数学建模第二章 习题
1．学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数
①按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者
②2.1节中的Q 值方法。
③Hondt d 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用1，2，3，…正整数相除，其商数如下表
将所得商数从大到小取10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2、3、5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10人增至15人，分配名额如何改变。
2．用2.5节实物交换模型中介绍的无差别曲线概念，讨论雇员和雇主之间的协议关系。
①以雇员一天的工作时间t 和工资w 分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。
②如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）作出计时工资线族。根据雇员的无判别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论他们将在怎样的一条曲线上达成协议。
③设雇员和雇主已经达成了一个协议（工作时间1t 和工资1w ）。如果雇主想使雇员的工作时间增加到2t ，他有两种办法，一是提高计时工资率，在协议线的另一点（2t ，2w ）达成新的协议；另一种办法是实行超时工资制，即对工时1t 仍付原计时工资，对工时2t -1t 付给更高的超时工资，于是协议点为（2t ，2w ）。试用作图方法分析哪各办法对雇主更有利]4[。
3．在2.6节核武器竞赛模型中，如果甲方引进多弹头导弹（每枚导弹都装上N 个弹头），平衡点将如何改变。如果乙方也引进多弹头导弹呢？
4．用初等概率方法讨论随机性的核武器竞赛模型。设一方的每枚导弹被对方一枚导弹击中的概率为p ，攻击是相互独立的。问当一方以全部导弹攻击对方时，对方平均能幸存多少枚导弹。由此得到双方的安全线，讨论平衡点的存在性。
5．将2.7节的传染病随机感染模型从静态的发展为动态的，即仍利用原来的假设。记第k 天的病人和健康者的人数为k i 和k s ，求k i 或k s 的平均值。
6．在2.8节传送带效率模型中，设工人数n 固定不变。若想提高传送带效率D ，一个简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，其他条件不变。当钩子数增加一倍，按（3）式可使“效率”E 减少一倍。另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中有一只是空的，他就可以挂上产品。试推导这种情况下传送带的效率公式，从数量关系上证明这种办法比第一种办法好。
*7．购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？譬如蓝天牙膏60克装的每支0.96元，150克装的每支2.15元，二者单位重量的价格比是1.17:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
①分析商品价格c 与商品重量的w 关系。价格由生产成本、运输成本和包装成本等决定。这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积s 成正比，还有与w 无关的因素。
②写出单位重价格c 与w 的关系，说明w 越大c 越小。
③说明单价c 随w 增加而下降的速度是负的，其实际意义是什么
]4[。
《数学模型》考试大纲 适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业 一、课程性质与目的要求 数学模型课亦称为数学建模课，它是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业必修课或限选课，教育部1998年颁布的高等学校本科专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课。数学模型是架于实际问题与数学理论之间的桥梁。数学模型就是应用数学语言和方法，对于现实世界中的实际问题进行抽象、简化和假设所得到的数学结构。本课程是研究数学建模的理论、思想和方法，研究建立数学模型、简单的优化模型、数学规划模型、微分方程模型、代数方程与差分方程模型、稳定性模型、离散模型、概率模型等。 数学模型课需要用到数学分析、高等代数、微分方程、图论、概率统计、运筹学等数学知识，它是学生所学数学知识的综合应用，是培养学生综合素质以及应用数学知识解决实际问题的能力的良好课程。该课程的考试评价依据是按照课程目标、教学内容和要求，把握合适的难易程度出试卷，用笔试的方法对学生学习情况和学习成绩做出评价。 二、课程内容和考核要求 第一章建立数学模型 １、考核知识点： 数学建模的背景及重要意义、数学模型与数学建模、数学模型的分类与特点、数学建模的基本方法和步骤、数学建模举例等。 ２、考核要求： （1）理解数学建模的背景及意义、原型、模型、数学模型、数学建模等概念。 （2）理解数学模型的各种分类、数学模型的特点。 （3）理解数学建模的基本方法和步骤、通过实例初步了解数学建模的思想和方法。 第二章简单的优化模型 １、考核知识点： 存储模型、生猪的出售时机、森林救火、冰山运输等。
２、考核要求： （1）掌握应用微积分理论建立存储问题模型。 （2）理解应用微积分理论建立生猪的出售时机模型和森林灭火模型。 （3）理解应用微积分理论建立冰山运输问题模型。 第三章数学规划模型 １、考核知识点： 数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤、生产安排问题、奶制品的生产与销售等。 ２、考核要求： （1）掌握数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤。 （2）掌握生产安排问题的模型及图解法。 （3）理解奶制品的生产与销售的模型及求解。 第四章微分方程模型 １、考核知识点： 传染病模型、正规战与游击战、药物在体内的分布与排除、香烟过滤嘴的作用等。 ２、考核要求： （1）理解传染病问题的建模及讨论。 （2）理解战争问题、房室问题的建模及讨论。 （3）了解香烟过滤嘴作用问题的建模及讨论。 第五章代数方程与差分方程模型 １、考核知识点： 量纲、量纲齐次原理、量纲分析法、差分方程的基本概念、市场经济中蛛网模型、节食与运动问题等。 ２、考核要求： （1）掌握量纲、量纲齐次原理、量纲分析法建模及解法步骤。 （2）掌握市场经济中蛛网模型及解法步骤。 （3）理解理解差分方程的基本概念、减肥问题的建模思想。 第六章稳定性模型
·综 述· 辐射剂量数学模型在医学影像学的应用及研究进展＊ 刘 潇综述，曾勇明△审校 （重庆医科大学附属第一医院放射科 ４０００１６） 关键词：辐射剂量；医学影像学；数学模型；蒙特卡洛；仿真人体体模 ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１－８３４８．２０１３．１４．０３３文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－８３４８（２０１３）１４－１６５０－０３ 随着医学的不断发展，现代医学影像技术越来越多的应用于临床实践中，尤其是在ＣＴ、ＤＳＡ的临床应用呈逐年上升趋势，辐射剂量问题已引起全世界的关注。有效实施辐射剂量检测是保证医学影像学检查合理使用的基本要求。当前，临床上主要采用影像设备的剂量测试工具来获得辐射剂量数据，并评估患者的辐射剂量，但不能前瞻性的评价和预估某一放射学检查时的辐射水平。近年来，数学模型开始应用于医学影像学领域，对研究辐射剂量的科学实验带来便利。本文就辐射剂量数学模型的临床应用及进展综述如下。 １ 辐射剂量数学模型 为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模是用数学语言描述实际现象的过程，不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容［１］。 以蒙特卡洛（Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ）为代表的数学模拟方法是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此，只是在近些年才得到广泛推广。蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论［２］。 在医学影像学中，基于蒙特卡洛模拟技术开发的软件的临床应用近年来有较大发展，如Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件包（ＶＡＭＰ Ｇｍ－ｂＨ，Ｅｒｌａｎｇｅｎ，Ｇｅｒｍａｎｙ）功能独特，目前科研中，提供快速的三维剂量分布计算，该软件可以适用于多种任务，包括普通放射学、ＣＴ、Ｃ型臂（基于平板探测器）ＣＴ等。在科研中成功的剂量分布计算已经在３０多个专业领域的国际刊物也有极好的反馈［３］。还有一些通用的软件工具常在实验研究中应用，如用来模拟辐射ＣＴ剂量沉积的基于蒙特卡洛的软件ＭＣＮＰＸ ｅｘ－ｔｅｎｄｅｄ ｖ２．６，在洛杉矶洛斯阿拉莫斯国家实验室执行模拟［４］。国内应用较广的免费软件，如Ｇｅａｎｔ４［５－６］或ＭＣＮＰ ＥＧＳ４［７］，这些软件可执行辐射剂量估算。器官剂量估算软件ＰＣＸＭＣ（ＳＴＵＫ，Ｆｉｎｌａｎｄ）是基于蒙特卡洛计算方法，用于估算人体器官所受吸收剂量（ａｂｓｏｒｂｅｄｄｏｓｅ，ＡＤ）和全身有效剂量（ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｄｏｓｅ，ＥＤ）的常用计算软件［８］。 ２ 数学模型在ＣＴ检查中的应用 在ＣＴ检查中减少辐射剂量是医学影像研究的热点问题，常用于评价ＣＴ检查的ＥＤ通过剂量长度乘积（ｄｏｓｅ ｌｅｎｇｔｈｐｒｏｄｕｃｔ，ＤＬＰ）乘以权重因子获得［９］，但与利用仿真体模检测辐射剂量的方法比较，其值不够准确［１０］。应用数学模型软件，模拟患者的辐射剂量，可避免不必要的重复照射。通过在软件中加入ＣＴ的扫描参数及患者的性别、体质量指数（ＢＭＩ）、心率等因素，因而更具个性化。辐射剂量数学模型在ＣＴ的应用已越来越受到重视。 有研究采用数学模型评估冠状动脉造影患者接受的辐射剂量，模型模拟固定管电流下ＥＤ，与常规心电门控管电流自动调制技术接受的剂量相比较。可以得到心电门控管电流自动调制技术（预设１００ｍＡｓ）的ＥＤ为（７．１±２．１）ｍＳｖ，而模拟固定管电流（１００ｍＡｓ）下肺组织的ＥＤ为（１２．５±５．３）ｍＳｖ；并证明应用心电门控管电流自动调制技术后辐射剂量减少了５２％［１１］。 Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件生成的三维剂量分布是其特点，可涉及到器官剂量的估算和计算患者个体风险的ＥＤ水平。在对每个采集的参数和重建的容积数据的基础上，进行了蒙特卡洛模拟，以计算每个像素的沉积与光子相互作用方面的剂量。它可模拟现代ＣＴ系统的所有参数，比如蝶形过滤器、管电流调制、双源ＣＴ设置和动态Ｚ轴准直等。Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件的可视仿真体模（ＮＶＩＤＩＡ ＧＰＵ）功能，模拟一个高精度的ＣＴ检查环境，因此Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ是最快最全面的蒙特卡洛模拟软件包之一。为了确保最好的结果，Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ已在三个不同的ＣＴ系统（西门子、ＧＥ、飞利浦公司产品）验证［１２］。 ＭＣＮＰＸ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｖ２．６软件能模拟以１ｋｅＶ的低能量辐射剂量为基准的剂量，这种软件可使用１２０ｋＶｐ、３００ｍＡ的条件下模拟全身ＣＴ扫描。针对普通患者，扫描范围可扩大，从头顶的底部到耻骨随意调节。利用蒙特卡洛技术模拟的人体数学模型，以现场调查（与临床应用相适应）所得的ＣＴ技术参数和几何条件为输入参数，从理论上估算了成人ＣＴ冠状动脉检查所接受各器官组织的吸收剂量［４］。一些免费软件（如Ｇｅａｎｔ４）缺乏灵活性，难以适应ＣＴ扫描技术的复杂多变，这些原因促进了开发以蒙特卡洛技术为仿真基础的应用于放射诊断的软件，尤其是与ＣＴ检查相关的应用软件［１３－１７］。 ３ 数学模型在介入治疗的应用 介入治疗是临床、医学与工程技术紧密结合，相互依存而发展起来的前沿学科，它具有微创、简便、安全等优点，为过去 ０ ５ ６ １重庆医学２０１３年５月第４２卷第１４期 ＊基金项目：重庆市卫生局科研基金资助项目（２０１０－２－０５５）。 作者简介：刘潇（１９８１～），技师，在读硕士研究生，主要从事医学影像技术研究。 △ 通讯作者，Ｔｅｌ：１３６０８３３８４８８；Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｅｎｇ－ｙｍ＠ｖｉｐ．ｓｉｎａ．ｃｏｍ。
第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系. 解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=3 2 -T ML , [v ]=1 -LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3 -ML ,这里T M L ,,是基本量纲. 量纲矩阵为： A=) ??????????---ρ()() ()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为： ?? ? ??=--=+=-++0 30 32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式. 解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1 ，[ρ]=L -3 MT 0 ， [μ]=MLT -2 （LT -1L -1 ）-1L -2 =MLL -2T -2 T=L -1 MT -1 ，[g ]=LM 0T -2 ,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为 A=) ()()()()()() (210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即 ??? ??==+=+0 2y -y - y -0 y y 0y y -3y -y 431 324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
习题2作业讲评 1. 继续考虑 2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式 20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ） 解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号： D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）； 于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取. 比较2 0.750.082678d v v =+与2D v =，得： ()0.082678 1.25d D v v -=- 所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d
v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2; plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on 51015 2025 303540 车速v （m/s ） 距离（m ） 图1
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 2 21 11i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(11 1 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22 11 221122 112211 )(1)1(++ +=++ ++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 2 2 1+= ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 22 1 211)11()(+=+ ++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
数学建模章绍辉版作业集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
第四章作业 第二题： 针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。 下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。 1、 问题假设 大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设 （1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为 32 D ;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ； （2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0； 在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ； （3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量 无关。 2、 符号说明 酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克； 酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升； ~t 时刻（小时）； ()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；
0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）； (t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； ~V 中心室的容积（百毫升）； 1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数）； 2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数）； 3~k 在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体 积，即03/2D V ；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指03/4D V . 3、 模型建立和求解 （1） 酒是在很短时间内喝的： 记喝酒时刻为0t =（小时），设(0)0c =，可用()2113 212 ()k t k t k k c t e e k k --= --来计算血液中的酒精含量，此时12k k 、为假设中所示的常数，而033155.792D k V ?? == ??? . 下面用MATLAB 程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero 函数和fminbnd 函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。 MATLAB 程序如下： k1=;k2=;k3=; c=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); f=@(t)c(t)-20; g=@(t)c(t)-80; h=@(t)-c(t); t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12), t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12) [t3,c3]=fminbnd(h,0,24) fplot(c,[0,20],'k') hold on plot([0,20],[20,20],'k',[0,20],[80,80],'k') hold off
初等数学模型 本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法 复习要求 1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构. 利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽. 1．雨中行走问题 雨中行走问题的结论是： （1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即2 0π θ≤ ≤，那么全身被淋的雨水总量为 ? ? ? ??++=++= +=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )] cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑. （2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2 . 令απθ+=2 ，则2 0π α<<. 那么全身被淋 的雨水总量为 ?? ? ??+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量. 从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。 有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的. 另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要. 例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如
数学建模第二章作业答案章绍辉
习题2作业讲评 1. 继续考虑 2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式 20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ） 解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号： D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）； 于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取. 比较2 0.750.082678d v v =+与2D v =，得： ()0.082678 1.25d D v v -=- 所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d
v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2; plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k') plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2) title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则') legend('两秒准则','刹车距离理论值',... '刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) xlabel('车速v （m/s ）') ylabel('距离（m ）') hold off 51015 2025 303540 020406080100120 140160180比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则 车速v （m/s ） 距离（m ） 两秒准则 刹车距离理论值 刹车距离的最小值、平均值和最大值 图1
+ 第二章控制系统的数学模型 一．是非题 1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√） 2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√） 3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题 1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s C 。 τs D 。以上都不是 2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1 S B 。 21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。 () () 12G s G s
4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。() () 12G s G s 三． 填空题 1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22 21k s s τζτ++ 3．21 2 t 的拉普拉斯变换为 3 1 s 4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法 四．计算题 §2-1 数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt di L u +?+? = c i C u =? c c c u u C R u C L +'??+''??=
1．（1） n=101; x1=linspace(-1,1,n); x2=linspace(-2,2,n); y1=[sqrt(1-x1.^2);-sqrt(1-x1.^2)]; y2=[sqrt(4-x2.^2);-sqrt(4-x2.^2);sqrt(1-(x2.^2)/4);-sqrt(1-(x2.^2)/4)]; plot(x1,y1) … hold on; plot(x2,y2) title('椭圆x^2/4+y^2=1的内切圆和外切圆') axis equal -2.5 -2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.5 -2-1.5-1-0.500.511.5 2椭圆x 2/4+y 2=1的内切圆和外切圆 （2） x1=linspace(-2,2,101); / x2=linspace(-2,8); axis equal plot(exp(x1),x1,x1,exp(x1),x2,x2) title('指数函数y=exp(x)和对数函数y=ln(x)关于y=x 对称')
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -2-101234567 8指数函数y=exp(x)和对数函数y=ln(x)关于y=x 对称 （3） hold on — q=input('请输入一个正整数q;') for i=1:q for j=1:i if rem(j,i) plot(j/i,1/i) end end end @
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 00.050.10.150.20.250.30.350.40.45 0.5 3．代码如下： n=input('请输入实验次数n=') k=0; for i=1:n 。 x=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); if x ==3|x==11 k=k+1; elseif x~=2&x~=7&x~=12 y= ceil(rand*6)+ceil(rand*6); while y~=x&y~=7 y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); end if y==7 ； k=k+1; end end end
第2章初等数学建模方法示例 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式
4. 根据表1.14 的数据，完成下列数据拟合问题： 表 1.14 美国人口统计数据(百万人) 年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年份1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 年份1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 解答：（1）： （i）执行程序： t=1790:10:2000; x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.2,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204 .0,226.5,251.4,281.4]; f=@(r,t)3.9.*exp(r(1).*(t-1790)); r=nlinfit(t,x,f,0.036) sse=sum((x-f(r,t)).^2) plot(t,x,'k+',1790:10:2000,f(r,1790:10:2000),'k') axis([1790,2000,0,300]),legend('测量值','理论值') xlabel('美国人口/（百万）'),ylabel('年份') title('美国人口指数增长模型图II') 运行结果： >> Untitled r = 0.0212 sse = 1.7433e+004 即，拟合效果：r =0.0212；误差平方和为：1.7433e+004. 拟合效果图（i）：
第二章控制系统的数学模型 控制系统的数学模型 本章主要内容： 引言 微分方程模型 传递函数模型 脉冲响应模型 方框图模型 信号流图模型 频域特性模型 数学模型的实验测定方法（辨识） 2.0 引言 主要解决的问题： 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 对系统数学模型的基本要求 2.0.1 什么是数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。 亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式） 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型
动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到一平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。 关系：静态模型是t时系统的动态模型。 控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。 2.0.2 为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此） 一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位）才有意义。 建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机理建模白箱实验建模（数据建模）黑箱或灰箱 系统辨识 2.0.3 对系统数学模型的基本要求 亦：什么样的数学表达式能用于一个工程系统的描述。 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
第2章初等数学建模方法示例 2.1公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为：系名甲乙丙总数 学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20
由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如： 某两个单位的人数和席位为 1021==n n ，1201=p ，1002=p ， 算得 2=p 另两个单位的人数和席位为 1021==n n ，10201=p ，10002=p , 算得 2=p
第四章作业 第二题： 针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。 下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。 1、 问题假设 大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设 （1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为 32 D ;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ； （2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时 刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与 中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ； （3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量无关。 2、 符号说明 酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克； 酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升； ~t 时刻（小时） ； ()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克） ； 0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）； (t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升） ； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； ~V 中心室的容积（百毫升） ； 1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数2.0079）； 2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数0.1855）；
初等数学方法建模 现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问题的能力。 第一节 有关自然数的几个模型 1.1鸽笼原理 鸽笼原理又称为抽屉原理，把N 个苹果放入)(N n n < 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。 问题1：如果有N 个人，其中每个人至多认识这群人中的)(N n n <个人（不包括自己），则至少有两个人所认识的人数相等。 分析：我们按认识人的个数，将N 个人分为n ,2,1,0 类，其中)0(n k k ≤≤类，表示认识k 个人，这样形成 1+n 个“鸽笼”。若 1- 第四章作业 第二题： 针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。 下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。 1、 问题假设 大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设 （1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为 32 D ;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ； （2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时 刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与 中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ； （3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量无关。 2、 | 3、 符号说明 酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克； 酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升； ~t 时刻（小时） ； ()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克） ； 0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）； (t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升） ； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； ~V 中心室的容积（百毫升） ； 1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数）； @ 2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数）； 3~k 在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体积，数学建模章绍辉版第四章作业
相关主题
文本预览