二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质
第1课时
教学目标：
知识与技能：能熟练地将二次函数一般式化为顶点式，并能求出它的顶点坐标，对称轴. 过程与方法：经历一般式化为顶点式的过程，进一步体会转化的数学思想.
情感态度与价值观：在学生探究问题的过程中，发展学生合作意识，培养刻苦钻研的精神. 教学重难点：
重点：会熟练求出二次函数一般式c bx ax y ++=2的顶点坐标、对称轴.
难点：会用配方法或公式法将一般式c bx ax y ++=2化成顶点式()k h x a y +-=2
教学过程：
一、温故知新：
填空：回顾()k h x a y +-=2
的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 二、探究新知：
我们已经知道()k h x a y +-=2的图像和性质，能否利用这些知识来讨论262
12+-=x x y 的图像和性质呢？
问题1 怎样将262
12+-=
x x y 化成()k h x a y +-=2的形式？（学生思考回答，教师引导完成配方）.
问题2 怎么去画出26212+-=x x y 的函数图象？ 学生思考回答：1.平移及过程，教师演示平移动画（几何画板）；2.直接作图：列表、描点、连线，教师演示画图过程.
归纳：1.262
12+-=x x y 的图象的性质 开口方向： 对称轴： 定点坐标： 增减性： 图象： 2.二次函数2621
2+-=x x y 图象的画法：
①化：化为顶点式；②定：开口方向、对称轴、顶点坐标；③画：列表、描点、连线. 问题3 你能把c bx ax y ++=2配成()k h x a y +-=2
的形式吗？ 学生活动，教师指导，集体订正.
结论：c bx ax y ++=2→a b ac a b x a y 44222
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
对比顶点式，你能说出c bx ax y ++=2的对称轴、顶点坐标吗？
归纳：c bx ax y ++=2的图象和性质
观看趣味视频：从一般式到顶点式
三、例题解析： 写出抛物线c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标
开口方向 对称轴
顶点坐标
（1）x x y 232+=
（2）x x y 22--=+2
四、课堂小结：
1.同学们，这节课的学习你有哪些收获呢？
学生自行归纳总结
2.知识框架图
五、提升训练：
练习册28页例3及变式训练
六、教学反思：
教学流程设计合理，教学过程学生反馈较好，但是未能及时对部分学困生进行辅导，学生动手操作的时间较少，应对部分环节进行处理，突出学生学习的主体性。
《2.2.2 二次函数的性质与图象》教学设计 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第二章第二节第二课（2.2.2）《二次函数的性质与图象》。关于《二次函数的性质与图象》在初中已经学习过，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。二次函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习其他初等函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以二次函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，只是像单调性、对称性、零点这种性质还没有规范，课本给出的三个例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点： （1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 （2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 （3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标 根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是： 1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。 2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。 3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。五、教学重点与难点 教学重点：使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法 教学难点：借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。 六、教学过程： （一）创设情景、提出问题 本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象，并指出如何得到函数的相关性质。学生在初中学习的基础上很容易就完成。就在学生回答后，教师提出一个让大家意想不到的问题：既然大家已经学习也掌握了二次函数的图象和性质，那我们今天还有必要再重复吗？编者的失误？还是另有用意呢？ 【设计意图：一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师再次设问，把问题引向深入。】
初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a
二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质 第1课时 教学目标： 知识与技能：能熟练地将二次函数一般式化为顶点式，并能求出它的顶点坐标，对称轴. 过程与方法：经历一般式化为顶点式的过程，进一步体会转化的数学思想. 情感态度与价值观：在学生探究问题的过程中，发展学生合作意识，培养刻苦钻研的精神. 教学重难点： 重点：会熟练求出二次函数一般式c bx ax y ++=2的顶点坐标、对称轴. 难点：会用配方法或公式法将一般式c bx ax y ++=2化成顶点式()k h x a y +-=2 教学过程： 一、温故知新： 填空：回顾()k h x a y +-=2 的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 二、探究新知： 我们已经知道()k h x a y +-=2的图像和性质，能否利用这些知识来讨论262 12+-=x x y 的图像和性质呢？ 问题1 怎样将262 12+-= x x y 化成()k h x a y +-=2的形式？（学生思考回答，教师引导完成配方）. 问题2 怎么去画出26212+-=x x y 的函数图象？ 学生思考回答：1.平移及过程，教师演示平移动画（几何画板）；2.直接作图：列表、描点、连线，教师演示画图过程. 归纳：1.262 12+-=x x y 的图象的性质 开口方向： 对称轴： 定点坐标： 增减性： 图象： 2.二次函数2621 2+-=x x y 图象的画法： ①化：化为顶点式；②定：开口方向、对称轴、顶点坐标；③画：列表、描点、连线. 问题3 你能把c bx ax y ++=2配成()k h x a y +-=2 的形式吗？ 学生活动，教师指导，集体订正. 结论：c bx ax y ++=2→a b ac a b x a y 44222 -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
课题：二次函数2 =+的图象和性质 y ax k （教案） 教材：新人教版九年级上册第二十二章第一节第三小节 主讲教师：汕尾市城区田家炳中学香洲学校刘日文 2016年9月29日
一、 教学目标 知识与技能：使学生掌握二次函数2 y ax k =+的图象的作法及性质，进一步了解二次函数 2y ax = 与二次函数2y ax k =+图象的位置关系； 过程与方法：经历作图过程，探索其性质，向学生渗透数形结合的数学思想方法。 情感态度与价值观：在动手操作过程中，培养学生的发现问题和解决问题的能力，培养学生 的观察，抽象，概括的能力，培养学生成功感，审美感。 二、教学重点、难点 教学重点：探究2 y ax k =+这类函数的图象和2 y ax =的图象的关系。 教学难点：二次函数的图像的上下平移规律及性质的归纳。 三、教学方法与教学手段 教学方法：启发式教学，讲练结合，让学生从感性认识上升到理性认识，体会知识的由来。 教学手段：多媒体 四、教学过程 （一）创设情境，引出问题 同学们还记得一次函数2y x =与21y x =+的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2 y x =与2 1y x =+的图象之间的关系吗？ 在学生知识的“最近发展区”设置问题——一次函数的图象之间的关系，类比探究二次函数，引导学生思考，培养学生的求知欲。 （二）动手操作，探索关系 【做一做】 在同一坐标系里画出下列函数2 1y x =+和2 1y x =-的图象（列表、描点、连线） ①列表 x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … 21y x =+ x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … 21y x =- ②描点
《二次函数y=ax 2+bx+c 的图像和性质》教学设计 二次函数y=ax 2 +bx+学习了一次函数与反比例函数后的进一步学习，也是以后高中学习函数的重要基础。本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，尤其是已经学习了二次函数 y=ax 2 +c 的图象与特征后，进一步经历探索二次函数图象特征的过程。 【知识与能力目标】 使学生掌握画出函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象的方法； 【过程与方法目标】 通过经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，培养主动探索的良好学习习惯； 【情感态度价值观目标】 在教学中渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。 【教学重点】 用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。 【教学难点】 理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b/2a 、(－b/2a ，4ac －b2/4a) 。 课前准备 多媒体课件等。 教学过程 一、回顾知识 二次函数k m x a y ++=2)(的图象和2 ax y =的图象之间的关系。 2ax y =(0≠a )的图象，当m>0时，向左平移m 个单位，当m<0时，向右平移|m|个单位转变为y=a(x+m)2的图象，当k>0时，向上平移k 个单位，当k<0时，向下平移|k|个单位转变为k m x a y ++=2 )(的图象。 二、问题引入
对于函数122+--=x x y ，请回答下列问题： （1）对于函数122+--=x x y 的图象可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ （2）函数图象的对称轴、顶点坐标各是什么？ 思路：把122+--=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式。 =[][]2)1(2)1(2)12()12(2 222+--=-+-=-++-=-+-x x x x x x 在2)1(2+--=x y 中， m 、k 分别是什么？从而可以确定由什么函数的图象经怎样的平移得到的？ 三、探索二次函数c bx ax y ++=2的图象特征 1、问题：对于二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0 )的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y =ax ²+bx +c 转化为y = a (x +m )2 +k 的形式？ c bx ax y ++=2 =a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222 -++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图象与函数2 ax y =的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。 2、二次函数c bx ax y ++=2的图象特征。 （1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x =a b 2-，顶点坐标是为(a b 2-，a b a c 442 -) （3）当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当a <0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 四、巩固知识 1、例1、当x 取何值时，二次函数y=2x 2-8x+1有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？ 有由学生自己完成.师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者公式法。 2、例2、函数y=-3x 2+12x-16的图象能否由函数y=-3x 2的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移过程，并画示意图； 说出函数图象的对称轴和顶点坐标。 3.练习题 已知函数211322 =--+y x x ，当x 为何值时，函数值y 随自变量的值的增大而减小.
《二次函数的图像和性质》教学设计 一、教学分析 （一）教学内容分析 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质是冀教版九年级数学下册第三十四章第三节第二课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax2的图像和性质之后引入的新内容。本节课的教学内容既是对y=ax2的图像和性质的引申，也是后面研究一般形式的二次函数图像性质的基础。所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。 （二）教学对象分析 九年级的学生在前面的学习过程中已经接触过一次函数和反比例函数的内容，从学习情况看，他们对函数的理解和掌握情况并不理想。通过课下的了解，学生们对二次函数有一定的畏难情绪，对学习非常的不利。所以我们在教学过程中，要想方设法的调动学生的积极性，帮助他们突破难点。 （三）教学环境分析 我校共配备一个网络教室和三个多媒体教室，其中九年级教室均安装有多媒体设备。为了本节课教学的方便，讲课安排在教室进行。 二、教学目标 （一）知识与技能： 能够准确绘制二次函数图像；通过图像发现和研究顶点式二次函数的性质。 （二）过程与方法： 经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合的数学思想在数学中的应用。 （三）情感、态度与价值观： 经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。 三、教学重难点 教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索顶点式二次函数的图像特点和性质。 教学难点：顶点式二次函数的图像特点和性质的得出过程。 四、教学过程
附：板书设计 二次函数的图像和性质抛物线2 =-+(a≠0)具有如下性质： () y a x h k
课题：二次函数 y=ax 2的图象和性质 一、 教学目标 1.会利用描点法作出二次函数y=x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x 2 的性质； 2.经历画二次函数y=x 2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验； 3.培养学生利用数形结合的思想研究二次函数y=ax 2的图象、性质，提高学生观察、分析、比较、概括等能力. 二、 教学重难点 1.教学重点：二次函数2 ax y =的图象的作法和性质； 2.教学难点：认识二次函数的图象是一条抛物线； 由特殊的二次函数的图象特征及性质推广到一般的情形. 三、教学过程设计 （一）课前预习，引入新知 请你在同一直角坐标系中，用描点法画出函数2y x =，212 y x = ，22y x =的图象，并观察图象， 找出它们的异同. 设计意图：进一步巩固描点法画函数图象的方法，并初步体会二次函数图象的形状及特征. （二）合作交流，探究新知 1．展示预习作业 问题1：请大家认真观察这些作品，并思考在列表和画图中还有哪些需要改善的地方？
问题2：这三个同学画出的二次函数的图象形状都不一样，哪个同学画的更准确一些？我们如何得到二次函 数准确的图象？ 老师借助几何画板，通过描更多的点，得到二次函数2 y x =的准确图象，并引出我们将像这样的图象称为抛物线，这条曲线也叫做抛物线y=x 2. 设计意图: 让学生带着“解决问题”的目的去主动操作，在实践中积极建构对新知识的理解.几何画板的操作更严谨的说明了二次函数图象的形状特征. 2．探究二次函数的图象特征及其性质 问题1：由一次函数的学习经验，我们知道根据图象讨论性质是我们数形结合的研究函数的重要的方法。请 你认真观察这3条抛物线，它们有什么共同点？又有什么不同的地方呢？（学生一边说，老师一边板书，并且按照“开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标、增减性”书写） 问题2：请你在同一直角坐标系中，用描点法画出函数2y x =-，212 y x =- ，22y x =-的图象，并结合刚刚归纳的结论思考，你现在描点有没有更快捷的方法？ （用手机同频展示一个同学的作品，要学生再次“找茬”，并肯定做的好的地方，进一步规范学生 的作图习惯，再要求学生依次讲出这三条抛物线的异同之处） 问题3：我们刚刚得出的这两组二次函数的图象特征及性质能推广到一般的情形吗？ （利用几何画板的操作，通过改变a 的值生成一系列的抛物线，给学生以直观的认知，并总结归纳二 次函数2ax y =图象特征及性质，还要引导学生去发现抛物线2ax y =与抛物线2y ax =-的对称性） 设计意图:手机同频功能直观地展示学生的作品，提高了教学的效率；几何画板的动画操作非常直观地展示了图形的不同类别，帮助学生迅速获取图象特征及其性质. （三） 课堂练习，夯实新知 1．判断下列函数图象的开口方向： （1）y =5x 2 （2）y =-3x 2 （3） （4） 2．上述四个函数图象的开口大小由大到小排列为： 3．上述哪些函数的图象，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而减小？ 哪些函数的图象，当x <0时，y 随x 的增大而减小？ 设计意图：通过这三道题的练习，让学生体会在二次函数2ax y =中，a 的符号和大小共同决定了它的图象特征及其性质，并进一步体会数形结合的思想方法． （四）释疑解惑，内化新知 232y x =-2y =
二次函数y＝ax2的图象和性质 课题： 22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质．课时 1 课时 教学设计 课标要求1．会用描点法画出形如y＝ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念．2．通过观察图象能说出二次函数y＝ax2的图象和性质． 教材及学情分析 1、教材分析： 二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。 2、学情分析 九年级的学生，在讲本节课之前，已经学习了一次函数的概念、图像和性质，从知识结构上看他们已经具备了继续探究二次函数的图像和性质的基础。学生自主探究和合作交流的能力较强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有较大提高。但也有一些问题，求函数的解析式、由函数图象得出有用的信息的能力有待提高。 课时教学目标 1．会用描点法画出形如y＝ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念．2．通过观察图象能说出二次函数y＝ax2的图象和性质． 3．在探究二次函数y＝ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数 图象和性质的基本方法和数形结合的思想． 重点二次函数y＝ax2图象的描绘和图象特征的归纳． 难点选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象，该过程较为复杂．教法学 法 指导 启发法发现法练习法 教具 准备 课件
教学过程提要 环节 学生要解决的问 题或完成的任务 师生活动设计意图 引入新课一、导入复习1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是 如何研究的? 先画出一次函数的图象，然后观察、分析、 归纳得到一次函数的性质． 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研 究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? 为研究二次函 数的图像和性质 做铺垫
教学目标： （1 （2 教学重点： 围。 教学难点： 教学过程： 一、问题引新 1. 的另一边BC 2．x 3．我们发现，当于多少 1、引导学生看书 2、观察概括 y=6x2 以上 3、二次函数定义函数，a 4、课堂练习 （1） (口答) (1)y=5x＋ (3)y=2x3－ （2）．P3 五、小结 六、作业 七、板书
八、教学反思： 22.1．2 二次函数y=ax2的图象和性质 教学目标： 1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象 教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，）
2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中， y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 三、总结：函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。 四、课堂练习：练习1、2、3、4。 五、作业： 1．画出函数y=1/2x2的图象? 2．写出函数y＝ax2具有哪些性质? 六、教学反思： 22.1.3 二次函数y＝ax2＋b的图象和性质 教学目标： 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。 2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.能画出二次函数y=ax2+k的图象； 2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系； 3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质. 【过程与方法】 通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象,感受它们与y=2x2的联系,并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别. 【情感态度与价值观】 在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中,进一步增强学生的数形结合意识,体会通过探究获得知识的乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时,共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系； 2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质. 【教学难点】
二次函数y=ax2+k的性质的基本应用. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等 六、教学过程 （一）导入新课 这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2） （二）探索新知 探究一二次函数y=ax2+k图象的画法 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作,画图,教师加以巡视,纠正画图过程中可能出现的失误,并引导他们进行分析,发现规律,获得感性认识. 1.列表:
2.描点,连线:（出示课件5） 教师问:抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6） 学生独立思考并整理. 出示课件7:例在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1,y=2x2-1的图象. 学生自主操作,画图,教师加以巡视. 解:先列表:
教学设计 人教版·数学九年级上册第二十二章第一节 《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》 宁夏石嘴山市八中陈慧 二○一九年十月
一、教学内容分析 1、教材的地位与作用 从教学内容分析：本节课是新人教版数学，九年级上册第二十二章二次函数第一节二次函数的图象和性质第四课时的内容，本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质的基础上对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c向y=a(x-h)2+k转化，体会知识之间的内在联系。本节课的学习也为后续研究二次函数与一元二次方程关系，以及用二次函数解决实际问题提供知识基础。同时，二次函数是初高中衔接的重要知识，对高中学习函数有很大的帮助。因此，二次函数图象和性质的学习在本章当中起着承上启下的作用。 从教材的编写和意图分析：《数学课程标准2011版》第30页明确提出：“会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质”“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；” 二、教学目标 结合学生认知基础以及教学内容特点，依据《数学课程标准2011版》确立本节课的教学目标为： （1）将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为y=a(x-h)2+k的形式并借助它来研究函数的图象和性质。 （2）经历探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，并理解相关性质。（3）在探索二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的过程中，感悟二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.
22.1.2 二次函数2ax y =的图象和性质 一、教学目标 （一）学习目标 1．会用描点法画出形如y=ax 2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y=ax 2的图象特征和性质； 3．在类比探究二次函数 y=ax 2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想． （二）学习重点 会画二次函数y=ax²的图象，理解其图象特征和性质． （三）学习难点 用描点法画二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）二次函数y=ax 2 ，当a>0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向上； ②原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y 有最小值0； ③图象是轴对称图形，对称轴是y 轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右下降，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右上升，y 随x 的增大而增大. （2）二次函数y=ax 2 ，当a<0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向下； ②原点（0,0）是图象的顶点，也是最高点，当x=0时，函数y 有最大值0； ③图象是轴对称图形，对称轴是y 轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右上升，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右下降，y 随x 的增大而减小. 2．预习自测 1.二次函数26x y =的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标________，当 x_______时，y 随x 的增大而增大，当x_______时，y 随x 的增大而减小， 当x=______时，y 有最______值,为 ．
21.2二次函数的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质 教学目标 【知识与技能】 使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质. 【过程与方法】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质. 重点难点 【重点】 使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象. 【难点】 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么? (一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.) 2.画函数图象的一般步骤是什么? 一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线). 3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质? (运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.) 二、新课教授 【例1】画出二次函数y=x2的图象. (2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y). (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题: (1)二次函数y=x2的图象是什么形状? (2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价. 函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数 的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2. 由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称 轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛 物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. 【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象. 思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.
第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3.通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 4.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 【教学重点】 结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 【教学难点】 1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 一、情境导入，初步认识 问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x 之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？ 问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？ 问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
二、思考探究，获取新知 全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给 予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=12 n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t ，第三年产量为20(1+x)(1+x)t ，得到y=20（1+x)2. 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一. 思考函数y=6x 2，m=12n 2-12 n,y=20x 2+40x+20有哪些共同点？ 【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习. 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数.其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 【教学说明】 针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x 的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a ≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax 2,二次项系数则仅是指a 的值；同样，一次项与一次项系数也不同. 教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习. 三、运用新知，深化理解 1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）y=(x+2)(x-2); (2)y=3x(2-x)+3x 2; (3)y=2 1x -2x+1;
第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排