人教版高一数学必修一基本初等函数解析

基本初等函数

一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：

①定义：若一个数的n 次方等于),1(*

∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若

a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，

1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；

2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作

)0(>±a a n

②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n

n =；

3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)

0()

0(||a a a a a a n 。

（2）．幂的有关概念

①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n

( N *

；2）)0(10

≠=a a ；

n 个 3）∈=-p a

a p p

(1

Q ，4）m a a a n m n m

,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s

r s

r

,0(>=⋅+、∈s Q ）；

2）r a a

a s

r s

r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；

3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r

r

r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

（3）．对数的概念

①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数

1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；

2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：

1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；

3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N

a =log 。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N

M

a a a

log log log -=； 3）∈=n M n M a n

a (log log R ）

④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=

N m m a a a

N

N m m a

1）1log log =⋅a b b a ；2）b m

n

b a n a m log log =。 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：

①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x

且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；

3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；

3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x

x

a y a y -==与的图象关于y 轴对称

③函数值的变化特征：

（2）对数函数：

①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ；

3）当10<a 时函数为增函数；

4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x

且互为反函数 ②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）；

4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a

a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。

③函数值的变化特征：

（3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点

2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0）

4）幂函数一定不经过第四象限

四．【典例解析】 题型1：指数运算

例1．（1）计算：25.021

21

32

5.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()9

45()833[(÷⨯÷+---；

（2）化简：

5332

33

23

23323

134)2(248a

a a a a

b a

a

ab b b a a ⋅⋅⨯

-÷++--

。 解：（1）原式=4

1

32

21

32

)10000

625(]102450)81000(

)949()278[(÷⨯÷+- 92

2)2917(21]10

24251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=； （2）原式=

5

131212

13231312

313

13

12

31

3

3133131)()

(2)

2()2()(])2()[(a a a a a

b a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷

+⋅+- 23

23

16

1653

13

13

131312)2(a a a a a

a b

a a

b a a =⨯⨯=⨯

-⨯

-=。

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2．（1）已知112

2

3x x

-+=，求

22332

2

23

x x x x

--+-+-的值

解：∵1

12

2

3x x -

+=，

∴112

2

2()9x x

-

+=，

∴129x x -++=， ∴1

7x x

-+=，

∴12

()49x x -+=，

∴22

47x x -+=，

又∵331112

2

2

2

()(1)3(71)18x x

x x x x -

-

-+=+⋅-+=⋅-=，

∴

22332

2

2472

3183

3

x x x x

--+--=

=-+-。

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算

（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8

--，则满足()f x ＝27的x 的值是 .

答案 13

例3．计算

（1）2

(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；

（3）1

.0lg 2

1

036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅

解：（1）原式2

2

(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；

（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3(

)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 35

2lg 36lg 24

=

⋅=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2

=++=++；

分母=4100

6

lg 26lg 101100036lg

)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=

4

3

。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧

例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222

a b c +=

（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c

a b +-+

++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82

log ()3

a b c +-=，求a 、b 、c 的值。

证明：（1）左边2

22log log log ()a b c a b c a b c a b c

a b a b

+++-+++-=+=⋅ 2222222

2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab

+-++-+-=====；

解：（2）由4log (1)1b c a ++

=得14b c

a

++=， ∴30a b c -++=……………①

由82

log ()3

a b c +-=得2

384a b c +-==………… ……………②

由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，

∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：指数、对数方程

例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)

已知定义域为R 的函数a

b

x f x x ++-=+122)(是奇函数.

（1）求a,b 的值；

（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.

解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a

b

f 解得即 从而有.212)(1a x f x x

++-=+ 又由a

a f f ++--=++---=112

141

2)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121

212

212)(1

++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式

0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-

因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->-

即对一切,0232

>--∈k t t R t 有从而3

1,0124-

<<+=∆k k 解得 解法二：由（1）知,221

2)(1

++-=+x x x f 又由题设条件得02

21

2221212212222

22<++-+++-+--+--k t k t t t t t

即0)12)(22()12)(22

(2

2

2

221

221

2<+-+++-+-+--+-k

t

t t

t

t

k t

整理得12

232>--k

t t ，因底数2>1，故0232>--k t t

上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.3

1

,0124-<<+=∆k k 解得

例6．（2008广东 理7）

设a ∈R ，若函数3ax

y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >-

B ．3a <-

C ．13

a >-

D ．13

a <-

【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30

ax

f x ae =+=有正根。当有'()30ax

f x ae

=+=成立时,显然有0a <,此时13

ln()x a a

=

-，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-.

点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数

因式的普通等式或方程的形式，再来求解。

题型4：指数函数的概念与性质

例7．设12

32,2()((2))log (1) 2.

x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，

则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解：C ；1)12(log )2(2

3=-=f ，e

e f f 22))2((10=

=-。 点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值

例8．已知

)1,0()(log 1

≠>+=-a a x x x f a 且试求函数f (x )的单调区间。 解：令

t x a =log ，则x =t a ，t ∈R 。

所以t a a t f -+'=)(即x x a a x f -+=)(，（x ∈R ）。

因为f (－x )=f (x )，所以f (x )为偶函数，故只需讨论f (x )在[0，+∞）上的单调性。 任取1x ，2x ，且使210x x ≤≤，则

)()(12x f x f -

)()(1122x x x x a a a a --+-+=

212121)

1)((x x x x x x a a a a ++--=

（1）当a >1时，由210x x ≤≤，有210x x a a <<，12

1>+x x a

，所以0)()(12>-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。

（2）当0

1<+x x a ，所以0)()(12>-x f x f ，

即f (x )在[0，+∞]上单调递增。

综合所述，[0，+∞]是f (x )的单调增区间，（－∞，0）是f (x )的单调区间。

点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1<<>a a 两种情况来处理。

题型5：指数函数的图像与应用

例9．若函数m y x +=-|1|)2

1(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）

A ．m ≤－1

B ．－1≤m<0

C ．m ≥1

D ．0

解：⎪⎩

⎪⎨⎧<≥==---)

1(2)

1()21()2

1

(11|

1|x x y x x x ，

画图象可知－1≤m<0。 答案为B 。

点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是1,0,1<>a a 两种情况下函数x

a y =的图像特征。

例10．设函数x x f x f x x 22)(,2

)(|

1||1|≥=--+求使的取值范围。 解：由于2x

y =

是增函数，()f x ≥3

|1||1|2

x x +--≥ ① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3

14

x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解； 综上x 的取值范围是3

,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

。

点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理

题型6：对数函数的概念与性质

例11．（1）函数2log 2-=x y 的定义域是（ ）

A ．),3(+∞

B ．),3[+∞

C ．),4(+∞

D ．),4[+∞

（2）（2006湖北）设f(x)＝x x -+22lg

，则)2

()2(x

f x f +的定义域为（ ） A ．），（），（－4004 B ．(－4,－1) (1，4) C ．(－2,－1) (1，2) D ．(－4,－2) (2，4)

解：（1）D （2）B 。

点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。

例12．（2009广东三校一模）设函数()()()x x x f +-+=1ln 212

.

(1)求()x f 的单调区间

;

(2)若当⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--∈1,11e e x 时,(其中 718.2=e )不等式()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围;

(3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2

在区间[]2,0上的根的个数.

解 （1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1

221112++=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-+='x x x x x x f . 1分 由()0>'x f 得0>x ;

2分

由()0<'x f 得01<<-x , 3分 则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-.

4分

(2)令()(),0122=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递

增,

6分

由,21

112+=⎪⎭⎫

⎝⎛-e

e f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e ,

8分

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成

立.

9分

(3)方程(),2

a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则

()1

1

121+-=

+-

='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a ＞1时，方程无解；

当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解，

当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解；

当a ＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a )2ln 22,(),1(--∞+∞∈ 时，方程无解； ]1,3ln 23(-∈a 或a=2-2ln2时，方程有唯一解；

]3ln 23,2ln 22(--∈a 时，方程有两个不等的解.

14分

例13．当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )

解：当a>1时，函数y=log a x的图象只能在A和C中选，

又a>1时，y=(1－a)x为减函数。

答案：B

点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性

例14．设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围

解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，

所以由中点公式得D(a+2, log2)4

(+

a

a )。

（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2

)4

(

)2

(2

+

+

a

a

a

,

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。

由S△ABC= log2

)4

(

)2

(2

+

+

a

a

a

>1, 得0< a<22－2。

点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。

题型8：指数函数、对数函数综合问题

例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,P n(a n,b n)…，对每个自然数n点P n

位于函数y=2000(

10

a

)x(0

(1)求点P n的纵坐标b n的表达式；

(2)若对于每个自然数n，以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设C n=lg(b n)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n}前多少项的和

最大？试说明理由

解：(1)由题意知：a n=n+

2

1

,∴b n=2000(

10

a

)2

1

+

n

。

(2)∵函数y=2000(

10

a

)x(0

∴对每个自然数n,有b n>b n+1>b n+2。

则以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n+2+b n+1>b n，

即(

10

a

)2+(

10

a

)－1>0，

解得a <－5(1+2)或a >5(5－1)。

∴5(5－1)

(3)∵5(5－1)

∴b n =2000(10

7)21

+n 。数列{b n }是一个递减的正数数列， 对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1。

于是当b n ≥1时，B n

因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1， 由b n =2000(10

7)21+n ≥1得：n ≤20。 ∴n =20。

点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。

例16．已知函数1,0)((log )(≠>-

=a a x ax x f a 为常数） （1）求函数f (x )的定义域；

（2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性

（3）若函数y =f (x )是增函数，求a 的取值范围。

解：（1）由ax x x ax <>-

得0 ∵a ＞0，x ≥0 2

2210a x x a x x >⇒⎩⎨⎧<≥∴ ∴f (x )的定义域是),1(2+∞∈a

x 。 （2）若a =2，则)2(log )(2x x x f -

= 设4

121>>x x ， 则 0]1)(2)[()()(2)2()2(212121212211>-+-=---=---x x x x x x x x x x x x

)()(21x f x f >∴

故f (x )为增函数。

（3）设11

21221>>>>x a x a a x x 则

0]1)()[()()()()(212121212211>-+-=---=---∴x x a x x x x x x a x ax x ax 2211x ax x ax ->-∴ ①

∵f (x )是增函数，

∴f (x 1)＞f (x 2) 即)(log )(log 2211x ax x ax a a ->- ②

联立①、②知a ＞1，

∴a ∈(1，+∞)。

点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可

题型9：课标创新题

例17．对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的∈x []n m ,，均有1)()(≤-x g x f ，则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是非接近的，现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1log )(2≠>-=a a a

x x f a

，给定区间[]3,2++a a 。 （1）若)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上都有意义，求a 的取值范围；

（2）讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的。

解：（1）两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1log )(2≠>-=a a a

x x f a 在给定区间[]3,2++a a 有意义，因为函数a x y 3-=给定区间[]3,2++a a 上单调递增，函数在a

x y -=1给定区间[]3,2++a a 上恒为正数， 故有意义当且仅当1003)2(1

0<<⇒⎪⎩

⎪⎨⎧>-+≠>a a a a a ； （2）构造函数)3)((log )()()(21a x a x x f x f x F a --=-=，

对于函数)3)((a x a x t --=来讲，

显然其在]2,(a -∞上单调递减，在),2[+∞a 上单调递增。

且t y a log =在其定义域内一定是减函数

由于10<

所以原函数在区间]3,2[++a a 内单调递减，只需保证

⎩⎨⎧≤-=+≤-=+1

|)23(3log ||)3(|1|)1(4log ||)2(|a a F a a F a a

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤⇔a a a a a 1

)23(31)1(4 当12

5790-≤

57

9->a 时，)(1x f 与)(2x f 在区间[]3,2++a a 上是非接近的 点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。

例18．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。

解：令 log x t y =，

∵1x >，1y >，∴0t >。

由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t

-

+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2

x y =，∴12y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--，

∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-。

点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。

例19.（2009陕西卷文）设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的

横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 A.1n B.11n + C. 1

n n + D.1 答案 B

解析 对1*'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率1k n =+,在点

（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设

0y =,1n

n n x +=则1212311 (23411)

n n n x x x n n n -⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=++, 故选 B.

五．【思维总结】

1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力

高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)

第一部分基本初等函数知识点整理 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数 1、 指数与指数幂的运算： 复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n (a m )n =a mn (a*b)n =a n b n 2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根， 其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。此时，a 的n 次方根用符号 表示。 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 式子n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的 ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质

（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ) ,,0(R s r a ∈>． 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂a a （a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 （二）、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？ （1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1a a ，那么数x 叫做 以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

高一人教版数学必修一练习：第二章 基本初等函数(ⅰ) 27 含解析

一、选择题 1．[2015·石家庄高一质检]已知幂函数y ＝f(x)的图象经过点(2,8)，则f(3)的值为( ) A ．9 B ．27 C ．54 D ．16 2 答案 B 解析 设f(x)＝x α，则2α＝8，得α＝3，∴f(3)＝33＝27. 2．[2016·西宁期末调研]下列函数中是幂函数的是( ) A ．f(x)＝x 2＋2 B ．f(x)＝a x C ．f(x)＝1x D ．f(x)＝log a x 答案 C 解析 形如y ＝x α的函数我们称之为幂函数，易知f(x)＝1x ＝x －1为幂函数，故选C. 3．[2016·湖南师大附中考试]设a ＝? ?????25 35 ，b ＝? ?????25 25 ，c ＝? ?? ???35 25 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．c>a>b C ．ac>a 答案 C

解析 ∵y ＝? ?????25x 为减函数，∴? ?????25 35

高一数学必修一 基本初等函数知识点总结

第二章基本初等函数知识点整理 〖2.1〗指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数 a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底 数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 （4）指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且

高中数学人教版必修一基本初等函数

必修1 第二章基本初等函数

2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算： ①我们已经知道了指数幂的运算关系为， 422=、 823=、4121222-== 、a a -2 1a 2=为正整数）（等； ②根式：如果a x 2=，那么x 叫做a 的平方根，例如±2就是4的平 方根；如果3x =a ，那么x 叫做a 的立方根，例如2就是8的立方根； ③类似地，由于（±2）4=16，那么就把±2叫做16的四次方根；25=32，就把2叫做32的五次方根； ④如果x n =a ，那么x 就叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n ∈N*(正整数)； 当n 为奇数时，正数的n 次方根为一个正数，负数的n 次方根为一个负数， 此时a 的n 次方根用n a 表示，如2(325=（奇数）正数），2-(32-5 =（奇数）负数）； 当n 为偶数时，正数的n 次方根有2个，一正一负对称，而负数的无意义（因为没有一个数的偶次方结果还是负数）；例如16的4次方根为±2164±=.（0的任何次方都是0） ⑤式子n a 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数。所以a a n n =）（，例如 5522=）（，3-3-5 5=）（ ⑥分数指数幂：如下例子2552510a a a ==）（、5335315a a a ==）（，通过以上例子 我们在数学中推算出n m n m a a =（a>0，m ，n ∈N*，且n>1)此式为分子的指数 幂关系。所以如上面表示2 133=。

❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀The stupid speak of the past, the wise of the present, and fools of the future！！

高一数学必修1第二章基本初等函数知识点总结归纳

基本初等函数(Ⅰ)知识点整理 〖2.1〗指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数 a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底 数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 （4）指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…） ． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘： log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数

高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！

高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！ 一、基本初等函数 1、幂函数 一般地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 . 幂函数y = x^a (a∈Q) 的性质： ① 所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1,1）. ② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点（0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增； 若 a < 0 , 幂函数图象只经过点（1,1），在第一象限内递减 . ③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限； 如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 . ④ 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象 . ⑤ 常见幂函数的图象 常见幂函数的图象 2、指数函数 一般地，函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量x 叫指数，a 叫底数 . 指数函数的定义域是 R .

指数运算法则： 指数运算法则 指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 的图象： 指数函数图象（分两种情况） 指数函数的主要性质： ① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域（0，+∞）； ② 函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 < x < 1 ) 在 R 上递减； ③ 指数函数的图象经过点（0 , 1）. 3、反函数 一般地，对于函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A， 如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) , 这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数，记作 x = f-1(y) , 习惯上自变量常用x 来表示，而函数用 y 来表示，所以把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) . (1) 反函数的判定： ① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数； ② 定义域上的单调函数必有反函数； ③ 周期函数不存在反函数；

人教版高中数学必修一 第二章 基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。 注意：(1)n a = (2)当 n a = ，当 n ,0 ||,0 a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m n a a m n N n *=>∈>且 正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122 [(1]11≠ （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 201 定义域R , 值域（0，+∞）

注意： 指数增长模型：y=N(1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。 （2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比 较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作： log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 说明：1. 注意底数的限制，a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =⇔= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数

人教版高一数学必修一基本初等函数解析

基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；

高一数学必修1第一章第二节基本初等函数

第二章：函数及其表示 第一讲：函数的概念： 知识点一：函数的概念： 典型例题：判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数：（1）A=R，B={x |x>0},f: （2）A=z,B=Z,] （3）A=Z,B=Z, （4）A={-1,1},B={0},f: 知识点二：函数的三要素： 典型例题2：求下列函数的定义域： （1） （2） （3） 巩固练习：已知函数 (1)求函数定义域； (2)就f(-3),的值 (3)当a>0时，求f(a)的值，求f(a-1)的值。

知识点三：函数相等： 如果两个函数的定义域相等，并且对应关系完全一致，那么我们称这两个函数一致。 典型例题3：下列函数中，f(x)与g(x)相等的是（） A、 B、 C、 D、 巩固练习： 下列函数中哪个与函数y=x相等 （1）(2)（3）(4) 知识点四：区间的表示： 典型例题：将下列集合用区间表示出来 （1）{x|2x-1≥0}； （2）{x|x<-4或-1

知识点二：分段函数： 典型例题1：作出下列函数的图像： （1）f(x)=2x,x∈Z，且|x|≤2 （2）y=|x| 典型例题2：某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元 （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加一元（不足5公里按5公里计算） 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像。 知识点三：映射 1、定义：一般地，我们有设A，B是两个非空集合，如果按某一个确定的函数关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:为从集合A到集合B的一个映射。 2、映射的特征： 存在性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应。 唯一性：映射是函数的推广，而函数是一种特殊的映射，函数式非空集A到非空集B的映射，而对映射而言，A，B不一定是数集。 典型例题：以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？ （1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f:数轴上的点所代表的实数对应。（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={（x,y）|x∈R，y∈R}，对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； （3）集合A={x|x是三角形}；集合B={x|x是圆}；对应关系f:每个三角形都有对应它的内切圆。

(2021年整理)高一数学必修1知识点总结：第二章基本初等函数

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高中数学必修1知识点总结 第二章 基本初等函数 〖2.1〗指数函数 2.1。1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时,a 的n 次方根用符 n 是偶数时，正数a 的正的n ,负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数;当n 为偶数时， 0a ≥． ③根式的性质 :n a =；当n a =；当n 为偶数时 (0) || (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数 的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． (3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2。1.2指数函数及其性质 （4

高一数学必修一函数知识点

高一数学必修一函数知识点分析 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 ⑴ 若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶ 对数式的真数必须大于0。 ⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸ 指数为0时，底数不得为0。 ⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵ 定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。 ⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵ 伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵ 各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶ 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g的复合函数。 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 ⅱ 做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。 ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。 ⑵复合函数的单调性 复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。

高一数学必修一基本初等函数知识点总结

高一数学必修一基本初等函数知识点总结 基本初等函数是高一数学必修一课本内的重点内容，有哪些知识点要了解?下面小编给大家带来的高一数学必修一基本初等函数知识点，希望对你有帮助。 高一数学必修一基本初等函数知识点 从其中一个顶点向一个边引一条线，交另一边上某一点，则这个图形变成有一条公共边且另一组边在同一直线上的两个三角形。有六个内角，其中公共边与另一组在同一直线上的边相交形成的两个角中，每一个角都是一个三角形的一个内角，且是另一个三角形的一个外角…… 另外还有大于平角小于周角的角。 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 一个园,弧长和半径相等时所对应的角度是1弧度.弧度和角度的换算关系: 弧度*180/(2*π)=角度 ★ 诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二：

人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章教学设计

第二章 基本初等函数 §2．1指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时） 第一课时： 教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念； 2.正确运用根式运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： （Ⅰ）创设情景； 阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。 （Ⅱ）复习回顾 ___； -9 )0a _____(2≥=； （Ⅲ）讲授新课 22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3 =-8⇒-2叫-8的立方根 25 =32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根 1.n 次方根的定义：（板书） 问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。 从而有：3273=，2325-=-，236a a =

数，负数没有n 次方根。此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。 结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。 这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书） *)(2,12,N k k n a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书） ①a a n n =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。 问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ ②⎩⎨ ⎧=为偶数 为奇数；n a n a a n n |,|, 性质的推导（略）： （III ）课堂练习：求下列各式的值 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V ）课后作业 1、书面作业： 书P 65习题2.1 A 组题第1题。 2、预习作业： a.预习内容：课本P 55—P 58。 b.预习提纲： （1）根式与分数指数幂有何关系？ （2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？ n a

人教版高中数学第二章 函数的概念与基本初等函数

第二章函数的概念与基本初等函数 【必修第一册】 第一节函数的概念及其表示 【课标要求】 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2.在实际 情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用；3.了解简单的分段函数，并能简单应用。 【命题规律】以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，综合考查分段函 数以及函数与其他知识，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度。 基础·细梳理 1.函数的概念 （1）函数的定义 ①A，B是两个非空的实数集。 ②对于A中任意一个数x，B中都有唯一确定的数y与之对应。 （2）定义域：x的取值范围A。 （3）值域：函数值的集合。 2.函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域 在函数y=f(x) ,x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域1。显然，值域是集合B的子集。 （2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系。 （3）函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法。 （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。 [微点清] 1值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定。 3.分段函数2

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 [微点清] 2①分段函数是一个函数，虽由几个部分构成，但它表示同一个函数；②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 小题·微演练 一、基础题 1. 下列f(x)与g(x)表示同一个函数的是( B ) A. f(x)=√x2−1与g(x)=√x−1⋅√x+1 B. f(x)=x与g(x)=x 3+x x2+1 C. f(x)=x与g(x)=(√x)2 D. f(x)=√x2与g(x)=√x3 3 2. 函数f(x)=1 x+1 +lnx的定义域是(0,+∞)。 [解析]函数f(x)=1 x+1+lnx的自变量满足{ x+1≠0, x>0,所以x>0，即定义域为(0,+∞)。 3. 已知函数f(x)=2x−3，x∈{x∈N|1≤x≤5} ,则函数f(x)的值域为{−1,1,3,5,7}。[解析]由f(x)=2x−3,x∈{x∈N|1≤x≤5}，得f(1)=−1,f(2)=1,f(3)= 3,f(4)=5,f(5)=7，所以函数f(x)的值域为{−1,1,3,5,7}。 二、易错题 4. （解不等式忘记范围）设函数f(x)={ x2+1,x≤0, −x+3,x>0， 则使得f(x)≥2的自变量x 的取值范围为(−∞,−1]∪(0,1]。 [解析]因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥2应分段求解。当x≤0时，f(x)≥2即为x2+1≥2，解得x≤−1或x≥1,所以x≤−1。当x>0时，f(x)≥2即为−x+3≥2，即x≤1，所以00)。 [解析]令t=e x，则t>0，所以f(t)=t−1(t>0)，则f(x)=x−1(x>0)。 6. （列举不全致误）若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有9个。

人教版高中数学必修一《基本初等函数》教材分析

《基本初等函数（I ）》教材分析 通过对数学新课程标准的研讨和学习，特别是经历了第一阶段的几天集中培训，几位专家和老师们的悉心辅导，收获很大。经过了一个假期的自我学习，以及和同事们的交流、互动，下面就我们的学习体会、感受，分三个方面，汇报如下： 第一方面：人教版数学必修1第三章基本初等函数（I ）教材分析 1.本单元教学内容的范围 3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算 3.1.2 指数函数 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 3.2.2 对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 3.3 幂函数 3.4 函数的应用（ II ） 2.本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用 本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数。这是高中函数学习的第二个阶段，目 的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识， 为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性。 可以说这一章起到了承上启下的作用，本章所涉及的一些重要思想方法，如数形结合、分类原则、函数思想、转化思想、构造思想、数学建模等，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用。 3.本单元的教学内容总体教学目标 （1）理解分数指数幂的概念，理解有理指数幂的意义，通过具体实例了 解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （2）理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并 理解其单调性与特殊点。 （3）理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式能将一般对数转化成自然 对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史及对简化运算的作用。 （4）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解

高一数学必修1基本初等函数的教材分析与建议 课程标准 1

高一数学必修1基本初等函数的教材分析与建议 一、课程标准 1．通过具体实例(如细胞的分裂，放射性元素的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 4．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．5．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．6．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊性． 7．知道指数函数与对数函数互为反函数(a>0,a≠1)． 8．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 的图象，了解它们的变化情况． 二、新旧教材比较 与以往教材比较，本章在内容、要求以及处理方式上都发生了许多变化，归纳起来有如下几点： （1）以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质，不要求学生了解无理指数幂，不要求用有理指数幂逼近无理指数幂；本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，并体会“用有理数逼近无理数”的思想。 （2）以往教材在对数换底公式上没有要求；这里要求学生知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 （3）以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质；这里要求能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 （4）以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；这里对反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，只通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=a x 和对数函数y=log a x互为反函数（a > 0,a≠1），不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。 （5）以往教材不要求学习幂函数；这里要求通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2的图象，了解它们的变化情况。 （6）以往教材对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求；这里要求学生在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

2020届高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.2(二) Word版含解析

2．2.2 对数函数及其性质(二) 1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5B.15 C.1e D.12 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2和y ＝(x )2 B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3 C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a x D ．y ＝x 和y ＝log a a x 3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12 log x )的定义域是( ) A ．[1 2，1] B ．[4,16] C ．[116，1 4 ] D ．[2,4] 4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)

C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞) 5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________. 6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________． 一、选择题 1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a 0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4) 4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则 a 的值为( ) A.14 B.1 2 C ．2 D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )

2019-2020学年高中数学人教A版必修一阶段质量检测：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 含解析

阶段质量检测(二)基本初等函数 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(lg 9－1)2等于() A．lg 9－1 B．1－lg 9 C．8 D．2 2 解析：因为lg 9

解析：方法一当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a 增较快，排除C；当0

2 ⎝⎭ 4a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3. 答案：A 12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14x ，x ≥1， a x ，x <1， 在R 上为减函数，则实数的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 14，1

∴f(x)的减区间为(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 16．若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则函数g(x)＝log a(x－m)(其中a>0≠1)的图象过定点A的坐标为________． 解析：若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则m＝2， 则函数g(x)＝log a(x－m)＝log a(x－2)(其中a>0，a≠1)， 令x－2＝1，则x＝3，g(x)＝0， 其图象过定点A的坐标为(3,0)． 答案：(3,0) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)