完全平方公式(第一课时)教案
教学目标：完全平方公式的推导及其应用
教学重点：完全平方公式的推导过程，公式特点
教学难点：理解完全平方公式的特点并能灵活应用公式进行计算
教学过程：
1 计算下面各题：(复习多项式与多项式相乘)
(1)(2x＋1)(x＋3) (2) (m＋2n)(m－3n) (3) (x＋2)(x＋3) (4)(x－4)(x＋1) (5) (y＋4)(y－2) (6) (y－5)(y－3)
2 师：我们曾学过求正方形的面积，那么它的面积公式是如何表示的，请一个同学说出来。生：s = a2
师：很好，请问a2 表示什么意思？
生：a2表示a · a，即两个a相乘
师：说得对，用数学表达式可以写作：a2 = a ·a (教师板书)，这节课我们就要用到这种方法来解决一个新的问题
二导入新课：
先计算下列各式，看谁能先发现计算结果有什么的规律性
(1) (p＋1)2 = (p＋1)(p＋1)= (2) (m＋2)2 =
(3) (p－1)2 = (p－1)(p－1) = (4) (m－2)2 =
通过计算，得：(1) 的结果是：p2＋2p＋1 ；(2) 的结果是：m2＋4m＋4 ；
(3) 的结果是：p2－2p＋1 ；(4) 的结果是：m2－4m＋4 。
教师启发学生先观察(1)式，
师：它是求(p+1)的平方，第一项和第三是这两个加数的什么？
生：是这两个加数的平方，
师：在看第二项，在我们计算的结果中除了字母p和数字1 外，还多了一个系数2，你还知道是如何得到的吗？
生：是根据多项式与多项式相乘，展开后其中有两项是一样的，通过合并同类项得到系数2；师：说的对，请再分析一下第二项与这两个加数是不是还有什么样的关系？
生：从刚才的计算过程中可以看出，实际上第二项就是这两个加数的2倍；
师：说得好！(教师板书)：2 p = 2 ×p ×1，因为这个1可以省略，所以写作2 p，但我们心里要明白是这两个加数的2倍，不然的话我们就容易出现计算上的错误，比如说(2) 和(4)中间项就是2 ×m ×2 = 4m得到的；
师：还有一个问题就是展开后的符号是如何确定的，你知道吗？
生：对于这样的式子来说，如果说是加号就加上这两个数的2倍，是减号的话即减去这两个数的2倍了，其余符号都为加号。
师：好的，现在我们再来计算一下这两题看看是不是有这样的情况：
(1)(a＋b)2 (2) (a－b)2
经过计算后学生发现(1) 的结果是：a2＋2ab＋b2 ；(2) 的结果是：a2－2ab＋b2 ，这与刚才分析的是一致的。
师：能否说出有什么规律性？
生：两个数的和的平方，会等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两个数的差的平方，会等于它们的平方和减去它们的积的2倍，
师：不错，这就是我们这节课要讲的内容，归纳一下可以简单扼要的说“两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们积的2倍，刚才上面计算的两个公式叫做（乘
法的）完全平方公式
三 讲授新课：
例3运用完全平方公式计算：
(1) (4m ＋n)2
2
)21)(2(-y 解： (1) 原式 = (4m)2 ＋ 2 · (4m) · n ＋ n 2
=16m 2＋ 8m n ＋ n 2
4
1)21(212)2(222+
-=+?
?-=y y y y 原式
例4 运用完全平方公式计算：
(1) 1022 (2) 992
分析(1) 要用到完全平方公式就要想办法分解为两个加数的和，最优的分解方法应该是102=100＋2，转化为整百数与一个数的和，用其它分解方法来计算会繁一点，由此得如下解法
解：(1) 原式 = (100＋2)2 = 1002＋2×100×2＋22
= 10000＋400＋4
= 10404
分析(2) 这题可根据上题的思路，转化为整百数与一个数的差会简单一些
(2) 原式 = (100－1)2 = 1002－2×100×1＋12
=10000－200＋1
=9801
四 巩固练习：
课本第155页练习 1、2（练习完后教师要有针对性的进行讲评）然后提出下面的问题，让学生思考，培养学生对式子的转化和观察图形的能力。
思考一：(a ＋ b)2 与 (－a －b)2 相等吗？(a －b)2 与 (b － a)2 相等吗？
通过分析发现：(－a － b)2 与( a －b)2有相似之处，它的－ a 可以看成是公式中的a ，只要将其代入(a － b)2 = a 2－2ab ＋b 2 ，即 (－a － b)2 = (－a )2－2·(－a )·b ＋b 2 = a 2＋2ab ＋b 2，就可以发现它与(a ＋ b)2的结果是一样的（如果说是能应用添括号的方法就可以直接转化为同一个式子了）， 而(a － b)2 与(b － a)2只是被减数和减数的位置交换了，与它们的平方没有关系（应用添括号的方法可以直接转化为同一个式子），通过计算可以发现结果是一样的。
思考二：你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗？ b
图（1）
图（2）
如图（1）大正方形的面积等于两个正方形的面积加上两个长方形的面积，即(a ＋ b)2 = a 2＋b 2 ＋ab ＋ab=a 2＋b 2 ＋2ab ，再转化成课本上的公式就是：(a ＋ b)2 = a 2＋2ab ＋b 2
如图（2）红色正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积和一个黄色正方形的面积，即 (a －b)2 =a 2－(a －b) b － (a －b)b －b 2 = a 2－ab ＋b 2 －ab ＋b 2－b 2 = a 2－2ab ＋2b 2 －b 2 = a 2－2ab ＋b 2 ，即得：(a －b)2 = a 2－2ab ＋b 2
五 课堂小结：
这节课我们讲了完全平方公式，它是中学运用比较多的公式之一，在后面的学习中我们还会利用它进行解题，希望同学们要理解和掌握好完全平方公式，并能灵活应用公式进行计算。
六 课堂练习：
1.（1）(2a ＋3b)2 = （2）(－2a ＋3b)2 = (3)(a －1)(a ＋1)(a 2－1)
2.(1)已知x －2x=2,先化简,再求值：(x －1)2＋(x ＋3)(x －3)＋(x －3)(x －1)
(2)化简，求值：(x －3)2 －x (x －8)，其中x = 3
3.已知（a ＋b)2 = 8 ，（a －b)2 =12 ，求a 2＋b 2的值。
教学后的反思，根据此教案进行教学，学生能力得到了发展，并且对所学习的知识有更深层次的理解和掌握，此教案能紧紧的结合教材，并通过师生的交流，由开始的复习引入来理解完全平方公式，再到后面思考一的比较说明形变质不变，然后由思考二的数形结合，说明代数与几何的有机联系，都是紧扣主题完全平方公式，这体现在分析和方法上能加以归纳小结，我认为这样的教学研究还是很好的。
a b a b
a a b
平方差与完全平方公式教案与答案
15.2.1 平方差公式 知识导学 1．平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。 典例解悟 例1. 计算：（1）(2x+3y)(2x-3y) (2) (-4m2-1)(-4m2+1) 解：（1）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2 (2) (-4m2-1)(-4m2+1)=(-4m2)2-12=16m4-1 感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。其中第（2）题中的相同项是-4m2,不能误以为含有负号的项一定是相反项。 例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8. 解：原式=(x2-4y2)-(y2-4x2)=5x2-5y2. 当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.
感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。在本题(2x-y)(-2x-y)中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为（-y+2x）（-y-2x）。阶梯训练 A级 1.下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A.(-a-b)(a+b) B.(-a-b)(a-b) C.(-a+b)(a-b) D.(a+b)(a+b) 2.在下列各式中，计算结果是a2 -16b2 的是（） A．（-4b+a）（-4b-a） B.(-4b+a)(4b-a) C．（a+2b）（a-8b） D.(-4b-a)(4b-a) 3.下列各式计算正确的是（） A.（x+3）（x-3）=x2 -3 B．（2x+3）（2x-3）=2x2 -9 C.（2x+3）（x-3）=2x2 -9 D．（2x+3）（2x-3）=4x2 -9 4．（0.3x-0.1）（0.3x+0.1）=_________ 5. (2 3x+3 4 y) (2 3 x-3 4 y) = _________ 6.（-3m-5n）（3m-5n）=_________
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222 +-=+a a a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()2 2 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求 ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 2 2 a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则2221 21y xy x ++= ⑶已知xy ２ y x ，y x x x -+-=---2 22 2)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________
完全平方公式时教案新北 师大版 Newly compiled on November 23, 2020
教材分析 本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计 （一）复习回顾，引出课题
1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算请计算出结果。 （1）(m+3)2 = (m+3) (m+3) = ____; （2）(2-x)2=(2-x)(2-x) = ; 教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征②它们的结果有什么特征③能不能用字母表示你的发现 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2
§1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结：
提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。
完全平方公式 教材分析 完全平方公本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计 （一）复习回顾，引出课题
1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算?请计算出结果。 2 = (m+3) (m+3) = ____; (m+3) ）（1 2=(2-x)(2-x) = ;(2-x) （2）教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律？回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： 222bababa+=( ++2)222baabab (+－－)2=这两个公式叫做完全平方公式。 你能用自己的语言叙述这两个公式①这两个公式有何相同点与不同点？② 问题：吗？ 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，同号是加异号是减。顺口溜强化记忆：中间项从而结果是特殊的。教师向学生强调平方差公式是多项式乘多项式的特殊形式，符号的确定是易错点，也要强调。【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力。教材对这两个公式的语言叙述比较抽象，理解有一定难度，为此结合两个公式的特征，可用顺口溜强化记忆。剖析公式，发现本质 3.1）左边是一个二项式的完全平方；（）右边的积有三项，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项（2 乘积的两倍；可以代表数字，也可以代表单项式、多项式。（3）字母a,b【设计意图】通过观察完全平方公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌 ba抓住了概念的核心，进一步剖析的广泛含义，、在认清公式的结构特征的基础上，握公式．使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。自学例题4. 1：利于完全平方公式计算：P24例题22 2 (4x+5y)②③(mn-a)①(2x-3) 解析：22 + 6m + 9① (m +3)= m 22 2baab =+ +2 (a +b)) 教师提示学生以后做题时，可按照“解析”那样，对照公式检查结果是否正确。 【设计意图】培养学生的自学能力和小组合作交流能力，进一步强化学生对法则的理解，遵循由浅入深。
完全平方公式（1） 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出准确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践水平等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则的准确应用。 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能准确的应用公式。
三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理水平。 2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。 3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。 （二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下坚实的基础。 （三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断 或大胆的猜测； （四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同 角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和使用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，理解到数学是解决实际问题和实行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断能够获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的
完全平方公式第一课时教案(新北师大版)
1.6.1完全平方公式 教材分析 本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计
（一）复习回顾，引出课题 1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算?请计算出结果。 （1）(m+3)2 = (m+3) (m+3) = ____; （2）(2-x)2=(2-x)(2-x) = ; 教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律？回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2 这两个公式叫做完全平方公式。
讲学合一 学习模式 课型：新授课 主备人：卢花玲 审核：郑雪伟 时间；2010-3-3 课题；1.8完全平方公式（2） 学习目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2、会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 3、综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 学习重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 及综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 学习难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 学习方法：尝试归纳法 自主学习 整体感知 1、 计算下列各题： 1、2)(y x + 2、2)23(y x - 3、2)21 (b a + 4、2 )12(--t 5、2)313(c ab +- 6、2)2332(y x + 7、2)12 1(-x 合作交流 文本探究 问题：若没有计算器的情况下，你能很快算出9982的结果吗？ 课内检测 巩固提高 1、计算：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 2、计算：利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032
3、计算：（1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +- 注意：（2）中按完全平方公式展开后，必须加上括号 4、计算：（1）) 4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy （3）)4)(12(3)32(2+--+a a a 5、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x （3）)3)(3(+---b a b a 拓展延伸 巩固提高 1、若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。 2、 若k x x ++22是完全平方式，求k 值。 （五）作业：第45页习题1、问题解决2、 教学反思：
完全平方公式的变形与应用 提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和， 证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.
完全平方公式(第一课时) 教学内容：完全平方公式 教学目标：完全平方公式的推导及其应用 教学重点：完全平方公式的推导过程，公式特点 教学难点：理解完全平方公式的特点并能灵活应用公式进行计算 教学过程： 一复习引入： 1 计算下面各题：(复习多项式与多项式相乘) (1)(2x＋1)(x＋3) (2) (m＋2n)(m－3n) (3) (x＋2)(x＋3) (4)(x－4)(x＋1) (5) (y＋4)(y－2) (6) (y－5)(y－3) 2 师：我们曾学过求正方形的面积，那么它的面积公式是如何表示的，请一个同学说出来。生：s = a2 师：很好，请问a2 表示什么意思？ 生：a2表示a · a，即两个a相乘 师：说得对，用数学表达式可以写作：a2 = a ·a (教师板书)，这节课我们就要用到这种方法来解决一个新的问题 二导入新课： 先计算下列各式，看谁能先发现计算结果有什么的规律性 (1) (p＋1)2 = (p＋1)(p＋1)= (2) (m＋2)2 = (3) (p－1)2 = (p－1)(p－1) = (4) (m－2)2 = 通过计算，得：(1) 的结果是：p2＋2p＋1 ；(2) 的结果是：m2＋4m＋4 ； (3) 的结果是：p2－2p＋1 ；(4) 的结果是：m2－4m＋4 。 教师启发学生先观察(1)式， 师：它是求(p+1)的平方，第一项和第三是这两个加数的什么？ 生：是这两个加数的平方， 师：在看第二项，在我们计算的结果中除了字母p和数字1 外，还多了一个系数2，你还知道是如何得到的吗？ 生：是根据多项式与多项式相乘，展开后其中有两项是一样的，通过合并同类项得到系数2；师：说的对，请再分析一下第二项与这两个加数是不是还有什么样的关系？ 生：从刚才的计算过程中可以看出，实际上第二项就是这两个加数的2倍； 师：说得好！(教师板书)：2 p = 2 ×p ×1，因为这个1可以省略，所以写作2 p，但我们心里要明白是这两个加数的2倍，不然的话我们就容易出现计算上的错误，比如说(2) 和(4)中间项就是2 ×m ×2 = 4m得到的； 师：还有一个问题就是展开后的符号是如何确定的，你知道吗？ 生：对于这样的式子来说，如果说是加号就加上这两个数的2倍，是减号的话即减去这两个数的2倍了，其余符号都为加号。 师：好的，现在我们再来计算一下这两题看看是不是有这样的情况： (1)(a＋b)2 (2) (a－b)2 经过计算后学生发现(1) 的结果是：a2＋2ab＋b2 ；(2) 的结果是：a2－2ab＋b2 ，这与刚才分析的是一致的。 师：能否说出有什么规律性？ 生：两个数的和的平方，会等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两个数的差的平方，会等于它们的平方和减去它们的积的2倍，
教学设计 8.3 完全平方公式与平方差公式 （第1课时） 完全平方公式 一、教学背景 （一）教材分析 乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后学习的，是特殊形式多项式乘法结果的一中归纳和总结，并且将这种结果应用于形式相同的多项式乘法，达到简化计算的目的.乘法公式是初中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，也是学习因式分解和分式运算的重要基础. （二）学情分析 学生在8.2节学习了多项式的乘法，为推导和掌握完全平方公式奠定了基础. 学生在经历多项式的乘法基础上，初步为学习完全平方公式提供了思维方式.七年级下学生的认知发展已具备了转化、数形结合的能力，富有积极思考、主动探索、合作交流情感基础，为推导完全平方公式提供了保证. 二、教学目标： 1 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符合感和推理能力. 2 会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算. 3 进一步体会转化、数形结合等思想。 三、重点、难点： 重点：体会 的发现和推导过程，并能用之计算. 难点：掌握公式字母表达式的意义及对完全平方公式的运用. 四、教学方法分析及学习方法指导 教学方法： 在教学中要引导学生发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，加深学生对公式理解。所以教学中要运用联系、对比、特点方式加以引导学生学习． 学法指导： 学习中，让学生主动发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生认识、掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，在公式的运用上，把公式中的字母同具体题目中的数或式子，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果． ()2 222a b a ab b ±=±+
《完全平方公式》的教学设计及反思 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 关键信息： 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则。 ③多项式乘以多项式法则。 2、学生对将要习的内容已经具备的知识水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能正确的应用公式。 三、教学目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。 3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。 （二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下基础。 （三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测； （四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。 （五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。 四、教学重点；完全平方公式的准确应用。 五、教学难点；掌握公式中字母表达式的意义及灵活运用公式进行计算。 六、教育理念和教学方式： 1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：本节的教学过程，要为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。
半期复习(3)—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一.公式拓展: 拓展一: 拓展二: 拓展三: 拓展四:杨辉三角形 拓展五: 立方与与立方差 二.常见题型: (一)公式倍比 例题:已知=4,求。 (1),则= (2)已知= (二)公式变形 (1)设(5a ＋3b)2=(5a －3b)2＋A,则A= (2)若()()x y x y a -=++22 ,则a 为 (3)如果,那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m,(a —b)2=n,则ab 等于 (5)若,则N 得代数式就是 (三)“知二求一” 1.已知x ﹣y=1,x 2+y 2=25,求xy 得值. 2.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12. (1)求xy 得值; (2)求x 2+3xy+y 2得值. 3.已知:x+y=3,xy=﹣8,求: (1)x 2+y 2 (2)(x 2﹣1)(y 2﹣1). 4.已知a ﹣b=3,ab=2,求: (1)(a+b)2 (2)a 2﹣6ab+b 2得值. (四)整体代入 例1:,,求代数式得值。 例2:已知a= x ＋20,b=x ＋19,c=x ＋21,求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 得值 ⑴若,则= ⑵若,则= 若,则=
⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0,求得值为 ⑷已知,,,则代数式得值就是. (五)杨辉三角 请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(2): 根据前面各式得规律,则(a+b)6=. (六)首尾互倒 1.已知m2﹣6m﹣1=0,求2m2﹣6m+=. 2.阅读下列解答过程: 已知:x≠0,且满足x2﹣3x=1.求:得值. 解:∵x2﹣3x=1,∴x2﹣3x﹣1=0 ∴,即. ∴==32+2=11. 请通过阅读以上内容,解答下列问题: 已知a≠0,且满足(2a+1)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)2+9a2=14a﹣7, 求:(1)得值;(2)得值. (七)数形结合 1.如图(1)就是一个长为2m,宽为2n得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形. (1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少？ (2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积; (3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系吗？ 三个代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn. (4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2得值. 2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例 如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2得面积来表示. (1)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式; (2)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2. (八)规律探求 15.有一系列等式:
里辛一中初一数学导学案 初一数学课题:完全平方公式（1）备课时间:2020-08-20 课堂寄语:在做题过程中掌握知识点的衔接，巩固需要强化的知识，提高基础知识的熟练程度，就可以提高做题的效率；同时要注意题目的归类，解题过程中把握好某种题型的解题思路和技巧 学习目标1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 3、了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观。 重难点重点：1、弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2、会用完全平方公式进行运算。 难点：会用完全平方公式进行运算 学习过程师生共享 (二次备课) 一个例子比十个定理有效一、【回顾与思考】 1、平方差公式：________________________ 2、公式的结构特点： 左边是____________ _______________ 右边是_________ ______________ 3、利用平方差公式计算 （1）22×18 （2）（2x+1）（2x-1） 二、【自主学习探究新知】 探究一：找规律 （m+3）2= （2+3x）2= 通过观察看看左边多项式中的项与右边结果中的项有什么关系？能否用字母来表示？ 字母表示： 文字叙述： 探究二：完全平方公式的几何解释 一块边长为a米的正方形实验田，因需要 将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植 不同的新品种。（如图） 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较你发现了什么？
例题2： 已知x+y=8,xy=12,求x 2+y 2的值 解题探究：①因为x+y=8，所以（x+y ）2的值是 ②由完全平方公式可知（x+y ）2= ，由上述探究可得 = ，即x 2+y 2= ③由已知xy=12可得x 2+y 2= = 规律总结：完全平方公式的“四种恒等变形” 1、a 2+b 2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 2、(a+b)2+(a-b)2=2a 2+2b 2 ,(a+b)2-(a-b)2=4ab 3、ab=2 1[(a+b)2-( a 2+b 2)]= 4 1[(a+b)2-(a-b)2] 4、 222 11 a (a ) 2.a a + =+- 跟踪练习： 若的值。求xy y x y x ,16)(,12)(22=+=- 四、【课堂达标】 １、下列各式中，能够成立的等式是（ ）． A 、2 2 2 (2)42x y x xy y -=-+ B 、22 211()24 a b a ab b -= ++ C 、222 ()x y x y +=+ D 、2 2 ()()a b b a -=- 2、 若是一个完全平方式，则m 的值是_________ A 、12 B 、﹣12 C 、±12 D 、±6 3、运用完全平方公式计算： (1)(21m －3 1 n)2 (2) 4.下列运算正确的是( ) A.(-2mn)2=4m 2n 2 B.y 2+y 2=2y 4 C.(a-b)2=a 2-b 2 D.m 2+m=m 3
6完全平方公式 第1课时完全平方公式的认识 【知识与技能】 理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景. 【过程与方法】 经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识. 【情感态度】 在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 【教学重点】 1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点； 2.会用完全平方公式进行运算. 【教学难点】 会用完全平方公式进行运算. 一、情景导入，初步认知 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗? (x+3)2=_________________， (x-3)2=_________________， 这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试: (2m+3n)2=_________________， (2m-3n)2=_________________.
【教学说明】 让学生运用多项式乘以多项式的法则进行计算，为本节课学习完全平方公式做准备. 二、思考探究，获取新知 1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ （m+3）2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9 （2+3x）2=(2+3x)(2+3x) =4+2×3x+2×3x+9x2 =4+12x+9x2 2.观察上面的计算结果，回答下列问题： （1）原式的特点？两数和的平方. （2）结果的项数特点？等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍. （3）三项系数的特点？（特别是符号的特点）. （4）三项与原多项式中两个单项式的关系.3.再举两例验证你的发现.4.你能用自己的语言叙述这一公式吗？ 【归纳结论】 两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍.即： (a+b)2=a2+2ab+b2 5.用不同的形式表示图形的总面积，并进行比较，你发现了什么？ 6.议一议：(a-b)2=？你是怎样做的？ 7.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式. 【归纳结论】 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍.即：(a-b)2=a2-2ab+b2上面的两个公式称为完全平方公式. 8.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式. 结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
半期复习(3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二:a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2 222---++=++ 拓展四:杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二.常见题型： （一）公式倍比 例题:已知b a +=4,求ab b a ++2 2 2。 (１)1=+y x ,则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= （二)公式变形 (１)设(５a ＋3b ）2=(5ａ－３b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (３)如果2 2)()(y x M y x +=+-,那么M 等于 （4）已知(ａ+b)2=m ，(a —b)２=n ，则ａb 等于 (５)若N b a b a ++=-22)32()32(,则N 的代数式是 （三）“知二求一” 1．已知ｘ﹣ｙ=1,x ２+y ２＝25，求xy 的值. 2.若x ＋y=3,且（x+2)（y ＋2）=12. （1)求ｘｙ的值； （2）求x 2＋3x ｙ+ｙ2的值．
韶关市第十三中学课程教学教学设计（课时） （2014 ～ 2015 学年第一学期） 课程名称：数学主备教师：李颖任课教师：罗红莲 课题：§14．2．2．2 完全平方公式（二） 课型：新授课 课时：第课时（总第课时） 授课班级：八年级（6）、（8）班 授课时间： 2014 年月日（第周） 教学目标： 一、知识与技能1．添括号法则． 2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式． 二、过程与方法1．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力． 2．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义． 三、情感、态度与价值观 鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神． 教学重点：理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用． 教学难点：在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的． 教学方法：讲练结合 教学资源：课件 教学过程： Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]请同学们完成下列运算并回忆去括号法则． （1）4+（5+2）（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c） 解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c 去括号法则： 去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合． 也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变． ∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：（1）4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2） 左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，?同学们可不可以总结出添括号法则来呢？ 添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；?如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变． 请同学们利用添括号法则完成下列练习： 1．在等号右边的括号内填上适当的项： （1）a+b-c=a+（） （2）a-b+c=a-（） （3）a-b-c=a-（）