《矩阵理论》知识重点
一．概况
1．开课学院（系）和学科：理学院数学系
2．课程代码：
3．课程名称：矩阵理论
4．学时/学分：51学时/3学分
5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程）
6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。
7．教材/教学参考书：
《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006
《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。
《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。
《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。
《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。
二、课程的性质和任务
矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。
三、课程的教学内容和要求
矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)
第一章矩阵代数（复习，2）
1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）
要求：掌握矩阵的运算及性质，尤其是对矩阵乘法“左行右列”规则的深入理解和融会贯通；熟练
掌握利用初等变换求矩阵的秩、Hermite梯形阵等的技巧；理解并掌握分块矩阵的运算技巧与要领。
第二章线性空间与线性变换（8）
1．线性空间、基与坐标、基变换与坐标变换（2）
2．线性子空间、交、和、直和、生成元（2）
3．线性变换、核、值域、线性变换在基下的矩阵（2）
4．不变子空间和导出算子、矩阵的四个重要子空间（2）
要求：理解线性空间、线性子空间、线性变换、不变子空间等的概念和性质，并能熟练构造新的线性空间和线性变换；能够利用矩阵表示线性变换、掌握与矩阵相关的四个子空间与线性变换之间的关系。
第三章内积空间、等距变换(6)
1．欧氏空间、内积、Cauchy-Schwartz不等式、正交性、标准正交基、Gram-Schmidt正交化过程（2）
2．矛盾方程最优解、复内积空间、度量矩阵（2）
3．等距变换、正交变换与U-变换、正交矩阵与U矩阵（2）
要求：理解内积、正交、正交补等的定义；熟练掌握Gram-schmidt正交化方法；理解内积空间的概念，并能熟练构造新的内积空间；掌握求矛盾方程组的最小二乘解的理论根据和方法；理解等距变换的定义及与酉矩阵之间的关系。
第四章特征值与特征向量（4）
1．特征值与特征向量、特征多项式、Hamilton-Cayley定理（2）
2．最小多项式、圆盘定理（2）
要求：理解特征值与特征向量、特征多项式、最小多项式等的定义及基本性质；熟练掌握Hamilton-Cayley定理并利用该定理解决基本的计算问题；熟练掌握圆盘定理及其在特征值估计方面的应用。
第五章矩阵与Jordan标准形（5）
1．λ－矩阵与Smith标准形、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件（3）
2．幂零矩阵的Jordan标准形、一般矩阵的Jordan标准形（2）
要求：理解λ－矩阵、Smith标准形、不变因子、初等因子的定义，并能够熟练计算矩阵的Smith 标准形、不变因子、初等因子；理解矩阵相似的条件；熟练掌握求幂零矩阵和一般矩阵的Jordan标准形的方法和步骤。
第六章特殊矩阵（4）
1．Schur定理、矩阵的正交三角化、Schur不等式、正规矩阵（2）
2．实对称矩阵与Hermite阵、正交阵与酉阵（2）
要求：理解Schur定理的内容及意义；理解正规矩阵的定义及基本结论；理解实对称矩阵与Hermite 阵、正交阵与酉阵的基本理论，并能熟练计算相关的问题。
第七章矩阵分析（6）
1．向量和矩阵的范数、范数的等价与相容、范数与谱半径（2）
2．阵序列与级数、矩阵的微分与积分、矩阵函数（2）
3．e At的性质、矩阵函数的计算（2）
要求：理解向量和矩阵范数的概念；掌握几种基本的向量和矩阵范数；理解矩阵序列与级数、矩阵
的微分与积分、矩阵函数的定义；理解e At的基本性质，掌握矩阵函数的基本计算方法。
第八章矩阵函数的应用（2）
1．求解线性微分方程组、系统的可观测性与可控性（2）
要求：能够利用矩阵函数求线性常系数微分方程组、线性常系数非齐次微分方程组、n阶常系数微
分方程的解；能够利用矩阵函数解决定常线性系统的能控性与可观测性问题。
第九章矩阵分解（4）
1．矩阵的满秩分解、矩阵的QR分解（2）
2．矩阵的奇异值分解、矩阵的谱分解（2）
要求：掌握求矩阵的满秩分解、QR分解、奇异值分解、谱分解的基本方法。
第十章广义逆矩阵（4）
1．投影矩阵、Moore-Penrose广义逆A+、A+的计算（2）
2．广义逆A-及广义逆矩阵在线性方程组中的应用（2）
要求：理解Moore-Penrose广义逆A+的定义及性质，能够用奇异值分解、满秩分解、迭代方法等求
A+；理解广义逆A-的定义、性质及计算方法；理解A+，A-与线性方程组的关系。
四．实验（上机）内容和基本要求
本课程无实验和上机的教学安排，但要求学生结合本专业的特点和所研究的课题，选择部分算法自己上机实现。要求学生熟悉至少一门数学软件平台（Mathematica/ matleb/Maple）和至少一种编程语言。
五．对学生能力培养的要求
本课程属于数学基础课程，含有较多的数学推导和证明，希望在教师引导下，学生逐步学会自己从前人研究问题、分析问题的过程、演绎推导的结果中，体会和领悟这些人类高级心智文明的成果，使学生自己真正学懂数学，而不是被“教会”数学；同时希望学生通过研究式的钻研、探索乃至犯错误的过程中，培养从错纵复杂的现象事理和繁杂无序的结果数据中，寻找与总结内在关系和规律的能力，并且体会科学研究的艰辛和乐趣，培养在科学研究和事理处理上百折不挠、持之以恒的毅力和意志。提高他们的数学素质和数学修养，提高他们开展科技活动和社会实践的能力以及开展科研工作的能力。
六．其他
最终成绩的评定含期末考试成绩与平时成绩两部分，分别占70%与30% 。
起草者：张跃辉，姜翠波
《矩阵理论》选课指南
对于绝大多数非数学专业的硕士研究生而言，如果需要掌握一门数学理论或方法，《矩阵理论》无疑是最好的选择。首先，从数学课程的进展来看，《矩阵理论》相当于研究生的《线性代数》+《高等数学》，是后续数学课程和专业课程的基础，比如对工程计算具有重要意义的《数值分析》(又称《计算方法》)课程就要求相当多的《矩阵理论》知识。其次，对于相当多的准备快速进入实践环节的研究生(比如工程硕士)，《矩阵理论》在相当程度上可以提供解决大量实际问题的理论框架和思想方法。再次，实践中的困难问题几乎都涉及多个因素，因此其数学模型必然是高维的，其最终解决依赖于线性化，而矩阵理论与方法迄今为止仍是解决高维线性问题的不二选择。最后，从科学技术发展的实践来看，矩阵理论在现代通信、电子信息、图像处理、模式识别、建筑工程、系统控制、航空航天乃至现代经济等众多领域具有高度创造性和灵活性，是不可替代的数学工具。
《矩阵理论》需要的预备知识除了高等数学的基本理论外，对线性代数的基础知识有较多要求，读者可参考上海交通大学数学系编写的《线性代数》。
《矩阵理论》的基本思想是，一个m n矩阵的本质是一个n维线性空间到另一个m维线性空间的线性变换（因此矩阵这个表面上完全是代数的对象实际上有丰富而深刻的几何内涵），所以研究矩阵的最佳途径是研究线性空间及线性变换的结构和性质。而线性空间不过是我们熟悉的实数直线、平面和普通立体空间的一般化，线性变换则是最简单的（多元）线性函数的推广而已。这样就可以利用高等数学中的有力工具--微积分—来研究矩阵，从而得到更为深刻、应用价值更大的理论了。
《矩阵理论》的基本内容如下（不含复习内容）：
1.线性空间、线性变换与矩阵
2.内积空间、等距变换与U矩阵
3.矩阵的Jordan标准型、特征值估计
4.特殊矩阵与矩阵分解（含谱分解与奇异值分解）
5.矩阵函数及其微积分、线性微分方程组
6.广义逆矩阵、线性方程组（解的统一表达）
研究生矩阵论 矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。 矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。矩阵的行和列分别代表其维度。在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。 矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。 矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。矩阵的秩具有一些
重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。 矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。 矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。相似矩阵具有一些重要的性质：相似矩阵具有相同的特征值；相似矩阵具有相同的秩。 矩阵论在实际应用中有着广泛的应用。在物理学、工程学、计算机科学等领域，矩阵论被广泛应用于建模和求解问题。例如，线性方程组可以用矩阵的形式表示，矩阵论提供了求解线性方程组的方法。此外，矩阵论还在图论、最优化等领域中有着重要的应用。 矩阵论是研究生数学中的重要内容之一。通过研究和掌握矩阵论的基本概念、性质和应用，研究生可以在数学和其他学科中有更深入的理解和应用。希望本文对研究生矩阵论的学习有所帮助。
矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
考研数学线性代数必考的知识点 一、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必 要熟练掌握。行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽 象行列式的计算 二、向量与线性方程组 三、特征值与特征向量 相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一 个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。 四、二次型 本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩 阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称 矩阵时的应用。 考研数学概率以大纲为本夯实基础 从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题 型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。概率常考大题的地方是：随机 变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。 从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可
以讨论随机变量，这就是第二章的内容。随机变量之于概率正如矩阵之于 线性代数。考生也可以看看考研真题，数一、数三概率考五道题，这五题 的第一句话为“设随机变量X……”，“设总体X……”，“设X1， X2，…，Xn为来自X的简单随机样本”，无论“随机变量”、“总体” 和“样本”本质上都是随机变量。所以随机变量的理解至关重要。讨论完 随机变量之后，讨论其描述方式。分布即为描述随机变量的方式。分布包 括三种：分布函数、分布律和概率密度。其中分布函数是通用的描述工具，适用于所有随机变量，分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连 续型随机变量。之后讨论常见的离散型和连续性随机变量，考研范围内需 要考生掌握七种常见分布。 介绍完一维随机变量之后，推广一下就得到了多维随机变量。多维分 布总体上分成三种：联合分布，边缘分布和条件分布。其中每种分布又细 分为分布函数、分布律和概率密度。只不过条件分布函数我们不考虑。该 章常考大题，常考随机变量函数的分布和边缘分布、条件分布。之后讨论 随机变量的某某某性。 分布包含着随机变量的全部信息，如果只关心部分信息就要考虑数字 特征了。数字特征考小题。把公式性质记清楚，多练习即可。 大数定律和中心极限定理是偏理论的内容，考试要求不高。 数理统计是对概率论的应用。其中考大题的地方是参数估计(矩估计 和极大似然估计)，考小题的点是常用统计量及其数字特征，三大统计分布，正态总体条件下统计量的特殊性质。 看来还是需要以考研大纲为基础，扎实学好基础知识，掌握基本的解 题技巧，才能有效的攻破概率论考题。最后，除了要嘱咐大家扎实学习基
⎪⎩ ⎪⎨⎧=--=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=+==0 )2()(0 )(,231213321211p A I p p A I p A I p Ap p p Ap p Ap 即8 223)()23104()()()(2234-+--+++=÷λλλψλλλλλλψλg g 得1、求下列矩阵的Jordan 标准型和所用相似变化矩阵：⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=304021101A ，首先用特征向量法求出Jordan 矩阵 J=⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2111，设相似变换矩阵为P=（p 1 p 2 p 3）,由 可见p 1,p 3是A 的对应特征值1和2的特征向量，而p 2由求解非齐次线性方程组(I-A)x=-p 1得到，特征值1和2的2特征向量分别为p 1=（1，-1,2）T ，p 3=（0,1,0）T 。求解方程（I-A ）x=-p 1，得到x 的通解，x=(-0.5，-0.5,0)T ，取k=1，得p 2=（0，-1,1）T ，故所用相似变换矩阵P=（p 1，p 2，p 3） 2、已知矩阵⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ，计算 （1）A 7-A 3-19A 4+28A 3+6A-4I ，（2）A -1（3）A 100：（1），算出)(λψ=det （A I -λ）， 令4-62819--)(3437 λλλλλλ++=g ， 用 由 哈密顿凯莱定理 )(A ψ=O ，于是g （A ）=I A A 82232-+-；（2）、由)(A ψ=A 3-4A 2+5A-2I=O 得 I I A A A =+-)]54(2 1[2,故A -1可算出。（3），设0122100)()(b b b q +++=λλλψλλ，注意到0)1()1()2(='==ψψψ，分别将λ=2和λ=1代入上式，再对上式求导数将λ=1代入，解出b 0，b 1，b 2故A 100可 算出。 3、各类范数总结 范数，称为向量，设1),,,(x 1 121∑===n k k T n x ξξξξ ，范数，称为向量，设∞==k k T n x ξξξξmax ),,,(x 121 范数，向量，设p )(),,,(x 1 1 21∑===n k p p k p T n x ξξξξ ，范数，称为矩阵， 设1 11 1)(m a A a A n j ij n i m n n ij ∑∑==⨯== 范数，称为矩阵，设F a A a A n j ij n i F n n ij 21 1 )(∑∑==⨯= =，范数，称为矩阵， 设∞⨯==∞ m a n A a A ij j i m n n ij ,max )( 范数，称为矩阵，设1max )(1ij j n n ij a A a A ==⨯，范数，称为矩阵，设2)(12λ==⨯A a A n n ij (1λ为A H A 最 大特征值)。范数，称为矩阵， 设∞==∑=∞⨯n j ij i n n ij a A a A 1 max )(。 4、判断矩阵是否为收敛矩阵：定理：设A 是n*n 方阵，则A 为收敛矩阵的充要条件是1max )(<=j n A λρ 推论：若A 是n*n 矩阵，若对方阵某一矩阵范数有1 《矩阵理论》知识重点 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数) 第一章矩阵代数（复习，2） 1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2） 要求：掌握矩阵的运算及性质，尤其是对矩阵乘法“左行右列”规则的深入理解和融会贯通；熟练 掌握利用初等变换求矩阵的秩、Hermite梯形阵等的技巧；理解并掌握分块矩阵的运算技巧与要领。 第二章线性空间与线性变换（8） 矩阵知识要点 有关矩阵的乘法 1． 矩阵A=???c a ???d b 与→a =?? ? ???y x 相乘 =→ a A ???c a ???d b ??????y x =? ?????++dy cx by ax =→ )(a A λ???c a ???d b ?? ??????????y x λ= ?? ?c a ?? ?d b ??????y x λλ=??????++y d x c y b x a λλλλ=?? ? ???++dy cx by ax λλλλ=→a A λ → →→ → +=+b A a A b a A )( → →→ → +=+b A a A b a A 2121)(λλλλ 复合变换 → →=a AB a B A )()( --若向量a 先经过矩阵A 再经过矩阵 变换后?→ a BA )()(BC A C AB = --BA AB ≠（矩阵相乘没有交换律） l k l k A A A +=--若AC=A B 但 B C ≠（没有消去律） kl l k A A =)(--若A AE A E ==22 2E 为单位矩阵 逆矩阵 已知矩阵A=???c a ???d b 求逆矩阵1 -A ,若==A A det c a d b =0≠-bc ad 则 A 有逆矩阵1 -A = ? ??c -d 1A ?? ? a b - , 21 E AA =- ???01 ?? ? 10 为单位矩阵 ???00 ?? ? 00 为零矩阵 →0 用逆矩阵求二元一次方程组 已知?? ?=+=+f dy cx e by ax A=???c a ?? ? d b 为二元一次方程组的系数矩阵,这二元一次方程组可写成???c a ???d b ??????y x =?? ? ???f e , 1 -A ??????f e =?? ? ???y x . 已知?? ?=+=+0 dy cx by ax ,（其中d c b a ,,,是不全为0的常数） 则 此二元一次方程组有非0解的充要条件是c a d b =0 矩阵的转置 设 A=(aij)m ×n ，将矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为 A 的转置 矩阵，记为 A T 或 A'． 转置满足以下运算规则： (AT)T=A ； (A+B)T=AT+BT ； (kA)T=kA T(k 为任意常数)； (AB)T=BTA T ． 子式和余子式 在线性代数中，一个矩阵A 的余子式（又称余因式）是指将A 的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式。相应的方阵有时被称为余子阵。 将方阵A 的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式，后者在可以通过降低多阶矩阵的阶数来简化矩阵计算，并能和转置矩阵的概念一并用于逆矩阵计算。 不过应当注意的是，余子式和代数余子式两个概念的区别。在数值上，二者的区别在于，余子式(M 32)只计算去掉某行某列之后剩余行列式的值，而代数余子式(A 32)则需要考虑去掉的这一个元素对最后值正负所产生的影响。 对矩阵 要计算代数余子式C 23。首先计算余子式M 23， 也就是原矩阵去掉第2 行和第3列后的子矩阵的行列式： 即 23 矩阵论基础知识总结 一、引言 矩阵论是线性代数的重要分支，广泛应用于数学、物理、工程等领域。本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则、特殊类型矩阵以及矩阵的应用。 二、矩阵的基本概念 1. 定义：矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列而成的矩形数表，常用大写字母表示，如A、B。 2. 元素：矩阵的每个数称为元素，用小写字母表示，如a、b。一个矩阵的第i行第j列的元素可以表示为a_ij。 3. 阶数：矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数，记作m×n，其中m表示行数，n表示列数。 4. 主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 三、矩阵的运算规则 1. 矩阵的加法：两个相同阶数的矩阵相加，即对应元素相加。 2. 矩阵的数乘：一个矩阵的每个元素都乘以同一个数。 3. 矩阵的乘法：若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A与矩阵B的乘积C为一个新的矩阵，其中C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。 四、特殊类型矩阵 1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。零矩阵与任何矩阵相加等于其本身。 2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。对角矩阵的乘法可以简化为主对角线上元素的乘积。 3. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的对角矩阵。单位矩阵与任何矩阵相乘等于其本身。 4. 转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。 5. 逆矩阵：对于方阵A，若存在一个方阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵，则称B为A的逆矩阵。 五、矩阵的应用 1. 线性方程组：矩阵可以用于求解线性方程组，通过矩阵的运算可以将线性方程组转化为矩阵方程，从而求解未知数的值。 2. 向量空间：矩阵可以表示向量空间中的线性变换，通过矩阵的乘法可以实现向量的旋转、缩放等操作。 3. 数据处理：矩阵可以用于数据的存储和处理，通过矩阵运算可以实现数据的加工、筛选、聚合等操作。 4. 图像处理：图像可以表示为像素矩阵，通过矩阵运算可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。 六、总结 矩阵论是线性代数的重要分支，掌握矩阵的基本概念和运算规则对于理解和应用矩阵具有重要意义。矩阵的特殊类型和应用领域丰富 考研数学知识点总结归纳考研数学知识点 第一章行列式 1、行列式的定义 2、行列式的性质 3、特殊行列式的值 4、行列式展开定理 5、抽象行列式的计算 第二章矩阵 1、矩阵的定义及线性运算 2、乘法 3、矩阵方幂 4、转置 5、逆矩阵的概念和性质 6、伴随矩阵 7、分块矩阵及其运算 8、矩阵的初等变换与初等矩阵 9、矩阵的等价 10、矩阵的秩 第三章向量 1、向量的概念及其运算 2、向量的线性组合与线性表出 3、等价向量组 4、向量组的线性相关与线性无关 5、极大线性无关组与向量组的秩 6、内积与施密特正交化 7、n维向量空间(数学一) 第四章线性方程组 1、线性方程组的克莱姆法则 2、齐次线性方程组有非零解的判定条件 3、非齐次线性方程组有解的判定条件 4、线性方程组解的结构 第五章矩阵的特征值和特征向量 1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质 2、相似矩阵的概念及性质 3、矩阵的相似对角化 4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章二次型 1、二次型及其矩阵表示 2、合同变换与合同矩阵 3、二次型的秩 4、二次型的标准型和规范型 5、惯性定理 6、用正交变换和配方法化二次型为标准型 7、正定二次型及其判定 考研数学必备知识点总结 高等数学部分 第一章函数、极限与连续 1、函数的有界性 2、极限的定义(数列、函数) 3、极限的性质(有界性、保号性) 4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理) 5、函数的连续性 6、间断点的类型 7、渐近线的计算 第二章导数与微分 1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数) 2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数) 3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理 1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理) 2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西) 3、积分中值定理 4、泰勒中值定理 5、费马引理 第四章一元函数积分学 1、原函数与不定积分的定义 2、不定积分的计算(变量代换、分部积分) 3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二)) 4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理) 矩阵知识点总结 矩阵是线性代数中重要的概念，是一个由数所组成的矩形表格。矩阵的运算可以帮助我们解决各种实际问题，因此掌握矩阵的常见操作和性质对于学习数学和应用数学都非常重要。下面是关于矩阵的一些常见知识点的总结。 1. 矩阵定义：矩阵是由数域中的元素按照一定的规则排列组成的矩形阵列。矩阵的行数和列数分别称为其阶数。 2. 矩阵的运算：矩阵可以进行加法、减法和数乘运算。加法和减法的运算需要保证两个矩阵的阶数相同，数乘运算则是将矩阵的每个元素乘以一个常数。 3. 矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行得到的新矩阵。转置矩阵的性质包括转置矩阵的转置是原矩阵，转置矩阵的运算规则与原矩阵相同。 4. 矩阵的乘法：两个矩阵的乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。两个矩阵相乘得到的新矩阵，新矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。 5. 矩阵的单位矩阵：单位矩阵是一个主对角线上全为1，其余 元素都为0的方阵。单位矩阵与任何矩阵相乘都不改变原矩阵。 6. 矩阵求逆：对于一个可逆矩阵，可以求其逆矩阵。逆矩阵满足逆矩阵与原矩阵相乘得到单位矩阵。 7. 矩阵的行列式：行列式是一个与方阵相关的概念，其结果是一个数。行列式的值可以用于判断矩阵是否可逆，以及用于计算矩阵的逆元素。 8. 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。秩的概念与矩阵的行列式和逆矩阵密切相关。 9. 线性方程组和矩阵：线性方程组可以用矩阵和向量的乘法来表示，并可以通过矩阵的求逆、转置和行列式等操作来解线性方程组。 矩阵在数学领域和其他学科中有着广泛的应用，如线性代数、概率论、计算机科学、物理学等。通过学习矩阵的知识，我们可以更好地理解和解决与矩阵相关的问题，提高数学和科学建模的能力。同时，在实际应用中，矩阵的运算和性质也为我们提供了一种简洁高效的数学工具。因此，掌握矩阵的基础知识以及运用矩阵进行问题求解的能力对于学习和应用数学都是非常重要的。 矩阵总复习知识点梳理(学生)矩阵总复知识点梳理（学生） 一、基础概念 - 矩阵定义：矩阵是由数个数排成的矩形阵列，形如 $$A=[a_{ij}]_{m\times n}$$。 - 矩阵元素：矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。 - 矩阵的行列数：矩阵A的行数为m，列数为n，记作A （m×n）。 - 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的行数、列数相等，并且对应元素相等。 - 矩阵的转置：把矩阵的行变成同序数的列，列变成同序数的行，得到的新矩阵叫作矩阵A的转置矩阵，记作A^T。 - 矩阵的乘法：两个矩阵A（m×n）和B（n×p）的乘积是一个矩阵C（m×p），其中C的每个元素$$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$$。 - 单位矩阵：对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵叫作单位矩阵，记作E。 - 零矩阵：所有元素都为0的矩阵叫作零矩阵，记作O。 二、矩阵运算 - 矩阵的加法：两个矩阵A和B相加，得到的矩阵C（m×n）每个元素等于对应位置的元素相加。 - 矩阵的减法：两个矩阵A和B相减，得到的矩阵C（m×n）每个元素等于对应位置的元素相减。 - 矩阵的数乘：矩阵A的每个元素乘以数k得到的矩阵C （m×n）每个元素等于对应位置的元素乘以k。 三、矩阵求逆 - 可逆矩阵：一个n阶矩阵A如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵A叫作可逆矩阵，矩阵B 叫作矩阵A的逆矩阵，记作A^{-1}。 - 矩阵求逆的条件：矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0。 - 矩阵求逆的方法：高斯-约当消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。 - 矩阵的逆的性质：若A、B均为可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}。 四、矩阵的特殊类型 矩阵Jordan标准型是线性代数中非常重要的概念，它在矩阵理论以及特征值与特征向量的研究中有着重要的应用。在考研数学中，矩阵Jordan标准型也是一个高频考点，掌握矩阵Jordan标准型对于考研数学的学习和备考至关重要。 一、矩阵Jordan标准型的定义 矩阵Jordan标准型是一种特殊的矩阵形式，它具有一些特定的性质。给定一个n阶方阵A，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP为Jordan标准型，那么称矩阵A相似于Jordan标准型。 二、矩阵Jordan标准型的性质 矩阵Jordan标准型具有以下性质： 1. 对角线上的元素是矩阵A的特征值； 2. 对角线上出现的不止一个数表示A不是对角化的； 3. 每一个Jordan块对应一个特征值以及其代数重数； 4. 每一个Jordan块的大小对应于其几何重数。 三、矩阵Jordan标准型的计算方法 计算矩阵的Jordan标准型是线性代数中的一个重要内容。通常有以下方法： 1. 先求出矩阵A的特征值和对应的特征向量； 2. 根据特征值和特征向量构造特征向量矩阵P； 3. 利用P^-1AP的形式求得矩阵A的Jordan标准型。 四、矩阵Jordan标准型的应用 矩阵Jordan标准型上线性代数以及其他数学领域有着广泛的应用。对于一些特定的矩阵求解矩阵的高次幂、求解矩阵的指数函数等问题时，常常需要用到矩阵的Jordan标准型。在控制理论、量子力学等领域中，矩阵Jordan标准型也有着重要的应用价值。 五、考研考纲中与矩阵Jordan标准型相关的知识点 矩阵Jordan标准型作为线性代数中的重要概念，在考研数学的考纲中也有明确的要求。考研数学中与矩阵Jordan标准型相关的知识点主要包括： 1. 矩阵的特征值与特征向量； 2. 矩阵的相似对角化； 3. 矩阵的Jordan标准型及其计算方法； 4. 矩阵Jordan标准型的应用。 六、如何有效地学习和掌握矩阵Jordan标准型 针对矩阵Jordan标准型这一知识点，考生可以采取以下学习方法： 1. 掌握矩阵的特征值与特征向量的求解方法； 2. 熟练掌握矩阵的对角化与相似对角化的理论与计算方法； 3. 了解矩阵Jordan标准型的定义和性质，熟悉其计算方法； 4. 深入理解矩阵Jordan标准型的应用场景，例如上线性方程组、微分方程、控制理论等方面的应用。 矩阵秩重要知识点总结_考研必看 一．矩阵等价 行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二．向量的线性表示 Case1：向量b能由向量组A线性表示: b=λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λmαm 充要条件: 1.线性方程组Ax=b有解 2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组B能由向量组A线性表示 充要条件： R(A)=R(A,B) 推论∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组A能由向量组B线性表示 充要条件： R(B)=R(B,A) 推论∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价 充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示 充要条件是: R(A)=R(A,E) n=R(E)=n，所以R(A)=n=R(A,E) 三．线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一. （3） R(A)=R(A,B) （4）R(A) ≠R(A,B) 2．齐次线性方程组 （1）一定有解 （2）有非零解的充要条件R(A) 四．向量组线性相关性 向量组线性相关： 存在不全为0的实数λ1、λ2，λ3…λn,满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λnαn=0 充要条件: （1） R(A) （2）向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示 （3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一 Case2：向量组A只包含一个向量α，α是零向量，向量组A线性无关; α是非零向量，向量组A线性无关。 Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例 Case4：三个向量线性相关，向量共面 矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系中，由(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵，其中a，b，c，d称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或()表示(其中i，j分别为元素所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a11a12]与列矩阵的乘法规则为[a11a12]＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为＝.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M＝； (2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移个单位，则对应 矩阵M＝，若沿y轴平移个单位，则对应矩阵M＝.(其中k为 非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α＋β＝. (1)设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M(λα)＝λMα，②M(α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． (二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量 1．矩阵的逆矩阵 (1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ 前言 1、自我介绍 2、矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的 3、矩阵分析理论的组成：四部分： 基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵 矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用） 矩阵特征值的估算（第五章） 非负矩阵（第六章） 第一部：矩阵分析理论的基础知识 §1 线性空间与度量空间 一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间—设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足： <1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+ ② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃V t s V . ④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V <2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素。存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应，称δ为k 与α的乘积。记为αδk = 并满足：①αα=⋅1 ② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)( 则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量 结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有： θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=- eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R 按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯ 同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。 eg3：],[b a C V = P ＝R 按照连接函数的运算，显然可建立R 上的一个线性空间，记为).,.(],[∙+R C b a 。 根据线代中向量空间的维数与基的定义。我们可以定义线性空间的基与维数 3．线性空间的基与维数 Df 3. 设V 是P 上的线性空间V x x x n ∈,,,21 若 ①n x x x ,,21线性无关； ②V 中任一元素α可由n x x x ,,21线性表示 则称V 为n 维线性空间的一组基，dimV = n ， 若n x x x ,,21为V 的一组基，则对V ∈∀α必有 ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=+++=n n n n k k x x x k x k x k 112211),,(α 则),,(1n k k 称为α在基n x x x ,,21下的坐标，且坐标是唯一的。 eg 4. 在线性空间n x P ][中，1,,,1-n x x 是n x P ][的一组基。 矩阵 定义 由m n ⨯个数()1,2, ,;1,2, ,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表 11 121212221 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为 m 行n 列矩阵。简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ ，简记为()()m n ij ij m n A A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E ) 3． 正交矩阵 定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。 定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则 (1)或 (2) (3) 也是正交矩阵 (4)也是正交矩阵。 定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。 注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定 是正交矩阵。 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵 仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪ - ⎪ ⎪ -⎝ ⎭这样的矩形数表叫做矩阵。 E A A T =A 1=A 1 -=A T A A =-1)(1T A A 即-A B ⇔ 矩阵知识点完整归纳 矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。 一、基本概念 1.矩阵的定义 矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。如下所示： $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$ 其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。 2.矩阵的分类 矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种： （1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如 $[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。 （2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如 $\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。 （3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。 （4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如 $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。研究生矩阵理论知识重点
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