§1 变分法简介
作为数学的一个分支,变分法的诞生,是现实世界许多现象不断探索的结果,人们可以追寻到这样一个轨迹:
约翰·伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?”
这就是著名的“最速降线”问题(The Brachistochrone Problem )。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔(Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704)、雅可比·伯努利(Jacob Bernoulli 1654-1705)、莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)和牛顿(Isaac Newton1642—1727)都得到了解答。约翰的解法比较漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。后来欧拉(Euler Lonhard ,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链线(catenary )。
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出答案。到1691年,也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年,莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰·伯努利各自得到了正确答案,所用方法是诞生不久的微积分,具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程
解此方程并适当选取参数,得
)(21ax ax
e e a
y -+= (1)
即为悬链线。
悬链线问题本身和变分法并没有关系,然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索,虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风,但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的重心最低,具有最小势能”,算是扳回了一局,俩兄弟扯平了!之所以提到悬链线问题,有两方面考虑,其一,这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻,而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族,其二,有关悬链线的得几个结论,可以用变
???????='=+=0)0()0()(102
2
2y y y dx dy a dx
y d
分法来证明!
现实中很多现象可以表达为泛函极小问题,我们称之为变分问题。求解方法通常有两种:古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函的概念
设S 为一函数集合,若对于每一个函数S t x ∈)(有一个实数J 与之对应,则称J 是定义在S 上的泛函,记作))((t x J 。S 称为J 的容许函数集。
例如,在],[10x x 上光滑曲线y(x)的长度可定义为
?
'+=1
21x x dx y J (2)
考虑几个具体曲线,取1,010==x x ,
若x x y =)(,则
?=+==1
211)())((dx x J x y J
若y(x)为悬链线,则
??-----=
+=-+=+10101
22
24)(1)2(e e dx e e dx e e e e J x
x x x x x 对应],[101x x C 中不同的函数y(x),有不同曲线长度值J ,即J 依赖于y(x),是定义在
函数集合],[101x x C 上的一个泛函,此时我们可以写成
))((x y J J =
我们称如下形式的泛函为最简泛函
?=f
t t dt t x
t x t F t x J 0
))(),(,())(( (3) 被积函数F 包含自变量t ,未知函数x (t)及导数x
(t)。如,上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 1.1.2 泛函极值问题
考虑上述曲线长度泛函,我们可以提出下面问题:
在所有连接定点),(),(1100y x B y x A 和的平面曲线中,试求长度最小的曲线。
即,求{}
1100101
)(,)(],,[)()()(y x y y x y x x C x y x y x y ==∈∈,使
?
'+=1
21))((x x dx y x y J
取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例,一般的泛函极值问题可表述为,
称泛函))((t x J 在S t x ∈)(0取得极小值,如果对于任意一个与)(0t x 接近的S t x ∈)(,都有))(())((0t x J t x J ≥。所谓接近,可以用距离ε<))(),((0t x t x d 来度量,而距离可以定义为
|})()(||,)()({|max ))(),((0000t x t x
t x t x t x t x d f
t t t --=≤≤
泛函的极大值可以类似地定义。其中)(0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。
1.1.3 泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量,函数)(t x 在)(0t x 的增量记为
)()()(0t x t x t x -=δ
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
))(())()((00t x J t x t x J J -+=?δ
如果J ?可以表为
))(),(())(),((00t x t x r t x t x L J δδ+=?
其中L 为x δ的线性项,而r 是x δ的高阶项,则称L 为泛函在)(0t x 的变分,记作
))((0t x J δ。用变动的)(t x 代替)(0t x ,就有))((t x J δ。
(4) 这是因为当变分存在时,增量
)),(()),(())(())((x t x r x t x L t x J x t x J J αδαδαδ+=-+=? 根据L 和r 的性质有
)),(()),((x t x L x t x L δααδ=
0)
),((lim
)
),((lim
00
==→→x x
x t x r x t x r δαδαδα
αδαα
所以
α
αδαδααα)
()(lim
)(00x J x x J x x J -+=+??→= )(),()
,(),(lim
x J x x L x x r x x L δδα
αδαδα==+=→
1.2 泛函极值的相关结论
1.2.1 泛函极值的变分表示
利用变分的表达式(4),可以得到有关泛函极值的重要结论。
泛函极值的变分表示:若))((t x J 在)(0t x 达到极值(极大或极小),则
0))((0=t x J δ (5)
证明:对任意给定的x δ,)(0x x J αδ+是变量α的函数,该函数在0=α处达到极值。根据函数极值的必要条件知
0)(00=+??
=ααδα
x x J 再由(4)式,便可得到(5)式。
变分法的基本引理:],[)(21x x C x ∈?,],[)(211x x C x ∈?η,0)()(21==x x ηη,有
?
≡2
1
0)()(x x dx x x η?,
则],[ ,0)( 21x x x x ∈≡?。
证明略。 1.2.2 泛函极值的必要条件
考虑最简泛函(3),其中F 具有二阶连续偏导数,容许函数类S 取为满足端点条件为固定端点(6)的二阶可微函数。
00)(x t x =,f f x t x =)( (6)
泛函极值的必要条件:设泛函(3)在x(t)∈S 取得极值,则x(t)满足欧拉方程
(7) 欧拉方程推导:首先计算(3)式的变分:
0))()((=+??
=ααδαδt x t x J J ?=++??
=f t t dt t x t x t x t x t F 00
))()(),()(,(ααδαδα
?
+=
f
t t x x dt x x
x t F x x x t F 0
]),,(),,([ δδ 对上式右端第二项做分部积分,并利用0)()(0==f t x t x δδ,有
??
-=f
f
t t x t t x xdt x
x t F dt
d
dt x x
x t F 0
),,(),,(δδ , 所以
?-
=f
t t x x xdt F dt
d F J 0
][δδ 利用泛函极值的变分表示,得
0][0
=-
?
f
t t x x x d t F dt
d F δ 因为x δ的任意性,及0)()(0==f t x t x δδ,由基本引理,即得(7)。 (7)式也可写成
0=---x F x F F F x x x x x t x
(8) 通常这是关于x(t)的二阶微分方程,通解中的任意常数由端点条件(6)确定。 1.2.3 几种特殊形式最简泛函的欧拉方程
(i) F 不依赖于x
,即),(x t F F =
这时0≡x F ,欧拉方程为0),(=x t F x ,这个方程以隐函数形式给出)(t x ,但它一般不满足边界条件,因此,变分问题无解。
(ii) F 不依赖x ,即),(x
t F F = 欧拉方程为
0),(=x
t F dt
d
x 将上式积分一次,便得首次积分1),(c x
t F x = ,由此可求出),(1c t x ?= ,积分后得到可能的极值曲线族
()dt c t x ?=1,?
(iii) F 只依赖于x
,即)(x F F = 这时0,0,0===x x x t x F F F ,欧拉方程为
0=x x F x
由此可设0=x 或0=x x F ,如果0=x ,则得到含有两个参数的直线族21c t c x +=。另外
若0=x x F 有一个或几个实根时,则除了上面的直线族外,又得到含有一个参数c 的直线族
c kt x +=,它包含于上面含有两个参数的直线族 21c t c x += 中,于是,在)(x
F F =情况下,极值曲线必然是直线族。
(iv )F 只依赖于x 和x
,即),(x x F F = 这时有0=x t F ,故欧拉方程为
0=--x x x x x F x F x F
此方程具有首次积分为
1c F x F x =-
事实上,注意到F 不依赖于t ,于是有
0)()(=-=--+=-x x
x x x x x F dt
d
F x F dt d x F x x F x F F x F dt d 。 1. 3 几个经典的例子
1.3.1 最速降线问题
最速降线问题 设A 和B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结A 和B 的平面曲线中,求一曲线,使质点仅受重力作用,初速度为零时,沿此曲线从A 滑行至B 的时间最短。
解 将A 点取为坐标原点,B 点取为B(x 1,y 1),如图1。根据能量守恒定律,质点在曲
线)(x y 上任一点处的速度
dt
ds
满足(s 为弧长)
mgy dt ds m =??
?
??2
21
将dx x y ds )('12
+=代入上式得 dx gy
y dt 2'12
+= 图1最速降线问题
于是质点滑行时间应表为)(x y 的泛函
dx gy
y x y J x ?
+=2
2
2'1))(( 端点条件为
11)(,0)0(y x y y ==
最速降线满足欧拉方程,因为
y
y y y F 2
'1)',(+=
不含自变量x ,所以方程(8)可写作
0''''''=--y F y F F y y yy y
等价于
0)'('=-y F y F dx
d
作一次积分得
12
)'1(c y y =+ 令 ,2
'θ
ctg
y =则方程化为
)cos 1(2
2sin '112121θθ-==+=
c c y c y 又因
θθθθθ
θd c ctg d c y dy dx )cos 1(22
2cos 2sin '11-===
积分之,得
2)sin (2
c c
x +-=
θθ
由边界条件0)0(=y ,可知02=c ,故得
??????
?-=-=).cos 1(2
)sin (2
11θθθc y c x 这是摆线(园滚线)的参数方程,其中常数1c 可利用另一边界条件11(y x y =)来确定。 1.3.2 最小旋转面问题
最小旋转面问题 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线
)(x y ,绕x 轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函))((x y J ,易得
dx x y x y x y J x x )('1)(2))((2
1
2?+=π
容许函数集可表示为
{}
2211211)()(][)()(y x , y y x ,y ,x x C x |y x y S ==∈=
解 因 "1y y F +=不包含x ,故有首次积分
12
2''
1'''1'c y y y
y y y F y F y =+-+=-
化简得 2
1'1y c y +=
令sht y =',代入上式, cht c t sh c y 1211=+= 由于 dt c sht
shtdt c y dy dx 11'===
积分之,得 21c t c x += 消去t ,就得到1
2
1c c x ch
c y -= 。 这是悬链线方程,适当选择条件(令该悬链线过(0,1/a )点,且该点处的切线是水平的)就可得到(1)。本例说明,对于平面上过两个定点的所有光滑曲线,其中绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积最小的是悬链线! 1.3.3 悬链线势能最小
1691年,雅可比·伯努利证明:悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的重心最低,具有最小势能。下面我们用变分法证明之。
考虑通过A 、B 两点的各种等长曲线。令曲线y =f(x)的长度为L ,重心坐标为),(y x ,
则
?
?+==b
a
b a
dx dx
dy ds L 2
)(
1 由重心公式有
L
dx dx
dy x x b
a
?
+=
2
)(
1 , L
dx dx
dy y y b
a
?
+=
2
)(
1
由于只需探讨曲线重心的高低,所以只对纵坐标的公式进行分析,注意到问题的表述,说明L 是常数,不难看出重心的纵坐标是y(x)的最简泛函,记作
?'+=b
a
dx y x y x y J 2)(1)())((
此时对应的欧拉方程(8)可化为
01)(2=-'-''y y y
令dx
dy p =
解得 0),1(2
2>+=k p k y ,进而得 )]([1c x k ch k
y +=
。
此即为悬链线,它使重心最低,势能最小!大自然中的许多结构是符合最小势能的,人们称之为最小势能原理。
1.4 泛函极值问题的补充
1.4.1 泛函极值的几个简单推广
(ⅰ)含多个函数的泛函 使泛函
?=2
1
)',,',,())(),((x x dx z z y y x F x z x y J
取极值且满足固定边界条件
.)(,)(,)(,)(22112211z x z z x z y x y y x y ====
的极值曲线)(),(x z z x y y ==必满足欧拉方程组
(ii )含高阶导数的泛函
使泛函
?
=
2
1
)",',,())((x x dx y y y x F x y J
取极值且满足固定边界条件
11)(y x y =,221122')(',')('y x y y x y y x y ===,)(
的极值曲线)(x y y =必满足微分方程
(iii ) 含多元函数的泛函
设D y x c y x z ∈∈),(,),(2,使泛函 ??=
D
y x
dxdy z z
z y x F y x z J ),,,,()),((
取极值且在区域D 的边界线l 上取已知值的极值函数),(y x z z =必满足方程
上式称为奥式方程。
1.4.2端点变动的情况(横截条件)
设容许曲线)(t x 在0t 固定,在另一端点f t t =时不固定,是沿着给定的曲线)(t x ψ=上变动。于是端点条件表示为
?
?
?==)()()(0
0t t x x t x ψ
这里t 是变动的,不妨用参数形式表示为 f f dt t t α+=
寻找端点变动情况的泛函极值必要条件,可仿照前面端点固定情况进行推导,即有 0
),,(00
=+++
?=
=?
αααδαδδdt x x
x x t F J f
f dt t t
(9) 再对(9)式做如下分析:
(i )对每一个固定的f t ,)(t x 都满足欧拉方程,即(9)式右端的第一项积分为零; (ii )为考察(9)式的第二、第三项,建立f dt 与f
t t x =δ之间的关系,因为
)()()(f f f f f f dt t dt t x dt t x αψααδα+=+++ 对α求导并令0=α得
f f t t f f dt t x dt t x
f
)()(ψδ =+= 即
f f f t t dt t x t x f
)]()([ -==ψ
δ (10) 把(10)代入(9)并利用f dt 的任意性,得
(11)
(11)式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件,称为横截条件。
横截条件有两种常见的特殊情况:
(i )当)(t x ψ=是垂直横轴的直线时,f t 固定,)(f t x 自由,并称)(f t x 为自由端点。此时(9)式中0=f dt 及f
t t x =δ的任意性,便得自由端点的横截条件
(12)
(ii )当)(t x ψ=是平行横轴的直线时,f t 自由,)(f t x 固定,并称)(f t x 为平动端点。
此时0=ψ ,(11)式的横截条件变为
* (13)
注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
1.4.3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
))(),(,()(t u t x t f t x
= * (14) 寻求最优性能指标(目标函数)
?
+
=f
t t f f dt t u t x t F t x t t u J 0
))(),(,())(,())((? * (15)
其中)(t u 是控制策略,)(t x 是轨线,0t 固定,f t 及)(f t x 自由,n R t x ∈)(,m R t u ∈)((不受限,充满m
R 空间),F f ,,?连续可微。
下面推导取得目标函数极值的最优控制策略)(*
t u 和最优轨线)(*
t x 的必要条件。 采用拉格朗日乘子法,化条件极值为无条件极值,即考虑
?-++=f
t t T f f dt x
u x t f t u x t F t x t u x J 0
)]),,()((),,([))(,(),,(1 λ?λ (16) 的无条件极值,首先定义(14)式和(15)式的哈密顿(Hamilton )函数为
),,()(),,(),,,(u x t f t u x t F u x t H T
λλ+= (19)(17) 将其代入(16)式,得到泛函
?-+=f
t t T f f dt x
u x t H t x t u x J 0
]),,,([))(,(),,(1 λλ?λ (20)(18)
下面先对其求变分
))()(,({1f f f f t x t x dt t J αδα?α
δ++??
=
0})]()(),,,([0
=+++-++++?
αααδαδλλαδλλαδαδdt x x
u u x x t H T dt t t f f []f f f f t t T T f t t T f t T f t x T
f x
dt u x t H dt dt t x ==-++=)()(),,,()()()()( λλ??δ dt x x
H H u H x T T T u T x T t t f
])()()()([0
δλδλδλδδλ--+++? )()]([]),,,([)(f f f t x T f t t t T f t x t u x t F dt ?δ?++== (注:第一项利用公式(14)化简后)
??+--+++=f
f f t t T t t f T
t t T
T
u T
x T
dt x x t dt x
H H u H x 0
)()(])()()()[(λδδλδλδλδδλ
(注意最后两项是根据等号前最后一个积分项利用分部积分法得到。) 同时注意到)(f t t t x x
f
δδ≠=,f f f t t dt t x
t x x
f
)()( -==δδ,因而 f
f
f
t t x T f t t t T f t x u x t H dt J ==-++=)()]([]),,,([)(1λ?δλ?δ
?
+-+++
f
t t u T T x T dt H u x H H x 0
])()()()()[(δδλλδλ
再令01=J δ,由δλδδδ,,),(,u x t x dt f f 的任意性,便得
(i )*
*
,λx 必满足正则方程:
① 状态方程 ),,(u x t f H x
==λ ② 协态方程 x
H -=λ 。 (ii )哈密顿函数),,,(*
*λu x t H 作为u 的函数,也必满足 0=u H 并由此方程求得*
u 。
(iii )求*
**,,u x λ时,必利用边界条件 ① 00)(x t x =, (用于确定*
x ) ②
)()(f
t x f t ?λ=, (用于确定*λ)
③ f
f t t t u x t H =-=),,,(λ?, (确定f t )
1.4.4 最大(小)值原理
如果受控系统
),,(u x t f x
= ,00)(x t x = 其控制策略)(t u 的全体构成有界集U ,求U t u ∈)(,使性能指标 ?
+=f
t t f f dt u x t F t x t t u J 0
),,())(,())((?
达到最大(小)值。
最大(小)值原理:如果),,(u x t f ,))(,(f f t x t ?和),,(u x t F 都是连续可微的,那么最优控制策略)(*t u 和相应的最优轨线)(*t x 由下列的必要条件决定:
(i )最优轨线)(*t x ,协态向量)(*t λ由下列的必要条件决定:
),,(u x t f dt dx
=,U t u ∈)(, x
H dt d ??-=λ (ii )哈密顿函数
),,()(),,(),,,(*****u x t f t u x t F u x t H T λλ+= 作为)(t u 的函数,最优策略)(*t u 必须使
),,,(max ),,,(*
*
*
*
*
λλu x t H u x t H U
u ∈=
或使
),,,(min ),,,(*
*
*
*
*
λλu x t H u x t H U
u ∈=(最小值原理)
(iii )满足相应的边界条件
① 若两端点固定,则正则方程的边界条件为 0)0(x x =,f f x t x =)(。
② 若始端固定,终端f t 也固定,而)(f t x 自由,则正则方程的边界条件为 0)0(x x =,))(,()()(f f t x f t x t t f ?λ=。
③ 若始端固定,终端)(,f f t x t 都自由,则正则方程的边界条件为 0)0(x x =,))(,()()(f f t x f t x t t f ?λ=, 0))(,())(),(),(,(=+f f t f f f f t x t t t u t x t H f ?λ。
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也是光传播最短路径(Heron ); ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方 法),是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间 的(映射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分: 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素(定义域);值域是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能: 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 和B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii. 建立泛函: x
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介 1.有限差分方法 有限差分方法(Finite Difference Method,FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 2.有限元方法 有限元方法(Finite Element Method,FEM)的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 在数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的
有限元法与有限差分法的主要区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等.目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成.在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等.根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0.插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身,还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比,二维看作面积比,三维看作体积比。在二维有限元中,三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有La g range插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等.对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件的插值函
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也是光传播最短路径(Heron ); ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方 法),是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间 的(映射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1 max ;21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分: 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素(定义域);值域是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 和B,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii. 建立泛函: x
? §1 变分法简介 作为数学的一个分支,变分法的诞生,是现实世界许多现象不断探索的结果,人们可以追寻到这样一个轨迹: 约翰·伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748)1696 年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?” 这就是著名的“最速降线”问题(The Brachistochrone Problem )。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔(Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704)、雅可比· 伯努利( Jacob Bernoulli 1654-1705)、莱布尼茨( Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)和牛顿(Isaac Newton1642—1727)都得到了解答。约翰的解法比较漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。后来欧拉(Euler Lonhard , 1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是,在 1690 年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链线(catenary )。 伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线, 从外表看的确象,但实际上不是。惠更斯(Huygens, 1629~1695)在 1646 年(当时 17 岁),经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出答案。到 1691 年,也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年,莱布尼兹、惠更斯(以 62 岁)与约翰·伯努利各自得到了正确答案,所用方法是诞生不久的微积分,具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 ? d 2 y ? dx 2 a 1+ ( dy )2 dx ? y (0) = y ? ? ? 解此方程并适当选取参数,得 y '(0) = 0 即为悬链线。 y = 1 2a (e ax + e -ax ) (1) 悬链线问题本身和变分法并没有关系,然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索,虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风,但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的重心最低,具有最小势能”,算是扳回了一局,俩兄弟扯平了!之所以提到悬链线问题,有两方面考虑,其一,这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻,而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族,其二,有关悬链线的得几个结论,可以用变 = 0
§1 变分法简介 作为数学的一个分支,变分法的诞生,是现实世界许多现象不断探索的结果,人们可以追寻到这样一个轨迹: 约翰·伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?” 这就是著名的“最速降线”问题(The Brachistochrone Problem )。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔(Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704)、雅可比·伯努利(Jacob Bernoulli 1654-1705)、莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)和牛顿(Isaac Newton1642—1727)都得到了解答。约翰的解法比较漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。后来欧拉(Euler Lonhard ,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链线(catenary )。 伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出答案。到1691年,也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年,莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰·伯努利各自得到了正确答案,所用方法是诞生不久的微积分,具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数,得 )(21ax ax e e a y -+= (1) 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系,然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索,虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风,但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的重心最低,具有最小势能”,算是扳回了一局,俩兄弟扯平了!之所以提到悬链线问题,有两方面考虑,其一,这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻,而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族,其二,有关悬链线的得几个结论,可以用变???????='=+=0)0()0()(10222y y y dx dy a dx y d
变分原理 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,或称最小作用原理。 例如:实际上光的传播遵循最小能量原理: 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 一、举一个例子(泛函) 变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方法),是计算泛函驻值的数学理论。 在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此,引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。 Poisson 方程的Neumann 问题 设Ω是单连通域,考察Poisson 方程的Neumann 问题 (N) ??? ? ??? =??=?-Γ,g n u f u u ,在Ω内,,使得求函数 这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ,且满足 01 ,=+Γ Ω ? g f d x 其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H . 问题(N )的解,虽然是不唯一的,但是,若把问题(N )局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解,且赋予商范数 ΩΩ∈Ω=,1) (/)(1 1i n f ?v v H v R H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上,由定理5.8推出R H v /)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v . 定义双线性泛函R V V →?: V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?( 和线性泛函 V v v v u g fdx v l ∈∈?+→Γ Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数,同时,可以判定'V l ∈,实际上 ,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ -Ω Ω +≤v g v f v l
§1 变分法简介 作为数学的一个分支,变分法的诞生,是现实世界许多现象不断探索的结果,人们可以追寻到这样一个轨迹: 约翰·伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?” 这就是著名的“最速降线”问题(The Brachistochrone Problem )。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔(Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704)、雅可比·伯努利(Jacob Bernoulli 1654-1705)、莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)和牛顿(Isaac Newton1642—1727)都得到了解答。约翰的解法比较漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。后来欧拉(Euler Lonhard ,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链线(catenary )。 伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出答案。到1691年,也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年,莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰·伯努利各自得到了正确答案,所用方法是诞生不久的微积分,具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数,得 )(21ax ax e e a y -+= (1) 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系,然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索,虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风,但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的重心最低,具有最小势能”,算是扳回了一局,俩兄弟扯平了!之所以提到悬链线问题,有两方面考虑,其一,这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻,而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族,其二,有关悬链线的得几个结论,可以用变 ???????='=+=0)0()0()(102 2 2y y y dx dy a dx y d
第30卷 第3期高师理科学刊Vol.30No.32010年5月Journal of Science of Teachers ′College and University May 2010 文章编号:1007-9831(2010)03-0068-03 有限差分法解薛定谔方程与 MATLAB 实现 刘晓军(齐齐哈尔大学理学院,黑龙江齐齐哈尔161006) 摘要:介绍了用有限差分法解薛定谔方程,以一维无限深势阱、含位势的一维无限深势阱为例求解,并应用M ATL AB 软件编程计算,模拟画出几率图形. 关键词:有限差分法;薛定谔方程;一维无限深势阱 中图分类号:O413.1文献标识码:A doi :10.3969/j.issn.1007-9831.2010.03.022 在量子力学中求解薛定谔方程是一个重要的问题,但在实际问题中往往很难确定解析解,这样利用数值方法求数值解就有一定的优势和实际意义[1].还可以利用计算机手段给出形象化分析,更有利于理解和应用.根据有限差分法中的二阶微分中心差分算符(其中忽略3x 及更高阶项) [2]222 )()(2)()(d d x x x f x f x x f x f x ++=(1) 可将一维定态薛定谔方程[3])()()()(d d 22 2 2x E x x V x x =+=(2)化为)(])([)(2)()(2)(22x E x V x x x x x x =++= (3)以点x n x n =(N n ....3,2,1=)将坐标分为N 个相等的间隔,当N 充分大时,x 就足够小.将第k 个分点的波函数简记为)(x k k =[4].同时满足条件 00==n ,则式(3)化简为k k k k k E x β2211)(2=++=(4) 式中)()(2222x k V x k + ==β(5)0...000 (000) ..................00...R -0 00...00 (01) 221 =E R R E E R E R R E N N ααααα(6)式(6)为对应的久期方程.式中)(2;)(222 x k V R x R k +==α=(7) 将相对复杂的方程就转化为解久期方程的问题,即使维数再高也是容易求解的. 收稿日期:35 作者简介:刘晓军(),男,黑龙江富裕人,副教授,硕士,从事理论物理与数值模拟研究.:xj @632010-0-01972-E-mail l https://www.doczj.com/doc/bf13216601.html,
第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x
有限元法,有限差分法和有限体积法的区别 1. FDM 1.1 概念 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。 1.2 差分格式 (1)从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 (2)从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。 (3)考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 1.3 构造差分的方法 构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 2. FEM 2.1 概述 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 2.2 原理 有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。 根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。(1)从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法;(2)从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格;
变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切, 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方 法),是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间 的 (映射)关系 第一章 光线最短路径传播; 光线入射角等于反射角,光线在反射中也是光传播最短路径(Heron ); 光线折射遵循时间最短的途径(Fermat ); AE+ EB A AC +CB ③
特征描述法:{ J: X u D T R | J ( x ) = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间— 数域 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个 w (x ),使 i.梁的弯曲应变能: □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量: n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能: 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能: )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ;|A L = max 2 a ij ; I A 2 仁 )12 ②函数的积分:函数空间i 数域 b J = a f n (X )dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素(定义域);值域是实数域。 Discussi on : ①判定下列那些是泛函: c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少(x )i ; ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支;x =
有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括:如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分;如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确,还需从理论上分析差分方程组的性态,包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式,为了有实用意义,一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程,这就是相容性要求。另外,一个差分格式是否有用,最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解,这就是收敛性的概念。此外,还有一个重要的概念必须考虑,即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的,在计算第n+1层的近似值时要用到第n层的近似值,直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差,必然影响到后面各层的值,如果误差的影响越来越大,以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖,这种格式是不稳定的,相反如果误差的传播是可以控制的,就认为格式是稳定的。只有在这种情形,差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法,比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法,因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理,一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛
-218- 第十八章 动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。 §1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设S 为一函数集合,若对于每一个函数S t x ∈)(有一个实数J 与之对应,则称J 是对应在S 上的泛函,记作))((t x J 。S 称为J 的容许函数集。 通俗地说,泛函就是“函数的函数”。 例如对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ,绕x 轴旋转得一旋转体,旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函))((x y J 。由微积分知识不难写出 dx x y x y x y J x x )('1)(2))((2 12?+=π (1) 容许函数集可表示为 })( ,)(],,[)(|)({2211211y x y y x y x x C x y x y S ==∈= (2) 最简单的一类泛函表为 ?=2 1 ),,())((t t dt x x t F t x J (3) 被积函数F 包含自变量t ,未知函数x 及导数x 。(1)式是最简泛函。 1.1.2 泛函的极值 泛函))((t x J 在S t x ∈)(0取得极小值是指,对于任意一个与)(0t x 接近的 S t x ∈)(,都有))(())((0t x J t x J ≥。所谓接近,可以用距离ε<))(),((0t x t x d 来度量, 而距离定义为 |})()(||,)()({|max ))(),((0002 1t x t x t x t x t x t x d t t t --=≤≤ 泛函的极大值可以类似地定义。)(0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量,函数)(t x 在)(0t x 的增量记为 )()()(0t x t x t x -=δ 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ))(())()((00t x J t x t x J J -+=?δ 如果J ?可以表为
第一章变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称 /相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Examples: ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也是光传播最短路径(Heron ); ③ 光线折射遵循时间最短的途径(Fermat ); , Summary 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 、变分法是自然界变分原理的数学规划方法 (求解约束方程系统极值的数学方 法),是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间 的(映 射)关系 特征描述法:{ J: X D R|J (x ) r R } Examples: ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 = 数域 ② 函数的积分:函数空间数域 n II A II 1 = max a ij j i 1 max a ij i j 1 n n A 2 ( a ij 产 j 1 i 1 AE EB AC CB
b J f n (X )dX f n D a Discussi on : ① 判定下列那些是泛函: ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个 w (x ),使 系统势能 泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 和B, A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时,从 A 到B 所需时间最短(忽略摩擦 力)。 作法: i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。 B 点坐标(a, b ), 设曲线为 y = y (x ),并已知:x = 0, y = 0 ; x = a, y = b ii. 建立泛函: i.梁的弯曲应变能: 1 ' d 2 w 2 b o 0 EJ( 2 ) dx 2 0 dx ii.弹性地基贮存的能量: f — kw 2 dx 2 0 iii.外力位能: l I o qwdx iv.系统总的势能: 左Ej (d 丫)2 1 2 2 kw qw}dx; x 0 w 0削0 dx x = 0,固支;x = l, 自由 Note:泛函的自变量是集合中的元素(定义域) ;值域是实数域。 max f (x); a x b f(X,y) ; 3x+5y=2; x (x x °)f(x)dx f(X o ) q(x) con sts E 、J x
第一章 变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ①光线最短路径传播; ②光线入射角等于反射角,光线在反射中也是光传播最短路径(Heron ); ③光线折射遵循时间最短的途径( CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方 法),是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间 的(映射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素(定义域);值域是实数域。 Discussion : ①判定下列那些是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(;3x+5y=2;?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i.梁的弯曲应变能:?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii.弹性地基贮存的能量:dx kw l f ?=∏0 221 iii.外力位能:?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能: 00 0;})({2 2122202 1 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ②最速降线问题 问题:已知空间两点A 和B,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有重 物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii.建立泛函: 设P (x , y )是曲线上的点,P 点的速度由能量守恒定律求得: x