《离散数学》学期总结
转眼之间，这学期要结束了。我们的离散数学，这门课程的学习也即将接近尾声。下面就是我对这门课一些认识及自己的学习心得。
首先我们这门课程离散数学到底包含了哪几大部分？每部分具体又有什么内？这门课程在计算机科学中有什么地位？这门课程在我们以后的学习生活中，以及在将来的工作中有什么帮助？下面我将以上几个方面具体谈一谈并将总结一下自己本人在这门课程学习过程中遇到的一些问题和心得体会。
这门课程有数理逻辑，集合论，代数系统和图论四部分。这四大部分通常被称为离散数学的四大体系。其中每一部分都是一个独立的学科，内容丰富。而我们离散数学中的内容是其中最基本，最重要且和计算机科学最密切相关的内容吸收到离散数学中来，并使它们前后贯通，形成一个有机整体。这门课的主要内容有命题逻辑、谓词逻辑，属于数理逻辑部分，集合论中有集合、二元关系、函数，代数系统包含代数系统基础、群、环、域以及格和布尔代数的知识（这部分我们没有涉及）。
那么这门课程在计算机科学中有着什么样的地位呢，这门课程是计算机科学专业中重要的专业基础课程，核心课程，可以这么说，离散数学，既是一门专业基础课，是一门工具性学科。这门课讲授的内容，与后续专学习业密切相关。在这门课里我们讲授了大量的计算机学科专业必要的基本概念，基本理论和基本方法。为我们以后的学习，工作打下良好基础。在算法设计，人工智能，计算机网络，神经网络，智能计算等学科中有着重要的作用。在计算机科学中有着广泛的应用。通过这门课可以对我们计算机算法的理解和逻辑思维得到提高。
那么我们具体学了什么内容呢？
（一）首先集合论是整个数学的基础，（不管是离散数学还是连续数学）如果没有专门学过，那么出现在离散数学中还是很合适的。至于由集合论引出的二元关系，函数的内容，也是理所应当的。
数理逻辑是一个让人眼前一亮的东西。我第一次发现，原来有些复杂的推理问题是可以通过“计算”的方法解决的。
数理逻辑，又叫符号逻辑。就是依靠专门的数学符号去推导过程对的科学。在推导过程中，我们探索出一套完整的规则。这个规格就是我们的推理规则。竟然为了确保这套规则的，准确性。防止二义性，以至于可以将公理理论公式化，依据各项规则，证得论证的有效性。
这一章里，我们首先学习了，命题逻辑的基本概念。并和一些逻辑连接词。
包括真值连接词的否定，真值连接词合取，析取。我们可以用，符号形式写出各种命题，并利用真值表来判断命题的真假。用真值表来判断，命题是十分有效方便的。所以，对于真值表的记忆是十分重要的。命题公式的表示，也是用符号话的需要来给出的。随后我们学习了永真式和永假式，对于永真式和永假式的证明，用制表技术可以方便的给出。对于永真式，因为原子命题变元，不论表示什么命题，是真的还是假的，它总是真的。所以它反映的是命题逻辑的逻辑规律。所以我们着重研究永真式。下面，在一个公式中，如果用另外的是替换其中某个或某些原子命题变元，就会得到全新的公式，这个全新的公式，和原公式什么关系呢？进而引出了我们的代入规则和替换规则。为了更方便的证明各种命题，我们学习了，等价和蕴涵的各种定理，还有范式和范式的判定问题，其中主要是主析取范式和合取范式的概念，定理，证明。证明过程我们在课上都已经证明过了。在这一章还学习了三段式的证明，此证明方法在以后的学习过程中经常使用。
谓词逻辑就是对命题和推理做深一步的研究的学习。在谓词演算中，原子命题分为谓词和个体两部分。谓词逻辑就是将命题的内涵，通过个体和谓词中的表现出来，把同一类命题，用命题函数表示，增强其表达能力。在这里要注意的是，命题还是不是命题，因为其没有确定的真假异议，但是可以将一个命题函数转化为问题，方法有二，（1）用个体域中的特定个体去替换个体变元；（2）这个体域上，将命题函数量化。所谓量化，就是用量词的命题函数中的个体变元进行约束，由此引入了量词的概念。量词分为全称，量词与存在量词，量词反映了个体域与量词间的真假关系。此外，在谓词逻辑中，个体的个体域也是很重要的。将一个命题用谓词，逻辑符号化时，通常经以下步骤（1）确定特性谓词及其他谓词。（2）确定量词。（3）量词与逻辑连接词的搭配。有了量词的概念后，谓词逻辑表达能力就让广泛了，它所刻画的语句也也更为普遍，更为深刻。
代数系统，在计算机科学中也非常重要。在计算机科学中带出系统科，用作研究，抽象数据结构的性能及操作，也是程序设计语言的理论基础。
图论这一章里，我们学习的图并不是几何学中的图形。而是客观世界中某些事物具体联系的一个数学抽象。用点代表事物，用边表示各事物间的二元关系。这一章刚开始学的概念很多，让我感觉有些乱。所以在课后要自己多下功夫了。
然后就是我在学习中出现的一些问题及解决方法了，今天，在学习数理逻辑的时候，觉得离散数学这门课程很简单。但是随着学习的进一步深入，我发现我的想法是错误的。对于后面的一些推理论证，自己缺乏思路。虽然，老师在课上也教给了我们推理的方法，但是，还是忍不住去看书上的证明。这一点在随后的学习中，我一般尽量克服，也是在老师的帮助下，在证明时尽量自己想，憋自己一下，让自己的思维得到训练，自己的推理论证能力得到提高。进而使综合素质，
都要提高。
再说一下李勇老师的讲课吧，讲的非常棒。首先它会对每一部分的内容，及，基本概念给大家进行讲解。然后就是强调自己的推理能力。每节课都会让我们自己推理，验证定理。从基础出发，从小定理验证到大定理，由特殊推广到一般。一般都会让我们从两三个开始验证，逐步得到结论，发现规律。一次，李勇老师对，课堂教学有着自己深刻的理解，对这门课的教学方法，教学模式有着独特的看法。还有就是李勇老师，朋辈式的教学方法，在教学过程中，我们共同进步，教学相长，这样是非常好的。
对于老师每节课让我们自己推理的使用模式，我表示非常赞同。我认为，最好的学习办法就是找到合适自己解决问题的方法。学习任何课程都是为了解决实际问题。离散数学也是如此，有了对概念的理解，有了正确的思考问题的方式，解决问题的时候就不会走弯路了，也就是说，基本的解决问题的方法就自然而然的掌握了。对于我们从小缺乏锻炼的推理能力，在这里得到了非常高的提升。
离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；
《牵手两代》家长课程一年级教案 第五讲让孩子自主发展 一、导入 给家长讲一个真实的故事：国内某高校的一位的大学生，是家中的独子，从小备受宠爱，衣来伸手，饭来张口，甚至上了大学，父母要每周到学校去为他料理生活，考取出国留学的奖学金后，一想到要独自一人出国留学，无人照顾，不知道自己将如何生活，以至于过于焦虑而失常。后来，这个大学生的父母说了一句令人深思的话：“我们一心一意地爱他，凡事为他着想，谁知却害苦了他。” 爱孩子是人的天性，那位大学生的父母爱孩子没有丝毫的错。错的是他们爱孩子的方式过于盲目和无理性，只是一心一意地去爱，却忽略了孩子未来发展与独立生活，没有为孩子提供自主发展地空间，从而使孩子在习惯了消极的以来之后，一旦要独自面临新的挑战时，便无所适从。 为什么让孩子自主发展 第一节妈妈，我想出去玩 二、情景案例 1、和家长一起看教材87、88页情景案例，文中的母亲是怎样爱自己的孩子的。
2、教师和家长交流：我想问一下家长，您的孩子参加了哪些课外辅导班？孩子是自己愿意去的，还是家长强制参加的？你的孩子对自己参加的辅导班持什么态度？作为家长，你对此有什么看法？家长讨论交流，谈自己的想法。 三、家长自学教材中教育故事部分，体会文中李老师的教导。 四、专家讲堂： 1、教师讲解教材中95-97页的内容。使家长明确剥夺孩子玩的权利，扼杀孩子玩的天性有很大弊端，主要表现在：（幻灯） A、高分低能。 B、交往障碍。 C、人格障碍。 D、亲子关系紧张。 2、请家长发言：你觉得您的哪些行为剥夺了孩子玩的权利？现在是怎样想的？ 教师总结：我们今天所处地时代，是一个飞速发展地时代，现代科学技术越来越发达，生产过程越来越趋向自动化，地球上的人口越来越多……摆在我们和孩子们面前的将是激烈的竞争。可是，我们的家庭教育能在这些竞争中获胜吗？有的家长担心孩子与玩伴发生纠纷；担心孩子玩花了心，不少孩子成为一家两代甚至三代得重点保护对象，上学放学大人接送，日常家务不让孩子动手，还为孩子划出了
第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有Φ?A。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
2020小学校本课程工作总结 2020小学校本课程工作总结为，但愿对你的学习工作带来帮助。 校本课程是以学校为基地进行开发的课程，它是教师根据学生的需要，学生的兴趣，本着以人为本的原则自主开发的课程，它的开发主体是教师。下面是小编为大家带来的2020小学校本课程工作总结，希望你喜欢。随着新课程改革的全面铺开，我校全面开始了学校课程的开发和实施，收益颇丰。所开课程多次得到了中国教育学会、省市各级主管部门及专家的好评。我校编撰的《胶南三名》在中国教育学会举行的地方校本课程评选中荣获二等奖。现将我校课程开发与实施过程中的一些做法和经验总结如下： 一、因地制宜，开发校本课程 (一)课程开发的理性思考 学校要发展就应当重视办学思想和教育理念的更新，更应当重视学校精神的滋润和文化底蕴的积蓄与传承，经过对学校现状的全面分析，结合自身特点和周围可利用的教育资源，确定了以“体验社会，亲近自然，了解胶南”为主题的研究资料。确定以“胶南三名”即“胶南名人知多少”“胶南名胜知多少”和“胶南名产知多少”的开发利用作为切入点，依托校本课程的开发与实施，培植学校特色，提升办学品质，培养
学生的创新精神、科学精神和实践本事。为学生终身学习和发展奠定坚实的基础。 (二)课程开发的原则 我校开发校本课程主要遵循了两个原则： 1、立足本地，因地制宜 胶南是我们的家乡，这是一方古老而又美丽的土地，它不仅仅有灵秀的山水，丰饶的物产，还蕴涵着深厚的文化底蕴。沧海桑田、历史变迁，许多名胜古迹令人瞩目、许多名产令人神往、许多风流人物流传史册。所以，我们立足本地，让孩子们从关注身边的名胜、名人、名产开始，经过系列调查活动，让学生了解家乡的名胜、名人和名产，珍爱名人、关注名胜、保护和发展名产;关注家庭、社区、民族和人类的关系，以此激励学生热爱家乡，从小树立起可持续发展的理念。 2、以动促学，发展学生 经过校本课程的开发，让学生学会能搜集相关资料，学会交流与分享、学会分工与合作，并在自我所调查研究的领域主动提出有价值的问题，在实践中学会观察、提问、调查、采访、记录、整理有关信息，在分析问题和寻找解决问题途径的过程中，提高思维本事，培养创新精神，增强实践本事。 (三)课程开发过程 1、组织
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
校本课程工作总结 大块第六小学校本课程工作总结随着我国课程理论研究的深入开展, 我国课程政策发生了重大转变；实施国家、地方和学校三级课程管理。校本课程开发被提到议事日程上来, 教师的课程职能也相继发生了重大的变化研究和开发课程将成为我们教师必不可少的基本功之一。因此，我校教师也结合实际情况对校本课程进行了研究与开发。现将我校开发校本课程的有关情况作总结如下： 一、高度重视，勇于探索，大胆实践学校将开发校本课程纳入学期工作计划，并召开专题会议，研究开发校本课程的实施方案。 二、校本研发的目的校本课程的开发意味着一种权力，更意味着一种责任，我校实施校本课程开发的最主要的目的可以简要地概括为三个方面。 1.让所有的教师都“动起来” 校本课程开发把学校推到了课程改革的前沿，学校成了课程开
发的主体。校本课程开发确定了学校作为课程开发的责任单位的地位，让每个教师都行动起来。这样既可以提高教师自身的实力，也可以促进学校的发展。 2.让所有的教师都“站起来” 教师对待所教的科目及其内容一直是敬畏有余的。科目对他们来说，是国家的规定，教材对他们来说，是专家编写的。他们被要求严格忠实于国家的所有课程文件，甚至连教学的具体步骤都严格遵照教学参考书指定的教学步骤和课时数。教科书对他们来说是神圣不可侵犯的，他们跪拜于教科书的神威之下。 然而，在校本课程开发的过程中，我们的老师亲自参与到课程编制的整个过程。国家提供的课程标准，成为他们主动学习研究的指导性纲要，国家提供的配套教材成了他们自主选择的对象。他们站在国家课程标准这块基石上，鸟瞰着校本课程及所有教科书。 三、校本研发的意义 1.有助于推动我校新课程改革。 校本课程开发强调课程要适应不同学生的不同需求，尤其要帮助那些学习困难的学生获得充分的发展在基础教育阶段，课程改革就是要满足所有学生的学习需求，不管他们的性别、智力水平和学习准备如何。我国过去的“升学教育” 只注意到少数考分高的学生的发展，而忽视了那些低分和处于中间水平的大多数。当这些人毕业走向社会时，他们成了“失败者”。学校将大批“失败者” 推向社会，而社会中的绝大多数工作又将由这些“失败者”来承担，这样必然会影响到整个国家的经济发展和全民的总体素质水平。
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中
第一讲 提高孩子的学习能力
[教学目的] 1．向家长介绍孩子学习能力低的原因； 2．让家长知道应该怎样培养和提高孩子的学习能力； [教学重点] 向家长介绍孩子学习能力低的原因； [教学难点] 让家长知道应该怎样培养和提高孩子的学习能力。 [教学方法] 案例分析法、讨论法 [教学时间] 1 课时 [教学准备] 录音机或多媒体课件 [教学过程] 一、谈话导入： 学习能力一般包括观察力、注意力、记忆力、思维力、想象力和自学能力等。这一讲主要是讲家长该 如何培养孩子的记忆力和数学学习能力。可以说记忆力是儿童学习的最基本的基础，没有记忆就无法完成 学习任务。记忆力不强等学习能力不足是这个年龄段许多孩子身上存在的问题。b5E2RGbCAP 二、学习新课 1、家长自由读文中的“情景对话”、 “心灵独白”和“教育故事”，然后交流感受，生活中自己是否也遇到过类似的问题，通过教育故事， 家长谈谈文中的父亲给了自己哪些方面的启示。p1EanqFDPw 小结：这位家长没有采取简单粗暴的说教方式，不是把孩子批评一通，也不是让孩子下保证写检查， 而是积极向他人求助，找到学习英语的方法，然后把这些方法提供给孩子，让孩子自己作出了选择，这位 家长的做法实在值得我们学习。DXDiTa9E3d 2、解读这个年龄段孩子的一般记忆特点： ★记得快，忘得也快。 三、走进专家课堂 1、每个人的记忆力相差不多，差别只是在后天的培养和锻炼。 德国心理学家艾宾浩斯发现了遗忘曲线,他经过大量记忆实验,最后总结出的规律是:人的遗忘规律是 先快后慢。所以，及时复习，让所学知识反复地刺激孩子的大脑神经，经过这样有意识地培养和锻炼，记 忆力就会大大增强。RTCrpUDGiT 2、培养孩子良好的记忆从以下方面入手： ★培养孩子良好的记忆情绪。记忆的培养在于有“我能记住”的信心，有了这种信心，精神抖擞，心 情舒畅，也就有了记忆的热情。5PCzVD7HxA ★教给孩子一些正确的记忆方法 ①系统记忆法：循序渐进、深入理解、点滴积累
我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。：） 因为是“心得体会”，所以多半是想到什么写什么，组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。；） 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba也可逆。 分析： 我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到1-ba的逆元）。后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种证明方法，确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。 就这道题而言，我们可以使用这些前提： 1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群（从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等），R对乘法构成独异点（从而可以使用乘法单位元1），当然还有乘法对加法的分配律。 2、1-ab是可逆的，这就是说，存在c∈R，使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到：cab=abc=c-1。 需要注意的是： 1、在题设中没有假设R的可换性（事实上，如果R可换的话，整个问题就没有任何难度了），也没有假设a、b是可逆的。所以，在解题时，不能使用乘法交换律，也不能随便使用a、b的逆元（除非已经证明了它们的存在性）。 2、如果没有1-ab可逆这个条件，肯定是推不出1-ba可逆的（我们在环中可以找到太多的反例）。所以，cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子，我们注意到，它提供了在c的参与下，移动和消去ab 的方法。 我们的目的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。 初看到这道题，我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。 不过推理一下我们可以发现，如果要使用反证法的话，我们需要反设1-ba不存在乘法逆元，然后由此推出1-ab也不可能有逆元（或者推出R不是含幺环）。 但反设1-ba不存在乘法逆元后，我们到底能推出哪些结论来呢？似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R，必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明（因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”，并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”）。 另一方面，利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。 这时，我们可以“取巧”了。注意到： 1、如果我们相信题目给的命题没有错的话，我们只要找到1-ba的左逆元（或者右逆元）就基本完成任务了（虽然最终书写证明时，我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元）。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话，它的左右逆元是唯一且相等的（所以，1-ba确实可逆，而我们又找到了它的一
离散数学部分概念和公式总结 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
初中校本课程建设与实 施工作总结 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
校本课程建设与实施工作总结 邵原二中伴随着基础教育课程改革的不断完善深入，课程模式也日逐多样化、自主化，特色化课程结构，日趋合理，为学校实施办学自主权创设了广泛的空间，也为教师教育教学更加自由的开放富有创造性的工作提供了一个展台，激发了教师对校本课程开发的的极大热情。在实施新课程改革的进程中，我校通过校本教研工作和校本课程的建设与实施，教师的教育观，教学观、学生观，质量观，评价观发生了巨大的变化，现将我校建设与实施校本课程的情况总结如下： 一、指导思想 校本课程开发是一项创新性工作，必须充分考虑到我校教育资源的特殊性和差异性；必须充分考虑到适应基础教育越来越强调学生主动发展、个性充分发挥的需要；课程设置应有利于培养学生独立思考、自主学习的能力；有利于培养学生的创新精神和实践能力；有利于培养学生的科学态度和钻研精神；有利于逐步形成适应学习化社会需要进行终身学习能力的培养。 二、学校课程建设目标 （一）、学校课程类型多元化，课程结构多层化。从培养师生创新精神和实践能力，促进师生全面素质发展的需要出发，重点建设和完善学校创造教育课程、艺体健康教育特色课程（合唱队、舞
蹈队、篮球队）、主题节日课程（教师节、国庆节、清明节、端节节）和学校三大教育（感恩教育、目标教育、养成教育）等。最大限度地提供学生“品行、人格、习惯形成和发展的经历，提升师生道德水平、科学素养和人文素养。逐步构建基础型、拓展型、探究型课程和实践体验型课程体系。 （二）、通过课程设置，努力将学生培养成为“热爱生活、追求卓越”的优秀二中人。 （三）、通过课程的建设，努力打造一支师德修养良好、业务能力精湛、具有“奉献、智慧、求实、创新”精神，深受学生欢迎的教师队伍。 三、我校校本课程制定原则 （一）、以人为本的原则。校本课程是以学校为基地进行开发的课程，它是教师根据学生的需要，学生的兴趣本着自主开发的课程。我校学生绝大多数来自农村，在前期的问卷调查中可以看出，他们渴望获得更多的信息，兴趣爱好非常广泛，有着强烈的求知欲望。我们在开发校本课程的过程中，先让教师在了解学生需求的基础上提出课程开设申请，再由学生自愿报名选择。这样一来，课程开设与学生选课成了供求关系，学生的学习积极性也就被调动起来。 （二）、多样性的原则。校本课程应该是多样性的，适合本校本地区的，有利于学生发展需要的课程，校本课程应是动态发展的过程，是在实践中不断生成变化的过程。不一定向标准教材看齐，
《牵手两代——家长课程》小学五年级教案 第一讲:自信就是成功之基成功就是成功之母 【开场白】 各位领导、老师们: 大家好! 很高兴有机会与大家一起探讨家庭教育得话题。今天我跟大家一起交流得内容就是《牵手两代-—家长课程》小学段第五册——《自信就是成功之基成功就是成功之母》。 一、教材分析: 处在五年级这个年龄阶段得孩子,大约在11——13岁之间,已开始进入青春期。这一时期得孩子由于生理与心理发展得不平衡性,表现出了许多弱点:善于嫉妒、爱攀比,撒谎现象普遍存在;在与同伴得交往中,不知谦让,以自我为中心,异性间得吸引也初见端倪;在与父母得相处中,她们无端得拒绝父母,动辄对父母大吼大叫,不听父母得话,出现了一些逆反情绪;与老师之间得关系也有些紧张,不同程度得有考试焦虑心理;平日衣来伸手,饭来张开,缺乏爱心,不知感恩等。她们也由此常常感到莫名其妙得压抑,内心产生了许多烦恼与困惑。针对这一时期孩子得特点,教材选取了生活与学习得片段,安排了八讲内容,分别就是《帮孩子解除烦恼》、《换个角度瞧孩子》、《成功就是成功之母》、《爱,需要经营》、《良好得个性需要培养》、《孩子得心灵需要呵护》、《合理疏导不良情绪》、《为孩子得成长喝彩》。每一讲都用自然而深情得心灵独白,真实而深刻得心灵对话、美好而耐人寻味得亲子教育故事,系统地设计出一系列立足于家庭生活本身、简单易行且效果显著得家庭教育活动,自然揭示并深入解决对待这些困惑得策略——其主旨就就是家长们要努力转变教育观念,在充分尊重孩子身心发展与家庭教育规律得前提下,家庭教育本着“交流疏通”得原则,“用爱导航",循循善诱,耐心交流,合理疏导,以解除孩子得烦恼,促进孩子在德、体、智、个性几方面得到全面发展,使孩子健康成长,实现“因教育而幸福”得亲子与“因教育而美好”得家庭得最终目标。 二、教学目得: 1、通过教学使家长认识到相应年龄阶段家庭教育可能出现得主要矛盾与主要问题。 2、家长能根据相应得家庭环境与孩子性格特点,设计出简单易行且效果显著
离散数学学习总结 一、课程内容介绍： 1．集合论部分： 集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如： 方程x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。 表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法， 如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。例如B和C 是不相交的。 两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 2．关系 二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果
得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。 3．代数系统 代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字 αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。 整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统
小学校本课程工作总结 小学校本课程工作总结一 这学期我们把《三字经》、《弟子规》作为校本课程，培养学生深厚的民族底蕴，强烈的爱国热情和优良的民族传统。以《三字经》《弟子规》为主经典在我校传唱，在学生中耳熟能详，对学生“三观”的形成以及行为习惯的养成起到了潜移漠化的作用。在家长中也产生了较好反响。下面将本学期的工作总结如下： 一、寻找机会，加强教育 我们近年来父母出打工逐年增多，往往忽视了对子女的教育，尤其是在孩子的习惯养成、道德素质、民族精神等方面更是显得缺失，学生的德育难抓，纪律难管，一直是困扰学校的一个难题。从背诵《三字经》开始，学校大队部跟踪指导，并安排专任教师负责经典解析，探索德育教育的良好途径。争取对学生起到了较好的引导和示范作用。 二、安照计划有序进行 为了在校园中营造良好的教育氛围，夯实教育基础，我们重点从三个方面教育。 一是诵读三字经。我校把三字经纳入教学计划中，列入课表，每周保证一节专授课。每天早自习重学背，课上重讲解。充分利用课间操，升旗时间诵读。并开展了诵读
比赛。 二是潜移默化品经句。我校通过网络搜索三字经作为学习资料。学生在诵读的同时也感受到了书法的神韵带来的美的享受；经典名曲飘入耳鼓，楼内荡漾着千年古韵之美。三是讲述三字经故事。我校开展了《三字经》故事比赛。我们的成绩受到了上级领导的肯定，我们的资料分别挂到了欢喜中心校、和丰润教育信息网站上。 三、三字经教育与养成教育相结合 归根结底是为了让学生把古代圣贤的经典思想内化于心，外化于形，为此，我们重点是把国学教育寓于养成教育之中，致力于使国学的精华成为支配学生行动的一种文化内涵。一是生动直观，见贤思齐抓养成。我们集中培训教师，把一些经典国学内容以故事的形式加以叙述，把生动有趣的人物历史故事，渗透于各科的教学中，如孟母三迁，孔融让梨等经典故事都深深的吸引了孩子们。班会课上学生们动情地说：“听到这些故事，我想到了我自己。我们要保持良好的习惯，改掉坏毛病，在一个健康的环境下成长，做一个人见人爱的好孩子，一定要在家孝敬父母，友爱姐妹。在校尊敬老师，团结同学。” 二是互学互动，你追我赶抓养成。自国学推广以来，我们一直注重依靠学生们的互相影响，互相帮助产生良性互动机制来达到取长补短，共同提高的目的。三是感悟升
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项 (m) 之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为 0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为 1 的项为极小项，值为0 的项为极大项； 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法 (=>) ：真值表法；分析法 (假定前键为真推出后键 为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则， T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取 ^;
3.既有存在又有全称量，先消存在量，再消全称量； 第四章集合 1.N ，表示自然数集， 1,2,3 ??，不包括 0； 2.基：集合 A 中不同元素的个数， |A|； 3.集：定集合 A，以集合 A 的所有子集元素成的集合，P(A) ； 4.若集合 A 有 n 个元素，集 P(A) 有2 n个元素， |P(A)|= 2| A| = 2 n； 5.集合的分划： (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合； ② 几个子集相交空，相并全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比： 分划：每个元素均出且出一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出，没有要求只出一次； 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，笛卡 A×B 的基数mn， A 到 B 上可以定2mn种不同的关系； 2.若集合 A 有 n 个元素， |A ×A|= n2，A 上有2n2个不同的关系； 3.全关系的性：自反性，称性，性； 空关系的性：反自反性，反称性，性；
离散数学课程总结 姓名： 学号： 班级：级计科系软件工程（）班 近年来，计算机科学与技术有了飞速发展，在生产与生活的各个领域都发挥着越来越重要的作用。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程。 一、课程总结 本书的主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论以及初等数论六部分，而我们主要学习的有第一部分数理逻辑、第二部分集合论以及第五部分图论，第三部分代数结构也学习了一部分。第一部分：数理逻辑 数理逻辑是研究推理的数学分支，推理有一些列的陈述句组成。在数理逻辑中，主要学习了命题逻辑的基本概念、命题逻辑的等值演
算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本概念、一阶逻辑等值演算与推理。 1.在命题逻辑的基本概念中学习了命题的真值及真值表、命题与联 结词、命题及其分类、联结词与复合命题、命题公式及其赋值。2.在命题逻辑的等值演算中主要学习了等值式与基本的等值式模式、 等值演算与置换规则、析取范式与合取范式，极大值和极小值，主析取范式与主合取范式、联结词完备集。 3.在命题逻辑的推理理论中主要学习了推理的正确与错误、推理的 形式结构、判断推理正确的方法、推理定律；自然推理系统P、形式系统的定义与分类、自然推理系统P，在P中构造证明：直接证明法、附加前提证明法、归谬法。 4.在一阶逻辑基本概念中主要学习了一阶逻辑命题符号化、个体词、 谓词、量词、一阶逻辑公式及其解释、一阶语言、合式公式及合式公式的解释、永真式、矛盾式、可满足式。 5.在一阶逻辑等值演算与推理中主要学习了一阶逻辑等值式与基本 等值式、置换规则、换名规则、代替规则、前束范式、自然推理系统N及其推理规则。 第二部分：集合论 在集合论中，主要学习了集合代数、二元关系和函数。 1.在集合代数中，学习了集合的基本概念：属于、包含、空集、元 集、幂集、全集；集合的基本运算：并、交、补相对、对称差等； 集合恒等式：集合运算的主要算律、恒等式的证明方法。
校本课程《小学生礼仪》教学工作总结《小学生礼仪》校本课程开展以来，我们坚持在创新中求发展，边学习边教学。进一步认识到德育教学和礼仪课程在小学学校中的重要性。现将校本《小学生礼仪》教学工作总结如下： 一、以身作则，树立榜样 榜样的力量是无穷的。车尔尼雪夫斯基说：“教师把学生造成什么人，自己就应当是这种人。”礼仪教师在学生心目中的地位首先具有示范性，作为礼仪教师首先做不到做不好礼仪课程教学就是失败的。在众多任课教师中，学生对礼仪教师的一举一动最关注。因此，礼仪教师必须以身作则，我们礼仪课教师的一言一行，穿衣戴帽，关系到学生良好习惯的养成，也关系到学生人格的塑造。 二、明确要求，集体教育 对学生提出要求具体、明确、详细的文明礼仪常规，是每个学生心中有数。打好基础，形成氛围，做示范，教表演，使学生知道怎么去做， 首先对学生提出要求明确、具体、详细的文明礼仪常规，使每个学生心中有数。 一开始就重视礼仪训练，打好底子，对学生进行礼仪教育。既要使学生明白“理”，又要训练“仪”，学练结合，以练为主。做示范、教表演，使学生知道怎样去做。让学生形成正确的动作定势，逐渐养成良好的习惯。
在语言方面，从说好“您好、请、谢谢”这三句话为切入点，同学们还补充了“对不起、没关系、再见”等礼貌用语，并结合日常生活实际讨论了这些礼貌用语的用法。关于培养好习惯，教师从正面加以引导，学生则举反例说明没有好习惯的危害，一正一反，一庄一谐，使学生对“养成好习惯将受益终生”这句话加深了认识和理解。 三、持之以恒，坚持到底 文明礼仪教育，是一种养成教育。通过教育训练，持之以恒，使学生逐步形成文明识礼的好习惯。出现反复，这是一种正常的现象，应对学生充满信心，抓反复、反复抓、扎扎实实，坚持不懈。每当学生放学时，我都提醒他们见到老师主动问好；如果老师从你身边走过，就很自然的向老师问好。现在我班学生已养成了良好的礼仪习惯，不论是在楼道里、上学的路上，还是在校园之外，他们见到老师都能主动问好，提高了讲文明、懂礼貌的自觉性和主动性。我坚持正面教育，注意树立典型，让礼仪榜样去影响带动他们。平时我也跟踪，随时发现礼貌突出的同学，进行及时的肯定。 学生礼仪表现有反复现象。学生可塑性大，有好模仿和从众的心理特点，强化礼仪训练是比较容易取得效果的。但由于受家庭、社会和环境的影响，学生礼仪表现具有时好时差的反复性特点。有的学生明明知道礼仪规范的具体要求，就是不能很好地去执行，或始终如一坚持；再有常规训练的松懈、社会环境的负面影响等也会使学生的礼仪表现产生反复。这是一种正常的现象，不要气馁，应
离散数学总结 班级：学号：姓名： 临近期末各科课程已经结束，随之而来就是总结各科学习总结和对这门学科的建议。《离散数学》这门课程当然也不会例外了。经过一个学期的学习我发现《离散数学》是一门理论性非常强的课程，而且知识点非常多，定义和定理以及定律是数之不尽。 《离散数学》顾名思义就是一门数学，它是数学众多领域中的一个小分支，即使是一个小小的分支，但是它的内容也非常之多，同时也非常抽象。自认我的数学成绩还是不错的，但是面对《离散数学》我就头痛，书本里面很多知识点我都是似懂非懂地。但鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。因此我也很无奈，只好硬着头皮去学好它了。 离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论)有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。 《离散数学》的特点是： 1、知识点集中，概念和定理多。《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。 2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法等），同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法，再者要善于总结。 在学习《离散数学》的过程中，我明白了理解概念是至关重要的。只有概念明确，才有可能将离散数学学好。但是初学者往往不能够将概念与现实世界中的事物联系起来，这是学好离散数学的基础，因此也是初学者面临的一个困难。只有克服它，你才能有可能学好《离散数学》。 学完这门课后，我总结到了，如果你想学得更好——你可以在进行完一章的学习后，用专门的时间对该章包括的定义与定理实施强记。只有这样才可能本课程的抽象能够适应，并为后续学习打下良好的基础。而且必须及时复习和总结。 《离散数学》是一门数学科，大家都知道学数学就是要大量做数学，因此《离散数学》也不会例外。学习数学不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习数学的思维方法。这一点非常重要。 课程虽然是上完了，但是老师你的教学方法独特而新颖，思想开化而先进，是个容易沟通的老师。有你带着我们学习《离散数学》就是我们不想学好，我想也是很难吧！就我来说每次上课时在我快要与“周公”会面之际，你突然一个笑话和雷人的语录，我和“周公”迫不得已就分开了。当我再次看到周公时，耳边