第2讲 Maxwell 方程
在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。
2.1 Maxwell 方程的积分和微分形式
Maxwell 方程的积分形式
?????
??????=?=????-=????+?=??
?
???
???
高斯定理
磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理 0 v
s
s
l s l s s dv s d D s d B s d B t l d E s d D t s d J l d H ρ
（2-1）
以及电流连续性方程
?
??-
=?s t
Q
s d J （2-2） 对于连续媒质空间，利用积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式：
?????
????
=??=????-=????+=??
ρD B t B E t D J H
（2-3） 以及 t
J ??-=??ρ
（2-4）
Maxwell 方程的实践性
Maxwell 方程来源于实践，主要是几个实验定律：库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。但Maxwell 方程又高于实践，它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。比如，库仑定律R
R
q q F ?
4221πε-= ，在实验中得到R 的指数幂其实并不是2，而是1.3，但库仑分析了实践中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。
由库仑定律可以导出Maxwell 方程中的高斯定理，由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理，但
是由实验定律并不能直接导出Maxwell 方程中安培环路定律，而是J H
=??但是，由上式可得
0=??J ，不满足电流连续性方程，为此，Maxwell 大但引入了位移电流d D J t
?=?
，从而构成了完整自
l d
s d
图2-1 体积分、面积分和线积分示意图
洽的Maxwell方程。
●Maxwell方程的对称性
杨振宁说：对称性决定支配方程。居里（Pierre Curie）说：不对称性创造世界。
Maxwell方程充满显示了电与磁的对称性，但发现这一对称性却是从不对称性开始的。历史上磁学发展最早，早在16世纪吉尔伯特就著有<<论磁学>>,1820年丹麦学者奥斯特（Oersted）首先发现电流可以产生磁，并创造了Electromagnetics一词。法拉弟（Faraday）在1821-1831十年间根据对称性原理，猜测磁铁可以产生电流，但多次失败。1831年8月29日他发现磁铁在线圈内移动时产生了电流，于是领悟到变化的磁场产生电场。Maxwell根据对称性，从法拉弟定律猜测到电场变化也可以产生磁场。
奥斯特发现
法拉弟猜想
法拉弟发现
Maxwell发现
图2-2 对称性发现过程
●Maxwell方程的哲学性
1.深刻揭示了电与磁的相互转化，相互依赖，相互对立，共存在电磁波中，正是由于电不断转化
成磁，而磁又断转化为电，才会发生能量交换和储存，因此，电磁波是一对立统一的整体。
2.深刻揭示了电磁场的任意一个地点变化会转化成时间变化，反过来，时间变化也会转化成地点
图2-3 电磁场相互绞链相互转换
变化。正是这种地点和时间的相互转化构成了波动的外在形式，通俗地说，也即一个地点出现的事物，经过一段时间后又在另一地点出现。
Maxwell 方程的独立性
Maxwell 方程中四个方程并不是完全独立的。独立的方程有
????
?
????
??-=????-=????+=??t J t B E t D J H ρ
（2-5） 由上式中第一式，可得0=????+??D t J 。代入第三式，得D t t ????=??ρ，即()
0=-????
ρD t
，即
const D =-??ρ 。由于在静态场时(如0=t 时为静态场) ρ=??D 故对时变场也有ρ=??D
。
同理由第二式可得0=????
B t
，由于静态场时0=??B 故对时变场也有0=??B 。
应当注意，上述独立性是利用了静态方程。独立方程还可以有其他形式，如
???
?
?
????
=????-=????+=??ρD t B E t D J H
（2-6） 也构成独立方程，它可以导出0=??B ，和t
J ??-=??ρ
。
2.2 媒质界面上的场方程---边界条件
在媒质界面上，由于媒质的性质有突变(με,有奇异
性)，Maxwell 方程的微分形式不再成立。但积分形式仍然成立。从积分形式可以导出媒质界面上的场方程即边界条件。
()
s J H H n
=-?21? （2-7a ） ()
0?21=-?E E n
（2-7b ） ()0?2
1
=-?B B n
（2-7c ） (
)
s D D n
ρ=-?21?
（2-7d ） [证明1] 如图2-6所示，跨媒质界面两侧作一小扁盒状的体积，0→h 。应用积分形式的Maxwell 方程（2-1a ），有
Sh t
D Sh J h K S H n H n ??+=+?-?
)??(21
式中，K
表示H n ??关于小盒侧面的线积分。当0→h 时，
Z Z
T 1时刻
T 2时刻
图2-4 电磁波
11,H E
22,H E
图2-5 两种媒质的交界面
媒质2
媒质界面
图2-7 边界条件的推导
0 0→??→Sh t
D h K
，，则有
s J H H n
=-?)(?21 其中，Jh J h s 0
lim →=为面电流密度。
同理，应用电流连续性方程，有
t
Q
dl n J h S J J n l ??-=?+-??'21?)(?
式中，n
'?为S 的周界l 的外法向单位矢。当0→h 时，有 t
J J J n s s s ??-?-?=-?ρ
)(21
式中，S
dl n J S dl n J h J l
s S l S h s s ?
?'?='?=??→→→ 00
0lim
lim ，为面散度，s ρ为面电荷密度。
2.3频域电磁场
对于时谐场（场量随时间作简谐变化），可采用复函数，取时谐因子t j e ω，则上述时域中只须将
t
??
变为ωj 即可。注意，如果时谐因子取为t
j e ω-，则
t
??
变为ωj -。因此，在研究频域电磁场时，一定要事先规定好时谐因子。由于任何时变场都可以应用Fourier 变换展开为时谐场分量的叠加，所以，研究时谐场具有普遍意义。
习题 2
2．1 讨论Maxwell 方程中四个边界条件的独立性。
2．2 验证}exp{?0jkz E z
E -=
是否为可能存在的电磁场。 2．3 证明边界条件：()0?21=-?E E n
和()
s D D n ρ=-?21? 。
物理与电子工程学院 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。
（3）在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。 A 、场强方向（表面附近的点） 由电场线与等势面垂直出发，可知导体表面附近的场强与表面垂直。而场强大小与面密度的关系，由高斯定理推出。 B 、场强大小 如图，在导体表面外紧靠导体表面取一点P ，过P 点作导体表面 的外法线方向单位矢n ?，则P 点场强可表示为n E E n P ?= （n E 为P E 在n ?方向的投影，n E 可正可负）。过P 点取一小圆形面元1S ?，以1S ?为底作一圆柱形高斯面，圆柱面的另一底2S ?在导体内部。由高斯定理有： 11/) 0(?1 1 2 1 εσφS S E s d E E s d n E s d E s d E s d E s d E s d E n S S n S S S S ?=?=⊥=?= ?= ?+?+?= ?=?????????? ?????? 导体表面附近导体内侧 (导体的电荷只能分布在导体表面，若面密度为σ，则面内电荷为 为均匀的很小，视，且因σσ11S S ??) ∴ ?? ?<>=?? ?<<>>= 反向，，同向，，即，，n E n E n E E E E n n n ?0?0?0 00 00 σσεσ σσεσ
可见：导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比，且无论场和电荷分布怎样变化，这个关系始终成立。 C 、0 εσ = E n ?中的E 是场中全部电荷贡献的合场强，并非只是高斯面内电荷S ?σ的贡献。这一点是由高斯定理得来的。P45-46 D 、一般不谈导体表面上的点的场强。 导体内部0=E ，表面外附近0 εσ=E n ?；没提表面上的。 在电磁学中的点、面均为一种物理模型，有了面模型这一概念，场强在带电面上就有突变（P23小字），如果不用面模型，突变就会消失。但不用面模型，讨论问题太复杂了，所以我们只谈“表面附近”而不谈表面上。 补充例：习题2.1.1(不讲) Rd θ 解：利用上面的结果，球面上某面元所受的力：n dS F d ?20 2 εσ= ，利用对称性知，带有同号电荷的球面所受的力是沿x 轴方向： 右半球所受的力：
Lect.1 0 引言 1.课程简介 1) 课程内容 “电磁场与电磁波”或者叫电磁学，涉及到很多方面的内容。翻开书本的话，会看到有矢量分析，电磁学的学习的数学基础，有静态电磁场、时变电磁场、电磁波、波导、天线等很多方面的内容。但可以用一句话来概括：电磁学研究静止及运动电荷相关效应的一门学科，它是物理学的一个分支。 由基础物理学的知识可知，电荷产生电场。电荷的移动构成电流，而电流则会在空间中产生磁场。静止的电荷产生静电场。恒定电流产生静磁场。如果电荷或者电流随时间变化，则产生时变电场及时变磁场。时变电场和时变磁场还可以相互激发，形成在空间中独立传播的时变电磁场，即电磁波。所有的电磁场的唯一来源就是静止或者运动状态的电荷。所以我们说《电磁场及电磁波》或者《电磁学》这门课程，不干别的，就是研究静止及运动电荷所产生的效应。 2) 核心概念 这门课程的核心概念有两个，一个是场(field)，一个是波(wave)。那么，什么是场？场是一个数学概念，只某个量在空间中的分布。这个量可以不随时间变化，也可以随时间改变，前者称为静态场，后者称为时变场。例如，在地球表面或者附近，任意位置，任意一个有质量的物体都受到重力的吸引，我们说地球在其周围的空间中形成了重力场。例如，一个流体，流动的液体或者气体，每一个位置上流体的质点都对应一个速度，我们说，空间存在流体的一个速度场。对于物理学上的场而言，空间上，每个点都对应有某个物理量的一个值。这个物理学上的场，根据物理量本身的性质，有标量场和矢量场之分，我们之后会学到。 波(wave)的概念。振动在空间的传播，伴随能量的传播过程。举例：声波。 电磁波电磁波相关内容：波的描述、界面上的反射与折射、波在开放及封闭空间中的传播等。 3) 电磁理论的发展 早期：电及磁现象被视为两种独立的不同的现象。 希腊人琥珀中国《吕氏春秋》司南 富兰克林正负电荷、电荷守恒。风筝实验 库伦库伦定律定量电学 1820，Hans Christian Orsted: 电流可以造成磁针的偏转.即电流可以产生磁场。 1820-1827 Ampere的贡献：实验：两平行通电电线之间的吸引与排斥。安培定律 Farady的贡献：电磁感应：由磁产生电。 Maxwell：所有电磁现象用一组方程表示。光是一种电磁波。（对爱因斯坦的启发。）1873 电磁通论。
第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律
介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量：
South China University of Technology 2.2 无耗传输线的特解 特解是指在特定边界条件下，传输线上电 压电流的解。 对于传输线，通常的边界条件有：终端条 件、源端条件和电源、阻抗条件。 I z ?l 0U L U I g I l l 0U g z E g Z g
South China University of Technology 1. 终端边界条件 已知代入通解，为 022 e j β l = U l + Z c I l e - j β l = U l - Z c I l U +U - 得到 U( z = l ) = U l ,I( z = l ) = I l l 0 0 l 00I =1(U +e - j β l -U -e j β l )U = U +e - j β l + U -e j β l Z c
South China University of Technology 为了简化解的形式，采用坐标变换 计及复数Euler 公式，最后得 z ' = l - z U( z ' ) = U l cos β z ' + jZ c I l sin β z ' I( z ' ) =j U l sin β z ' +I cos β z ' l Z c 于是 U( z ) = 1 (U + Z I )e j β ( l - z ) + 1 (U - Z I )e - j β ( l - z ) 22112Z 2Z l c l l c l I( z ) = (U + Z I )e j β ( l - z ) -(U - Z I )e - j β ( l - z ) l c l l c l c c
第2讲 Maxwell 方程 在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。 2.1 Maxwell 方程的积分和微分形式 Maxwell 方程的积分形式 ????? ??????=?=????-=????+?=?? ? ??? ??? 高斯定理 磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理 0 v s s l s l s s dv s d D s d B s d B t l d E s d D t s d J l d H ρ （2-1） 以及电流连续性方程 ? ??- =?s t Q s d J （2-2） 对于连续媒质空间，利用积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式： ????? ???? =??=????-=????+=?? ρD B t B E t D J H （2-3） 以及 t J ??-=??ρ （2-4） Maxwell 方程的实践性 Maxwell 方程来源于实践，主要是几个实验定律：库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。但Maxwell 方程又高于实践，它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。比如，库仑定律R R q q F ? 4221πε-= ，在实验中得到R 的指数幂其实并不是2，而是1.3，但库仑分析了实践中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。 由库仑定律可以导出Maxwell 方程中的高斯定理，由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理，但 是由实验定律并不能直接导出Maxwell 方程中安培环路定律，而是J H =??但是，由上式可得 0=??J ，不满足电流连续性方程，为此，Maxwell 大但引入了位移电流d D J t ?=? ，从而构成了完整自 l d s d 图2-1 体积分、面积分和线积分示意图
第一章 矢量分析与场论 1 源点是指 。 2 场点是指 。 3 距离矢量是 ，表示其方向的单位矢量用 表示。 4 标量场的等值面方程表示为 ，矢量线方程可表示成坐标形 式 ，也可表示成矢量形式 。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示 ，梯度的方向表 示 。 6 方向导数与梯度的关系为 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?= 。 8 矢量A 在曲面S 上的通量表示为Φ= 。 9 散度的物理含义是 。 10 散度在直角坐标系中的表示为??=A 。 11 高斯散度定理 。 12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系 为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e
20 0(0)11''4() (0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=????? 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ??? 处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E = 。 12 无限大导电平面，电荷面密度为σ，则空间电场E = 。 13 静电场中电场强度线与等位面 。 14 两等量异号电荷q ，相距一小距离d ，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩 p = 。 15 极化强度矢量P 的物理含义是 。 16 电位移矢量D ，电场强度矢量E ，极化强度矢量P 三者之间的关系 为 。 17 介质中极化电荷的体密度P ρ= 。 18介质表面极化电荷的面密度P σ= 。
第11讲 镜像原理 (I) 镜像原理的基础是唯一性定理，即在某一特定区域，只要解满足该区域的支配方程和相应的边界条件，那么，这个解就是该区域的唯一正确解。 11.1 导体平面镜像原理 设一点电荷放置在无限大接地导体平面的右半空间中，导体平面位于x =0处，点电荷位于 x x =0处。如图11-1(a)所示。 图11-1导体平面对点电荷的镜像原理 （a ） 原问题 （b ）镜像问题 图11-1(a)中区域1的边界条件是在x =0导体平面上切向电场为零，图中的电力线也清楚地表明了这一点。如果在区域2中x x =-0处放一点电荷-q ，并去掉导体平面，如图11-1(b)所示，则由电力线分布可以看出，这两个点电荷产生的电场在x =0平面上仍保持切向电场为零，并且也没有改变区域1中的电荷分布，所以由唯一性定理可知，区域1中电场保持不变，即就区域1而言，图11-1(a)与11-1(b)的两个问题是等效的。 注意就区域2而言，两个问题是不等效的，因为图11-1(b)区域1中多了一个点电荷-q 。类比可知，对于点电荷，导体平面就如同一面镜子，故将这一原理称为镜像原理。在x x =-0处的点电荷-q ，称为镜像电荷。
依照同一原理，可以导出导体平面对点磁荷q m 的镜像原理。所不同的是磁荷产生的磁场在导电平面上法向分量为零，所以镜像磁荷应与原磁荷值相同。 电流、磁流分别是由电荷、磁荷的流动形成的，所以利用点电荷和点磁荷的导体平面镜像原理。可以导出导体平面对电流和磁流的镜像原理，如图11-2所示。 (a)(b) J M J M 图11-2导体平面对电流和磁流的镜像原理 应当注意的是，在应用镜像原理时，不仅要考虑源的镜像，有其他物体存在时还要考虑其他物体的镜像，使镜像问题维持对称，如图11-3所示。 PEC (a)(b) J J 图11-3有其他物体存在时的镜像原理 上述导体平面镜像原理可以推广到多导体平面的镜像问题。 导体拐角的镜像原理 如图11-4(a)在无限大导体直角内放置一点电荷q。当去掉导体拐角后，为了保证导体平面上的切向电场为零，必须分别在二、三、四象限内放置镜像电荷，如图11-4(b)所示。y=0平面上面的两个点电荷与下面的两个点电荷保证了y=0的切向电场为零。x=0平面左边的两个点电荷与右边的两个点电荷保证了x=0平面切向电场为零，所以整个导体拐角上切向电场为零。
一、填空题 1、一面积为S 、间距为d 的平行板电容器，若在其中插入厚度为2d 的导体板，则其电容为 ；答案内容：;20d S ε 2、导体静电平衡必要条件是 ，此时电荷只分布在 。 答案内容：内部电场处处为零，外表面； 3、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S ，极反间距为L ，板间介电常数为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是 ； 答案内容：2 02U L s r εε 4、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷，如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的场强 ； 答案内容：r r q E e ∧=204περ； 5、 在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势 ； 答案内容：d q 04πε； 6、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势 。 答案内容：??? ??++-πεb q Q a q r q 0 41 7、导体静电平衡的特征是 ，必要条件是 。 答案内容：电荷宏观运动停止，内部电场处处为零； 8、判断图1、图2中的两个球形电容器是串连还是并联，图1是_________联，图2是________联。 答案内容：并联，串联； 9、在点电荷q +的电场中，放一金属导体球，球心到点电荷的距离为r ，则导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度大小为： 。 答案内容：201 4q r πε ；
10、 一平板电容器，用电源将其充电后再与电源断开，这时电容器中储存能量为W 。然后将介电常数为ε的电介质充满整个电容器，此时电容器内存储能量为 。 答案内容：00W εε ； 11、半径分别为R 及r 的两个球形导体（R ＞r ），用一根很长的细导线将它们连接起来，使二个导体带电，电势为u ，则二球表面电荷面密度比/R r σσ= 。 答案内容：/r R ； 12、一带电量 为Q 的半径为r A 的金属球A ，放置在内外半径各为r B 和r C 的金属球壳B 内。A 、B 间为真空，B 外为真空，若用导线把A 、B 接通后，则A 球电位 （无限远处u=0）。 答案内容：()0/4c Q r πε ； 13、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现不断开电源而将两极板的距离拉大一倍,则其电容为______,板间电场强度为_____。 答案内容： 21C , 21E 。 14、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现断开电源后,将两极板的距离拉大一倍,则其电容为________,板间电场强度为_____。 答案内容： 21C , E 不变 二、单选择题 1、将一带电量为Q 的金属小球靠近一个不带电的金属导体时，则有( ) （A ）金属导体因静电感应带电，总电量为-Q ； （B ）金属导体因感应带电，靠近小球的一端带-Q ，远端带+Q ； （C ）金属导体两端带等量异号电荷，且电量q 第18讲 Einstein 相对论 1905年Einstin27岁时在一篇<<运动物体中的电动力学>>的文章中，提出了后来被称为“狭义相对论”的理论，宣告了Newton 经典绝对时空观的破产，建立了全新的相对时空观，对物理学产生了革命性的变化。狭义相对论也是研究运动系统电磁场特性的基础。 Einstein 相对论的诞生不是孤立的。它是十九世纪末物理学研究，特别是电磁学和光学研究中很多新结果与经典物理学的时空观发生尖锐矛盾的必然结果。 18.1 绝对时空观 — 伽利略变换 自古以来，空间概念来源于物体的广延性，时间概念来源于过程的延续性。 所有的物理定律，几乎都是在表明一定的物体在空间中的活动情况怎样随着时间而变化。 一个物体的位置，或一事件发生的地点只有参照另外一个适当选择的物体，才能表达出来。 所以，空间与时间即做为物理事件发生的载体，又可以做为用空间坐标和时间坐标描述事件的参照系。 我们可以采用任何一种参考系来描述物理事件和表述其定律。但是只存在一个或一些参考系，在这些参考系中物理定律比较简洁，即在这些参考系中物理定律比在其他参考系中包含较小的因素。对于力学而言，在所有可以想像的参考系中，存在着一些参考系，根据这些参考系，惯性定律可以写成大家所常见的形式，即在没有外力作用时，物体保持匀速直线运动。这样的参考系称为惯性系。 相对于惯性系做匀速直线运动的任何参考系也是惯性系。绝对时空观的代表人Newton 认为在这些惯性系中存在一个绝对静止的空间。 根据绝对时空观，惯性系间空间和时间坐标的关系可以用伽利略变换来描述。设惯性系S '相对于惯性系S 以速度v 匀速直线运动。选取它们的x 和x '轴沿着运动方向，y 和y '轴、z 和z '轴平行，则空间一点P 的坐标在S 系中为),,(z y x ,在S '系中为),,(z y x '''，如图18-1所示。 z y x x , ''y 'z 'S S '00 ρv 图18-1惯性系S '相对S 匀速直线运动 设在S 系和S '系中时间分别用t 和t '表示，在0='=t t 时刻，两惯性系的坐标原点重合。 伽利略变换可表述为: 第2章 静电场(二) 2.1 静电场的唯一性定理及其应用 静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法： (1) 直接由电场强度公式计算； (2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。 E ?-?=?- =?? ?ερ ?E 2 唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。 2.1.1 唯一性定理 静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。 2.1.2 导体边界时，边界条件的分类 (1) 自然边界条件： 有限值参考点=∞ →?r r lim (相当于指定电位参考点的值) (2) 边界衔接条件：σ? ε?ε??=??-??=n n 221121 (该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件 (a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。 该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。 S n ??-=? εσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) q dS r S =??-?)(1 1?ε (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。 思考？ 为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。 习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳 内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 基于CRLH TL的小型化宽频带手机天线设计 【摘要】主要阐述基于复合左右手传输线（CRLH TL）零阶谐振模设计小型化宽频带的手机天线。该天线低频段由尺寸较大的零阶谐振天线决定，高频段由尺寸较小的零阶谐振天线决定，尺寸较大的零阶谐振天线的右手模式与尺寸较小的零阶谐振天线的零阶谐振模谐振在相邻的频带上实现 频带融合，从而扩展高频段的带宽。该天线覆盖了GSM900、PCS、UMTS、Bluetooth和ISM2400五个移动通信频带，天线厚度仅为1mm，所占面积为37×15mm2。测试结果与仿真结果吻合，满足移动通信终端对手机天线的要求。 【关键词】复合左右手传输线手机天线零阶谐振模带宽扩展 中图分类号：TN828.6文献标识码：A文章编号：1006-1010(2014)-10-0074-05 Design of Miniaturized Broadband Phone Antenna Based on CRLH TL YU Lei, HUANG Bin-ke, NIE Cheng-cheng (The School of Electronic and Information Engineering, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China) [Abstract] In this paper, the miniaturized broadband phone antenna is designed based on composite right/left-handed transmission line (CRLH TL) zeroth-order resonant (ZOR) mode. The low frequency of this antenna is determined by the longer ZOR antenna, while the high frequency is determined by the shorter ZOR antenna. The right-handed mode of the longer ZOR antenna and the ZOR mode of the shorter one can be merged to extend the bandwidth of high band if their resonant frequencies are adjacent. The antenna covers GSM900, PCS, UMTS, Bluetooth and ISM2400 frequency bands. Its thickness is only 1mm and its area is 37×15mm2. The test results agree well with the simulation results, which meets the requirements of mobile communication terminals for phone antennas. [Key words]CRLH TLphone antennasZOR modebandwidth extension 1 引言 手机通信中通过天线实现调制到射频频率信号的发射 和接收，因此，没有了天线就没有了移动通信。传统的手机天线有单极子、螺旋天线、贴片天线和平面倒F天线等，这些天线有一个共同点，即它们的谐振频率与天线的物理尺寸有关，不易进行小型化和宽频带的设计。为了克服这些问题，本文采用CRLH TL设计手机天线。 工程电磁场第二章静 电场二 第2章 静电场(二) 2.1 静电场的唯一性定理及其应用 静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法： (1) 直接由电场强度公式计算； (2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。 E ?-? =?-=??? ε ρ?E 2 唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。 2.1.1 唯一性定理 静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。 2.1.2 导体边界时，边界条件的分类 (1) 自然边界条件： 有限值参考点=∞ →?r r lim (相当于指定电位参考点的值) (2) 边界衔接条件：σ? ε?ε??=??-??=n n 221121 (该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件 (a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。 该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。 S n ??-=? εσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) q dS r S =??-?)(1 1?ε (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。 思考？ 为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。 2.1.3静电场唯一性定理的意义 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据2.1.4等位面法 1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。 2等位面法成立的理论解释： 等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化： (1)边界k的等位性不变； (2)边界k内的总电荷量不变。(相当于给定了第二类边界条件) 3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用 现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。 解释：边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。 现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。 解释：(注意边界正方向的取向) 边界S2为等位面； 边界S2上的总电荷量不变。 2.2平行双电轴法 1 问题的提出： 以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。 导体表面的面电荷密度未知，不可能由电场计算公式计算；电场分布不具有对称性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能给出解析解。本节从静电场的唯一性定理出发，采用其它求解方法(电轴法)。 2. 两根细导线产生的电场 设电轴上单位长度的电荷量为τ，电位参考点为Q。 电场分布为平面场，根据叠加原理， 第二章 静电场中导体与电介质 一、 选择题 1、 一带正电荷的物体M,靠近一不带电的金属导体N,N 的左端感应出负电荷,右端感应出正电荷。若将N 的左端接地,则: A 、 N 上的负电荷入地。 B 、N 上的正电荷入地。 C 、N 上的电荷不动。 D 、N 上所有电荷都入地 答案:B 2、 有一接地的金属球,用一弹簧吊起,金属球原来不带电。若在它的下方放置一电量为q 的点电荷,则: A 、只有当q>0时,金属球才能下移 B 、只有当q<0就是,金属球才下移 C 、无论q 就是正就是负金属球都下移 D 、无论q 就是正就是负金属球都不动 答案:C 3、 一“无限大”均匀带电平面A,其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B,已知A 上的电荷密度为σ+,则 在导体板B 的两个表面1与2上的感应电荷面密度为: A 、σσσσ+=-=21, B 、σσσσ2 1 ,2121 +=-= C 、σσσσ2 1 ,2121 -=-= D 、0,21 =-=σσσ 答案:B 4、 半径分别为R 与r 的两个金属球,相距很远。用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。在忽略导线的影响下,两球表面 的电荷面密度之比r R σσ为: A 、r R B 、2 2 r R C 、2 2 R r D 、R r 答案:D 5、 一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板,电荷面密度为σ,则板的两侧离板距离均为h 的两点a,b 之间的电势差为() A 、零 B 、 2εσ C 、 0εσh D 、0 2εσh 答案:A 6、 一电荷面密度为σ 的带电大导体平板,置于电场强度为0E (0E 指向右边)的均匀外电场中,并使板面垂直于0E 的方向,设外电 场不因带电平板的引入而受干扰,则板的附近左右两侧的全场强为() A 、0000 2,2εσ εσ+- E E B 、0000 2,2εσ εσ++ E E C 、0 000 2,2εσεσ-+ E E D 、0 000 2,2εσεσ-- E E 答案:A 7、 A,B 为两导体大平板,面积均为S,平行放置,A 板带电荷+Q 1,B 板带电荷+Q 2,如果使B 板接地,则AB 间电场强度的大 小E 为() A 、 S Q 01 2ε B 、 S Q Q 0212ε- C 、 S Q 01ε D 、 S Q Q 0212ε+ 答案:C 8、带电时为q 1的导体A 移近中性导体B,在B 的近端出现感应电荷q 2,远端出现感应电荷q 3,这时B 表面附近P 点的场强为n E ?0 εσ= ,问E 就是谁的贡献？() 第9讲 广义Maxwell 方程和互易定理 9.1 广义Maxwell 方程 Maxwell 方程有一个缺陷就是不对称，既不存在磁荷。一些完美主义者认为世界是对称的,所以Maxwell 方程也应该是对称的。多少年来寻找磁荷的工作从未间断过，但一直未确切地发现。不过在数学形式上，引入磁流和磁荷,使Maxwell 对称，可以简化分析和计算。 引入假想的磁荷密度ρm 和磁流密度 M 以后，频域的Maxwell 方程有如下的对称形式： ??=+ H j D J ω （9-1） ??=-- E j B M ω （9-2） m B ρ=?? （9-3） ρ=??D （9-4） 称之为广义Maxwell 方程。对于电流连续性方程 ??+= J j ωρ0 （9-5） 磁流连续性方程为 ??+= M j m ωρ0 （9-6） 广义边界条件为 ()n H H J s ?-= 12 （9-7） ()n E E M s ?-=- 12 （9-8） ()n B B ms ?-= 12ρ （9-9） ()n D D s ?-= 12ρ （9-10） 对于理想导体壁（电壁）， E 20=, H 20=, M s =0,ρms =0，则 n H J s ?= （9-11） n E ?= 0 （9-12） n B ?= 0 （9-13） n D s ?= ρ （9-14） 对于理想磁体壁（磁壁）， E 20=, H 20=, J s =0,ρs =0，则 n H ?=0 （9-15） n E M s ?=- （9-16） ms B n ρ=? ? （9-17） 0?=?D n （9-18） 第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：错误！未找到引用源。矢量A 的单位矢量A a ； 错误！未找到引用源。矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误！未找到引用源。A ·B 和A ?B 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ； 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C 解：错误！未找到引用源。A a =A A = 149A ++ =（x a +2y a -3z a ）/14 错误！未找到引用源。cos AB θ =A ·B /A B AB θ=135.5o 错误！未找到引用源。A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2 x +2 y =c 1.6求数量场ψ=ln （2 x +2y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2 x +2y +2 z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62 x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3 y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2 x +2 y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误！未找到引用源。求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) 错误！未找到引用源。验证散度定理。 解：错误！未找到引用源。??s d A = A d S ?? 曲 + A dS ?? xoz + A d S ?? yoz +A d S ?? 上 +A d S ?? 下 A d S ?? 曲 =232 (3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A dS ?? xoz = (3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =- 23x dydz ? yoz =0 A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193 错误！未找到引用源。dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2 y 沿圆周2x +2 y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2 L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2 y 习题五(第二章 静电场中的导体与电介质) 1、在带电量为Q 的金属球壳内部,放入一个带电量为q 的带电体,则金属球壳内 表面所带的电量为 - q ,外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内,则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=,球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件就是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球,直径相等,但一个就是空心,一个就是实心的。现使它们互相接触,则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 与r 的两个球导体(R ＞r)相距很远,今用细导线把它们连接起来,使两导体带电,电势为U 0,则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A,且A 处在静电平衡状态,则( C ) (A)导体内E=0,q 不在导体内产生场强; (B)导体内E ≠0,q 在导体内产生场强; (C)导体内E=0,q 在导体内产生场强; (D)导体内E ≠0,q 不在导体内产生场强。 7、如图所示,一内半径为a,外半径为b 的金属球壳,带有电量Q, 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q,设无限远 处为电势零点。试求: (1)球壳外表面上的电荷; (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势; (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 第二章静电场 重点与难点 电场强度及电场线等概念容易接受,重点讲解如何由物理学中积分形式得静电场方程导出微分形式得静电场方程,即散度方程与旋度方程,并强调微分形式得场方程描述得就是静电场得微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理,直接导出真空中电场强度与电荷之间得关系。通过书中列举得4个例子,总结归纳出根据电荷分布计算电场强度得三种方法。 至于媒质得介电特性,应着重说明均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时,应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时,应说明仅可依据积分形式得静电场方程,由于边界上场量不连续,因而微分形式得场方程不成立。 关于静电场得能量与力,应总结出计算能量得三种方法,指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移得概念计算电场力,常电荷系统与常电位系统,以及广义力与广义坐标等概念。至于电容与部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 已知电荷分布求解电场强度: 1,; 2, 3, 高斯定律 介质中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 线性均匀各向同性介质中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 静电场边界条件: 1,。对于两种各向同性得线性介质,则 2,。在两种介质形成得边界上,则 对于两种各向同性得线性介质,则 3,介质与导体得边界条件: ; 若导体周围就是各向同性得线性介质,则 ; 静电场得能量: 孤立带电体得能量: 离散带电体得能量: 分布电荷得能量: 静电场得能量密度: 对于各向同性得线性介质,则 电场力: 库仑定律: 常电荷系统: 常电位系统: 题解 2-1若真空中相距为d得两个电荷q1及q2得电量分别为q及4q,当点电荷位于q1及q2得连线上时,系统处于平衡状态,试求得大小及位置。解要使系统处于平衡状态,点电荷受到点电荷q1及q2得力应该大小相等,方向相反,即。那么,由,同时考虑到,求得 可见点电荷可以任意,但应位于点电荷q 1与q 2 得连线上,且与点电荷相 距。 2-2已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为: 试求位于点得电场强度。储庆昕高等电磁场讲义 第十八章
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