矩阵论--武汉理工大学研究生考试试题2010(科学硕士)
武汉理工大学研究生考试试题（2010） 课程矩阵论 （共6题，答题时不必抄题，标明题目序号） ，填空题（15 分） 1 1 1 0 已知矩阵A 0 °,A 2 1 1 ,A 3 所生成的子空间的维数为 证明：（代B ）是V 的一个内积; 多项式所成的线性空间，对于任意的 f （t ） a 2t 2 a 1t a 。 F[t]3，定义:1、 已知矩阵A 的初级因子为 ,（ 1)2, 2 ,( 1）3，则其最小多项式为 2、 设线性变换T 在基 1, 2, 3的矩阵为A ，由基 3到基 3的过渡矩阵为P ， 向量在基 3下的坐标为x ，则像T （）在基 3下的坐标 1 ，则由这四个矩阵 1 4、 0 已知A 0 ，则 A 10 A 6 8A 已知向量 1,2,0, T i)， i 2 则其范数 二，（20）设 V A a 11 a 21 a 22 an a 21 0为R 2 2的子集合, 1、 证明：V 是R 2 2的线性子空间; 2、 求V 的维数与一组基; 3、 a*i1 a^ 对于任意的A , a 21 a 22 V ，定义 (A, B) 4a 11b 11 3a 〔2b [2 2玄21匕21 a 22b 22 4、 求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15 分）设 F[t]3 2 f(t) a 2t a 〔t 玄 a j R, i 0,1,2为所有次数小于3的实系数
1、 证明：T 是F[tb 上的线性变换; 2、 求T 在基1,t,t 2下的矩阵A 。 四，(15分)设矩阵 1 2 3 A 0 1 2 0 0 1 1、 求A 的Jordan 标准形； 2、 求A 的最小多项式。 五(20分)已知 1 0 1 0 A 0 11, b 1 1 0 1 1 1、 求A 的满秩分解； 2、 求 A ； 3、 求AX b 的最小二乘解； 4、 求AX b 的极小范数最小二乘解。 六、(15分)已知 X 。 0 1、求矩阵函数e At ； 2 T[f(t)] (a 。a i )t (a 。 a 2)t ⑻ a 2) 2、求微分方程组 dx(t) dt Ax(t)满足初始条件x(0) X 0的解。
2012秋_研究生矩阵论评分标准
华东理工大学2012学年第1学期 研究生《矩阵理论》课程考试试卷评分标准2013年1月 填空题(每小题4分，共40分) 1、已知-1)(/-2)为多项式空间P[Q 中一组基，则多项式 = + l 在这组基下的坐标是(写成列向量)(3,44/. 顺序弄反，写成(1,4,3)卩给2分。 3、对任意f(x). g(x)eP[x]2 ,定义权函数为产的带权内积： (/,g )=^f(x)g(x)e-x dx ,则标准基1, x 的度量矩阵为G = 答[；匕)给2分 4、 已知冇,勺,勺是欧氏空间"的一组基，丁为V 上的一个正交变换，且 兀]=吉(2^] +2^2 —巧)，拆2 =吉(玄| —£2 +玄3)' 则兀关于勺,习，6的坐标向量为* (一 1,2,2)7或扣,一2, J)7'。 只填1个不扣分。 5、 已知a i9a 2 ER 3，、[ = spang ,a 2) , W = (a |,a 2)是列满秩矩阵,则向量 x e 疋沿叶到 K 的投影向量为w (wwjw*. 填投影矩阵给2分 6、 已知向量x = (l,2,-3)r ,则llxiy II 叫=?. 7、 设4 2 1 则 11^11^=7, IIA11..= ^. 2 4J - --- 8、 若关于单变量x 的函数矩阵A(x)与A-*(x)均可导，则A-*(x)的求导公式 为,屮(兀)=-屮(x)・ J(x)・A"(x)・ ax ax 9、设小曲介实对称矩阵，则对二次泛函心弓S —十，其中 x,b,ceR n , # = Ax-b . 10、已知 X =(%)€&", f(X) = tr(XX T )为矩阵 XX 7■的迹，则 2、已知A ,则矩阵多项式A 4-4A 3-A 2 + 2013A-Z = 2012 4026] 4026 6038]
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题五
习题五 1．证明：-AA 与A A -均为幂等矩阵，即- -=AA AA 2 )(，A A A A - - =2 )( 证明:因为A A AA =-,故 ------===AA A A AA AA AA AA )()(2, A A A AA A A AA A A A ------===)()(2. 2．设n m C A ⨯∈，试证{ }1)(T T A A =- 证明:只需证明T T T T A A A A =-)(即可,实际上,由于A A AA =- ,故 T T T T T A A AA A A A ==--)()(. 3．设n m C A ⨯∈，则 （1）n rankA I A A n =⇔=- （2）m rankA I AA m =⇔=- 证明:(1)必要性.设n I A A =- ,则 n rankI A A rank rankA n ==≥-)(, 故n rankA =; 充分性.设n rankA =,由于 )()()(A A rank A AA rank rankA A A rank ---≤=≤, 故n A A rank =-)(,则1 )(--A A 存在,又由第1题,知A A A A - -=2)(,在此式两端同时乘以1 )(--A A ,有n I A A =-. (2)必要性.设m I AA =- ,则 m rankI AA rank rankA m ==≥-)(,
故m rankA =; 充分性.设m rankA =,由于 )()()(---≤=≤AA rank A AA rank rankA AA rank , 故m AA rank =- )(,则1)(--AA 存在,又由第1题,知A A A A - -=2)(,在此式两端同时乘以1 )(--AA ,有m I AA =-. 4．证明： （1）rankA A A rank =- )( （2）rankA A rank r =-)( 证明:(1) 因为 )()()(A A rank A AA rank rankA A A rank ---≤=≤, 故rankA A A rank =- )(; (2) 因为 )()()(-----≤=≤=r r r r r A rank A rankAA rankA AA A rank A rank , 故rankA A rank r =- )(. 5．验证（1）--=)(**AA A A m （2）* *)(A A A A l --= 证明:(1)设-=)(**AA A G ,则证明-=m A G ,即GA GA A AGA ==* )(,. A AA A A AA A GA *******])[(])([)(--== GA A AA A AA A ===--)(])[(*****; *))((A AGA A AGA -- *****])(][)([A A AA AA A A AA AA --=-- ])(][)([******A AA AA A A A AA AA --=--
太原理工大学2021矩阵论试题
太原理工大学2021矩阵论试题 太原理工大学2002级攻读硕士学位研究生 《矩阵分析》试卷 1、选择题：（10分后） （1）设t是cn?n上的线性变换，a?cn?n,则下列集合不构成子空间的为（） (a)x;ax?0,x?cn?n(b)x;x?0,x?cn?n (c)x;tx0,xcnn(d)y;txy,xcnn （2）设t就是线性空间v上的线性变换，x1,x2,?,xn?v，则以下不恰当的就是（）(a)t(?)??;(b)t( n??xi?1ni)= t(x); ii?1(c)若x1,x2,?,xn线性相关，则t(x1),t(x2),?t(xn)线性相关。(d)若 x1,x2,?,xn线性无关，则t(x1),t(x2),?t(xn)线性无关。（3）设v为酉空 间，?x,y,z?v,??c,则有（）(a)(x,y)=(y,x)(b)(x,?y)=?(x,y)(c)x?0,但 (x,x)?0(d)(x,y?z)?(x,y)+(x,z)（4）设a为酉矩阵，则下列等式不正确的是（） (a)a?1(b)aah?e(c)a?1?ah(d)aha?e （5）取值?―矩阵a(?)?(aij(?))n?n，则a(?)对称的充要条件就是（）(a)a(?)八十秩(b)a(?)?0(c)a(?)与e相近(d)a(?)与e等价2、填空题（20分后） 210（1）设a??023?，则a1?,a2?，a?=，af=; 120 4?1??1??（2）已知a1?30?，则a的约当标准形是;?001（3）已知 aa?10??10??1p，则存在可逆阵，使pap00??，20此时e?; （4）未知a(t)cost?sint?a(t)?,??,limt?0sintcost???d?1a(t)=, 则?2a(t)dt?.0dt?? 3、简答题：（10分） （1）设v1,v2?v的子空间，写下v1与v2的和就是算术函数的四个等价观点。（2）设t就是线性空间v上的线性变换，写下t为正交变换的三个等价观点。（3）设a为厄米特阵，写下a为正定阵的两个等价观点。
2291博士研究生矩阵论和随机过程科目
华中科技大学博士研究生入学考试 软件工程理论基础综合》考试大纲 （科目代码：3543） 第一部分考试说明 一、考试性质博士生入学考试是为华中科技大学招收博士研究生而设置的。其中， “软件工程理论基础综合” 考试科目主要是针对报考软件工程学科软件服务与应用、数字媒体技术方向的考生而设置的。该课程的评价标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的专业理论素质并有利于招收单位和导师择优选拔。 考试对象为参加博士生入学考试的硕士毕业生，以及具有同等学力的在职人员。 二、评价目标1．掌握软件工程领域的基本原理、技术和方法； 2.“X”部分的评价目标见各选项具体要求。 三、考试形式和试卷结构 1.考试形式：闭卷、笔试； 2.答题时间：180 分钟； 3.试卷题型：基础部分为选择题、问答题、计算题；“X ”部分见各选项说明； 4.各部分内容的考试比例： 软件工程理论基础综合= 软件工程理论基础（40%）+X （60%） 其中：“ X ”有二项选择（1•现代计算机网络；2.计算机图形学），考生报名时只需选考其一。 第二部分考察要点 、软件工程理论基础部分 1 .软件需求 需求获取；需求分类；需求验证；需求管理 2．软件设计体系结构；面向对象技术；实时软件的设计；用户界面设计。 3．软件开发 设计模式；软件复用；组件模型；内聚和耦合。
4．软件检验和验证 软件测试；测试自动化；软件检验；软件检验验证。 5．软件工程管理 软件过程及改进，软件生存期模型；软件度量；软件质量 6．软件工程新兴技术 二、“X”部分一一现代计算机网络 •评价目标：掌握计算机网络的基本概念、基本原理与技术；应用计算机网络理论知识分析问题与解决问题能力。 •试卷题型：填空题、选择题、简答题、计算与分析题。•参考书目：《计算机网络》第五版，谢希仁，电子工业出版社；《网络协议工程》，吴礼发，电子工业出版社，2011.4 。 针对专业特点，本课程主要考察考生对计算机网络了解、掌握的广度和深度。熟练掌握计算机网络基础、网络体系结构、局域网技术和拥塞控制等理论知识和实现技术。正确理解并解释协议工程基本概念和当前网络技术和研究前沿热点问题与应用的新概念和新技术。主要考察要点包括： 1.计算机网络基础计算机网络支持的业务及分类、业务流量特性（峰值速率、平均 速率、突发 性）、业务服务质量要求（QoS）;计算机网络的分类；数据通信基础知识，包括频谱、带宽、编码技术、复用、交换、传输等技术；各种传输介质的特性与应用。 2.网络体系结构 计算机网络体系结构基本原理、OSI 体系结构、TCP/IP 网络体系结；物理层：物理层接口特性、典型的物理层接口；数据链路层：成帧、差错检测和校正、基本数据链路协议、滑动窗口协议、数据链路层示例；网络层：网络层设计的有关问题、路由选择算法、网络互联、移动IP 技术；传输层：传输服务、传输协议的要素、简单的传输协议、因特网传输（TCP/UDP）;应用层：DNS（域名系统）、SNMP （简单网络协议）、多媒体通信协议等。 3.局域网技术 介质访问子层控制技术：信道分配、多路访问协议；IEEE802 标准；网桥、高速LAN ；无线局域网技术。 4. 拥塞控制资源分配中的问题、排队原则；拥塞避免与控制机制。 5. 协议工程协议工程基本概念；协议描述与验证等方法。
2009中国计量学院研究生矩阵论试卷及解答
中国计量学院研究生2009 ~ 2010 学年第 1 学期 1.求矩阵Jordan 标准形：⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0010 000100010000A . 解： ()⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-332211110100000000101 0001001000λλλλλλλλλλλλλλλλA I 得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡=001010J .7'+3' 4.利用矩阵指数解微分方程：⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00)0()0(,10010212121x x e x x x x dt d t . 解 τττd e e e e x x t t t ⎰⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010001021100(4’) τττd e t t ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰11011010．(4’) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---⎰t t e t t e t d e t t t t 2/12/11011101220τττ.(2') 5 n(>3)阶矩阵A 的最小多项式)1()(2-=λλλψ，计算At e （用A 的一、二次幂表示）. 解 由 ),()(),(t r t q e t λλψλλ+=，10012,1,b t b b b b e t ==++=，(5’) 求得,12--=t e b t ，I tA A t e e t At ++--=2)1(．(5’) 6.已知矩阵⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=102202112A ，计算Doolittle 分解.
中国矿业大学2012研究生矩阵论试题与答案
12级硕士研究生课程考试试题与参考答案 一（15分）在3R 中的线性变换T 将基11=11α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，20=21α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，31=01α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭变为基11=10β⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， 20=11β⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，30=32β⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ， （1）求线性变换T 在基123ααα，，下的表示矩阵A ； （2）求向量(1,2,3)T ξ=及()T ξ在基123ααα，，下的坐标。 解：（1）由123123123(,,)(,,)(,,)T A βββαααααα==知： 1123123(,,)(,,)A αααβββ-= 1 101100212100111120113101113112111012112012011---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--------⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 。 （2）设112323(,,)x x x ξααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11 21233212110(,,)1012411239x x x αααξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()T ξ在基123ααα，，下的坐标：112233233213y x y A x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。 二（15分）已知301121101A ⎛⎫ ⎪ =-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ， （1）求A 的最小多项式()m λ及At e ；
（2）求微分方程组d () ()d (0)(1,1,1) T x t Ax t t x ⎧=⎪ ⎨⎪=⎩的解。 解：（1）3 (2)I A λλ-=-，A 的最小多项式2 ()(2)m λλ=-； 设()()()t f e m g a b λλλλλ==++，()t f te λλ'=， 由22(2)2(2)2t t f e a b f te ⎧==+⎪⎨'==⎪⎩得：22(12)t t a te b t e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，210101At t t t e aA bI e t t t t +⎛⎫ ⎪=+=-- ⎪ ⎪ --⎝⎭； （2）2012()1212At t t x t e x e t t +⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭ 。 三（15分）设0.10.70.30.6A ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ， （1）计算1A ,A ∞,F A ； （2）判断矩阵幂级数 k k A ∞ =∑是否收敛，若收敛，求其和。 解：（1）1 1.3A =，0.9A ∞ = ，F A = （2）因为0.91A ∞ =<，所以，矩阵幂级数0 k k A ∞ =∑是收敛，且 10 0.40.71()0.30.90.15k k A I A ∞ -=⎛⎫ =-= ⎪⎝⎭ ∑。 四（15分）已知101001111011A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ， （1）利用A 的满秩分解求广义逆矩阵+ A ； （2）求无解方程组AX b =的最小二乘解以及极小范数最小二乘解。
华北电力大学矩阵论考题2014
华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 一、 判断题（正确的请画○,错误的请画X ）（每小题2分，共10分） 1. 在n R 中，设),,,(),,,,(2121n n ηηηβξξξα ==，定义实数 ∑∑===n j j n i i 1 1 ))((),(ηξβα，则),(βα是n R 中的内积。 （X ） 2. 设n n ij a A ⨯=)(，且1>n ，则实数j i j i a A ,,max =是n n C ⨯中的矩阵范数。(X) 3.100()000A λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=λλλ0010001)(B 是两个-λ矩阵，则()A λ与()B λ等价. (X) 4.设n n C A ⨯∈,则2 1)(-∞ =-=∑A E A nA n n (○) 5. 设m H 是n 阶Householder 矩阵，m n E -是n-m 阶单位阵（m n >）,则 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=-m n m n E O O H H 是n 阶Householder 矩阵。(○) 二、填空题（每小题3分，共18分） 6.若A 的谱为{})3,0(),2,4(),1,2(-=A σ，则矩阵A 的谱半径为__4__. 7.已知向量11,⨯⨯n m y x ，且12 2 ==y x ， =⊗2 y x ____1___ . 8. 设n m C A ⨯∈，{}1A A ∈- 是A 的一个减号逆，则)cos(A A - π= A A E --2 9. 设m x x x ,,21)1(>m 是n R 中两两正交的单位列向量， ),,,(21m x x x A =，则+A = T A . 10. 设55⨯实对称矩阵A 满足0)2(3 =-E A A ,A 的秩为3，则 A J o r d a n 标
学年工科硕士研究生期末考试矩阵论试题
武汉大学数学与统计学院 2005-2006学年工科硕士研究生学位课程期末考试 《矩阵论》 试题 (A 卷，150分钟) 专业 电气工程 班号 姓名 学号 注：所有的答题内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方的一律无效；交卷时将试 卷连同答题纸、草稿纸一并上交。 一、 是非题(满分12“√”,否则打“×”) (√A 是n m ⨯的实矩阵，x 为n 维向量，则⇔=0Ax A T 0=Ax ； ()()212200 * 0*0 00 T T T m j m jm ji A Ax x A Ax Ax a a a Y Ax ⨯=∴==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⇔=⇔==∑∑T ij m n j=1 j=1令Y=（y ），则Y Y=0 ，即 ( × ) 2.设n 阶方阵A 满足E A =2，则A 的特征值只能是1； 也可能是-1，如令1001A ⎛⎫ = ⎪-⎝⎭ 证明： 211111 1 1 A E A A Ax x A Ax A x x A x Ax Ax x λλλλλλλ λ ----=⇒==⇒=⇒==⇒= ⇒ =⇒=± (√ ) 3.欧氏空间n R 上的任意两种向量范数都是等价的； 在线性空间中所任意两种范数等价 而欧氏空间是一种特殊的线性空间 (√ ) 4.设A 为n m ⨯矩阵，B 为n 阶可逆方阵，则---=A B AB 1)(.
()()()111 ()AB B A AB ABB A AB AA AB AB AB B A ------ -- ===∴= 二、 填空题(本题满分12分,每空3分). 设有三个四维向量T T T Z Y X )3,1,1,2(,)1,1,1,1(,)1,1,1,1(=--=-=.则它们的2-范数分别为=2 X 2 ; =2 Y 2 ; 2Z 且与Z Y X ,,都正交的 所有向量为 (4013)k -. 即求1234111101111021130x x x x ⎛⎫ -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝⎭ 的解。 三、(本题满分12分, 每小题6分)设n 阶方阵A 满足A A =2. 1.试利用滿秩分解证明 n E A rank A rank ≥-+)()(； 证法1：（利用秩的性质证明） ()()()()()()n +=+≥==rank A rank A-E rank A rank E-A rank A+E-A rank E 证法2：（利用满秩分解证明） ()()()() ()()()()()() ()()()()112212121 121211222A A=F G F G F ,F F F G F |F F |F F G F G G E A rank A rank rank E A rank rank A rank A E rank A rank E A rank rank rank rank rank rank A E A n -==-=∴+-=+-=+⎛⎫ ⎛⎫≥≥=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭ 令，E-A 的满秩分解分别为：，则有 2.进而证明 n E A rank A rank =-+)()(. ()()()()()()()()()20 A A A A E n n n n -=-=∴⇒+≤+≤+≥∴+=由 若A,B 为n 阶方阵，且AB=0rank A rank B 得 rank A rank A-E 又由（1）的结果知rank A rank A-E rank A rank A-E 四、(本题满分12分)常见的矩阵分解有哪些?试求矩阵 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=340430241A 的谱分解. 答：常见的矩阵分解有：三角分解，正交三角分解，谱分解，满秩分解，奇异值分解和极分解 ()()()()551f λλλλ=+--，1235,5,1λλλ==-=
矩阵论在神经网络中的应用详解
矩阵论论文 论文题目：矩阵微分在BP神经网络中的应用 姓名: 崔义新 学号: 20140830 院（系、部）: 数学与信息技术学院 专业: 数学 班级: 2014级数学研究生 导师: 花强 完成时间: 2015 年 6 月
摘要 矩阵微分是矩阵论中的一部分，是实数微分的扩展和推广.因此，矩阵微分具有与实数微分的相类似定义与性质.矩阵微分作为矩阵论中的基础部分，在许多领域都有应用，如矩阵函数求解，神经网络等等. BP网络，即反向传播网络(Back-Propagation Network）是一种多层前向反馈神经网络，它是将W-H学习规则一般化，对非线性可微分函数进行权值训练的多层网络. 它使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小.在其向前传播的过程中利用了矩阵的乘法原理，反传的过程中则是利用最速下降法，即沿着误差性能函数的负梯度方向进行，因此利用了矩阵微分. 关键词:矩阵微分;BP神经网络;
前 言 矩阵微分(Matrix Differential)也称矩阵求导(Matrix Derivative)，在机器学习、图像处理、 最优化等领域的公式推导过程中经常用到.本文将对各种形式下的矩阵微分进行详细的推导. BP （Back Propagation ）神经网络是1986年由Rumelhart 和McCelland 为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一.BP 网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程.它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小.BP 神经网络模型拓扑结构包括输入层（input ）、隐层(hiddenlayer)和输出层(outputlayer). BP (Back Propagation)神经网络，即误差反传误差反向传播算法的学习过程，由信息的正向传播和误差的反向传播两个过程组成.输入层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传递给中间层各神经元；中间层是内部信息处理层，负责信息变换，根据信息变化能力的需求，中间层可以设计为单隐层或者多隐层结构；最后一个隐层传递到输出层各神经元的信息，经进一步处理后，完成一次学习的正向传播处理过程，由输出层向外界输出信息处理结果.当实际输出与期望输出不符时，进入 误差的反向传播阶段. 误差通过输出层，按误差梯度下降的方式修正各层权值，向隐层、输入层逐层反传.周而复始的信息正向传播和 误差反向传播过程，是各层权值不断调整的过程，也是神经网络学习训练的过程，此过程一直进行到网络输出的误差减少到可以接受的程度，或者预先设定的学习次数为止. 1 矩阵的微分 1.1 相对于向量的微分的定义 定义1 对于n 维向量函数，设函数 12 ()(,,,)n f f x x x =X 是以向量X 为自变量的 数量函数，即以n 个变量 x i 为自变量的数量函数. 我们将列向量 1n f x f x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦ 叫做数量函数f 对列向量X 的导数， 记作 1n f x df f f d f x ∂⎡⎤ ⎢⎥∂⎢⎥= = =∇⎢⎥⎢⎥ ∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦ grad X 12T n df f f f d x x x ⎡⎤ ∂∂∂=⎢ ⎥∂∂∂⎣⎦ X （1.1）
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三
习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==⎪⎭ ⎫ ⎝⎛00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==⨯m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ⨯=,)()(n n m ij m a A ⨯=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ⨯= 则 n n ji T a A ⨯=)(，,)(n n ij a A ⨯= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==⎪⎭ ⎫ ⎝⎛00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{} 1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==⨯m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ⨯= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，
[理学]研究生矩阵论及其应用课后答案习题一
习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A 是n 阶实数矩阵.A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数乘； （2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法； （3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘运算： ),,(),(),(ac d b c a d c b a +++=⊕)2 )1(,(),(2 a k k k b ka b a k -+ = （4）设R +是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算： ,k a b ab k a a ⊕== 其中,,a b R k R + ∈∈； （5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘； （6）设{}12sin sin 2sin ,,02k i V x x c t c t c kt c R t π==++ +∈≤≤，V 中 元素对于通常的加法与数乘，并证明：{}sin ,sin 2,,sin t t kt 是V 的一个基，试 确定i c 的方法. 解 （1）是. 令{} 矩阵为是实系数多项式，n n x f f V ⨯=A A )()(1.由矩阵的加法和数乘运算知, ),()(),()()(A A A A A d kf h g f ==+ 其中k 为实数，)(),(),(x d x h x f 是实系数多项式.1V 中含有A 的零多项式，为1V 的零元素.)(A f 有负元1)(V f ∈-A .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故1V 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间. （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭. （3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.
