

问题的解

对于n=3,4,…；

F，并暂不考虑n=1,2时任何一个初值，解这个递归关系的一种方法是寻找形如

F=的解，这是0

≠

q，于是我们在熟知的首项为1

q的几何级数中找出一个解来，注意到当且仅当

n q

或0

(

q n，n=2，3，…成立时，n

F=满足递归关系

∵0

≠

q∴0

-q

q得

∴

与()

都是递归关系1

F的解

这里的递归关系是线性的（不存在F的异于一的）和齐次的（缺常数项）

由此得

是递归的解

对于Fibonacci 数列F0=F1=1

故可选择C1，C2满足这些条件

即

解得

C，??

我们可得Fibouacci 数满足公式

()

,2,1,025*********

=???

??--

???

? ??+=

++n n f n n

特别地此数列又与著名的黄金分割联系着618.0lim

1≈-∞

→n

n n f f 恰为黄金分割。

例试确定m 2+n 2的最大值，其中m ，n 为整数且m ，n ∈{1，2，…，1981},（n 2—nm —m 2）=1（IM0.22 ex3）

解若数对(n ，m )满足条件n ，m ∈{1，2，…，1981}且(n 2—nm —m 2)2=1则称（n ，m ）“允许对”显然当m=1对有（1，1），（2，1）n ≥m 是仅有的“允许对”对于n 2≥1（任何允许对(n 1，n 2)，有

1)(2

2211>±=-n n n n

可见 n 1 > n 2 令n 3=n 1—n 2，则n 1=n 2+n 3

于是1=2222121)(n n n n --=222232232])()[(n n n n n n -+-+2233222)(n n n n ++-=

23322

(n n n n --=

这意味着（n 2，n 3）也是允许对

若n 3>1，如上可知n 2>n 3，令n 4=n 2－n 3，又得（n 3，n 4）是允许对，依此类推，各得一数列n 1>n 2>n 3>…，其中n i+1=n i －1－n i 且（n i ，n i+1）为允许对，此数列当然有限，它于n i =1时终止，因为（n i －1,1）为允许对且n i －1>1故n i －1=2，所以{n i }为Fibonecci 数列

由于不超过1981的Fibonacci 数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597所最大允许对为（1597,987）所求最大值为9872+15972=3524578 用生成函数求F n .

解：令G （x ）=F 0+F 1x+F 2x 2+… ① 那么xG(x)=F 0x+F 1x 2+F 2x 3+… ②

x 2G(x)=F 0x 2+F 1x 3+F 2x 4+… ③

由①－②－③得 G(x)－xG(x)－x 2G(x)＝

= F 0+（F 1－F 2）x+（F 2－F 1－F 0）x 2+（F 3－F 2－F 1）x 3+…… =0+1x+0x 2+0x 3+…=x ∴ 2

1)(x

x x x G --=

（部分分式法）

])2

11)2

11[51x

---+-= 记 25

1-=

b a

则)1111()(5bx

ax x G --

∵

+++=-2

111x a ax ax

+++=-2

2111x b bx bx

∴

+-+-=2

)()()(5x b a x b a x G

∑-=

n x b

a )5

(

即x n

的关系为

n n

F b

a ?

=-5

这证明由De Moivre 首先用生成函数证明这种技巧重要发展是由Euler 与Laplace 所作出

61803

.02

)51(=-

∴ b n →0 n →∞ ∴ F n →

a 51

∴ F n

恰好是最靠近5

2)51(n

?+的正整数

递归数列型不等式的证明

由于递推数列不等式的条件与结论的关系十分隐蔽

例 1991（湖南4th 中学生夏令营）

已知数列{a n }，a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n （1）

试证对何正自然数n 有arcctga n ≤arcctga n+1+ arcctga n+2，并指出等号成立的条件

证：分析 ∵ a n >0 ， ∵ arcctga n+1+ arcctga n+2∈（0，π）

∵ctg x 在（0，π）上是减函数，故只须证明 ctg （arcctga n ）≥ctg （arcctga n+1+ arcctga n+2）即a n ≥

1211+++++-n n n n a a a a 亦即

a n (a n+1+a n+2) ≥a n+1+a n+2－1

结合（1），只须证明1212-≥-++n n n a a a （2）

∵ a 3=2， a 4=3，a 5=5，a 6=8，a 7=13 ∴ 222231)1(1121-==-?=-a a a

342)

1(12

31-=-=-?=-a a a

2452)

1(1352-==-?=-a a a

猜想1212)1(+++-=-n n n n a a a 这可用数归证明 ∴ （2）式成立

故原式成立，等号是n 为偶数

有些递推等式，是在通项上大做文章，因此总能求得通项公式，则问题便奇迹般获解。

定义：满足a n+2=p 1a n+1+p 2a n （p 1，p 2是常数上p 1*p 2≠0）的数列{a n }叫做二阶

线性递归数列。

x 2－p 1x －p 2=0叫该递归数列的特征方程设其两根为x 1，x 2，且x 1≠x 2则

n x c x c a 2

11+=，其中c 1，c 2由初值条件确定，如Fibonacci 数列

例2 1989年有某市高中MO 数列{a n }，{b n }适合如下条件 a 1=b 1=1，a n+1=a n +2b n ，b n+1=a n +b n 证明（1）

2221

212>

--n

n n n b a b a

（2）

221

-++n

n n n b a b a

证由递归式，消去a n+1，a n 可得 b n+2=2b n+1+b n ，

于是得特征方程 x 2－2x －1=0 解得 2

1,2121+

=-=x x

故得21)21()21(c c b n n n ++-= ∵ b 1=1，b 2=a 1+b 1=2，从而有

???=+

=++-2

)21()21(1)21()21(22

21c c c c

解得 221,

22121=

=c c

]

)21()21[(2

21)

21(2

21)21(2

n b --+=

=∴

]

)21()21[(21]

)21(2

21)21(2[2

211n

n n n b b a -

=-+

+=-=+

（1）

(

∵1

2)1

(

∴2

(

（2）

a n

∴

(

a)1

(

∵

n b

(

∴2

Catalan数定义

定义：设K为平面或空间中点的集合，只要连结k中的任何两点p与q的直线上所有点都在K内，则称K为凸集。平面内的△，○，□等区域均为凸集，而不是凸集，因为PQ中有部分不属于K。

共分有限与无限，上述有限，但∠为无限

这样的区域属于多角区域，即它们的边界是由有限条点线段所组成，这些直线段称为区域的边。三角形区域和矩形区域都是多角形的，但圆不是（也可看作无穷多角形），任何多角形区域至少必须有三条边，在多角形区域中，那些边的交点叫做顶点，连接两个不相邻顶点的直线段称为对角线。

给定一个n边多角形区域，那么它的对角线数目可以如下计算。每个顶点由

对角线连接，其他n -3个顶点，其中A 本身不算，B 、C 与A 连结

为边也不算，故只剩n -3条，共n 个顶点，所以有n （n -3）条，但每条均算过两次（AD ，DA ）故应除2，得

)

3(-n n 条，还可以由组合数求得

)

3(2

)

1(2

--=

-n n n n n n C n 对于凸多角形区域R ，每条对角线都位于区域的内

部，于是n 边凸多边形区域的每条对角线把该凸多角形区域分成有k 条边多角形区域与n-k+2条边的多边形区域，其中k =3，4，…n -1。（因为从一点出发共n -3条对角线， K 分成n -2个三角形。原来共n 条边，当AB 分R 为二半时，AB 是线段分别为ACDB 与AEFB 的边，则共算二次，所以有n +2条边。当其中一个为k 时，则另一个为n +2-k 。）

给定n 边凸多边形区域，可由一顶点引出n-3条对角线，把区域分成n -2个三角形区域，还有其他的一些方法，在区域内画出n -3条不相交的对角线把区域分成三角形区域，如图。n=8

利用下面的定理，我们可以确定有5种不同方法画出n -3条在区域内不相交的对角线把n 边凸多边形区域分成三角形区域。

定理令h （n ）表示把n +1条边的凸多边形区域，由引入在区域内不相交的对角线分成三角形区域的方法的个数，若定义h （1）=1，那么h （n ）是下列递归关系的解。

+-?+-?=-=

∑

-=)2()2()1()1()()()(1

n H H n H H k n H k H n H n k

,4,3,2,)1()1(=?-+n H n H （1）

这个递归关系是有初值H （1）=1的解为

--n C n

n h n n 1

221)(1，2，3， (2)

证明：如果n =1，已定义h （1）=1。我们可把一个直线段想象成是有2条边但无内部的多边形区域

∠。如果n =2，则h (2)=1，这是因为一个三角形区域没有对角

线，并且不能进一步划分△ 。

此外，因为1)1()1()2()()2()(1

=?=-=

-∑

∑

=-=h h k h k h k h k h k k ，递归关系（1）对于n=2成立。

现令n ≥3，考虑有n +1≥4条边的凸多边形区域R ，我们把区域R 的某条边区分出来且称它为基，在将R 分成三角形区域的每一种分法中，这个基是这些三角形区域T 一的一条边，且这个三角形区域把R 的剩余部分，分成k+1条边的多边形区域R 1与n -k +1条的多边形区域R 2。K =1，2，3…，n -1见右图。

（n +1条边的多边形中，减去基AB 剩n 条，加上AC ，BC ，共n +2条，故分成k +1与n -k +1 两组。）

R 的进一步细分，是分别在R 1与R 2内引入一些不相交的对角线，把R 1与R 2分成若干三角形区域来实现的。因为R 1有k +1条边，所以k 1可按h （k ）种方法分成三角形区域，R 2有n -k +1条边，k 2可以按h （n -k ）种划分三角形区域。因而，对于选择含有基的某特定三角形区域T ，利用在区域内引入不相交的对角线有h （k ）h （n -h ）种方法把R 分成三角形区域。所以共有

)

()(1

k n h k h n k -∑-=种方法把R 分

成三角形区域。（当R 1只划一个△时，则R 2可划（n -1）R 1划二个△。R 2：可划n （n -2）……）这样（1）式成立。

现考虑其解：∵（1）不是线性的！此外h （n ）不依赖于事先给定的若干个固定值。而是依赖所有值h （1），h （2），…，h （n -1）。于是一般方法对于解（1）不适用。为方便起见，令

),()3(),2(),1(321n h u h a h a h a n ====

故（1）变成

112211a a a a a a h n n n n ---+++= （3）

这里11≠a .令

++++=n

n x a x a x a x f 2

21)(

（4）

是 n a a ,1的母函数，那么

)

()(x f x f ?得

().)()()()(1122114

1322313

12212

212

+++++++++++=---n

n n n x a a a a a a x a a a a a a x a a a a x a x f

用（3）式和1

1==a a ，可把上式记为

x f x a x f x a t x a x a x a x a x a x a x a x f n

n n n c -=-=++++=+++++=)()()]([14

332212

于

)

(x f 满足方程

)()]([2

=+-x x f x f ，解之得

411)(,2

411)(21x x f x x f --

又∵

)

(x f 的定义可得

)0(=f ，

)0(1=f 和0)0(2=f 可得，

41(2

411)()(x x x f x f --

()(1x f 舍去。∵

)

0()0(1f f ≠).

由Newton 二项式定理

n n n n n z

C n z 1221

)1(1)1(----∞

=?-+

=+∑

对于|z|＜1，用x 4-代替z ，得

1||12

12)1(14)1(2)1(1)41(1

221

211221

-=-+

=-?-+

=---∞

=----∞

=∑

∑

x x C n x

C n

C n x n

n n n n

n n n n n

n n n n n n n

∴

)41(2

1)(x x f --=

x C n

n n n 1221

1--∞

=∑

（5）

比较（4），（5）式得

21--=

n n n C n a 对于=n 1，2，3，…

母函数

母函数（生成函数）（发生函数）（发生函数）英文：generating function 我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换） §1 母函数利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k =≥的知识，我们用一个母函数 +++=∑=≥2 2100 )(x a x a a x a x g k k k 这里x k 是指数函数来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转记为成函数。假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的母函数仅只是序列的另一种表示。如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{} 2,,1ωω的母函数为 +++++=rx x x x F r cos 2cos cos 1)(2ωωω 另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ， x x x x x 411)1()1()1(6)1(212 2 -=-+++-+++ 故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。

函数的易错点分析

函数的纠错笔记易错点一：求定义域忽视细节致误。例题1：（1 ）求函数0 ()f x =的定义域。（2 ）求函数y = 错因分析：（1）忘了分析0的0次无意义，导致在定义域中多了解；（2）把看成是真数减2，即由得真数且，所以，另外出现忽略真数大于零的错误：如由，得。正解分析：（1）由函数解析式有意义知256010||0x x x x x ?-+≥?-≠??+>? 得3210x x x x ≥≤??≠??>?或即0132x x x <<≥≤或或故函数的定义域是()(][)0,11,23,+∞U U （2）由12log 200 x x -≥????>?，解得104x <≤所以函数定义域是10,4?? ???。误区分析：求函数定义域，关键是依据含变量的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定非负；对数式中的真数是正数；涉及到对数或指数不等式的求解，应依据单调性来处理。变式练习：已知函数()f x 的定义域为(),a b ，求函数(31)(31)f x f x -++的定义域。错因分析：理解错()f x 的定义域与(31)(31)f x f x -++的定义域之间的关系，致使(31)f x -函数的定义域由31a x b <-<得，函数(31)f x +的定义域由31a x b <-<得，这样得到的定义域就是()31,31a b +-。正解分析：由3131a x b a x b <-此时，函数的定义域为11,33a b +-?? ??? 。误区分析：复合函数中定义域的求法：在复合函数中，外层函数的定义域是由内层函数决定的，即已知[]()f g x 的定义域为(),a b ，求()f x 的定义域方法是利用a x b <<，求得()g x 的范围即为函数()f x 的定义域。而已知()f x 的定义域(),a b ，求函数[]()f g x 的定义域，

Python实现接受任意个数参数的函数方法

Python实现接受任意个数参数的函数方法 Python开发如今已经深入到人们的生活之中，本篇小编给大家分享一下Python实现接受任意个数参数的函数方法，喜欢Python想要了解学习的小伙伴就随着小编一起来了解一下吧。其实，在C语言中这个功能是熟悉的，虽说实现的形式不太一样。C语言中的main函数是可以实现类似的功能的，可以通过这种方式实现一个支持命令行参数的程序。先写一段python实现相应功能的示范代码： defFuncDemo(*par): print("number of pars: %d" %len(par)) print("type of par: %s" %type(par)) i = 0 if len(par) != 0: for p in par: i = i + 1 print("%d par is:%s" %(i,p)) 加载后运行测试交互记录： >>>FuncDemo() number of pars: 0 type of par: >>>FuncDemo(1,2,3) number of pars: 3 type of par: 1 par is: 1 2 par is: 2 3 par is: 3 >>>FuncDemo(1,2,3,'abc') number of pars: 4 type of par: 1 par is: 1

2 par is: 2 3 par is: 3 4 par is: abc 这基本上就是Python实现接受任意参数函数的方法以及应用，接下来小结一下相应的知识。实现Python接受任意个数参数的函数，在形式上比较简单。就是在参数前面加上一个星号，这样相应的参数位置就能够接受任意个参数。相应的参数在函数中是一个元组，从上面交互的结果也能够看得出。其实，这个功能还能能够支持字典的传入。如果是字典的传入，那么就需要传入成对儿的参数。以上就是小编给大家分享的Python实现接受任意个数参数的函数方法，希望对小伙伴们有所帮助，想要了解更多内容的小伙伴可以登录扣丁学堂官网咨询。

概率论上的母函数

概率论上的母函数（genera t ing fucnc t ion ）定义：若随机变量ξ取非负整数值，且相应的分布列为：（ 0，1，2）（ p 0，p 1，p 2 ）则p k *s k （k 从0到无穷）的和为s 的函数，此函数称为的母函数。特征函数 (概率论) 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X 是任何具有该分布的随机变量： ()()itX X t E e ?= 其中t 是一个实数，i 是虚数单位，E 表示期望值。用矩母函数M X (t )来表示（如果它存在），特征函数就是iX 的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 ()()()X iX X t M t M it ?== 与矩母函数不同，特征函数总是存在。如果F X 是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： ()()itX itx X E e e dF x ∞ -∞=? 在概率密度函数f X 存在的情况下，该公式就变为： ()()itX itx X E e e f x dx ∞ -∞=? 如果X 是一个向量值随机变量，我们便取自变量t 为向量，tX 为数量积。 R 或R n 上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X (x ) = f X (-x )）是实数，因为从x >0所获得的虚数部分与从x <0所获得的相互抵消。性質连续性

勒维连续定理勒维连续定理说明，假设1()1n n X ∞ ==为一个随机变量序列，其中每一个X n 都有特征函数?n ，那么它依分布收敛于某个随机变量X ： D n X X ??→当 n →∞ 如果 pointwise n ??????→ 当 n →∞ 且? (t )在t =0处连续，?是X 的特征函数。莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。反演定理在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。给定一个特征函数?，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F ： 1()()()lim 2itx ity X X X e e E y E x t dt it τττ?π--+-→+∞--=? 一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。[1] 博赫纳-辛钦定理/公理化定義博赫纳定理任意一个函数?是对应于某个概率律μ的特征函数，当且仅当满足以下三个条件： 1. ? (t )是连续的； 2. ? (0)=1； 3. ? (t )是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与? (t )>0不等价）。計算性质特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X 1、X 2、……、X n 是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且 1n n i i i S a X ==∑

函数教材分析解读

《函数》教材分析 1、哪儿发生变化，哪没变？从教材内容，（或添加、删减），内容没变，但是呈现方式发生改变，体现的理念变化，为什么这么变？实际上是要学有用的数学，身边的数学，应用数学，学是为了用，设计思想，体现的理念。做数学，让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来，要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化，技术所起的作用。技术的使用，引起学习方式的改变，怎么用？明确指出需要用技术的地方，形与数要结合。使用技术到非用不可，举例说明。重点！ “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社

会中的简单问题。” 二、内容安排：函数这章教材共分个大节：第一大节是函数的概念及函数的一般性质；第二大节是指数与指数函数；第三大节是对数与对数函数；第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段，初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象，并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等，使学生获得感性知识；本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段，用集合、映射的思想理解函数的一般定义，通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分，极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。高中的函数知识是在初中的基础上学习的，主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看，函数是集合A到集合B的映射（A、B是非空数集），映射是特殊的对应，函数是特殊的映射，反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点，要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景，通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质，反之，函数性质又直观反映在图象上，指导准确作出函数图象。

s波接收函数

竭诚为您提供优质文档/双击可除 s波接收函数篇一：接收函数方法软件 1接收函数研究概况：转换波的地壳测深方法自70年代被介绍到我国，并曾经成为除人工地展测深以外研究地壳和上地幔结构的重要方法(邵学钟和张家茹，1978；刘启元和邵学钟，1985；张家茹和邵学钟，1994)。它利用远震p波入射到台站下方时在介质间断面上产生的ps转换震相与透射p波的相对到时差研究地下介质间断面的深度分布。转换波测深的一些主要思想在进一步的接收函数研究中得到了极大发展。 langston(1979)利用远震p波波形的这个特点提出了等效震源假定，并提出了从长周期远震体波波形数据中分离接收台站下地球介质对入射p波的脉冲响应(即接收函数)的方法。owensetal.(1984)将接收函数的方法进一步扩展到宽频带记录的情况，并发展了相应的远震体波接收函数的线性波形反演方法。利用远震接收函数反演方法，人们可以根据宽

频带远震p波的波形数据获得台站下方岩石圈的s波速度结构。其理论和方法也获得了不断的改进和发展.其中， randall(1989)提出了计算微分地震图的高效率方法，ammonetal.(1990)针对接收函数反演的非唯一性提出了保留接收函数径向分量绝对振幅的接收函数分离方法。刘启元等(1996)提出了从宽频带地震台阵资料获取三分量接收函数的方法并实现了基于tarantola矢量反演理论的接收函数非线性反演方法，接收函数的反演方法在国内外己获得了日益广泛的实际应用。在研究基于一维介质假设的接收函数及其反演方法的同时，针对接收函数切向分量上地震波能量的研究也在同时进行。主要是研究介质的非均匀性，各向(:s波接收函数) 异性。 zandt刘启元等，1996）、同步时间域反褶积（gurrolaetal.,1995），以及迭代反褶积方法（kikuchiandkanamori,1982;ligorriaandammon,1999）等。 wiener滤波反褶积以远震p波波形的垂直分量作为输入，以接收函数作为滤波因子，以远震p波波形的水平分量（径向和切向）作为期望输出，通过远震p波波形垂直分量与接收函数的褶积得到wiener滤波器的实际输出，以期望输出与实际输出的均方误差取极小，作为求取接收函数的准则。

《函数》教材分析

第三章《函数》教材分析本章为函数，共6节，内容如下映射、函数、作函数图像的描点法、函数的性质、反函数、函数的应用举例. 本章共需17课时，具体分配如下： 3.1映射约1课时 3.2 函数约3课时 3.3作函数图像的描点法约2课时 3.4函数的性质约3课时 3.5 反函数约2课时 3.6 函数的应用举例约2课时小结与复习约4课时一、内容与要求函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数中学的其他数学内容也都与函数内容有关函数在中学教材中是分三个阶段安排的第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成学的限定选修课中安排的，选修Ⅰ的内容有极限与导数，选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识 (一)内容安排本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念，这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的而且有利于初中和高中知识的自然过渡和衔接映射是在学习完集合与函数的基本概念之后学习的它是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念学习集合的映射概念的目的主要为了进一步理解函数的定义的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随 - 1 -

什么是接收函数

竭诚为您提供优质文档/双击可除什么是接收函数篇一：几种收敛函数的介绍概率论中的收敛-正文概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。设{xn,n≥1}是概率空间(Ω,F,p)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：以概率1收敛若,则称｛xn,n≥1｝以概率1收敛于x。强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率1收敛于该事件的概率和总体的均值。以概率1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{xn,n≥1}依概率收敛于x。它表明随机变量xn与x发生较大偏差(≥ε) 的概率随n无限增大而趋于零。概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件A发生的频率依概率收敛于其概率p(A)的。依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。

r阶平均收敛对r≥1,若xn-x的r阶绝对矩(见矩) 的极限,则称{xn,n≥1}r阶平均收敛于x。特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。弱收敛设xn的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y 都有可以推出弱收敛。从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。,则称{xn,n≥1}弱收敛于x。由平均收敛分布弱收敛设Fn、F分别表示随机变量xn、x的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称xn的分布Fn弱收敛于x的分布F,也称xn依分布收敛于x。分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数?(x)，imgsrc="image/254-6.gif"align="absmiddle">。分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。分布淡收敛设{Fn(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是分布函数），若对F(x)的每一个连续点x

勒让德函数母函数及其在静电场中的应用

勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用指导教师：娄宁二000级物理（1）班：洪世松

勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用一. 勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法 1. 勒让德多项式的母函数引入的必要性 ⑴.勒让德多项式的由来通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件()πθ,01=±=x 时求解拉普拉斯方程02=ψ?时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑：其一是所研究的问题不具有对称性。拉普拉斯方程02=?U 在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：() []()()θθcos cos 12 /2 m l m l m P P x =-=Θ，其中m ＝0、1、2、3，…，l 。式中当m ＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式()θcos l P 。其二是所研究的问题具有轴对称性。其解的形式为勒让德多项式的形式，即 ()θcos l P ＝() ()()()k l l k l k x k l k l k k l 22 /0 !2!!2!221-=----∑，其中?? ????2l 表示的是不超过2l 的最大整数，即： ? ? ???2l ＝ r 的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：∑∞ =+??? ? ?+=ψ01 l l l l l r B r A ，其中l =0,1,2,……。由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。 ⑵.对所研究问题的对称性的讨论以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ） ()θ,r E

浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用

浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用申广君（安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003） [摘要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。［关键词特征函数母函数应用［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。一、特征函数（一）特征函数的定义及性质设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itX e 的数学期望itX Ee 为随机变量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ?，即)()(x dF e Ee t itX itX X ?+∞∞ -==?，其中1-=i ， R t ∈。分析按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。由于对任意实数R t ∈，都有 1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。并且它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。下面介绍特征函数的主要性质性质1 如果随机变量n X X X ,...,,21相互独立，则有∏==∑ =n i X X t t i n i i 1 )()(1 ?? 。分析特征函数的这一性质在证明随机变量列的极限问题时将发挥重要作用，然而这一性质的逆不成立。在教学中我们举如下例子来说明逆不成立，以此来加深学生对此性质的理解。例1设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ???<<-+=.,01||,1||)],(1[41 ),(22其他； y x y x xy y x p ，可以证明Y X +的特征函数等于Y X ,的特征函数的乘积，但是X 与Y 并不相互独立。性质2 如果随机变量X 有n 阶（原点）矩，则它的特征函数可微分n 次，并且有 n k i EX k X k k ,...,2,1),0()() (=-=? 成立。分析性质2表明，如果已知随机变量的特征函数，且其矩存在，则可以通过对特征函数微分来求得随机变量的矩，这比由分布函数通过积分求矩要简单的多。（二）特征函数的应用举例 1求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算在概率论中，独立随机变量和的问题占有“中心”地位，用卷积公式去处理独立随机变量和的问题是常用的方法但相当复杂，然而可以很方便的运用特征函数相乘求得独立随机变量和的特征函数，由此大大简化了处理独立随机变量和的难度。

接收函数法基本原理

深部速度结构反演的接收函数法 3.1远震P 波波形接收函数的求取方法接收函数法是利用远震P 波波形的单台记录来反演台站下方一维S 波速度结构的波形反演方法。远震P 波波形含有关于震源时间函数、源区介质结构、上地幔传播路径以及接收区介质结构的丰富信息。远震P 波波形与这些影响机制的关系可表示成： )(*)(*)(*)(*)()(t I t M t M t M t S t D R Ray S = （6）其中：)(t D 为所记录的远震P 波波形数据； )(t S 为震源时间函数； )(t M S 为近源介质结构响应；)(t M Ray 为P 波在地幔中传播的透射响应； )(t M R 为台站下方接收介质的响应；)(t I 为仪器响应。在以上因素中，除了仪器响应外，其它因素都是难以一一加以确定的。而只有台站下方介质的响应才是我们所感兴趣的、可用来反演台站下方地壳、上地幔速度结构的波形信息。因此要有一种方法将接收介质的响应从整个P 波波形中分离出来，而接收函数法就是这样一种行之有效的方法。Langston(1979)提出用震源等效化方法来消除有效震源时间函数对远震P 波波形的影响，得到了所谓的接收函数。他认为从一系列水平分层或倾斜分层介质底部入射的平面P 波产生的地表位移响应在时间域可表示为： ?????===)(*)(*)()()(*)(*)()()(*)(*)()(t E t S t I t D t E t S t I t D t E t S t I t D T T R R V V （7）其中，)(t S 代表入射平面波的有效震源时间函数，)(t I 代表仪器的脉冲响应，)(t E V 、)(t E R 、)(t E T 分别代表介质结构脉冲响应的垂直分量、径向分量和切向分量。对于许许多多波形简单的远震事件的观测表明，深源远震地表位移的垂直分量表现为尖脉冲的时间函数与仪器响应的褶积，紧随其后的续至震相非常小（Burdick and Helmberger,1974）。理论计算也表明，即使地壳内存在角度适中的强速度界面，陡角度入射P 波所产生的转换波及地壳内部的鸣震震相的垂直分量也是非常小的（Burdick and Langston,1977）。因此，可以认为介质结构响应的垂直分量近似为Dirac 函数，即： )()(t t E V δ≈ （8）显然在（8）的假设条件下，地表位移的垂直分量可作为与接收介质响应无关的远震P 波波形的影响因素，也就是说，地表位移的垂直分量可以近似为仪器响应和有效震源时间函数

15个常用EXCEL函数,数据分析新人必备

15个常用EXCEL函数,数据分析新人必备本文实际涵盖了15个Excel常用函数，但是按照分类只分了十类。很难说哪十个函数就绝对最常用，但这么多年来人们的经验总结，一些函数总是会重复出现的。这些函数是最基本的，但应用面却非常广，学会这些基本函数可以让工作事半功倍。 SUM 加法是最基本的数学运算之一。函数SUM就是用来承担这个任务的。SUM的参数可以是单个数字、一组数字，因此SUM的加法运算功能十分强大。统计一个单元格区域： =sum(A1:A12) 统计多个单元格区域： =sum(A1:A12,B1:B12) AVERAGE 虽然Average是一个统计函数，但使用如此频繁，应在十大中占有一席之位。我们都对平均数感兴趣。平均分是多少？平均工资是多少？平均高度是多少？看电视的平均小时是多少？

Average参数可以是数字，或者单元格区域。使用一个单元格区域的语法结构： =AVERAGE(A1:A12) 使用多个单元格区域的语法结构： =AVERAGE(A1:A12,B1:B12) COUNT COUNT函数计算含有数字的单元格的个数。注意COUNT函数不会将数字相加，而只是计算总共有多少个数字。因此含有10个数字的列表，COUNT函数返回的结果是10，不管这些数字的实际总和是多少。 COUNT函数参数可以是单元格、单元格引用，甚或数字本身。 COUNT函数会忽略非数字的值。例如，如果A1:A10是COUNT函数的参数，但是其中只有两个单元格含有数字，那么COUNT函数返回的值是2。也可以使用单元格区域作为参数，如： =COUNT(A1:A12) 甚至是多个单元格区域，如： =COUNT(A1:A12,B1:B12) INT和ROUND INT函数和ROUND函数都是将一个数字的小数部分删除，两者的区别是如何删除小数部分。

习题2 母函数

习题二 2-1 求下列数列的母函数（n ＝0,1,2，…）：（1）()??? ? ?????? ??-n n α1 ；（2）{ n ＋5 } （3）{ n (n －1) } ；（4）{ n (n ＋2) } （解）（1）()x G ＝()∑∞ =??? ? ??-01n n n x n α＝()∑∞ =-? ??? ??0n n x n α＝()αx -1 （2）()x G ＝()∑∞=+05n n x n ＝()∑∑∞ =∞=++0 41n n n n x x n ＝() x x n n -+' ∑∞ =+1401＝x x n n -+'???? ??∑∞ =+1401 ＝x x -+' ??? ??--14111＝()x x -+-14112 ＝ () 2 145x x -- （3）()x G ＝ ()∑∞=-01n n x n n ＝()∑∞ =--++2 2 2 100n n x n n x ＝()()∑∞ =++0 212n n x n n x ＝()∑ ∞ =+"0 2 2 n n x x ＝"???? ??∑∞ =+022n n x x ＝"??? ? ??-x x x 122 ＝ ()3212x x - （4）()x G ＝ ()∑∞ =+02n n x n n ＝ ()()()∑∑∑∞ =∞=∞ =-+-++0 121n n n n n n x x n x n n ＝ () () x x x n n n n --' -" ∑∑∞ =+∞ =+11 1 2 ＝x x x n n n n --' ??? ? ??-"???? ??∑∑∞=+∞=+110102 ＝x x x x x --' ??? ??--"???? ??-11112 ＝()()x x x -----11111223＝() 3 2 13x x x --

接收函数方法软件

1 接收函数研究概况：转换波的地壳测深方法自70年代被介绍到我国，并曾经成为除人工地展测深以外研究地壳和上地幔结构的重要方法(邵学钟和张家茹，1978；刘启元和邵学钟，1985；张家茹和邵学钟，1994)。它利用远震p波入射到台站下方时在介质间断面上产生的ps转换震相与透射p 波的相对到时差研究地下介质间断面的深度分布。转换波测深的一些主要思想在进一步的接收函数研究中得到了极大发展。 langston (1979)利用远震p波波形的这个特点提出了等效震源假定，并提出了从长周期远震体波波形数据中分离接收台站下地球介质对入射p波的脉冲响应(即接收函数)的方法。 owens et al. (1984) 将接收函数的方法进一步扩展到宽频带记录的情况，并发展了相应的远震体波接收函数的线性波形反演方法。利用远震接收函数反演方法，人们可以根据宽频带远震p波的波形数据获得台站下方岩石圈的s波速度结构。其理论和方法也获得了不断的改进和发展.其中，randall(1989)提出了计算微分地震图的高效率方法，ammon et al. (1990) 针对接收函数反演的非唯一性提出了保留接收函数径向分量绝对振幅的接收函数分离方法。刘启元等(1996)提出了从宽频带地震台阵资料获取三分量接收函数的方法并实现了基于tarantola矢量反演理论的接收函数非线性反演方法，接收函数的反演方法在国内外己获得了日益广泛的实际应用。在研究基于一维介质假设的接收函数及其反演方法的同时，针对接收函数切向分量上地震波能量的研究也在同时进行。主要是研究介质的非均匀性，各向异性。 zandt & ammon (1995)以及zhu & kanamori(2000) 利用接收函数ps转换震相和多次震相研究了地壳厚度和地壳平均poisson比结构。由于地壳poisson比结构包含着比地壳p波和s波速度结构更多的地壳介质成分和动力学演化信息，这个方法得到了越来越多的应用近年来，接收函数方法的一个重要发展方向就是将地震勘探中广为应用的地震偏移技术移植到天然地震台阵观测数据的解释，用以研究地壳和上地慢速度间断面的横向变化。 2 接收函数的提取方法：所谓远震体波接收函数即地震台站下方(接收区)介质对以近垂直角度入射到接收区的地震体波的脉冲响应。传统的接收函数，也可以称为ｐ波接收函数，主要利用坐标旋转和反卷积的方法从远震ｐ波中分离ｐｓ震相，并且目前已经成为一种常规的数据分析工具来研究区域性的壳幔结构。首先，可以利用后方位角把原始的ｚｎｅ三分量地震记录旋转到ｚｒｔ（垂向，径向和切向）坐标系，后方位角根据震中和台站的位置由理论计算得到。 langston(1979)提出用震源等效化方法来消除有效震源时间函数对远震p波波形的影响，得到了所谓的接收函数。他认为从一系列水平分层或倾斜分层介质底部入射的平面p波产生的地表位移响应在时间域可表示为： ?dv(t)?i(t)*s(t)*ev(t)??dr(t)?i(t)*s(t)*er(t) （7） ?d(t)?i(t)*s(t)*e(t)t?t 其中，s(t)代表入射平面波的有效震源时间函数，i(t)代表仪器的脉冲响应，ev(t)、er(t)、et(t)分别代表接收区介质结构脉冲响应的垂直分量、径向分量和切向分量。频率域表示为： ?dv(?)?i(?)s(?)ev(?)??dr(?)?i(?)s(?)er(?) ?d(?)?i(?)s(?)e(?)t?t 理论计算与实际观测表明，近垂直入射的远震p波波形的垂直分量主要由近似脉冲的直达波构成，尾随波列能量较弱，可忽略不计，于是可做如下近似： ev(t)??(t),ev(?)?1.

oracle分析函数

Oracle开发专题之：分析函数(OVER) (1) Oracle开发专题之：分析函数2(Rank, Dense_rank, row_number) (6) Oracle开发专题之：分析函数3(Top/Bottom N、First/Last、NTile) (10) Oracle开发专题之：窗口函数 (14) Oracle开发专题之：报表函数 (20) Oracle开发专题之：分析函数总结 (22) Oracle开发专题之：26个分析函数 (24) PLSQL开发笔记和小结 (28) 分析函数简述 (60) 说明: 1)Oracle开发专题99%收集自: https://www.doczj.com/doc/021532811.html,/pengpenglin/(偶补充了一点点1%); 2) PLSQL开发笔记和小结收集自https://www.doczj.com/doc/021532811.html,/cheneyfree/ 3)分析函数简述收集自https://www.doczj.com/doc/021532811.html,/7607759/ 昆明小虫https://www.doczj.com/doc/021532811.html,/ 收集,并补充了一点点1% Oracle开发专题之：分析函数(OVER) 目录： =============================================== 1.Oracle分析函数简介 2. Oracle分析函数简单实例 3.分析函数OVER解析一、Oracle分析函数简介：在日常的生产环境中，我们接触得比较多的是OLTP系统(即Online Transaction Process)，这些系统的特点是具备实时要求，或者至少说对响应的时间多长有一定的要求；其次这些系统的业务逻辑一般比较复杂，可能需要经过多次的运算。比如我们经常接触到的电子商城。在这些系统之外，还有一种称之为OLAP的系统(即Online Aanalyse Process)，这些系统一般用于系统决策使用。通常和数据仓库、数据分析、数据挖掘等概念联系在一起。这些系统的特点是数据量大，对实时响应的要求不高或者根本不关注这方面的要求，以查询、统计操作为主。我们来看看下面的几个典型例子： ①查找上一年度各个销售区域排名前10的员工 ②按区域查找上一年度订单总额占区域订单总额20%以上的客户 ③查找上一年度销售最差的部门所在的区域 ④查找上一年度销售最好和最差的产品我们看看上面的几个例子就可以感觉到这几个查询和我们日常遇到的查询有些不同，具体有：

揭示函数的本质及其研究方法

揭示函数的本质及其研究方法 ——记一堂高三函数复习课常州市北郊高级中学马剑飞213000 摘要：数学学习是一个由薄到厚，再由厚到薄的过程，高三的学生经历了由薄到厚的过程，所以高三更加要关注学生由厚到薄的过程，让学生真正明白数学知识的本质及方法，从而提高数学能力与素养．函数是一个重要的知识点，通过这一章让学生经历这个过程，理解函数的本质，明白数学的学习方法．关键词：函数，本质，方法，数形结合数学课程标准指出“高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备．”高三的数学复习是为了让学生在这两方面能够得到更进一步的提升，但是，往往我们给学生的是无数的题，无数的方法，学生学到最后变成了用记忆的方法来学习数学，这样既不利于学生的水平的提高，也影响学生对数学的兴趣及后续的数学学习，所以高三的复习课更应让学生感受数学的本质，体会数学的研究方法，真正感受数学是思维的体操，感受数学的美．函数一章是学生进入高中学的第一个难点知识，也是高考重要的一个知识考点，是贯穿整个数学学习过程的一块知识．对于本章内容，学生做了很多的题，但是总是一遇到问题就没有方法，遇难而退，其主要原因在于不能掌握函数的本质．笔者在一节课中用几道函数题让学生经历探究的过程，感受数学的研究方法，培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，促进数学素养的提高，揭示数学的本质，感受数学思维的快乐！一、揭示函数的本质函数的最大难点是变化，所以函数的本质是研究两个变量之间的相互关系，解决的方法就是找到两个变量之间的变化关系，从而转化为函数关系，这就是函数思想。体会这个本质后，就形成了函数思想，就能够用函数的方法研究问题．为了让学生体会函数的本质，本节课给出了2011年江苏高考卷12题及一个练习，让学生真正感受函数的本质，形成函数的思想．例1、在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0 x f x的图象上 e (> ( ) =x

基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移

王红落,常　旭,陈传仁.基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移.地球物理学报,2005,48(2):415～422 Wang H L ,Chang X ,Chen C R.Receiver function forward m odeling and migration based on wave 2equation finite difference method.Chinese J .G eophys .(in Chinese ),2005,48(2):415～422 基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移王红落1 ,常　旭1 ,陈传仁 2 1中国科学院地质与地球物理研究所,北京　1000292长江大学地球物理与石油资源学院,荆州　434023 摘　要　针对接收函数正演与偏移,本文采用波动方程有限差分算法.借鉴成熟的勘探地震学方法,引入等效速度概念,建立接收函数转换波与地震勘探反射波的等效走时方程,实现了基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移.数值计算表明,波动方程有限差分叠后偏移方法可以对点绕射和穹隆构造模型实现高精度成像.本文利用数值计算讨论了波动方程有限差分叠后偏移与K irchhoff 叠后偏移对于接收函数偏移的适用性,还对偏移过程中速度模型的误差进行了分析. 关键词　有限差分正演,接收函数阵列,共转换点(CCP )叠加,有限差分偏移文章编号　0001-5733(2005)02-0415-08 中图分类号　P631 收稿日期　2004-04-13,2004-12-08收修定稿基金项目　国家自然科学基金项目(40174017,40235055)资助. 作者简介　王红落,男,1975年生,1998年毕业于大庆石油学院,现为中国科学院地质与地球物理研究所博士研究生,主要从事勘探地震数字处理方面的工作.E 2mail :whl @https://www.doczj.com/doc/021532811.html, R eceiver function for w ard modeling and migration based on w ave 2equation finite difference method WANG H ong 2Luo 1,CHANG Xu 1,CHE N Chuan 2Ren 2 1Institute o f G eology &G eophysics ,Chinese Academy o f Sciences ,Beijing 100029,China 2The College o f G eophysics and P etroleum Resources ,Yangtze Univer sity ,Jingzhou 434023,China Abstract The wave 2equation finite difference alg orithm is applied here as a s olution for forward m odeling and migration of receiver function.With the help of exploration seism ology concepts ,the equivalent velocity and traveltime equation are established ,therefore the forward calculation and migration of receiver function are im plemented by wave 2equation finite difference method.The numerical calculation indicates that imaging of point diffractor and dome can be accom plished with high accuracy em ploying poststack wave 2equation finite difference migration.Then the applicabilities for receiver function imaging between poststack finite difference migration and K irchhoff migration are discussed according to numerical results.Finally ,the effects on velocity error for imaging are analyzed. K eyw ords Finite difference m odeling ,Receiver function array ,C omm on converted point stack ,Finite difference migration 1　引　言地震台站记录是震源时间函数、地下介质结构以及仪器特性耦合作用的结果.接收函数是消除震源效应以及仪器特性后,台站下方介质结构的径向响应.早期的接收函数方法是用单个固定台站远震体波资料来反演台站下方地壳的一维速度结第48卷第2期2005年3月地　球　物　理　学　报 CHI NESE JOURNA L OF GE OPHY SICS V ol.48,N o.2 Mar.,2005