第8讲 唯一性定理
电磁场Maxwell 方程是偏微分方程，描述了电磁场的一般特性。对于具体的有限区域电磁场问题，需加上边界条件和初始条件，才能得到具体问题的特解。这就构成所谓的“初值问题”和“边值问题”。
本讲要解决的问题是在怎样的条件下初值问题和边值问题具有唯一解？
图8-1边值问题
8.1 Maxwell 方程的唯一性定理
8.1.1时域唯一性定理
[定理8-1] 对于图8-1的边值问题，如果区域v 内的源已知，并且
1） t =0时v 内所有场已知（初始条件）；
2） t ≥0时包围v 的闭合曲面s 上切向电场 n
E ?或切向磁场 n H ?已知（边界条件）； 则t >0时v 内的场唯一确定。
[证] 设v 中的电流源J 产生两组场 E H 11,和
E H 22,，满足
2,1 =???
???
?-=??++=??j t H E t E E J H j j j
j j ??μ??εσ
（8-1）
考虑差场δ E E E =-12，δ
H H H =-12，由于两组解产生于同一组源，故差场满足无源方程
??=-??=+??
???
??δμ?δ?δσδε?δ?
E H t
H E E t （8-2） 对差场应用Poynting 定理
?????-=++s
v v
ds n H E dv E dv E H t ?)()(2122 δδδσδεδμ??
（8-3） 因为 () ( )( )δδδδδδ
E H n
E n H H n E ??=-??=?? 所以, 只要满足定理8-1中s 面上的边界条件2)，则
() δδ
E H nds s
??=?
0 于是 120222?
?μδεδσδt H E dv E dv v v
() +=-≤?? （8-4）
由定理8-1中初始条件1)，有
()μδεδ H E dv v
t 22
00+=?=
故t ≥0时 ()μσεδ H E dv v
+≤?2
即 μδεδ
H
E 2
2
0+≤
另一方面, 由于μ>0，ε>0，δE 2
0≥,
δH 2
0≥,故
μδεδ H
E 2
2
0+≥
最终
δδ
E H ==00,
即
E E 12=， H H 12=
唯一性定理告诉我们，区域v 中的电磁场是由v 中的源、初始时刻的电磁场以及任意时刻边界上的切向电场或切向磁场唯一决定的。
8.1.2 有耗媒质中频域唯一性定理
[定理8-2] 在频域，如果有耗媒质区域ν中的源以及边界s 上的切向电场或切向磁场已知，则ν中的电磁场唯一确定。 证明：差场满足
??=-??=???
??δωμδδωεδ E j H H j E
（8-5） 其中，μμμ='-''j ，εεε='-''j 。应用频域Poynting 定理
0)(?)(2*
2
*=-+???
?dv E H j ds n H E v
s δεδμωδδ 边界条件使得
() *
δδ E H nds s
??=?
0 于是 ()'-'=?μδεδ H E dv v
2
20 （8-6）
()''+''=?μδεδ H E dv v
22
0 （8-7）
对于有耗媒质，''>μ0，''>ε0, 于是，δ E =0，δ
H =0。
在上面的证明中，如果媒质无耗即''=''=με0，则唯一性定理的证明不能成立。
Harrington 认为“在此情况下要获得唯一性，须将无耗媒质中的场作为有耗媒质中的耗散趋于
0时相应场的极限”（参见R.F. Harrington,《正弦电磁场》）。但是这种观点是不妥的，在极限情况下成立，但在极限点未必成立。
根据上面的推导，当''=''=εμ0时只有（8-6）成立，所以有两种可能：（1）δδ
E H ==00,，
（2）εδμδ E H 22
=
对于满足切向场边界条件的差场而言，无耗媒质区域v 相当于一个电磁谐振腔（导体空腔、磁体空腔、或部分导体边界和部分磁体边界的空腔）。第（2）种情况恰好相当于该谐振腔谐振。所以，在无耗区域v 处于非谐振状态时，上述唯一性定理仍成立。但对于谐振状态，上述唯一性定理则不成立。为此我们需要寻找无耗区域谐振状态时的唯一性定理。
8.1.3 无耗区域频域唯一性定理
考虑差场的Foster 定理（R.E. Collin, 《微波工程基础》） 根据（8-5），有
??
=+?δ?ωωμ?δ?ωδ?ωμ?ω E j H
j H ***() （8-8）
??=--?δ?ωωε?δ?ωδ?ωε?ω H j E j E *
*
*() （8-9）
由于是无耗区域，故με, 均为实数。计及
???+?=???-??????-???()
()()****
**
δ?δ?ω?δ?ω
δδ?δ?ωδ?δ?ω?δ?ωδ?δ?ω
δ
E H E H E H E H E
H E H
+ （8-10）
将（8-5）、（8-8）和（8-9）代入上式， 得
???
+
?=+()
[()()]
**
δ?δ?ω?δ?ωδδ?ωε?ωδ?ωμ?ω
E H
E
H j E H 22 （8-11） 其积分形式为
() [()()]**δ?δ?ω?δ?ω
δδ?ωε?ωδ?ωμ?ω
E H E H nds j E H dv
s
v
?
+??=+??22 （8-12）
根据R.E. Collin, 《微波工程基础》，
w E w H e m =≥>=≥>1400
1400
22 ?ωε?ω?ωε?ω
?ωμ?ω?ωμ?ω
(),()(),() 且且 （8-13）
[定理8-3] 当无耗区域v 中的源给定后，在边界s 上只有满足下列条件之一，场才是唯一确定的。
(1)
??=??=???
?? E H 00
（8-14） (2)
??=??=????
?
E E 00??ω （8-15） (3)
??=??=????
???ω H
H 00 （8-16） (4)
??=??=??
???
????ω
??ω E H 00 （8-17）
8.1.4 无限区域的处理
上述唯一性定理的证明只考虑了有限区域。对于无限区域，可处理为一个半径为无限大的球体。假设源分布在有限区域内。于是，对于无限远的球面来说，任何有限区域内的源都可看成是点源。这样，在无限远的球面上场按1
2r
衰减为0（球面波），即在无限远球面上 , n
E n H ?=?= 00，所以，无限大区域中的场是由源唯一确定的。
8.2 标量波动方程的唯一性定理
[定理 8-4] 对于波动方程
()
p u k -=+?22 （8-18） 如果区域v 中的源p 给定以及
（1） 边界s 上的u 给定;
（第一类边值问题，或称Dirichelet 问题）； （2）
或边界s 上的
n
u
??给定； （第二类边值问题，或称Neumann 问题）； （3）
或边界s 上一部分的u 给定，另一部分的
n
u
??给定； （第三类边值问题，或称混合问题）； 则区域v 中u 唯一确定。
[证] 设同一源产生两组解1u 和2u 均满足（8-18）。 考虑差值函数21u u u -=δ，满足 ()
022
=+?
u k δ （8-19）
应用Green 第一恒等式
????=???-?s
v
ds n
dv ?)(2
φ?φ?φ? （8-20） 上式中令u δ?=，u δφ=，则有
()()[]
????=?+-s
v
ds n
u
u
dv u u k δδδδ2
2
（8-21） 可见，只要满足定理8-4中三个条件中的任何一条，都有0=u δ，即21u u =，u 被唯一确定。
唯一性定理在电磁场理论中占有重要的地位，其重要性在于
（1） 它告诉我们为了获得电磁场解应需要什么条件；
（2） 在求解过程中，不论采用什么方法，一旦求出一个解，就可以放心地知道这就是唯一解；
（3） 以唯一性定理为基础可以导出许多有用的定理和方法。
（4） 但唯一性条件只是充分条件。
习题8
8-1 试证明图8-2所示的有耗多媒质区域的频域电磁场唯一性定理：如果
（1） 区域内的源已知；
（2） 区域外边界上切向电场或切向磁场已知；
（3） 区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续，
则区域内电磁场唯一确定。
图8-2多媒质区域
8-2
试讨论Poisson 方程
ε
ρ?-=?2解的唯一性问题。
??
理学院物理系陈强 电磁学 第8章Maxwell 电磁场理论 §8-1. Maxwell 方程组 §8-2.电磁波 1
理学院物理系陈强 §8-1. Maxwell 方程组 §8-1. Maxwell 方程组 电磁学里程碑(100年左右的时间) 1785年Coulomb Law静电规律 1820年Oersted电?磁稳恒磁场 1831年Faraday磁?电电磁感应 1865年Maxwell完善 方法论：归纳法. 继承+ 创新. ?有目的探索: Coul. , B-S, Far. ; 偶然机遇: Ostered ?精巧实验: Ampère数学理论: Gauss ?理想模型: 场, 位移电流 2
3 理学院物理系陈强 §8-1. Maxwell 方程组 复习：静电场和恒定磁场的基本性质和普遍规律 静电场的高斯定理：∑∫∫=?0 S 1q S d D r r )(稳恒磁场中的高斯定理：0S d B S 1=?∫∫r v )(静电场的环流定理：0 l d E L 1=?∫r r ) (稳恒磁场安培环路定理： ∑∫=?0 L 1I l d H r r )(涡旋电场假说：变化磁场产生涡旋电场且有 ∫∫∫∫∫????=??=Φ?=?S S m L 2S d t B S d B dt d dt d l d E r r r r r r )(一. 位移电流
4 理学院物理系陈强 §8-1. Maxwell 方程组 ?第一种不对称是两个高斯定律，原因： 自然界不存在磁单极（“磁荷”）。?第二种不对称是两个环流定律： ????? ΦΦ∑dt d I B dt d E D 0m ，但没有的环流中有电流磁流但没有的环流中有"",如果 )()(21E E E r r r +=∑∫∫=?0S 1q S d D r r )(0 S d B S 1=?∫∫r v )(∫∫∫????=Φ?=?S m L S d t B dt d l d E r r r r ∑∫=?0l 1I l d H r r )(上面四个基本方程变为：
高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.
物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程
(上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像
2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为
South China University of Technology 2.2 无耗传输线的特解 特解是指在特定边界条件下，传输线上电 压电流的解。 对于传输线，通常的边界条件有：终端条 件、源端条件和电源、阻抗条件。 I z ?l 0U L U I g I l l 0U g z E g Z g
South China University of Technology 1. 终端边界条件 已知代入通解，为 022 e j β l = U l + Z c I l e - j β l = U l - Z c I l U +U - 得到 U( z = l ) = U l ,I( z = l ) = I l l 0 0 l 00I =1(U +e - j β l -U -e j β l )U = U +e - j β l + U -e j β l Z c
South China University of Technology 为了简化解的形式，采用坐标变换 计及复数Euler 公式，最后得 z ' = l - z U( z ' ) = U l cos β z ' + jZ c I l sin β z ' I( z ' ) =j U l sin β z ' +I cos β z ' l Z c 于是 U( z ) = 1 (U + Z I )e j β ( l - z ) + 1 (U - Z I )e - j β ( l - z ) 22112Z 2Z l c l l c l I( z ) = (U + Z I )e j β ( l - z ) -(U - Z I )e - j β ( l - z ) l c l l c l c c
工程电磁场基本知识 点
第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示，梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u?=。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为Φ=。 9 散度的物理含义是。 10 散度在直角坐标系中的表示为??= A。 11 高斯散度定理。 12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。 13 旋度的物理含义是。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??= A。 15 矢量场A在一点沿 e方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关 l 系为。 16 斯托克斯定理。
17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e 20 0(0)11''4()(0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=?????g g 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点 P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ???处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。
心之所向，所向披靡 第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 ,1S S =- ,12=S 2 1= S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数 （甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，
{}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不 变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数 ∑∞ =+-1 1 ,) 1(n n 具有∞→n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满 足， ∑∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数 ∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而 ∑ ∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 当1 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域。 解: 由2 ()x f x e =知2 ()[()]1x f x e x ??==-,又()0x ?≥, 则()0x x ?=≤. 例2 (1990, 3分) 设函数1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,lim n n n x a y b →∞ =. 第2讲 Maxwell 方程 在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。 2.1 Maxwell 方程的积分和微分形式 Maxwell 方程的积分形式 ????? ??????=?=????-=????+?=?? ? ??? ??? 高斯定理 磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理 0 v s s l s l s s dv s d D s d B s d B t l d E s d D t s d J l d H ρ （2-1） 以及电流连续性方程 ? ??- =?s t Q s d J （2-2） 对于连续媒质空间，利用积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式： ????? ???? =??=????-=????+=?? ρD B t B E t D J H （2-3） 以及 t J ??-=??ρ （2-4） Maxwell 方程的实践性 Maxwell 方程来源于实践，主要是几个实验定律：库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。但Maxwell 方程又高于实践，它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。比如，库仑定律R R q q F ? 4221πε-= ，在实验中得到R 的指数幂其实并不是2，而是1.3，但库仑分析了实践中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。 由库仑定律可以导出Maxwell 方程中的高斯定理，由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理，但 是由实验定律并不能直接导出Maxwell 方程中安培环路定律，而是J H =??但是，由上式可得 0=??J ，不满足电流连续性方程，为此，Maxwell 大但引入了位移电流d D J t ?=? ，从而构成了完整自 l d s d 图2-1 体积分、面积分和线积分示意图 第8章 电磁辐射 前面讨论了电磁波的传播问题，本章讨论电磁波的辐射问题。时变的电荷和电流是激发电磁波的源。为了有效地使电磁波能量按所要求的方向辐射出去，时变的电荷和电流必须按某种特殊的方式分布，天线就是设计成按规定方式有效地辐射电磁波能量的装置。 本章先讨论电磁辐射原理，再介绍一些常见的基本天线的辐射特性。 8.1滞后位 在洛仑兹条件下，电磁矢量位A 和标量位?满足的方程具有相同的形式 22 2t ?ρ ?μεε??-=-? （8.1.1） J A A μμε-=??-?222 t （8.1.2） 我们先来求标量位?满足的方程式（8.1.1）。该式为线性方程，其解满足叠加原理。设标量位?是由体积元'V ?内的电荷元'q V ρ?=?产生的，'V ?之外不存在电荷，则由式（8.1.1）'V ?之外的标量位?满足的方程 22 20t ? ?με??-=? （8.1.3） 可将q ?视为点电荷，它所产生的场具有球对称性，此时标量位?仅与r 、t 有关，与θ和φ无关，故在球坐标下，上式可简化为 222 210r r r r t ?? με?????-= ?????? （8.1.4） 设其解()() ,,U r t r t r ?= ，代入式（8.1.4）可得 012 2222=??-??t U v r U （8.1.5） 其中，με 1 = v 。该方程的通解为 (),()()r r U r t f t g t v v =-++ （8.1.6） 式中的()r f t v -和()r g t v +分别表示以()r t v -和()r t v +为变量的任意函数。所以q ?周围的 场为 ()11,()()r r r t f t g t r v r v ?= -++ （8.1.7） 式（8.1.7）中第一项代表向外辐射出去的波，第二项代表向内汇聚的波。在讨论发射天线的 电磁波辐射问题时，第二项没有实际意义，取0=g ，而f 的具体函数形式需由定解条件来确定。此时 ()1,()r r t f t r v ?= - （8.1.8） 第一章 矢量分析与场论 1 源点是指 。 2 场点是指 。 3 距离矢量是 ，表示其方向的单位矢量用 表示。 4 标量场的等值面方程表示为 ，矢量线方程可表示成坐标形 式 ，也可表示成矢量形式 。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示 ，梯度的方向表 示 。 6 方向导数与梯度的关系为 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?= 。 8 矢量A 在曲面S 上的通量表示为Φ= 。 9 散度的物理含义是 。 10 散度在直角坐标系中的表示为??=A 。 11 高斯散度定理 。 12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系 为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e 20 0(0)11''4() (0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=????? 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ??? 处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E = 。 12 无限大导电平面，电荷面密度为σ，则空间电场E = 。 13 静电场中电场强度线与等位面 。 14 两等量异号电荷q ，相距一小距离d ，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩 p = 。 15 极化强度矢量P 的物理含义是 。 16 电位移矢量D ，电场强度矢量E ，极化强度矢量P 三者之间的关系 为 。 17 介质中极化电荷的体密度P ρ= 。 18介质表面极化电荷的面密度P σ= 。 第11讲 镜像原理 (I) 镜像原理的基础是唯一性定理，即在某一特定区域，只要解满足该区域的支配方程和相应的边界条件，那么，这个解就是该区域的唯一正确解。 11.1 导体平面镜像原理 设一点电荷放置在无限大接地导体平面的右半空间中，导体平面位于x =0处，点电荷位于 x x =0处。如图11-1(a)所示。 图11-1导体平面对点电荷的镜像原理 （a ） 原问题 （b ）镜像问题 图11-1(a)中区域1的边界条件是在x =0导体平面上切向电场为零，图中的电力线也清楚地表明了这一点。如果在区域2中x x =-0处放一点电荷-q ，并去掉导体平面，如图11-1(b)所示，则由电力线分布可以看出，这两个点电荷产生的电场在x =0平面上仍保持切向电场为零，并且也没有改变区域1中的电荷分布，所以由唯一性定理可知，区域1中电场保持不变，即就区域1而言，图11-1(a)与11-1(b)的两个问题是等效的。 注意就区域2而言，两个问题是不等效的，因为图11-1(b)区域1中多了一个点电荷-q 。类比可知，对于点电荷，导体平面就如同一面镜子，故将这一原理称为镜像原理。在x x =-0处的点电荷-q ，称为镜像电荷。 依照同一原理，可以导出导体平面对点磁荷q m 的镜像原理。所不同的是磁荷产生的磁场在导电平面上法向分量为零，所以镜像磁荷应与原磁荷值相同。 电流、磁流分别是由电荷、磁荷的流动形成的，所以利用点电荷和点磁荷的导体平面镜像原理。可以导出导体平面对电流和磁流的镜像原理，如图11-2所示。 (a)(b) J M J M 图11-2导体平面对电流和磁流的镜像原理 应当注意的是，在应用镜像原理时，不仅要考虑源的镜像，有其他物体存在时还要考虑其他物体的镜像，使镜像问题维持对称，如图11-3所示。 PEC (a)(b) J J 图11-3有其他物体存在时的镜像原理 上述导体平面镜像原理可以推广到多导体平面的镜像问题。 导体拐角的镜像原理 如图11-4(a)在无限大导体直角内放置一点电荷q。当去掉导体拐角后，为了保证导体平面上的切向电场为零，必须分别在二、三、四象限内放置镜像电荷，如图11-4(b)所示。y=0平面上面的两个点电荷与下面的两个点电荷保证了y=0的切向电场为零。x=0平面左边的两个点电荷与右边的两个点电荷保证了x=0平面切向电场为零，所以整个导体拐角上切向电场为零。 第18讲 Einstein 相对论 1905年Einstin27岁时在一篇<<运动物体中的电动力学>>的文章中，提出了后来被称为“狭义相对论”的理论，宣告了Newton 经典绝对时空观的破产，建立了全新的相对时空观，对物理学产生了革命性的变化。狭义相对论也是研究运动系统电磁场特性的基础。 Einstein 相对论的诞生不是孤立的。它是十九世纪末物理学研究，特别是电磁学和光学研究中很多新结果与经典物理学的时空观发生尖锐矛盾的必然结果。 18.1 绝对时空观 — 伽利略变换 自古以来，空间概念来源于物体的广延性，时间概念来源于过程的延续性。 所有的物理定律，几乎都是在表明一定的物体在空间中的活动情况怎样随着时间而变化。 一个物体的位置，或一事件发生的地点只有参照另外一个适当选择的物体，才能表达出来。 所以，空间与时间即做为物理事件发生的载体，又可以做为用空间坐标和时间坐标描述事件的参照系。 我们可以采用任何一种参考系来描述物理事件和表述其定律。但是只存在一个或一些参考系，在这些参考系中物理定律比较简洁，即在这些参考系中物理定律比在其他参考系中包含较小的因素。对于力学而言，在所有可以想像的参考系中，存在着一些参考系，根据这些参考系，惯性定律可以写成大家所常见的形式，即在没有外力作用时，物体保持匀速直线运动。这样的参考系称为惯性系。 相对于惯性系做匀速直线运动的任何参考系也是惯性系。绝对时空观的代表人Newton 认为在这些惯性系中存在一个绝对静止的空间。 根据绝对时空观，惯性系间空间和时间坐标的关系可以用伽利略变换来描述。设惯性系S '相对于惯性系S 以速度v 匀速直线运动。选取它们的x 和x '轴沿着运动方向，y 和y '轴、z 和z '轴平行，则空间一点P 的坐标在S 系中为),,(z y x ,在S '系中为),,(z y x '''，如图18-1所示。 z y x x , ''y 'z 'S S '00 ρv 图18-1惯性系S '相对S 匀速直线运动 设在S 系和S '系中时间分别用t 和t '表示，在0='=t t 时刻，两惯性系的坐标原点重合。 伽利略变换可表述为: 第8章习题解答 【8.1】 已知：原子质量=107.9，密度=10.53×3 3 10/kg m ， 阿佛加德罗常数 =6.02×26 10 /kg 原子质量 ，电荷量 q =1.6×C 1910- 电子质量m =9.11×kg 31 10 -，绝对介电系数（真空中） 0ε=8.85×1210/F m - 银是单价元素，由于价电子被认为是自由电子，因而单位体积内的电子数目等于单位体积内的原子数目。 9 .1071002.61053.10263）（）（每立方米的原子数目???= 即 每立方米的自由电子数目：28 1088.5?=N 可得 s Nq m 142 1074.3/-?==στ（对于银） 将上述σ、τ和0 ε的值代入r k =+-)1(/12 20 τωεστ和l k =+ω τωε σ)1(2/2 20 中可得 52251061.2)1/(1061.21?-=+?-=τωr k 7 1055.5?=l k 则 7461242 /122=?? ? ? ????++-=l r r i k k k n 故 7 2 104.6-?==i n c ωδ 【8.4】 解：良导体 αβ== 场衰减因子 2z x z e e e π αβλ - --== 当传播距离 z λ=时， 220.002z e e e π λ απλ - --=== 用分贝表示即为 55dB 。 【8.2】 已知：电导率σ=4.6m s /，原子质量=63.5，海水平均密度=1.025×3 3 10/kg m ， 阿佛加德罗常数 =6.02 ×26 10/kg 原子质量 ，电荷量q =1.6×C 19 10 - ，m 2=δ，电子质 量m =9.11×kg 31 10 -，绝对介电系数（真空中）0 ε=8.85 ×12 10 /F m - 解：（1）与8.1题一样，可以求出每立方米的自由电子数目：28 1034.3?=N s Nq m 212 1089.4/-?==στ 910545.2-?=r k f k l 10 10 14.4?= 则 f k k k k n l l r r i 10 2 /1221014.424?= ≈?? ? ? ????++-= 而 δω c n i = 所以： kHz f 8.13= （2）依题意，满足 %0001.0)exp(2 =??? ?? ?-δz 可以求出 m z 8.13= 第八章 无穷级数 常数项级数 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数Λ Λ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛， 而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数∑∞ =+-1 1,)1(n n 具有∞ →n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条 件不满足，∑ ∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散 的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而∑∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 基于CRLH TL的小型化宽频带手机天线设计 【摘要】主要阐述基于复合左右手传输线（CRLH TL）零阶谐振模设计小型化宽频带的手机天线。该天线低频段由尺寸较大的零阶谐振天线决定，高频段由尺寸较小的零阶谐振天线决定，尺寸较大的零阶谐振天线的右手模式与尺寸较小的零阶谐振天线的零阶谐振模谐振在相邻的频带上实现 频带融合，从而扩展高频段的带宽。该天线覆盖了GSM900、PCS、UMTS、Bluetooth和ISM2400五个移动通信频带，天线厚度仅为1mm，所占面积为37×15mm2。测试结果与仿真结果吻合，满足移动通信终端对手机天线的要求。 【关键词】复合左右手传输线手机天线零阶谐振模带宽扩展 中图分类号：TN828.6文献标识码：A文章编号：1006-1010(2014)-10-0074-05 Design of Miniaturized Broadband Phone Antenna Based on CRLH TL YU Lei, HUANG Bin-ke, NIE Cheng-cheng (The School of Electronic and Information Engineering, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China) [Abstract] In this paper, the miniaturized broadband phone antenna is designed based on composite right/left-handed transmission line (CRLH TL) zeroth-order resonant (ZOR) mode. The low frequency of this antenna is determined by the longer ZOR antenna, while the high frequency is determined by the shorter ZOR antenna. The right-handed mode of the longer ZOR antenna and the ZOR mode of the shorter one can be merged to extend the bandwidth of high band if their resonant frequencies are adjacent. The antenna covers GSM900, PCS, UMTS, Bluetooth and ISM2400 frequency bands. Its thickness is only 1mm and its area is 37×15mm2. The test results agree well with the simulation results, which meets the requirements of mobile communication terminals for phone antennas. [Key words]CRLH TLphone antennasZOR modebandwidth extension 1 引言 手机通信中通过天线实现调制到射频频率信号的发射 和接收，因此，没有了天线就没有了移动通信。传统的手机天线有单极子、螺旋天线、贴片天线和平面倒F天线等，这些天线有一个共同点，即它们的谐振频率与天线的物理尺寸有关，不易进行小型化和宽频带的设计。为了克服这些问题，本文采用CRLH TL设计手机天线。 . '. 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙一﹚ 一、 填空题（每题8分，共40分） 1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单位是____________；磁感应强度的单位 是___________；真空中介电常数的单位是____________。 2、静电场 →E 和电位Ψ的关系是→E ＝_____________。→ E 的方向是从电位_______处指向电位______处。 3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。位移电流存在于____________和一切___________中。 4、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝________；而磁场 → B 的法向分量B 1n －B 2n ＝_________；电流密度→ J 的法向分 量J 1n －J 2n =___________。 5、沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为：_____________________=→ E , ____________________=→ H 。 二、计算题（题，共60分） 1、（15分）在真空中，有一均 匀带电的长度为L 的细杆， 其电荷线密度为τ。 求在其横坐标延长线上距 杆端为d 的一点P 处的电 场强度E P 。 2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为c ， 在a ﹤r ﹤b (b ﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。 3、（10分）一根长直螺线管，其长度L ＝1.0米，截面积S ＝10厘米2，匝数N 1＝1000匝。在其中段密绕一个匝数N 2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M 。 4、（10分）某回路由两个半径分别为R 和r 的 半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。 求中心点O 处的磁感应强度→ B 。 5、电场强度为)2106(7.378 Z t COS E Y a ππ+?=→ → 伏／米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不是均匀平面波？并请说明 其传播方向。 求：（1）波阻抗； （2）相位常数； （3）波长； （4）相速； （5） → H 的大小和方向； （6）坡印廷矢量。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙二﹚ （一）、问答题（共50分） 1、（10分）请写出时变电磁场麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，并写出其辅助方程。 2、（10分）在两种媒质的交界面上，当自由电荷面密度为ρs 、面电流密度为J s 时，请写出→ →→→H B D ,,,E 的边界条件的矢量表达式。 3、（10分）什么叫TEM 波，TE 波，TM 波，TE 10波？ 4、（10分）什么叫辐射电阻？偶极子天线的辐射电阻与哪些因素有关？ 5、什么是滞后位？请简述其意义。 （二）、计算题（共60分） 1、（10分）在真空里，电偶极子电场中的任意点M （r 、θ、φ）的电位为2 cos 41r P θ πε= Φ （式中，P 为电偶极矩，l q P =） ， 而 → →→?Φ?+?Φ?+?Φ?=Φ000sin 11φφ θθθr r r r 。 试求M 点的电场强度 → E 。 2、（15分）半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，电荷 体密度为ρ。请以其轴线为参考电位点， 求该圆柱体内外电位的分布。 3、（10分）一个位于Z 轴上的直线电流I ＝3安培，在其旁 边放置一个矩形导线框，a ＝5米，b ＝8米，h ＝5米。 最初，导线框截面的法线与I 垂直（如图），然后将该 截面旋转900，保持a 、b 不变，让其法线与I 平行。 求：①两种情况下，载流导线与矩形线框的互感系数M 。 ②设线框中有I ′＝4安培的电流，求两者间的互感磁能。 4、（10分）P 为介质（2）中离介质边界极近的一点。 已知电介质外的真空中电场强度为→ 1E ，其方向与 电介质分界面的夹角为θ。在电介质界面无自由电 荷存在。求：①P 点电场强度 → 2E 的大小和方向； ５、（１５分）在半径为Ｒ、电荷体密度为ρ的球形 均匀带电体内部有一个不带电的球形空腔，其半径为ｒ， 两球心的距离为ａ（ｒ<ａ<Ｒ）。介电常数都按ε０计算。 求空腔内的电场强度Ｅ。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙三﹚ 二、 填空题（每题8分，共40分） R O r a x 第9讲 广义Maxwell 方程和互易定理 9.1 广义Maxwell 方程 Maxwell 方程有一个缺陷就是不对称，既不存在磁荷。一些完美主义者认为世界是对称的,所以Maxwell 方程也应该是对称的。多少年来寻找磁荷的工作从未间断过，但一直未确切地发现。不过在数学形式上，引入磁流和磁荷,使Maxwell 对称，可以简化分析和计算。 引入假想的磁荷密度ρm 和磁流密度 M 以后，频域的Maxwell 方程有如下的对称形式： ??=+ H j D J ω （9-1） ??=-- E j B M ω （9-2） m B ρ=?? （9-3） ρ=??D （9-4） 称之为广义Maxwell 方程。对于电流连续性方程 ??+= J j ωρ0 （9-5） 磁流连续性方程为 ??+= M j m ωρ0 （9-6） 广义边界条件为 ()n H H J s ?-= 12 （9-7） ()n E E M s ?-=- 12 （9-8） ()n B B ms ?-= 12ρ （9-9） ()n D D s ?-= 12ρ （9-10） 对于理想导体壁（电壁）， E 20=, H 20=, M s =0,ρms =0，则 n H J s ?= （9-11） n E ?= 0 （9-12） n B ?= 0 （9-13） n D s ?= ρ （9-14） 对于理想磁体壁（磁壁）， E 20=, H 20=, J s =0,ρs =0，则 n H ?=0 （9-15） n E M s ?=- （9-16） ms B n ρ=? ? （9-17） 0?=?D n （9-18） 第八章 8-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。 解 非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的麦克斯韦方程如下： ??? ? ?? ?? ? =??=????-=????+=??)(),()(0),()() ,()(),(),()(),(),(r r E r r H r r H r r E r E r r J r H ρεμμεt t t t t t t t t ， 分别对上面两式的两边再取旋度，利用矢量公式A A A 2)(?-???=????，得 ??? ? ????-?+??+????=??-?)()(),(),() ,()(),()() ,() ()(),(2 22 r r r E r r J r r H r r E r r r E εερμμμεt t t t t t t t t ??? ? ?????-????-?-?=??-?μμεμε)(),() ,()(),() ,() ()(),(2 22 r r H r E r r J r H r r r H t t t t t t t 则相应的亥姆霍兹方程为 ???? ????-?++??=+?)()()()()()(j )()(j ) ()()()(22r r r E r r J r r H r r E r r r E εερωμμωμεω??? ? ?????-??-?-?=+?μμεωμεω)()()()(j )() ()()()(22r r H r E r r J r H r r r H 8-2 设真空中0=z 平面上分布的表面电流t J s x s sin 0ωe J =，试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。 解 0=z 平面上分布的表面电流将产生向z +和z -方向传播的两个平面波， 九章习题解答 9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强度减小到 时，电台的位置偏离正南多少度？ 解：元天线（电基本振子）的辐射场为 j k r θ-=E e 可见其方向性函数为(),sin f θφθ=，当接收台停在正南方向（即090θ=）时，得到最 大电场强度。由 sin θ= 得 045θ= 此时接收台偏离正南方向045±。 9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。 解： 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。 当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。 9.3 如题9.3图所示一半波天线，其上电流分布为() 1 1cos 2 2m I I kz z ??=-<< ? ?? （1）求证：当0r l >>时， 020 cos cos 22sin jkr m z I e A kr πθμπθ -?? ? ??= ? （2）求远区的磁场和电场； （3）求坡印廷矢量； （4）已知 220 cos cos 20.609sin d π πθθθ ?? ???=? ，求辐射电阻； （5）求方向性系数。 题9.3（1）图 第8讲 唯一性定理 电磁场Maxwell 方程是偏微分方程，描述了电磁场的一般特性。对于具体的有限区域电磁场问题，需加上边界条件和初始条件，才能得到具体问题的特解。这就构成所谓的“初值问题”和“边值问题”。 本讲要解决的问题是在怎样的条件下初值问题和边值问题具有唯一解？ 图8-1边值问题 8.1 Maxwell 方程的唯一性定理 8.1.1时域唯一性定理 [定理8-1] 对于图8-1的边值问题，如果区域v 内的源已知，并且 1） t =0时v 内所有场已知（初始条件）； 2） t ≥0时包围v 的闭合曲面s 上切向电场 n E ?或切向磁场 n H ?已知（边界条件）； 则t >0时v 内的场唯一确定。 [证] 设v 中的电流源J 产生两组场 E H 11,和 E H 22,，满足 2,1 =??? ??? ?-=??++=??j t H E t E E J H j j j j j ??μ??εσ （8-1） 考虑差场δ E E E =-12，δ H H H =-12，由于两组解产生于同一组源，故差场满足无源方程 ??=-??=+?? ??? ??δμ?δ?δσδε?δ? E H t H E E t （8-2） 对差场应用Poynting 定理 ?????-=++s v v ds n H E dv E dv E H t ?)()(2122 δδδσδεδμ?? （8-3） 因为 () ( )( )δδδδδδ E H n E n H H n E ??=-??=?? 所以, 只要满足定理8-1中s 面上的边界条件2)，则 () δδ E H nds s ??=? 0 于是 120222? ?μδεδσδt H E dv E dv v v () +=-≤?? （8-4） 由定理8-1中初始条件1)，有 ()μδεδ H E dv v t 22 00+=?= 故t ≥0时 ()μσεδ H E dv v +≤?2 即 μδεδ H E 2 2 0+≤ 另一方面, 由于μ>0，ε>0，δE 2 0≥, δH 2 0≥,故 μδεδ H E 2 2 0+≥ 最终 δδ E H ==00, 即 E E 12=， H H 12= 唯一性定理告诉我们，区域v 中的电磁场是由v 中的源、初始时刻的电磁场以及任意时刻边界上的切向电场或切向磁场唯一决定的。 8.1.2 有耗媒质中频域唯一性定理 [定理8-2] 在频域，如果有耗媒质区域ν中的源以及边界s 上的切向电场或切向磁场已知，则ν中的电磁场唯一确定。 证明：差场满足 ??=-??=??? ??δωμδδωεδ E j H H j E （8-5） 其中，μμμ='-''j ，εεε='-''j 。应用频域Poynting 定理 0)(?)(2* 2 *=-+??? ?dv E H j ds n H E v s δεδμωδδ 边界条件使得 () * δδ E H nds s ??=? 0 于是 ()'-'=?μδεδ H E dv v 2 20 （8-6） ()''+''=?μδεδ H E dv v 22 0 （8-7） 对于有耗媒质，''>μ0，''>ε0, 于是，δ E =0，δ H =0。 在上面的证明中，如果媒质无耗即''=''=με0，则唯一性定理的证明不能成立。 Harrington 认为“在此情况下要获得唯一性，须将无耗媒质中的场作为有耗媒质中的耗散趋于(完整word版)高等数学辅导讲义
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