合理构造函数妙解导数问题
构造法是解决导数问题的重要方法之一,许多导数问题的解决需要巧妙的构造函数,如何构造函数显得非常重要在解决问题中,下面剖析几例。
一.特征构造
例1(优质试题?银川二模)f (x )是定义在非零实数集上的函数,f ′
(x )为其导函数,且x >0时,xf '
(x )﹣f (x )<0,记a=0.20.2(2)2f ,b=22(0.2)0.2f ,c=22(log 5)log 5
f ,则( ) A .a <b <c B .b <a <c C .c <a <b D .c <b <a
【分析】令g (x )=
()f x x
,通过求导得到g (x )的单调性,从而解决问题.
解:令g (x )=()f x x ,则g '(x )=2()()xf x f x x -', ∵x >0时,xf '(x )﹣f (x )<0,∴g (x )在(0,+∞)递减, 又2log 5>2log 42=,1<0.22<2,20.2=0.04,∴2log 5>0.22>20.2, ∴g (2log 5)<g (20.2)<g (0.22),∴c <a <b ,故选:C .
【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查了导数的应用,考查了指数,对数的性质,解决本题的关键是根据所比较的三个数,合理构造函数,利用函数的单调性比较大小即可。
二.变形后构造函数
例2.(优质试题?合肥二模)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立,则使x2f(x)﹣f(1)<x2﹣1成立的实数x的取值范围为()A.{x|x≠±1}B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)C.(﹣1,1)D.(﹣1,0)∪(0,1)
【分析】根据已知构造合适的函数,对函数求导,根据函数的单调性,求出函数的取值范围,并根据偶函数的性质的对称性,求出x<0的取值范围.
解:当x>0时,由2f(x)+xf′(x)﹣2<0可知:两边同乘以x得:2xf(x)﹣x2f′(x)﹣2x<0
设:g(x)=x2f(x)﹣x2,则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)﹣2x<0,恒成立:
∴g(x)在(0,+∞)单调递减,由x2f(x)﹣f(1)<x2﹣1
∴x2f(x)﹣x2<f(1)﹣1,即g(x)<g(1),即x>1;
当x<0时,函数是偶函数,同理得:x<﹣1
综上可知:实数x的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),故选:B
【点评】主要根据已知构造合适的函数,函数求导,并应用导数法判断函数的单调性,偶函数的性质,解决本题需要注意对x的讨论。三.移项法构造函数
例3. (优质试题?江西模拟)设函数f (x )=e x (3x ﹣1)﹣ax+a ,其中a <1,若仅有一个整数x 0,使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )
A .[﹣2e ,1)
B .[﹣2e ,34)
C .[2e ,34)
D .[2e ,1)
【分析】设g (x )=e x (3x ﹣1),h (x )=ax ﹣a ,对g (x )求导,将问题转化为存在唯一的整数x 0使得g (x 0)在直线h (x )=ax ﹣a 的下方,求导数可得函数的极值,解g (﹣1)﹣h (﹣1)=﹣4e ﹣1+2a ≥0,求得a 的取值范围.
解:设g (x )=e x (3x ﹣1),h (x )=ax ﹣a ,则g ′(x )=e x (3x+2), ∴x ∈(﹣∞,23-),g ′(x )<0,g (x )单调递减,x ∈(23
-,+∞),
g ′(x )>0,g (x )单调递增,∴x=23-,取最小值﹣323e -,∴g (0)=﹣1<﹣a=h (0),
g (1)﹣h (1)=2e >0,直线h (x )=ax ﹣a 恒过定点(1,0)且斜率为a ,
∴g (﹣1)﹣h (﹣1)=﹣4e ﹣1+2a ≥0,∴a ≥2e
,a <1,∴a 的取值范围[2e ,1).故答案选:D .
【点评】本题考查求函数的导数,利用导数判断函数的单调性和极值问题,涉及转化的思想,解决本题可以画出图象,利用图象之间的位置关系帮助理解解题过程。
四.作差后构造
例4. (优质试题?辽宁模拟)已知函数f (x )=
ln(1)x x
+(x >0) (1)讨论函数f (x )的单调性;
(2)证明:f (x )22x >+. 【分析】(1)根据导数和函数单调性的关系,以及导数和最值得关系即可求出;
(2)令h (x )=ln (1+x )﹣
22
x x +,利用导数和最值得关系即可证明. 解:(1)∵f (x )=ln(1)x x +(x >0),∴f ′(x )=2ln(1)1x x x x -++(x >0), 设g (x )=ln(1)1x x x -++,x >0,∴g ′(x )=22110(1)1(1)x x x x x x +---=<+++, ∴g (x )在(0,+∞)为减函数,∴g (x )<g (0)=0, ∴f ′(x )<0,∴f (x )在(0,+∞)为减函数,
(2)令h (x )=ln (1+x )﹣22x x +,∴h ′(x )=22
(1)(2)x x x ++, x >0时,h ′(x )>0,∴h (x )在(0,+∞)上单调递增, ∴h (x )>h (0)=0,∴ln (1+x )>
22x x +,从而,x >0时,f (x )22x >+得证.
【点评】本题考查了导数和函数的单调性最值得关系,考查了转化思想,培养了学生的运算能力,分析解决问题的能力,属于中档题.
【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中.在导数小题中构造函数的常见结论:出现()()nf x xf x '+形式,构造函数()()F n x x f x =;出现()()xf x nf x '-形式,构造函数()() F n f x x x = ;出现()()f x nf x '+形式,构造函数()()F nx x e f x =;出现()()f x nf x '-形式,构造函数()() F nx f x x e = . 【解答策略】 类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1.利用()f x 与x (n x )构造 常用构造形式有()xf x , ()f x x ;这类形式是对u v ?,u v 型函数导数计算的推广及应用,我们对u v ?,u v 的导函数观察可得知,u v ?型导函数中体现的是“+”法,u v 型导函数中体现的是“-”法,由此,我们可以猜测,当导函数形式出现的是“+”法形式时,优先考虑构造u v ?型,当导函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造 u v . 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设 是定义在上的可导偶函数,若当 时, ,则函数 的零点个数为 A .0 B .1 C .2 D .0或2 【答案】A 【解析】 设 ,因为函数 为偶函数,所以 也是上的偶函数,所以 .由已知, 时, ,可得当 时, , 故函数在上单调递减,由偶函数的性质可得函数在 上单调递增.所以
,所以方程,即无解,所以函数没有零点.故选A. 【指点迷津】设,当时,,可得当时,,故函数 在上单调递减,从而求出函数的零点的个数. 【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是,其导函数为,若,且(其中是自然对数的底数),则 A.B. C.当时,取得极大值D.当时, 【答案】C 【解析】 设,则 则 又得 即,所以 即 , 由得,得,此时函数为增函数 由得,得,此时函数为减函数 则,即,则,故错误 ,即,则,故错误 当时,取得极小值 即当,,即,即,故错误 当时,取得极小值 此时,则取得极大值
构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式,或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决;题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也因此而不同,这里是几种常用的构造技巧. 技法一:“比较法”构造函数 [典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)=e x-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)证明:当x>0时,x2<e x. [解] (1)由f(x)=e x-ax,得f′(x)=e x-a. 因为f′(0)=1-a=-1,所以a=2, 所以f(x)=e x-2x,f′(x)=e x-2, 令f′(x)=0,得x=ln 2, 当x<ln 2时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>ln 2时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值. (2)证明:令g(x)=e x-x2,则g′(x)=e x-2x. 由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln 2)>0, 故g(x)在R上单调递增. 所以当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<e x. [方法点拨] 在本例第(2)问中,发现“x2,e x”具有基本初等函数的基因,故可选择对要证明的“x2<e x”构造函数,得到“g(x)=e x-x2”,并利用(1)的
结论求解. [对点演练] 已知函数f (x )=x e x ,直线y =g (x )为函数f (x )的图象在x =x 0(x 0<1) 处的切线,求证:f (x )≤g (x ). 证明:函数f (x )的图象在x =x 0处的切线方程为y =g (x )=f ′(x 0)(x -x 0)+f (x 0). 令h (x )=f (x )-g (x )=f (x )-f ′(x 0)(x -x 0)-f (x 0), 则h ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0)= 1-x e x - 1-x 0 e 0 x = ?1-x ?e 0 x -?1-x 0?e x e 0 +x x . 设φ(x )=(1-x )e 0 x -(1-x 0)e x , 则φ′(x )=-e 0 x -(1-x 0)e x , ∵x 0<1,∴φ′(x )<0, ∴φ(x )在R 上单调递减,又φ(x 0)=0, ∴当x <x 0时,φ(x )>0,当x >x 0时,φ(x )<0, ∴当x <x 0时,h ′(x )>0,当x >x 0时,h ′(x )<0, ∴h (x )在区间(-∞,x 0)上为增函数,在区间(x 0,+∞)上为减函数, ∴h (x )≤h (x 0)=0, ∴f (x )≤g (x ). 技法二:“拆分法”构造函数 [典例] 设函数f (x )=ae x ln x +be x -1 x ,曲线y =f (x )在点(1,f (1)) 处的切线为y =e (x -1)+2. (1)求a ,b ; (2)证明:f (x )>1. [解] (1)f ′(x )=ae x ? ?? ??ln x +1x +be x -1 ?x -1? x 2 (x >0), 由于直线y =e (x -1)+2的斜率为e ,图象过点(1,2),
专题2.3构造函数法解不等式问题(小题) 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握,导数是函数单调性的延伸,如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ,则单调性就变的相当隐晦了,另外在导数中的抽象函数不等式问题中,我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性,而是包含()f x 的一个新函数的单调性,因此构造函数变的相当重要,另外题目中若给出的是'()f x 的形式,则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数,因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ,因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如:'()0f x >,则我们知道原函数()f x 是单调递增的,若'()10f x +>,我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的,因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程,只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数,那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候,但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可,例如()g x 的原函数是不能准确的找到的,但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ,则也能大致将那个函数看成是原函数,例如'()()g x m x x =,或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式,我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结: 关系式为“加”型: (1)'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+(2)'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+(3)'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+(注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型
导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 (1)'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ (2)'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ (3)'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ (注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型 (1)'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== (2)'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[ ]'f x xf x f x x x -= ! (3)'()()0xf x nf x -≥ 构造121 ()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== (注意对x 的符号进行讨论) 小结:1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题: 例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数,'()()()'()0f x g x f x g x +<,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集 变式:设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集. 例 2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,若有穷数列*()()()f n n N g n ??∈???? 的前n 项和等于3132,则n 等于 . 变式:已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,
合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析,高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题,考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题。在内容上日趋综合化,在解题方法上日趋多样化. 解决这类有关的问题,有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法,但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的,那么怎样合理的构造函数就是问题的关键,这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例1:(2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题) 已知函数()()ax x x ax x f --++=2 3 1ln . (1) 若 3 2 为()x f y =的极值点,求实数a 的值; (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数,求实数a 的取值范围; (3) 若1-=a 时,方程()()x b x x f = ---3 11有实根,求实数b 的取值范围。 解:(1)因为3 2= x 是函数的一个极值点,所以0)32 (='f ,进而解得:0=a ,经检验是 符合的,所以.0=a (2)显然(),2312a x x ax a x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立,所以0≥a 且01≥+ax a 。同时a x x --232此函数是31
构造函数利用导数解决函数问题
构造函数解决不等式问题 例:[2011·辽宁卷]函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2, 则f (x )>2x +4的解集为( ) A .(-1,1) B .(-1,+∞)C .(-∞,-1) D .(-∞,+∞) 【解析】构造函数G (x )=f (x )-2x -4,所以G ′(x )=f ′(x )-2,由于对任意x ∈R ,f ’(x )>2, 所以G ′(x )=f ′(x )-2>0恒成立,所以G (x )=f (x )-2x -4是R 上的增函数, 又由于G (-1)=f (-1)-2×(-1)-4=0,所以G (x )=f (x )-2x -4>0, 即f (x )>2x +4的解集为(-1,+∞),故选B. 训练: 1.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当 (,0),()'()0 x f x xf x ∈-∞+<成 立0.2 0.22 (2) a f =g ,log 3(log 3) b f π π=g ,3 3log 9(log 9) c f =g ,则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. b a c >> B.c a b >> C.c b a >> D.a c b >> 解: 因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为 奇函数.因为 [()]'()'() xf x f x xf x =+,所以当 (,0) x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数 () y xf x =单调递减,当 (0,) x ∈+∞时,函数() y xf x =单调递减.因为 0.2122 <<,0131og π <<,3192 og =,所以0.23013219 og og π <<<,所以
导数选择题之构造函数法解不等式的一类题 一、单选题 1.定义在上的函数的导函数为,若对任意实数,有,且为奇函数,则不等式的解集为 A. B. C. D. 2.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得 成立的的取值范围是() A. B. C. D. 3.定义在上的偶函数的导函数,若对任意的正实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为() A. B. C. D. 4.已知函数定义在数集上的偶函数,当时恒有,且,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 5.定义在上的函数满足,,则不等式的解集为() A. B. C. D. 6.设定义在上的函数满足任意都有,且时,有,则的大小关系是() A. B. C. D. 7.已知偶函数满足,且,则的解集为 A. B. C. D.