人教版九年级数学上册 旋转几何综合专题练习(解析版)
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.阅读材料并解答下列问题:如图1,把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角
00)90(θ??<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy
规定:过点P 作y 轴的平行线,交x 轴于点A ,过点P 作x 轴的平行线,交y 轴于点B ,
若点A 在x 轴对应的实数为a ,点B 在y 轴对应的实数为b ,则称有序实数对(),a b 为点
P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标.如图2,在平面斜坐标系xOy 中,已知60θ?=,点P 的斜坐标是()3,6,点C 的斜坐标是()0,6.
(1)连接OP ,求线段OP 的长;
(2)将线段OP 绕点O 顺时针旋转60?到OQ (点Q 与点P 对应),求点Q 的斜坐标; (3)若点D 是直线OP 上一动点,在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心,DC 长为半径作
D ,当⊙D 与x 轴相切时,求点D 的斜坐标,
【答案】(1)37OP =2)点Q 的斜坐标为(9,3-);(3)点D 的斜坐标为:
(
3
2
,3)或(6,12). 【解析】 【分析】
(1)过点P 作PC ⊥OA ,垂足为C ,由平行线的性质,得∠PAC=60θ=?,由AP=6,则
AC=3,33PC =OP 的长度;
(2)根据题意,过点Q 作QE ∥OC ,QF ∥OB ,连接BQ ,由旋转的性质,得到OP=OQ ,∠COP=∠BOQ ,则△COP ≌△BOQ ,则BQ=CP=3,∠OCP=∠OBQ=120°,然后得到△BEQ 是等边三角形,则BE=EQ=BQ=3,则OE=9,OF=3,即可得到点Q 的斜坐标;
(3)根据题意,可分为两种情况进行分析:①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时,此时点D 是对角线的交点,求出点D 的坐标即可;②取OJ=JN=CJ ,构造直角三角
形OCN,作∠CJN的角平分线,与直线OP相交与点D,然后由所学的性质,求出点D的坐标即可.
【详解】
解:(1)如图,过点P作PC⊥OA,垂足为C,连接OP,
∵AP∥OB,
∴∠PAC=60
θ=?,
∵PC⊥OA,
∴∠PCA=90°,
∵点P的斜坐标是()
3,6,
∴OA=3,AP=6,
∴
1 cos60
2
AC
AP
?==,
∴3
AC=,
∴22
6333
PC=-=,336
OC=+=,
在Rt△OCP中,由勾股定理,得
22
6(33)37
OP=+=;
(2)根据题意,过点Q作QE∥OC,QF∥OB,连接BQ,如图:
由旋转的性质,得OP=OQ,∠POQ=60°,
∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°,
∴∠COP=∠BOQ,
∵OB=OC=6,
∴△COP≌△BOQ(SAS);
∴CP=BQ=3,∠OCP=∠OBQ=120°,
∴∠EBQ=60°,
∵EQ∥OC,
∴∠BEQ=60°,
∴△BEQ是等边三角形,
∴BE=EQ=BQ=3,
∴OE=6+3=9,OF=EQ=3,
∵点Q在第四象限,
∴点Q的斜坐标为(9,3 );
(3)①取OM=PC=3,则四边形OMPC是平行四边形,连接OP、CM,交点为D,如图:
由平行四边形的性质,得CD=DM,OD=PD,
∴点D为OP的中点,
∵点P的坐标为(3,6),
∴点D的坐标为(3
2
,3);
②取OJ=JN=CJ,则△OCN是直角三角形,
∵∠COJ=60°,
∴△OCJ是等边三角形,
∴∠CJN=120°,
作∠CJN的角平分线,与直线OP相交于点D,作DN⊥x轴,连接CD,如图:
∵CJ=JN ,∠CJD=∠NJD ,JP=JP , ∴△CJD ≌△NJD (SAS ), ∴∠JCD=∠JND=90°,
则由角平分线的性质定理,得CD=ND ; 过点D 作DI ∥x 轴,连接DJ , ∵∠DJN=∠COJ=60°, ∴OI ∥JD ,
∴四边形OJDI 是平行四边形, ∴ID=OJ=JN=OC=6,
在Rt △JDN 中,∠JDN=30°, ∴JD=2JN=12;
∴点D 的斜坐标为(6,12); 综合上述,点D 的斜坐标为:(3
2
,3)或(6,12). 【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质,解直角三角形,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是理解题意,正确寻找圆心D 的位置来解决问题,属于中考创新题型.注意运用分类讨论的思想进行解题.
2.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点(与点A 、B 、C 不重合),且始终保持BP BQ =,AQ QE ⊥,QE 交正方形外角平分线CE 于点E ,AE 交CD 于点F ,连结PQ .
(1)求证:APQ QCE ??≌;
(2)证明:DF BQ QF +=;
(3)设BQ x =,当x 为何值时,//QF CE ,并求出此时AQF ?的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)当2x =-+//QF CE ;
AQF S ?4=-+.
【解析】 【分析】
(1)判断出△PBQ 是等腰直角三角形,然后求出∠APQ=∠QCE=135°,再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ,再求出AP=CQ ,然后利用“角边角”证明即可; (2)根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ,判断出△AQE 是等腰直角三角形,将
ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得F AB '?,再证明()F AQ FAQ SAS '??≌;
(3)连结AC ,设QF
CE ,推出QCF ?是等腰直角三角形°,再证明
()ABQ ADF SAS ??≌,根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ,AQ AF =,
22.5QAB DAF ∠=∠=?,分别用x 表示出DF 、CF 、QF ,然后列出方程求出x ,再求出
△AQF 的面积. 【详解】
(1)∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB BC =,90B BCD DCM ∠=∠=∠=?, ∵BP BQ =,
∴PBQ ?是等腰直角三角形,AP QC =, ∴45BPQ ∠=?, ∴135APQ ∠=? ∵CE 平分DCM ∠, ∴45DCE ECM ∠=∠=?, ∴135QCE ∠=?, ∴135APQ QCE ∠=∠=?, ∵AQ QE ⊥,
∴90AQB CQE ∠+∠=?. ∵90AQB BAQ ∠+∠=?. ∴BAQ CQE ∠=∠. ∴()APQ QCE ASA ?≌. (2)由(1)知APQ QCE ??≌. ∴QA QE =. ∵90AQE ∠=?,
∴AQE ?是等腰直角三角形, ∴45QAE ∠=?.
∴45DAF QAB ∠+∠=?,
如图4,将ADF ?绕点A 顺时针旋转90?得F AB '?,
其中点D 与点B 重合,且点F '在直线BQ 上,
则45F AQ '∠=?,F A FA '=,AQ AQ =, ∴()F AQ FAQ SAS '??≌. ∴QF QF BQ DF '==+.
(3)连结AC ,若QF CE ,
则45FQC ECM ∠=∠=?. ∴QCF ?是等腰直角三角形, ∴2CF CQ x ==-, ∴DF BQ x ==.
∵AB AD =,90B D ∠=∠=?, ∴()ABQ ADF SAS ??≌.
∴AQ AF =,22.5QAB DAF ∠=∠=?, ∴AC 垂直平分QF ,
∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=?,2FQ QN =, ∴22FQ BQ x ==.
在Rt QCF ?中,根据勾股定理,得2
2
2
(2)(2)(2)x x x -+-=. 解这个方程,得1222x =-+ 2222x =--(舍去). 当22
2x =-+QF
CE .
此时,QCF QEF S S ??=,∴21
2
QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ?????+=+==, ∴()
2222111
222
AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ???=-=
-=- ()
222
112(2)4244222x x x x ??=
+--=?==-+?
?【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理的应用,难点在于(3)作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程.
3.请阅读下列材料:
问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=3,PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PB是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),从而得到∠BPC=∠AP′B=__________;,进而求出等边△ABC的边长为__________;
问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=5,BP=2,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
【答案】(17;(25
【解析】
试题分析:(1)利用旋转的性质,得到全等三角形.
(2)利用(1)中的解题思路,把△BPC,旋转,到△BP’A,连接PP’,BP’,容易证明△APP’是直角三角形,∠BP’E=45°,已知边BP’=BP2,BE=BP’=1,勾股定理可求得正方形边长.
(17
(2)将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP′A,则△BPC≌△BP′A.
∴AP′=PC=1,BP=BP′2;
连接PP′,在Rt△BP′P中,
∵BP=BP′2,∠PBP′=90°,
∴PP′=2,∠BP′P=45°;
在△AP′P中,AP′=1,PP′=2,AP5
∵2
22
+,即AP′2+PP′2=AP2;
125
∴△AP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°,
∴∠AP′B=135°,
∴∠B PC=∠AP′B=135°.
过点B作BE⊥AP′,交AP′的延长线于点E;则△BEP′是等腰直角三角形,
∴∠EP′B=45°,
∴EP′=BE=1,
∴AE=2;
∴在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=5;
∴∠BPC=135°,正方形边长为5.
点睛:本题利用题目中的原理迁移解决问题,解题利用了旋转的性质,一般利用正方形,等腰,等边三角形的隐含条件,构造全等三角形,把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.
4.(特例发现)如图1,在△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC 为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.求证:EP=FQ.
(延伸拓展)如图2,在△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,请思考HE与HF之间的数量关系,并直接写出你的结论.
(深入探究)如图3,在△ABC中,G是BC边上任意一点,以A为顶点,向△ABC外作任意△ABE和△ACF,射线GA交EF于点H.若∠EAB=∠AGB,∠FAC=∠AGC,AB=kAE,
AC=kAF,上一问的结论还成立吗?并证明你的结论.
(应用推广)在上一问的条件下,设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若△ABC为腰长等于4的等腰三角形,其中∠BAC=120°,且
∠IHJ=∠AGB=θ=60°,k=2;
求证:当∠IHJ在旋转过程中,△EMH、△HMN和△FNH均相似,并直接写出线段MN的最小值(请在答题卡的备用图中补全作图).
【答案】(1)证明参见解析;(2)HE=HF;(3)成立,证明参见解析;(4)证明参见解析,MN最小值为1.
【解析】
试题分析:(1)特例发现:易证△AEP≌△BAG,△AFQ≌△CAG,即可求得EP=AG,
FQ=AG,即可解题;(2)延伸拓展:过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.易证△ABG∽△EAP,△ACG∽△FAQ,得到PE=AG,FQ=AG,∴PE=FQ,然后证明
△EPH≌△FQH,即可得出HE=HF;(3)深入探究:判断△PEA∽△GAB,得到PE=AG,
△AQF∽△CGA,FQ=,得到FQ=AG,再判断△EPH≌△FQH,即可得出HE=HF;(4)应用推广:由前一个结论得到△AEF为正三角形,再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH,即可得出结论.
试题解析:(1)特例发现,如图:
∵∠PEA+∠PAE=90°,∠GAB+∠PAE=90°,∴∠PEA=∠GAB,
∵∠EPA=∠AGB,AE=AB,∴△PEA≌△GAB,∴PE=AG,同理,△QFA≌△GAC,
∴FQ=AG,∴PE=FQ;
(2)延伸拓展,如图:
∵∠PEA+∠PAE=90°,∠GAB+∠PAE=90°,∴∠PEA=∠GAB,∴∠EPA=∠AGB,
∴△PEA∽△GAB,∴,∵AB=kAE,∴,∴PE=AG,同理,
△QFA∽△GAC,∴,∵AC=kAF,∴FQ=AG,∴PE=FQ,∵EP∥FQ,
∴∠EPH=∠FQH,∵∠PHE=∠QHF,∴△EPH≌△FQH,∴HE=HF;
(3)深入探究,如图2,
在直线AG上取一点P,使得∠EPA═∠AGB,作FQ∥PE,∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB,∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB,∴∠EAP=∠ABG,∵∠EPA=∠AGB,∴△APE∽△BGA,
∴,∵AB=kAE,∴PE=AG,由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB,同理可得,
△AQF∽△CGA,∴,∵AC=kAF,∴FQ=AG,∴EP=FQ,∵EP∥FQ,
∴∠EPH=∠FQH,∵∠PHE=∠QHF,∴△EPH≌△FQH,∴HE=HF;
(4)应用推广,如图3,
在前面条件及结论,得到,点H是EF中点,∴AE=AF,∵∠EAB=∠AGB,
∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣(∠EAB+∠FAC)﹣∠BAC=60°,∴△AEF 为正三角形.又H为EF中点,∴∠EHM+∠IHJ=120°,∠IHJ+∠FHN=120°,
∴∠EHM=∠FHN.∵∠AEF=∠AFE,∴△HEM∽△HFN,∴,∵EH=FH,
∴,且∠MHN=∠HFN=60°,∴△MHN∽△HFN,∴△MHN∽△HFN∽△MEH,在△HMN中,∠MHN=60°,根据三角形中大边对大角,∴要MN最小,只有△HMN是等边三角形,∴∠AMN=60°,∵∠AEF=60°,MN∴MN∥EF,∵△AEF为等边三角形,∴MN为
△AEF的中位线,∴MN min=EF=×2=1.
考点:1.几何变换综合题;2.三角形全等及相似的判定性质.
5.如图1,正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE(AB<AE)在一条直线上,正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为. 在旋转过程中,两个正方形只有点A 重合,其它顶点均不重合,连接BE、DG.
(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时,求证:BE=DG;
(2)当点C在直线BE上时,连接FC,直接写出∠FCD 的度数;
(3)如图3,如果=45°,AB =2,AE=,求点G到BE的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2)45°或135°;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据正方形的性质可得AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,再求出
∠BAE=∠DAG,然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.
(2)当点C在直线BE上时,可知点E与C重合或G点C与重合,据此求解即可.
(3)根据和求解即可.
试题解析:(1)如图2,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAE+∠EAD=90°.
∵四边形AEFG是正方形,∴AE=AG,∠EAD+∠DAG=90°.
∴∠BAE=∠DAG..
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴BE=DG..
(2)如图,当点C在直线BE上时,可知点E与C重合或G点C与重合,此时∠FCD 的度数为45°或135°.
(3)如图3,连接GB、GE.
由已知α=45°,可知∠BAE=45°.
又∵GE为正方形AEFG的对角线,∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.
∵,∴GE =8.
∴.
过点B作BH⊥AE于点H.
∵AB=2,∴. ∴..
设点G到BE的距离为h.
∴.
∴.
∴点G到BE的距离为.
考点:1.旋转的性质;2.正方形的性质;3.全等三角形的判定和性质;4.平行的判定和性质;5.勾股定理;6.分类思想的应用.
6.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
操作发现
(1)某小组做了有一个角是120?的等腰三角形DAC和等边三角形GEB纸片,=,让两个三角形如图①放置,点C和点G重合,点D,点E在AB的同侧,AC DA DC
和GB在同一条直线上,点F为AB的中点,连接DF,EF,则DF和EF的数量关系与位置关系为:________;
数学思考
(2)在图①的基础上,将GEB绕着C点按顺时针方向旋转90?,如图②,试判断DF和EF的数量关系和位置关系,并说明理由;
类比探索
(3)①将GEB绕着点C任意方向旋转,如图③或图④,请问DF和EF的数量关系和位置关系改变了吗?无论改变与否,选择图③或图④进行证明;
②GEB绕着点C旋转的过程中,猜想DF与EF的数量关系和位置关系,用一句话表述:________.
【答案】(1)3EF DF =,DF EF ;
(2)3EF DF =,DF EF ,理由见解析;
(3)①3EF DF =,DF EF ;②旋转过程中3EF DF =,DF
EF 始终成立.
【解析】 【分析】
(1)由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ,过点E 作EN AB ⊥于点N ,利用等边三角形和中点性质设DM a =,2GB b =,结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解; (2)根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系,连接CF ,OB 与AE 交于点M ,并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析; (3)①根据题意延长DF 并截取FN DF =,连接NE ,连接NB 并延长交CE 于点P ,交DC 的延长线于点O ,连接DE ,并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明;
②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =,DF EF 始终成立.
【详解】
解:(1)3EF DF =,DF
EF ;
如解图,过点D 作DM AB ⊥于点M ,过点E 作EN AB ⊥于点N ,
AD CD =,EGB 为等边三角形. AM MC ∴=,GN BN =. 又点F 为AB 的中点, AF BF ∴=.
()1
2
MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴.
MF NC NB ∴==,CF CN FN AM +==.
设DM a =,2GB b =,
120ADC ∠=?,DA DC =,
3AM a ∴=,3FN a =,MF NC NB b ===. tan 33EGB NE GN GN b =?==∠.
在DMF 和FNE 中,
3
33DM FN a ==
, 3
33MF NE b
==
, 又
90DMF FNE ∠=∠=?, DMF FNE ∴∽.
MDF NFE ∴∠=∠,
3
DF DM FE FN ==
,即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=?,
90DFM NFE ∴∠+∠=?. 90DFE ∴∠=?.
3EF DF ∴=且DF
EF .
(2)3EF DF =,DF
EF .
理由如下:
如解图,连接CF ,OB 与AE 交于点M ,当旋转角是90?时,则90ACB ∠=?,在
Rt ACB △中,点F 是AB 的中点,
CF BF ∴=. 又CE EB =,
EF ∴垂直平分BC.同理,DF 垂直平分AC , ∴四边形LCMF 为矩形, 90DFE ∴∠=?.
DF EF ∴⊥,//AC EF .
DA DC =,120ADC =∠?,30DCA ∴∠=?. GEB 为等边三角形, 60ECB ∴∠=?.
∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^° ∴D ,C ,E 三点共线.
30DCA DEF ∴∠=∠=?.
∴在Rt
DEF △中,
3tan 3
3
DE DF F F E DF
=
==∠; (3)①3EF DF =,DF EF .
选择题图进行证明:
如解图,延长DF 并截取FN DF =,连接NE ,连接NB 并延长交CE 于点P ,交DC 的延长线于点O ,连接DE ,
在ADF 和BNF 中,
AF BF AFD BFN DF NF =??
∠=∠??=?
, ()SAS ADF BNF ∴?.
AD NB ∴=,ADF BNF ∠=∠. //AD NB ∴.
18060O ADC ∴∠=?-∠=?.
又CPO BPE ∠=∠,60O CEB ∠=∠=?, OCP OBE ∴∠=∠. DCE NBE ∴∠=∠. 又GEB 是等边三角形, GE BE ∴=,
又AD BN CD ==, ()SAS DCE NBE ∴?.
DE NE ∴=,BEN CED ∠=∠.
BEN BED CED BED ∴∠+∠=∠+∠, 即60NED BEC ∠=∠=?. DEN ∴是等边三角形. 又DF FN =,
DF EF ∴⊥,60FDE ∠=?.
tan 3E E F DF DF FD ∴∠=?=.
或选择图进行证明,证明如下:
如解图,延长DF 并延长到点N ,使得FN DF =,
连接NB ,DE ,NE ,NB 与CD 交于点O ,EB 与CD 相交于点J , 在ADF 和BNF 中,
AF BF AFD BFN DF NF =??
∠=∠??=?
, ()SAS ADF BNF ∴?.
AD NB ∴=,ADF BNF ∠=∠. //AD NB ∴.
120NOC ADC ∴∠=∠=?. 60BOJ ∴∠=?,60JEC ∠=?. 又OJB EJC ∠=∠, OBE ECJ ∴∠=∠.
AD CD =,AD NB =, CD NB ∴=. 又GEB 是等边三角形, CE BE ∴=.
()SAS DCE NBE ∴?.
DE NE ∴=,BEN CED ∠=∠.
BEN BED CED BED ∴∠-∠=∠-∠, 即60NED BEC ∠=∠=?. DEN ∴是等边三角形. 又DF FN =,
DF EF ∴⊥,60FDE ∠=?.
tan 3E E F DF DF FD ∴∠=?=.
②旋转过程中3EF DF =,DF EF 始终成立.
【点睛】
本题考查几何图形的综合探究题,难度大,运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.
错因分析:①未掌握旋转的性质,即旋转前后线段、角度均不变;②不能合理利用类比关系,由浅到深解决问题.
7.如图1,矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.
(1)求证:BE=CE
(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N.(如图2)
①求证:△BEM≌△CEN;
②若AB=2,求△BMN面积的最大值;
③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.
【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②2;③62
.
【解析】
【分析】
(1)只要证明△BAE≌△CDE即可;
(2)①利用(1)可知△EBC是等腰直角三角形,根据ASA即可证明;
②构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;
③如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=3m,EB=6m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题.
【详解】
(1)证明:如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠A=∠D=90°,
∵E是AD中点,
∴AE=DE,
∴△BAE≌△CDE,
∴BE=CE.
(2)①解:如图2中,
由(1)可知,△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=∠ECB=45°,
∵∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠EBM=∠ECN=45°,
∵∠MEN=∠BEC=90°,
∴∠BEM=∠CEN,
∵EB=EC,
∴△BEM≌△CEN;
②∵△BEM≌△CEN,
∴BM=CN,设BM=CN=x,则BN=4-x,
∴S△BMN=1
2
?x(4-x)=-
1
2
(x-2)2+2,
∵-1
2
<0,
∴x=2时,△BMN的面积最大,最大值为2.
③解:如图3中,作EH⊥BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=3m,EB=6m.
∴3(3m,
∵S△BEG=1
2
?EG?BN=
1
2
?BG?EH,
∴EH=3?(13)
m m
3+3
m,
在Rt△
EBH中,sin∠EBH=
3+3
62
2
6
m
EH
EB m
+
==
.
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,
8.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;
(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF2=2BE2+2DF2.
【解析】
试题分析:(1)根据旋转的性质可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可证△AEG≌△AEF;(2)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.由(1)知
△AEG≌△AEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,得出
CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出
EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2;
(3)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG,则DF=BG,再证明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换得到EF=BE+DF.
试题解析:(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,
∴AF=AG,∠FAG=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠GAE=45°,
在△AGE与△AFE中,
,
∴△AGE≌△AFE(SAS);
(2)设正方形ABCD的边长为a.
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.
则△ADF≌△ABG,DF=BG.
由(1)知△AEG≌△AEF,
∴EG=EF.
∵∠CEF=45°,
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,
∴CE=CF,BE=BM,NF=DF,
∴a﹣BE=a﹣DF,
∴BE=DF,
∴BE=BM=DF=BG,
∴∠BMG=45°,
∴∠GME=45°+45°=90°,
∴EG2=ME2+MG2,
∵EG=EF,MG=BM=DF=NF,
∴EF2=ME2+NF2;
(3)EF2=2BE2+2DF2.
如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.
由(1)知△AEH≌△AEF,
则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,
即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2
又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,即2(DF2+BE2)=EF2
九年级数学旋转几何综合专题练习(解析版) 一、初三数学旋转易错题压轴题(难) 1.探究:如图①和②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD 上,∠EAF=45°. (1)如图①,若∠B、∠ADC都是直角,把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,则能得EF=BE+DF,请写出推理过程; (2)如图②,若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足数量关系时,仍有 EF=BE+DF; (3)拓展:如图③,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的长. 【答案】(1)见解析;(2)∠B+∠D=180°;(3)5 3 【解析】 【分析】 (1)根据已知条件证明△EAF≌△GAF,进而得到EF=FG,即可得到答案; (2)先作辅助线,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,根据(1),要使EF=BE+DF,需证明△EAF≌△GAF,因此需证明F、D、G在一条直线上,即 180 ADG ADF ∠+∠=?,即180 B D ∠+∠=?; (3)先作辅助线,把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合,连接DF,根据已知条件证明△FAD≌△EAD,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3﹣x,然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值,即DE的长. 【详解】 (1)解:如图, ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合, ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG, ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠DAG+∠DAF=45°, 即∠EAF=∠GAF=45°, 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF(SAS), ∴EF=GF, ∵BE=DG, ∴EF=GF=BE+DF; (2)解:∠B+∠D=180°, 理由是: 如图,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,则AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG, ∵∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC+∠ADG=180°, ∴F、D、G在一条直线上, 和(1)类似,∠EAF=∠GAF=45°, 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF(SAS), ∴EF=GF, ∵BE=DG, ∴EF=GF=BE+DF; 故答案为:∠B+∠D=180°; (3)解:∵△ABC中,2BAC=90°, ∴∠ABC=∠C=45°,由勾股定理得:22 AB AC +,
初三数学旋转综合知识点检测题 一、选择题 1.将叶片图案旋转180°后,得到的图形是( ) 2.如图,在等腰直角△ABC中,B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于() °°°° 3.如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在位置,A 点落在位置,若,则的度数是( ) °°°° 4.在平面直角坐标系中,A点坐标为(3,4),将OA绕原点O逆时针旋转90°得 到OA′,则点A′的坐标是( ) A.(-4,3) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(4,-3) 5.在平面直角坐标系中,将点A1(6,1)向左平移4个单位到达点A2的位置,再向上平移3个单位到达点A3的位置,△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900,则旋转后A3的坐标为( ) A.(-2,1) B.(1,1) C.(-1,1) D.(5,1) 6.如图,8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O,对△ABC分别作下列变换: ①先以点A为中心顺时针方向旋转90°,再向右平移4格、向上平移4格; ②先以点O为中心作中心对称图形,再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°; ③先以直线MN为轴作轴对称图形,再向上平移4格,再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°. 其中,能将△ABC变换成△PQR的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 7.在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 8.如图,边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形, 图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.写出两个你熟悉的中心对称的几何图形名称,它们是____________. 10.如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为 _____________. 11.△ABC是等边三角形,点O是三条中线的交点,△ABC以点O为旋转中心,旋转____________度后能与原来的图形重合 12.如图,若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′,则A点 的对应点A′点的坐标是 _____________. 13.在平面直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得 点P1,延长OP1到点P2,使OP2=2OP1,再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3,则点P3的坐 标是__________.
几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形问题巧转换,变为三角或平四。 平移腰,移对角,两腰延长作出高。 如果出现腰中点,细心连上中位线。 上述方法不奏效,过腰中点全等造。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆形
半径与弦长计算,弦心距来中间站。 圆上若有一切线,切点圆心半径联。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等: 如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。
分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等: 如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180 分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形: 如图,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。 分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。四、角平分线+平行线: 如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。
最新初中数学几何题解题技巧 初中数学几何题解题技巧一.添辅助线有二种情况 1按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此"添线"应该叫做"补图"!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。举例如下: (1)平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是个简单的基本图形: 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形: 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整
时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 (6)全等三角形: 全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 (7)相似三角形: 相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形),相交线型,旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法。 (8)特殊角直角三角形
拔高专题:旋转变化中的压轴题 一、基本模型构建 探究点一:以三角形为基础的图形的旋转变换 例1:(2015?盘锦中考)如图1,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B 在线段AE 上,点C 在线段AD 上. (1)请直接写出线段BE 与线段CD 的关系: BE=CD ; (2)如图2,将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α(0<α<360°), ①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由; ②当AC= 1 2 ED 时,探究在△ABC 旋转的过程中,是否存在这样的角α,使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角α的度数;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,∴AB=AC ,AE=AD , ∴AE-AB=AD-AC ,∴BE=CD ; (2)①∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,∴AB=AC ,AE=AD , 由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD ,在△BAE 与△CAD 中,AB AC BAE CAD AE AD ? ∠?? ∠??===, ∴△BAE ≌△CAD (SAS ),∴BE=CD ;
②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ADC=45°,∵AC= 1 2 ED ,∴AC=CD ,∴∠CAD=45°,或360°-90°-45°=225°, ∴角α的度数是45°或225°. 等腰直角三角形的性质,等量代换,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,综合性较强 【变式训练】1. 如图①,在Rt △ABC 和Rt △EDC 中,∠ACB=∠ECD=90°,AC=EC=BC=DC ,AB 与EC 交于F ,ED 与AB 、BC 分别交于M 、H . (1)求证:CF=CH ; (2)如图②,Rt △ABC 不动,将Rt △EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时,判断四边形ACDM 的形状,并证明你的结论. (1)证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,AC=BC=CD=CE ,∴∠1=∠2=90°-∠BCE ,∠A=∠B=∠D=∠E=45°, 在△ACF 和△DCH 中,12A D AC CD ∠∠∠??∠? ?? ===,∴△ACF ≌△DCH ,∴CF=CH ; (2)四边形ACDM 是菱形,证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,∴∠1=∠2=90°-45°=45°, ∵∠A=∠D=45°,∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°,同理∠D+∠ACD=180°,∴AM ∥DC ,AC ∥DM , ∴四边形ACDM 是平行四边形,∵AC=CD ,∴四边形ACDM 是菱形. 【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置,除去对应线段和对应角相等外,里面也存在着相等的角,和全等三角形,在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。 探究点二 以四边形为基础的图形的旋转变换
几何最值问题大一统 追本溯源化繁为简 目有千万而纲为一,枝叶繁多而本为一。纲举则目张,执本而末从。如果只在细枝末节上下功夫,费了力气却讨不了好。学习就是不断地归一,最终以一心一理贯通万事万物,则达自由无碍之化境矣(呵呵,这境界有点高,慢慢来)。 关于几何最值问题研究的老师很多,本人以前也有文章论述,本文在此基础上再次进行归纳总结,把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗,以使解决此类问题时更加简单明晰。 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个:①[定点到定点]:两点之间,线段最短;②[定点到定线]:点线之间,垂线段最短。 由此派生:③[定点到定点]:三角形两边之和大于第三边;④[定线到定线]:平行线之间,垂线段最短;⑤[定点到定圆]:点圆之间,点心线截距最短(长);⑥[定线到定圆]:线圆之间,心垂线截距最短;⑦[定圆到定圆]:圆圆之间,连心线截距最短(长)。余不赘述,下面仅举一例证明:[定点到定圆]:点圆之间,点心线截距最短(长)。 已知⊙O半径为r,AO=d,P是⊙O上一点,求AP的最大值和最小值。 证明:由“两点之间,线段最短”得AP≤AO+PO,AO≤AP+PO,得d-r≤AP≤d+r,AP最小时点P在B处,最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”,其实质也是由“两点之间,线段最短”推得)。上面几种是解决相关问题的基本图形,所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式,如圆与线这些图形不是直接给出,而是以符合一定条件的动点的形式确定的;再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况:(1)直接包含基本图形;(2)动点路径待确定;(3)动线(定点)位置需变换。 (一)直接包含基本图形。 AD一定,所以D是定点,C是直线 的最短路径,求得当CD⊥AC时最短为 是定点,B'是动点,但题中未明确告知B'点的运动路径,所以需先确定B'点运动路径是什么图形,一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以为半径的圆弧,从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
九年级上数学《旋转》复习专题 班级:姓名: 【知识点梳理】 1、旋转:在平面内,将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做,转动的角度叫做。 练习1: 在右边四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.①②③④ B.③ C.①③ D.①③④ 练习2: 如图,该图形围绕自己的旋转中心,按下列角度旋转后,不能 ..与其自身重合的是() A.72° B.108° C.144° D.216° 练习 3: 如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( ) 2、旋转的性质 (1)对应点到的距离相等。 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于。 )旋转前后两个图形 练习4: 如图1,P是正△ABC内的一点,若将△PBC绕点B旋转到△P’BA,则∠PBP’的度数是() B.60° C.90° D.120° 练习5: ABCD是正方形,△ADE旋转后能与△ABF重合.则旋转中心是,旋转角等于度,如果连接EF,那么△AEF是
3 3 2 3、中心对称图形与中心对称: (1)中心对称图形:如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与自身重合,那么我们就说,这个图形成中心对称图形。 (2)中心对称:如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与重合,那么我们就说,这两个图形成中心对称。 注意:中心对称和中心对称图形的区别 (3)中心对称的性质: 关于中心对称的两个图形。 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过心,并且被心平分。关于中心对称的两个图形,对应线段(或者在同一直线上)且。 练习6:如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,BC=1,则BB’的长为() A.4 B. C. D. 3 3 4 4、坐标系中对称点的特征 (1)关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(,) (2)关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x,y的符号,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’() (3)关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y,,x的符号,即点)关于y轴的对称点为P’() 练习7:在平面直角坐标系中,点A的坐标是(﹣6,8),则点A关于x轴对称的点的坐标是,点A关于y轴对称的点的坐标是,点A关于原点对称的点的坐标是.【巩固练习】 一、选择题: 1、下列图形中,中心对称图形的是() A. B. C. D. 2、下列图形中,是轴对称图形而不是中心对称图形的是() A.等边三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 3、将方格纸中的图形(如图所示)绕点O沿顺时针方向旋转90°后,得到的图形是 30° A C B’ B C’ 3 3
1、在△ABC中,∠CAB=700,在同一平面内,?△将ABC试点A旋试到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,试∠BAB′=() A. 300 B. 350 C. 400 D. 500 2、△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP'重合,如果AP=3,那么线段PP'的长等于_________________________. 3、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上,连接BB′,则BB′的长度为___ 4、已知∠AOB=90°,点A绕点0顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上,点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上,点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上,…,连接AA1,AA2,AA3…,依此作法,则∠AA n A n+1等于_____度.(用含n的代数式表示,n为正整数) 5、已知△ABC是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△ABC绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是_____________________. 6、如图,P点是正方形ABCD内一点,△ABP经旋转后与△CBP'重合,旋转中心是点_____________,旋转了 ____________度,若PB=3,则△PBP/ 面积是_______________. 7、如图,在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC,若AB=√5,BC=1,则线段BE的长为_____________. 8、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后得到△EDC,此时点D在AB 边上,斜边DE交AC边于点F.则DC的长____________;旋转的角度_______________;图中阴影部分的面积 ________________.. 9、将边长为√3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′,则图中阴影部分面积为______ 10、如图是由三个叶片组成的,绕点O旋转120°后可以和自身重合,若每个叶片的面积为4cm2,∠AOB为120°,则图中阴影部分的面积之和为????cm2. 如图,已知P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,以点B为旋转中心,将△ABP沿顺时针方 向旋转,使点A与点C重合,这时P点旋转到G点. (1)请画出旋转后的图形,并说明此时△ABP以点B为旋转中心旋转了多少度? (2)求出PG的长度; (3)请你猜想△PGC的形状,并说明理由. 答案(找作业答案--->>上魔方格) 解:(1)旋转后的△BCG如图所示,旋转角为∠ABC=90°; (2)连接PG,由旋转的性质可知BP=BG,∠PBG=∠ABC=90°,
初中数学教学中几何解题思路分析 【摘要】平面几何在初中数学中一直占据着很重要的位置。而学生在对几何知识进行学习和掌握的过程中,最重要的一个部分就是能够应用到实践中进行解题。正像美国一位著名的数学家曾经所说过的那样:“数学这门学科,真正的组成部分就是问题和解题,在问题与解题中,解题就是数学的心脏所在。”学生在学习的过程中是否会解题,能否对一定的解题技巧与方法进行掌握对学生学习效果有直接的影响。对教师来说,学生对基本的解题能力进行掌握,也是“双基”教学的一个方面。在数学中对基本的解题方法和技巧进行注意,对学生的学习能力的提高无疑有着重要的促进作用,与此同时还能够对学生良好学习习惯的形成有推动作用。 【关键词】初中数学;教学;几何;解题思路; 对初中的几何教学来说,初中几何中的重要部分是解题技巧与规律教学。尤其是在初中几何的后期与复习阶段,通过对学生的几何解题技巧的培养,能够使学生对知识有系统性的掌握,同时能够培养其对知识进行灵活应用的能力。当然,处了解题技巧与规律的培养,还应该注意对学生思维能力的培养。只有思维能力得到提高,才能更好地掌握解题技巧与规律。下面我们通过具体的实例进行详细分析初中数学几何题的解题思路, 一、初中数学几何的解题技巧 1、对常见的题型与解题方法进行归纳总结 初中的几何题中,其实常见的题型并不多,所以这对经常见的几何题型与解题方法进行归纳与总结,是初中几何解题一个和实用的解题技巧。初中几何,证明题是最常见的,而证明题中,又以线段或角的一些关系的证明最为常见。对线段的关系的证明通常包括相等及其和差关系等的证明。在这些中,相等关系的证明是学生应该进行的基本掌握,对线段相等关系的证明,在思路与方法上常用的包括“三角形全等”、“比例线段”以及“等角对等边”和对中间量的过渡进行选取等思路。在这些方法中,“三角形全等”是最常用的,也是应该掌握的基本解题方法。对线段不等关系则一般常用“线段公理”,而对线段的和差及其它(如倍、分)关系,在解题过程中要注意使用截长、补短等技巧。对常见技巧进行掌握,能有效提高学生的解题效率。 2、注意对辅助线进行添加和使用 在对初中几何进行解题的过程中,除了要对常用的解题方法与规律进行掌握外,还要对辅助线的添加与使用加以关注。在初中几何题中,当直接解题出现障碍使,添加辅助线是常见的解题技巧,往往会让人产生一种“柳暗花明又一村”的感觉。对常见技巧进行掌握,能有效提高学生的解题效率。下面我们通过一道例题详细进行分析几何证明题的解题方法及技巧: 如下图所示,已知:在ABC ?中,?=∠90C ,BC AC =,DB AD =,BF AE =,求证:DF DE =,
D B 旋转 1、旋转的定义:把一个平面图形绕平面内 转动 就叫做图形的旋转。 旋转的三要素:旋转 ;旋转 ;旋转 旋转的基本性质: (1)对应点到 的距离相等。 (2)每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于 (3)旋转前后的两个图形是 2、 旋转作图基本步骤: ○ 1明确旋转三要素:______________、______________、_______________ ○ 2找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置。 ○ 3按原图形中各顶点的排列规律,将这些对应点连成一个新的图形。 3、中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转?180,如果它能够与 重合, 那么就说 关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。 性质:(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心 。 (2)中心对称的两个图形是 图形。 4、中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转?180,如果旋转后的图形能够与 完全重合,那么这个图形叫做中心对称图形。 中心对称、中心对称图形是两个不同的概念,它们既有区别又有联系。 区别:中心对称是针对 图形而言的,而中心对称图形指是 图形。 联系:把中心对称的两个图形看成一个“整体”,则成为 。把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”,则它们 。 5、 利用尺规作关于中心对称的图形: ○ 1明确对称中心的位置 ○ 2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性,分别找出原图形中各个关键点的对应点 ○ 3按原图形中各点的次序,将各对应点连接起来 6、点(x ,y )关于x 轴对称后是( , )
点( , )关于y 轴对称后是(-x ,y ) 点(x ,y )关于原点对称后是( , ) 第二部分:例题剖析 例题1、如图,根据要求画图. (1)把△ABC 向右平移5个方格,画出平移的图形. (2)以点B 为旋转中心,把△ABC 顺时针方向旋转90 度,画出旋转后的图形. 例题2、如图,已知P 是正方形ABCD 内一点,PA=1,PB=2, PC=3,以点B 为旋转中心,将△ABP 沿顺时针方向旋转, 使点A 与点C 重合,这时P 点旋转到G 点. (1)请画出旋转后的图形,并说明此时△ABP 以点B 为旋转中心旋转了多少度? (2)求出PG 的长度; (3)请你猜想△PGC 的形状,并说明理由. 第三部分:典型例题 例题1、如图,在画有方格图的平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点均 在格点上. (1)填空:△ABC 是 ________三角形,它的面积等于_______平方单 位; (2)将△ACB 绕点B 顺时针方向旋转90°,在方格图中用直尺画出旋转 后对应的△A′C′B ,则A′点的坐标是(, ),C′点的坐标是( , ). 【变式练习】 1、如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为A (-2,-1)、 B (-1,1)、 C (0,-2). (1)点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为_______ (2)将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△A 1B 1C ; (3)求过点B 1的反比例函数的解析式. 2、如图,在由边长为1的小正方形组成的方格纸中,有两个全等的 三角形,即111A B C △和222A B C △. (1)请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换,将111A B C △重 合到222A B C △上; (2)在方格纸中将111A B C △经过怎样的变换后可以与222A B C △成 中心对称图形?画出变换后的三角形并标出对称中心. 例题2、如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,点D 在BC 的延长线上,且BD=AB ,过点B 作BE ⊥AC ,
初三数学 旋转练习题 1、如图,在△ABC 中,∠B=900,∠C=300,AB=1,将△ABC 绕顶点 A 旋转1800,点C 落在C 1处,则C C 1的长为( ) A .24 B .4 C .32 D .52 2、如图,△ABC 中,∠ACB=1200,将它绕着点C 旋转300 后得到△DC E ,则∠ACE= ∠A+∠E= 3、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=35°,以直角顶点C?为旋转中心,将△ABC 旋转到 △A ′B ′C 的位置,其中A ′、B ′分别是A 、B 的对应点,且点B 在斜边A ′B ′上,直角边CA ′交AB 于D ,求∠BDC 的度数. 4,如图,正方形ABCD 中,E 在BC 上,F 在AB 上且∠FDE=45°, ?△DEC 按顺时针方向转动一个角度后成为△DGA . (1)图中哪一个点是旋转中心?(2)旋转了多少度? (3)指出图中的对应点,对应线段和对应角; (4)求∠GDF 的度数. 5、已知如图,正方形ABCD 中,E 为CD 边上一点,F 为BC 边上一点,CE=CF: (1)EBC FDC ∠∠与相等吗?(2)△DCF 能与△BCE 重合吗?(3)试判断BE 与DF 的位置 ,6.如图所示,四边形ABCD 中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD ,AE ⊥BC 于E ,△BEA 旋转后能与△DFA 重合. (1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?(3)若AE=5cm ,求四边形ABCD 的面积. E D C B A A B C B C C F E D B A
7,如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L,M,D在AK的同旁,连结BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系. ,8,.如图所示,等边△ABC中,D是AB边上的动点(不与A、B重合),以CD为一边,向上作等边△EDC。连结AE。⑴图中是否存在旋转关系的三角形,若有,请说出其旋转中心与旋转角,若没有,请说明理由。 ⑵求证: AE∥BC; ,9、如图,△ABC的直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长. 10,如图所示,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE都是等边三角形 ⑴图中是否存在旋转关系的三角形,若有,请说出其旋转中心与旋转角,若没有,请说明理由。 ⑵AE与BD的大小关系如何,并说明理由 ⑶图中还存在是旋转关系的三角形吗? 学习方法指导 同学们只要能做到以下几点你的学习一定能有突飞孟进的提高:上好每堂课,用好每一秒。
初二数学几何解题技巧 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。
【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。 【专题三】证明线段和的问题 (一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。(截长法) (二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。(补短法)
旋转基础练习一 一、选择题 1.在26个英文大写字母中,通过旋转180°后能与原字母重合的有 () A.6个B.7个C.8个 D.9个 2.从5点15分到5点20分,分针旋转的度数为 () A.20°B.26°C.30° D.36° 3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以直角顶点C为旋转中心,将△ABC旋转到△A′B′C的位置,其中A′、B′分别是A、B的对应点,且点B在斜边A′B′上,直角边CA′交AB于D,则旋转角等于 () A.70°B.80°C.60° D.50° (图1) (图2) (图3) 二、填空题. 1.在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为________,这个定点称为________,转动的角为________. 2.如图2,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠AED都是直角,点E在AB 上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么旋转中心是点_________;旋转的度数是__________. 3.如图3,△ABC为等边三角形,D为△ABC内一点,△ABD经过旋转后到达△ACP的位置,则,(1)旋转中心是________;(2)旋转角度是________;(3)△ADP是________三角形. 三、解答题. 1.阅读下面材料: 如图4,把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度,可以变到△ECD的位置.如图5,以BC为轴把△ABC翻折180°,可以变到△DBC的位置.
(图4) (图5) (图6) (图7) 如图6,以A点为中心,把△ABC旋转90°,可以变到△AED的位置,像这样,其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状和大小的图形变换,叫做三角形的全等变换. 回答下列问题 如图7,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上一点,AF=1 2 AB. (1)在如图7所示,可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE移到△ADF的位置? (2)指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系. 2.一块等边三角形木块,边长为1,如图,现将木块沿水平线翻滚五个三角形,那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少? 旋转基础练习二 一、选择题 1.△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于() A.50°B.210°C.50°或210°D.130°2.在图形旋转中,下列说法错误的是 () A.在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B.图形上每一点转动的角度相同 C.图形上可能存在不动的点 D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等 3.如图,下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是()
旋转及综合专题 一、旋转相关定义 1、定义:把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转,点 O 叫做旋转中心,转 动的角叫做旋转角。 2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P 1 ,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 3、(1)对应点到旋转中心的距离相等,即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后图形全等。 4、把一个图形绕着某一点旋转180? ,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于 这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。 5、(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平分; (2)关于中心对称的两个图形是全等图形。 6、把一个图形绕着某一点旋转180? ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形 叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 二、旋转相关结论 如 图 , 将 ?ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 α 角 到 ?AB 1C 1 。点 B 和点 B 1 为对应点,点 C 和C 1 为对 应点。 结论 1:旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点,也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图,线段 BB 1 的垂直平分 线l 1 、线段CC 1 的垂直平分线l 2 都经过旋转中心 点 A 。利用这个结论我们可以利用对应点坐标 求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心,因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式,然后 联立即可求出旋转中心坐标。 结论 2:对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线,且等腰三角形顶角均等于旋转角α。 如图, ?ABB 1 和 ?ACC 1 均为等腰三角形, ∠BAB 1 = ∠CAC 1 = α。
图2 旋转检测 姓名 得分 1.下列运动是属于旋转的是 ( ) A.滾动过程中篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动 C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折过程 2.我们知道,国旗上的五角星是旋转对称图形,它旋转与自身重合时,至少需要旋转( ) A.36° B.60° C.45° D.72° 3.时钟上的分针经过10分,则分针旋转了 ( ) A.100 B.300 C.450 D.600 4.已知点P (b -,2)与点Q (3,2a )关于原点对称点,则a 、b 的值分别是 ( ) A.-1,3 B.1,-3 C.-1,-3 D.1,3 5.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( ) A B C D 6.如图1,将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△B O A '',若?=∠15AOB ,则 B AO '∠的度数是 ( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 7.如图2,四边形ABCD 是正方形,ADE ?绕着点A 旋转900 后到达ABF ?的位置,连接EF ,则AEF ?的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 8.如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是 ( ) 9.如图3,点A ,B ,C ,D 都在方格纸的格点上,若△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置,则旋转的角度为 ( ) A.30° B.45° C.90° D.135° 10.如图4,△ABO 的顶点坐标分别为A (1,4),B (2,1),O (0,0),如果将△ABO 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到O B A ''?,那么点A '、B '的坐标分别为 ( ) A.(-4,2)A ',(-1,1)B ' B.(-4,1)A ',(-1,2)B ' C.(-4,1)A ',(-1,1)B ' D.(-4,2)A ',(-1,2)B ' 11.图形的旋转是由 、 和 决定的. 12.图形的旋转只改变图形的 ,而不改变图形的 . 13.经过旋转,对应点到旋转中心的距离___________. 14.边长为4 cm 的正方形ABCD 绕它的顶点A 旋转180°,顶点B 所经过的路线长为______cm . 15.如图5,将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转900后,得到矩形D C B A ''',如果22==DA CD ,那么C C '=_________. 图5 图6 图7 16.如图6,ABC ?按顺时针方向旋转一个角后成为ADE ?.已知?=∠93B ,?=∠48AED ,则旋转角等于 度. 17.如图7,矩形ABCD 的长和宽分别为4和2,以D 为圆心,AD 为半径作弧AE ,再以AB F E D C B A B ' D ' C ' D C B A E D C B A 图1 图3 图4
如何用好题目中的条件暗示 有一类题目,我们在解前面几小题时,其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用,现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明,供同学们在学习过程中参考。 【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点,如图1。 图1 (1)求B、A两点的坐标; (2)把△AOB以直线AB为轴翻折,点O落在平面上的点C处,以BC为一边作等边△BCD。求D点的坐标。 解析:(1)容易求得,A(0,1)。 (2)如图2, 图2 ∵,A(0,1), ∴OB=,OA=1。 ∴在Rt△AOB中,容易求得∠OBA=30° ∵把△AOB以直线AB为轴翻折, ∴∠OBC=2∠OBA=60°,BO=BC。 ∴△OBC是等边三角形 以BC为一边作等边△BCD,则D的落点有两种情形,可分别求得D的坐标为(0,0),。 反思:在求得第(1)小题中B、A两点的坐标分别为B(,0),A(0,1),实质上暗示着Rt△AOB中,OA=1,OB=,即暗示着∠OBA=30°,为解第(2)小题做了很好的铺垫。
【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,且点P(1,a)为坐标系中的一个动点,如图3。 图3 (1)求三解形ABC的面积。 (2)证明不论a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数; (3)要使得△ABC和△ABP的面积相等,求实数a的值。 解析:(1)容易求得:A(,0),B(0,1), ∴。 (2)如图4,连接OP、BP,过点P作PD垂直于y轴,垂足为D,则三角形BOP的面积为,故不论a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数。 图4 (3)如图4,①当点P在第四象限时由第(2)小题中的结果:,和第(3)小题的条件可得: ∴, ∵,
旋转基础练习一 令狐文艳 一、选择题 1.在26个英文大写字母中,通过旋转180°后能与原字母重合的有() A.6个B.7个C.8个D.9个 2.从5点15分到5点20分,分针旋转的 度数为() A.20° B.26° C.30° D.36° 3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以直角顶点C为旋转中心, 将△ABC旋转到△A′B′C的位置,其中 A′、B′分别是A、B的对应点,且点B 在斜边A′B′上,直角边CA′交AB于 D,则旋转角等于() A.70° B.80° C.60°
D.50° (图1) (图2) (图3) 二、填空题. 1.在平面内,将一个图形绕一个定点沿着 某个方向转动一个角度,这样的图形运动 称 为________,这个定点称为________,转 动的角为________. 2.如图2,△ABC与△ADE都是等腰直角三 角形,∠C和∠AED都是直角,点E在AB 上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重 合,那么旋转中心是点_________;旋转 的度数是__________. 3.如图3,△ABC为等边三角形,D为△ABC 内一点,△ABD经过旋转后到达△ACP的 位置,则,(1)旋转中心是________; (2)旋转角度是________;(3)△ADP
是________三角形. 三、解答题. 1.阅读下面材料: 如图4,把△ABC沿直线BC平行移动线段 BC的长度,可以变到△ECD的位置. 如图5,以BC为轴把△ABC翻折180°, 可以变到△DBC的位置. (图4) (图5) (图6) (图7) 如图6,以A点为中心,把△ABC旋转 90°,可以变到△AED的位置,像这样,其 中一个三角形是由另一个三角形按平行移 动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变 位置,不改变形状和大小的图形变换,叫做 三角形的全等变换. 回答下列问题 如图7,在正方形ABCD中,E是AD的中 AB. 点,F是BA延长线上一点,AF=1 2