完全平方公式(第一课时)教案
教学内容：完全平方公式
教学目标：完全平方公式的推导及其应用
教学重点：完全平方公式的推导过程，公式特点
教学难点：理解完全平方公式的特点并能灵活应用公式进行计算
教学过程：
一复习引入：
1 计算下面各题：(复习多项式与多项式相乘)
(1)(2x＋1)(x＋3) (2) (m＋2n)(m－3n) (3) (x＋2)(x＋3) (4)(x－4)(x＋1) (5) (y＋4)(y－2) (6) (y－5)(y－3)
2 师：我们曾学过求正方形的面积，那么它的面积公式是如何表示的，请一个同学说出来。生：s = a2
师：很好，请问a2 表示什么意思？
生：a2表示a · a，即两个a相乘
师：说得对，用数学表达式可以写作：a2 = a ·a (教师板书)，这节课我们就要用到这种方法来解决一个新的问题
二导入新课：
先计算下列各式，看谁能先发现计算结果有什么的规律性
(1) (p＋1)2 = (p＋1)(p＋1)= (2) (m＋2)2 =
(3) (p－1)2 = (p－1)(p－1) = (4) (m－2)2 =
通过计算，得：(1) 的结果是：p2＋2p＋1 ；(2) 的结果是：m2＋4m＋4 ；
(3) 的结果是：p2－2p＋1 ；(4) 的结果是：m2－4m＋4 。
教师启发学生先观察(1)式，
师：它是求(p+1)的平方，第一项和第三是这两个加数的什么？
生：是这两个加数的平方，
师：在看第二项，在我们计算的结果中除了字母p和数字1 外，还多了一个系数2，你还知道是如何得到的吗？
生：是根据多项式与多项式相乘，展开后其中有两项是一样的，通过合并同类项得到系数2；师：说的对，请再分析一下第二项与这两个加数是不是还有什么样的关系？
生：从刚才的计算过程中可以看出，实际上第二项就是这两个加数的2倍；
师：说得好！(教师板书)：2 p = 2 ×p ×1，因为这个1可以省略，所以写作2 p，但我们心里要明白是这两个加数的2倍，不然的话我们就容易出现计算上的错误，比如说(2) 和(4)中间项就是2 ×m ×2 = 4m得到的；
师：还有一个问题就是展开后的符号是如何确定的，你知道吗？
生：对于这样的式子来说，如果说是加号就加上这两个数的2倍，是减号的话即减去这两个数的2倍了，其余符号都为加号。
师：好的，现在我们再来计算一下这两题看看是不是有这样的情况：
(1)(a＋b)2 (2) (a－b)2
经过计算后学生发现(1) 的结果是：a2＋2ab＋b2 ；(2) 的结果是：a2－2ab＋b2 ，这与刚才分析的是一致的。
师：能否说出有什么规律性？
生：两个数的和的平方，会等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两个数的差的平方，会等于它们的平方和减去它们的积的2倍，
师：不错，这就是我们这节课要讲的内容，归纳一下可以简单扼要的说“两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们积的2倍，刚才上面计算的两个公式叫做（乘 法的）完全平方公式
三 讲授新课：
例3运用完全平方公式计算：
(1) (4m ＋n)2
2
)21
)(2(-y 解： (1) 原式 = (4m)2 ＋ 2 · (4m) · n ＋ n 2
=16m 2＋ 8m n ＋ n 2
41
)21(212)2(222+-=+??-=y y y y
原式
例4 运用完全平方公式计算：
(1) 1022 (2) 992
分析(1) 要用到完全平方公式就要想办法分解为两个加数的和，最优的分解方法应该是102=100＋2，转化为整百数与一个数的和，用其它分解方法来计算会繁一点，由此得如下解法
解：(1) 原式 = (100＋2)2 = 1002＋2×100×2＋22
= 10000＋400＋4
= 10404
分析(2) 这题可根据上题的思路，转化为整百数与一个数的差会简单一些
(2) 原式 = (100－1)2 = 1002－2×100×1＋12
=10000－200＋1
=9801
四 巩固练习：
课本第155页练习 1、2（练习完后教师要有针对性的进行讲评）然后提出下面的问题，让学生思考，培养学生对式子的转化和观察图形的能力。
思考一：(a ＋ b)2 与 (－a －b)2 相等吗？(a －b)2 与 (b － a)2 相等吗？
通过分析发现：(－a － b)2 与( a －b)2有相似之处，它的－ a 可以看成是公式中的a ，只要将其代入(a － b)2 = a 2－2ab ＋b 2 ，即 (－a － b)2 = (－a )2－2·(－a )·b ＋b 2 = a 2＋2ab ＋b 2，就可以发现它与(a ＋ b)2的结果是一样的（如果说是能应用添括号的方法就可以直接转化为同一个式子了）， 而(a － b)2 与(b － a)2只是被减数和减数的位置交换了，与它们的平方没有关系（应用添括号的方法可以直接转化为同一个式子），通过计算可以发现结果是一样的。
思考二：你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗？ b
图（1）
图（2）
如图（1）大正方形的面积等于两个正方形的面积加上两个长方形的面积，即(a ＋ b)2 = a 2＋b 2 ＋ab ＋ab=a 2＋b 2 ＋2ab ，再转化成课本上的公式就是：(a ＋ b)2 = a 2＋2ab ＋b 2
如图（2）红色正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积和一个黄色正方形的面积，即 (a －b)2 =a 2－(a －b) b － (a －b)b －b 2 = a 2－ab ＋b 2 －ab ＋b 2－b 2 = a 2－2ab ＋2b 2 －b 2 = a 2－2ab ＋b 2 ，即得：(a －b)2 = a 2－2ab ＋b 2
五 课堂小结：
这节课我们讲了完全平方公式，它是中学运用比较多的公式之一，在后面的学习中我们还会利用它进行解题，希望同学们要理解和掌握好完全平方公式，并能灵活应用公式进行计算。
六 课堂练习：
1.（1）(2a ＋3b)2 = （2）(－2a ＋3b)2 = (3)(a －1)(a ＋1)(a 2－1)
2.(1)已知x －2x=2,先化简,再求值：(x －1)2＋(x ＋3)(x －3)＋(x －3)(x －1)
(2)化简，求值：(x －3)2 －x (x －8)，其中x = 3
3.已知（a ＋b)2 = 8 ，（a －b)2 =12 ，求a 2＋b 2的值。
教学后的反思，根据此教案进行教学，学生能力得到了发展，并且对所学习的知识有更深层次的理解和掌握，此教案能紧紧的结合教材，并通过师生的交流，由开始的复习引入来理解完全平方公式，再到后面思考一的比较说明形变质不变，然后由思考二的数形结合，说明代数与几何的有机联系，都是紧扣主题完全平方公式，这体现在分析和方法上能加以归纳小结，我认为这样的教学研究还是很好的。
a b a b
a a b
设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
完全平方公式为： 注：1.完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同． 结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a ?b ）2＝a 2 ?2ab+b 2 ; 平方差公式的结果是两项， 即（a+b ）（a?b ）＝a 2?b 2. 2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、 不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。 例1 用完全平方公式计算： （1）(2x ?3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2 练习： 1、计算：2 )221 (y x - (n +1)2－n 2 (2x 2－3y 2)2 2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 例2.计算： （1）(-1-2x )2 （2）()()n m n m +--22 （3）)432)(432(-++-y x y x （4）22)32 1()321(b a b a +-
练习： (1)()2c b a -+ (2) (-2x +1) 2 （3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ （4）??? ??+-??? ??-b a b a 32132 1 拓展：1.已知31=+ x x ，则=+221x x ________________ 2. 已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m = 4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=
初中数学人教版八年级上册实用资料 完全平方公式的综合应用（习题） ? 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2 221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，2 4224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ? 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． ? 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等 吗？若不相等，相差多少？
学习-----好资料 1. _______________________ ( a 2+b 2) (a 2- b 2) = ( ) 2-( ) 2= . 2. ________________________________________ (-2x 2-3y 2) (2x 2-3y 2) = (__))-( ) 2= . 3. ________________ 20X 19= (20+ ______ ) (20- __ ) = ___ - = . 4. 9.3 X 10.7= ( ____ — ____ ) ( ____ + ___ ) = ____ — ___ . 5. 20062 — 2005X 2007 的计算结果为( )A . 1 B . - 1 C . 2 D . - 2 6. 在下列各式中，运算结果是 b 2- 16a 2的是()A. (-4a+b ) (-4a -b ) B . (-4a+b ) (4a - b ) 7. 运用平方差公式计算. (8) (a -1) (a -2) (a+1) (a+2) (1) 102X 98 3 1 (2) 2-X 3 4 4 (3)— 2.7 X 3.3 1007X 993 (5) 121 X 112 3 3 (6)— 19- X 201 5 5 C. (b+2a ) (b -8a ) .(—4a - b ) (4a - b )
学习-----好资料 (9) (a+b ) (a — b ) + (a+2b ) (a — 2b ) (10) (x+2y ) (x — 2y ) — ( 2x+5y ) (2x — 5y ) (12) (a+b ) (a — b ) — ( a — 3b ) (a+3b ) + (— 2a+3b ) (— 2a — 3b ) 8. _____________ ( 3a+b ) ( ) =b 2— 9a 2; (a+b — m )( 1 9. 先化简，再求值：(3a+1) (3a —1) — ( 2a — 3) (3a+2)，其中 a=—-. (11) (2m- 5) (5+2m ) + ( — 4m — 3) (4m — 3) )=b 2—( a — m ) 2.
完全平方公式 教材分析 完全平方公本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计 （一）复习回顾，引出课题
1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算?请计算出结果。 2 = (m+3) (m+3) = ____; (m+3) ）（1 2=(2-x)(2-x) = ;(2-x) （2）教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律？回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： 222bababa+=( ++2)222baabab (+－－)2=这两个公式叫做完全平方公式。 你能用自己的语言叙述这两个公式①这两个公式有何相同点与不同点？② 问题：吗？ 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，同号是加异号是减。顺口溜强化记忆：中间项从而结果是特殊的。教师向学生强调平方差公式是多项式乘多项式的特殊形式，符号的确定是易错点，也要强调。【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力。教材对这两个公式的语言叙述比较抽象，理解有一定难度，为此结合两个公式的特征，可用顺口溜强化记忆。剖析公式，发现本质 3.1）左边是一个二项式的完全平方；（）右边的积有三项，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项（2 乘积的两倍；可以代表数字，也可以代表单项式、多项式。（3）字母a,b【设计意图】通过观察完全平方公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌 ba抓住了概念的核心，进一步剖析的广泛含义，、在认清公式的结构特征的基础上，握公式．使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。自学例题4. 1：利于完全平方公式计算：P24例题22 2 (4x+5y)②③(mn-a)①(2x-3) 解析：22 + 6m + 9① (m +3)= m 22 2baab =+ +2 (a +b)) 教师提示学生以后做题时，可按照“解析”那样，对照公式检查结果是否正确。 【设计意图】培养学生的自学能力和小组合作交流能力，进一步强化学生对法则的理解，遵循由浅入深。
数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。
完全平方公式 【知识与技能】 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何解释. 【过程与方法】 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 【情感态度】 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神. 【教学重点】 完全平方公式的应用. 【教学难点】 完全平方公式的结构特征及几何解释. 一、情境导入，初步认识 问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，…… （1）第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第 3天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？ （4）这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 【教学说明】（4）的结果需要化简，应用乘法法则可求出（a+b）2.引导学生结合教材认识从几何角度解释（a+b）2的结果.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”. 【归纳总结】公式的表达式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2. 公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍（和对应加）；左边是两数差的形式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍（差对应减）；两公式结构相同，仅一个符号不同.
二、思考探究，获取新知 例1计算下列各题. 【分析】（1）、（2）可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便计算.（3）、（ 4 ）应注意符号，或可直接应用公式（a-b）2=a2-2ab+b2. 例2计算：（1）1032；（2）2992. 【分析】通过观察可发现103=100+3，299=300-1，这样可应用完全平方公
完全平方公式 完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。 必须注意的： ①漏下了一次项 ②混淆公式（与平方差公式） ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 学会用文字概述公式的含义: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方 和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右 边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）. 完全平方公式口诀 前平方，后平方，二倍乘积在中央。 同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来） 即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号） 公式变形（习题） 变形的方法 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。 解答： (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 （二）、变项数：
完全平方公式第一课时教案(新北师大版)
1.6.1完全平方公式 教材分析 本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计
（一）复习回顾，引出课题 1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算?请计算出结果。 （1）(m+3)2 = (m+3) (m+3) = ____; （2）(2-x)2=(2-x)(2-x) = ; 教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律？回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2 这两个公式叫做完全平方公式。
运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考
课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2
14.2.2 完全平方公式 时间： 地点：初二（20）班 开课教师：叶春意 一、 教学目标 知识与技能：了解完全平方公式的推导过程，理解公式的几何背景；能用文字 和符号语言表述完全平方公式，掌握公式的结构特征，会运用公式 】 进行准确的计算。 过程与方法：经历完全平方公式的探索过程，使学生熟悉完全平方公式的特征， 进一步发展学生的符号感和推理能力，培养学生的发现能力、归纳 能力。 情感、态度与价值观：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中 ` 获得成功的体验与喜悦，树立学习信心。 二、 教学重难点 教学重点：能用语言准确表述完全平方公式，会运用公式进行准确的计算 教学难点：掌握公式的结构特征，会运用完全平方公式进行准确的计算 三、 教学过程 ! 1、复习旧知 （1）多项式与多项式相乘的法则： ()()a b m n am an bm bn ++=+++ （2）根据乘方的定义，2()a b +应该写成什么样的形式呢 2()a b += ~ 2、探究新知 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律 （1）2(1)(1)(1)p p p +=++= （2）2(2)m +=
（3）2()a b += \ 师生活动：通过计算2()a b +=()()a b a b ++=22a ab ba b +++222a ab b =++，教师引导学生得出222()2a b a ab b +=++。 让学生观察上述公式，尝试总结222()2a b a ab b +=++的特点，小组交流讨论，并派学生代表回答。 教师给予肯定并进行相应补充：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。 学生类比上题，计算下列多项式的积： （4）2(1)(1)(1)p p p -=--= ' （5）2(2)m -= （6）2()a b -= 通过计算，学生自主得出222()2a b a ab b -=-+，并尝试用文字语言表述该公式的特点：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。教师给予肯定，并让学生将两个公式进行对比，进一步挖掘公式的结构特征： ①积为二次三项式； ②积中两项为两数的平方和； . ③另一项是两数的积的2倍，但符号与乘式中间的符号相同； ④公式中的a 、b 可以表示数、单项式或多项式。 222 222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 教师指出，这两个公式叫做乘法的完全平方公式，并板书课题。 3、应用新知 - 例1 运用完全平方公式计算：
完全平方公式（基础） 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、（2016?普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）． A ．221x x -++ B ．221x x -+- C ．221x x -- D ．2 24x x -+ 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解. 【答案】B ； 【解析】A 、221x x -++其中有两项-x 2、12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误； B 、2221(1)x x x -+-=--，符合完全平方公式特点，故本选项正确； C 、221x x --其中有两项x 2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
完全平方公式（1） 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出准确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践水平等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则的准确应用。 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能准确的应用公式。
三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理水平。 2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。 3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。 （二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下坚实的基础。 （三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断 或大胆的猜测； （四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同 角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和使用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，理解到数学是解决实际问题和实行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断能够获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的
因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -
4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+
苏教版七年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 完全平方公式（基础） 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 【400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、（2016?普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）． A ．221x x -++ B ．221x x -+- C ．221x x -- D ．2 24x x -+ 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解.
教学设计 8.3 完全平方公式与平方差公式 （第1课时） 完全平方公式 一、教学背景 （一）教材分析 乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后学习的，是特殊形式多项式乘法结果的一中归纳和总结，并且将这种结果应用于形式相同的多项式乘法，达到简化计算的目的.乘法公式是初中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，也是学习因式分解和分式运算的重要基础. （二）学情分析 学生在8.2节学习了多项式的乘法，为推导和掌握完全平方公式奠定了基础. 学生在经历多项式的乘法基础上，初步为学习完全平方公式提供了思维方式.七年级下学生的认知发展已具备了转化、数形结合的能力，富有积极思考、主动探索、合作交流情感基础，为推导完全平方公式提供了保证. 二、教学目标： 1 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符合感和推理能力. 2 会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算. 3 进一步体会转化、数形结合等思想。 三、重点、难点： 重点：体会 的发现和推导过程，并能用之计算. 难点：掌握公式字母表达式的意义及对完全平方公式的运用. 四、教学方法分析及学习方法指导 教学方法： 在教学中要引导学生发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，加深学生对公式理解。所以教学中要运用联系、对比、特点方式加以引导学生学习． 学法指导： 学习中，让学生主动发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生认识、掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，在公式的运用上，把公式中的字母同具体题目中的数或式子，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果． ()2 222a b a ab b ±=±+
12.5.3因式分解 （完全平方公式法） 教学目标： 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点： 掌握公式法进行因式分解. 难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入： 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法： ①a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 练习 把下列各式分解因式 ① ② x 4－16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？ 仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征： 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） 二、讨论探究： 填一填 四、巩固提高 练习填空： （1）a 2+ +b 2=(a +b )2 （2）a 2－2ab + =(a －b ) 2 （3）m 2+2m + =( ) 2 （4）n 2－2n + =( ) 2 （5）x 2－x +0.25=( ) 2 （6）4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题（先观察再因式分解） ① x 2＋14x ＋49 ② ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ －x 2－4y 2＋4xy ⑤ ⑥ 16x 4－8x 2＋1 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1） －x 2－2xy －y 2= －(x －y )2 （2）a 2+2ab －b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=
里辛一中初一数学导学案 初一数学课题:完全平方公式（1）备课时间:2020-08-20 课堂寄语:在做题过程中掌握知识点的衔接，巩固需要强化的知识，提高基础知识的熟练程度，就可以提高做题的效率；同时要注意题目的归类，解题过程中把握好某种题型的解题思路和技巧 学习目标1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 3、了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观。 重难点重点：1、弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2、会用完全平方公式进行运算。 难点：会用完全平方公式进行运算 学习过程师生共享 (二次备课) 一个例子比十个定理有效一、【回顾与思考】 1、平方差公式：________________________ 2、公式的结构特点： 左边是____________ _______________ 右边是_________ ______________ 3、利用平方差公式计算 （1）22×18 （2）（2x+1）（2x-1） 二、【自主学习探究新知】 探究一：找规律 （m+3）2= （2+3x）2= 通过观察看看左边多项式中的项与右边结果中的项有什么关系？能否用字母来表示？ 字母表示： 文字叙述： 探究二：完全平方公式的几何解释 一块边长为a米的正方形实验田，因需要 将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植 不同的新品种。（如图） 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较你发现了什么？
例题2： 已知x+y=8,xy=12,求x 2+y 2的值 解题探究：①因为x+y=8，所以（x+y ）2的值是 ②由完全平方公式可知（x+y ）2= ，由上述探究可得 = ，即x 2+y 2= ③由已知xy=12可得x 2+y 2= = 规律总结：完全平方公式的“四种恒等变形” 1、a 2+b 2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 2、(a+b)2+(a-b)2=2a 2+2b 2 ,(a+b)2-(a-b)2=4ab 3、ab=2 1[(a+b)2-( a 2+b 2)]= 4 1[(a+b)2-(a-b)2] 4、 222 11 a (a ) 2.a a + =+- 跟踪练习： 若的值。求xy y x y x ,16)(,12)(22=+=- 四、【课堂达标】 １、下列各式中，能够成立的等式是（ ）． A 、2 2 2 (2)42x y x xy y -=-+ B 、22 211()24 a b a ab b -= ++ C 、222 ()x y x y +=+ D 、2 2 ()()a b b a -=- 2、 若是一个完全平方式，则m 的值是_________ A 、12 B 、﹣12 C 、±12 D 、±6 3、运用完全平方公式计算： (1)(21m －3 1 n)2 (2) 4.下列运算正确的是( ) A.(-2mn)2=4m 2n 2 B.y 2+y 2=2y 4 C.(a-b)2=a 2-b 2 D.m 2+m=m 3