《构造函数解决导数问题》专练
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则
()24f x x >+的解集为（ ）．
A ．R
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()1,-+∞
2．设函数()f x 是定义在()0-∞，
上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有22()()f x x f x x '+?>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +?+-?->的解集为
（ ）
A ．(2023)-∞-，
B ．()2-∞-，
C ．(20)-，
D ．(20220)-，
3．设()f x 是定义在(,0)
(0,)ππ-的奇函数，其导函数为()'f x ，当(0,)x π∈时，
()sin ()cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2()sin 6
f x f x π
<的解集为
（ ） A ．(,0)(0,)66
π
π
-
? B ．(,0)(,)66
π
π
π-
C ．(,)(,)66
π
π
ππ--
?
D ．()(0,)66
π
π
π--
，
4．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()f x f x '>，(2)1008f =，则不等式2
1
e ( 1) 1008e 0x
f x ++->的解集为（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(2,)+∞
C ．(,1)-∞
D ．(1,)+∞
5．已知()f x 是定义在()(),00,-∞?+∞上的奇函数，且0x >时
()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（ ）
A ．()
(),11,-∞-+∞ B ．()()1,00,1-
C ．()()1,01,-?+∞
D ．()(),10,1-∞-?
6．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，
()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集
为（ ）
A ．()0+∞，
B ．()2019+∞，
C ．()0-∞，
D ．()()02019-∞+∞，
，
7．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且
()01f =，则不等式()12x f x e +≥的解集为（ ）
A ．(],0-∞
B ．[)1,-+∞
C ．[)0,+∞
D ．(],1-∞-
8．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有
()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式
()cos sin 2f x f x x x π??
--≥- ???
的解集是（ ）
A ．,
4π??-∞ ??
?
B ．,4π??
+∞??
??
C ．,
6π?
?
-∞ ??
?
D ．,6π??+∞??
??
9．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有
[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集
为（ ） A ．[1,)+∞
B ．(,1]-∞
C ．(0，2020]
D ．(1，2020]
10．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-?，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有
()()
'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π??
< ???
的解集为
（ ） A ．π
π4
（，） B ．ππ
ππ4
4
（，）（，）
-? C ．ππ
0044
-
?（，）（，）
D ．ππ0π44
-?（，）（，）
11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，
()()f x f x x
'<
恒成立，若()20f =，则不等式
()
01
f x x >-的解集为（ ） A ．()()2,01,2- B ．()()2,00,1-? C ．()()1,2,2?-∞- D ．()
()2,02,-+∞
12．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且
12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．[3,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．(,3]-∞
D ．(,2]-∞
二．填空题
13．定义在R 上的函数()f x 满足：()()2
2f x f x x -+=，且当0x ≤时，
()2f x x '<，则不等式()()25510f x x x f +-+≥的解集为______．
14．设(),()(()0)f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，
()()()()0f x g x f x g x '
'
-<，且(2)0f -=，则不等式
()
0()
f x
g x >的解集为____ 15．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()1xf x '<，且(1)1f =，则不等式
(31)ln(31)1f x x ->-+的解集是________．
16．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'
f
x ，若()()'1f x f x +>，
()02020f =，则不等式()2019x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为___
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数()()()2
ln 10,0f x a x x a x =++≠>
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）对于任意[)1,x ∈+∞均有()2
0x f x a
-≤恒成立，求a 的取值范围.
18．已知函数()()ln a
f x x a R x
=
-∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e
+>.
19．设函数()2
ln a f x x x
=
+，()32
3g x x x =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若对于任意的12123x x ??∈????
，，
，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围.
20．已知函数()()2
1ln 2
f x x mx x m =
-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x 且1215
4
x x -≤，求()()12f x f x -的最大值.
21．已知函数()ln 2f x x kx =++. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()2x e g x x ax =-+，当1k =-且2
02
e a <≤，求证：()()g x
f x >.
22．已知函数22()3ln (0)f x x ax a x a =+->． （1）若()f x 的极小值为22a ，求实数a 的值； （2）若2a =，求证：()(6)ln 8f x x x >--．
《构造函数解决导数问题》专练解析
1.【解析】令()()(24)g x f x x =-+，
所以()()20g x f x ''=->，故()g x 在R 上单调递增，
又(1)(1)20g f -=--=，所以当1x >-时，()0>g x ，即()24f x x >+， 所以()24f x x >+的解集为：()1,-+∞，故选：D ． 2.【解析】令2
()()g x x f x =?，则
2()()2()[()2()]g x x f x x f x x x f x f x '''=?+?=?+，
∵2
2()()0f x x f x x '?+?>>，0x <，∴[()2()]0x x f x f x '?+<，即()0g x '<，
∴2
()()g x x f x =?在(,0)-∞上是减函数，
∴2
(2021)(2021)4(2)0x f x f +?+-?->可化为： 22(2021)(2021)4(2)(2)(2)x f x f f +?+>?-=-?-， ∴(2021)(2)g x g +>-，即20212x +<-，解得2023x <-，
所以不等式2
(2021)(2021)4(2)0x f x f +?+-?->的解集为(2023)-∞-，
.故选：A 3.【解析】令()
()sin f x g x x
=，x ∈(,0)(0,)ππ-， 当(0,)x π∈时，2
()sin ()cos ()sin f x x f x x
g x x
'='-0<， 所以()
()sin f x g x x
=在(0,)π上为单调递减函数，
又()f x 是定义在(,0)
(0,)ππ-的奇函数，所以()
()sin f x g x x
=
为偶函数， 在(,0)π-上为单调递增函数，当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以()2()sin 6
f x f x π
<等价于
()
()6sin sin 6
f f x x π
π<
，即()()6
g x g π<，因为()()sin f x g x x =在(0,)π上为单调递减函数，所以
6
x π
π<<，当(,0)x π∈-时，sin 0x <，所以()2()sin 6f x f x π
<等价于
()()()
()666sin sin sin()sin()666
f f f f x x πππ
πππ--->==
---，即()()6
g x g π>-，因为()()sin f x g x x =在(,0)π-上为单调递增函数，所以06
x π
-
<<，
综上所述：关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为,0,66πππ????
-? ? ?????
.
故选：B
4.【解析】令()
()e x f x g x =
，则
()()()0e x
f x f x
g x '-'=>， 所以()g x 在R 上单调递增．因为21008
(2)e
g =
，所以不等式21e (1)1008e 0x f x ++->，可变形得
1
2(1)(2)
e e
x f x f ++>，即()()12g x g +>，所以12x +>，解得1x >．故选：D
5.【解析】由题可知，当0x >时()()20xf x f x '+>， 令()()2
g x x f x =?，0x >，
则()()()()()2
220g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+>????，
所以()g x 在()0,∞+上单调递增，
因为()f x 是定义在()(),00,-∞?+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-， 所以()()()()()2
2g x x f x x f x g x -=-?-=-?=-， 得()g x 也是定义在()(),00,-∞?+∞上的奇函数， 所以()g x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，
又()10f -=，则()()()2
1110g f -=-?-=，所以()10g =，
所以可知()0g x <时，解得：1x <-或01x <<， 则()0f x <，即()()
20g x f x x
=
<，即()0g x <， 所以()0g x <的解集为：()(),10,1-∞-?， 即()0f x <的解集为()(),10,1-∞-?.故选：D.
6.【解析】设()()2x
g x e f x =-????，所以()()()2x
g x e f x f x ''=+-????，
因为()()'2f x f x +<，所以()()()20x
g x e f x f x ''=+-
所以()g x 在R 上单调递减，且()()()
01022019g f =?-=，
又因为()22019x
x
e f x e >+等价于()2019g x >，
所以解集为(),0-∞，故选：C. 7.【解析】设()()1x f x F x e +=
，则()()()1
x
f x f x F x e
'--'=. ∵()()1f x f x '-<，∴()0F x '<，即函数()F x 在定义域R 上单调递减. ∵()01f =，∴()02F =， ∴不等式()12x
f x e +≥等价于
()1
2x
f x e
+≥， 即()()0F x F ≥，解得0x ≤.故不等式的解集为(],0-∞.故选A. 8.【解析】设()()cos F x f x x =-，
∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即
()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，
由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数
()F x 在R 上连续.
∵在[
)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[
)0,+∞单调递增，
又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π??
--≥-
???
， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ??????
-≥--=---
? ? ???????
， 即()2F x F x π??
≥-
???
，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．
9.【解析】构造()
()x xf x g x e =，则[]()
2()()()()x x x
xf x f x e xf x e g x e
'+-'= []()()()
x
xf x f x xf x e
'+-=
[]()()()
x
x f x f x f x e
'-+=
0>，
所以()g x 为单调递增函数，又(1)
(1)2020f g e
==，所以不等式()20200x xf x e -≥等价于
()
2020x
xf x e
≥等价于()(1)g x g ≥，所以1≥x ，故原不等式的解集为[1,)+∞， 故选：A ．
10.【解析】令()
()sin f x F x x =
，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x F x x
-''=
<，函数()
()sin f x F x x
=
是定义域当(0,)π内的单调递减函数，由于关于x 的不等式(
)sin 4f x x π??< ???
可化为()
()4sin sin 4
f f x x π
π<
，即()()4F x F π<，则4x ππ>>；而当0x π-<<时，0x π<-<，则关于x 的不等式(
)sin 4f x x π??
< ???
可化为
()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()
()4sin()sin 4
f f x x π
π-<-，也即()()4F x F π-<可得4
x π>-，即04
x π-
<<．所以原不等式的解集(,0)(,)44
π
π
π-
，应选答案D ．
11.【解析】设()()f x h x x =
，则()()2()
xf x f x h x x
'-'=， ∵当0x >时，()()f x f x x
'<
恒成立，即()()0xf x f x '-<，
∴()0h x '<，即()h x 在()0,∞+上单调递减. 又函数()f x 是奇函数，∴()()()()
()f x f x f x h x h x x x x
---=
===--， ∴函数()h x 为偶函数，()h x 在(),0-∞上单调递增. ∵()20f =，∴()()()22202
f h h -==
=. ∴当20x -<<或2x >时，()0f x <； 当2x <-或02x <<时，()0f x >.
不等式()
01f x x >-等价于()100x f x ->??
>?或()
100x f x -
()2,01,2-.故选：A.
12.【解析】∵对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有
()()()
211212x f x x f x a x x -<-成立，
∴不等式等价为
()()1212
f x a f x a
x x ++<恒成立， 令()()f x a
h x x
+=
，则不等式等价为当12x x <时，()()12h x h x <恒成立，即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数；3()x e ax a h x x +-+=，则2
3()0x x xe e a
h x x
-+-'=≥在[1,)+∞上恒成立；∴30x x xe e a -+-≥；即3x x a xe e -≤-恒成立，
令()x x g x xe e =-，∴()0x
g x xe '=>；
∴()g x 在[1,)+∞上为增函数；∴()(1)0g x g >=；∴30a -≥；∴3a ≤. ∴a 的取值范围是(,3]-∞.故选：C. 13.【解析】因为()()2
2f x f x x -+=，
所以()()()2
20f x x f x x ---+-=，
令()()2
g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数．
又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<，
所以()g x 在(],0-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减．而不等式
()()()()()()()
2
225510555f x f x x f x x f x x g x g x +≥-+?-≥---?≥-，所以5x x ≤-，所以5
2x ≤
．故答案为：5,2??-∞ ??
? 14.【解析】
()f x 和()()()0g x g x ≠，分别是定义在R 上的奇函数和偶函数
()()f x f x ∴-=- ()()g x g x -=，
当0x <时，()()()()0f x g x f x g x '-'< 当0x <时，2()()()()()
[]0()()
f x f x
g x f x g x g x g x '-''=<， 令()
()g()
f x h x x =
，则()h x 在(,0)-∞上单调递减 ()()
()()()()
f x f x h x h x
g x g x --=
=-=--，()h x ∴为奇函数，
根据奇函数的性质可得函数()h x 在(0,)+∞单调递增， (2)f f -=-（2）()()0202h h h ==∴-=-，，（2）0=
()h x 图象如图，由图可知，()
()0()
f x h x
g x =
>的范围为(,2)(0,2)-∞-?
15.【解析】构造函数()()ln 1(0)g x f x x x =-->，则1()1()()xf x g x f x x x
'-''=-=，依题意知()0g x '<，即()()ln 1g x f x x =--在0,上是减函数.又因为(1)1f =，所
以(1)(1)ln110g f =--=，所以()(1)g x g >
的解为01x <<，即()ln 10f x x -->即
()ln 1f x x >+的解为01x <<，所以(31)ln(31)1f x x ->-+的解为0311x <-<，即1233x <<，即解集是12,33??
???
.
16.【解析】设()()2019x x
g x e f x e =--，不等式()2019x x
e f x e >+的解等价于
不等式()0>g x 的解，因为'
'
()(()()1)0x
g x e f x f x =+->，
所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+
17.【解析】（1）()()2'
2221a x x a
f x x x x
++=++=，
0a ≥时，()'
>0f x ，所以()f x 的单调增区间是()0,∞+；
0a <时，令'
0f
x
，解得x =
舍去）
，所以
x ?∈ ??时，()'
0f x <，
x ?∈+∞????时，()'>0f x ， 所以()f x
的单调减区间是0,21? ??-
，单调增区间是12??
+∞ ? ?-+?
?；
（2）由()110f a -
≤可得104
a <≤， 只需证明当104a <≤时，()20x f x a -≤恒成立，等价于()22210x x lnx a a
+--≥，
令1t a
=
，则4t ≥，设()()2
221g t x t x t lnx =-+-， 对称轴()2
2
2
1111222x t x x ??
???
+=
=+≤， 故有()()()2
241641g t g x x lnx ≥=-+-. 记()()2
21641h x x x lnx =-+-，
()()'111
3281248241801
h x x x x x x =-+-
=--≥?-->， 所以()h x 在[)1,+∞单调递增，且()10h =.故有()0h x ≥，于是()0g t ≥恒成立. 由此1
04
a <≤
. 18.【解析】（1）解：因为()ln a f x x x =
-，所以()221a a x f x x x x
+'=--=-. ①当0a ≥时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递减. ②当0a <时，由()0f x '>得0x a <<-；由()0f x '<得x a >-. 即()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减， 综上，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；
当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减.
（2）证明：因为()()122f x f x ==，所以11ln 20a x x --=，22
ln 20a
x x --=， 即111222ln 2ln 20x x x a x x x a +-=+-=. 设()ln 2g x x x x a =+-，则()ln 3g x x '=+， 故()g x 在310,
e ?
? ??
?上单调递减，在31,e ??
+∞ ???
上单调递增.
由题意不妨设12310e x x <<<，欲证1232e x x +>，只需证2132
e
x x >-. 又2x ，
13321,e e x ??-∈+∞ ???，()g x 在31,e ??
+∞ ???
上单调递增.
故只需证()2132e g x g x ??
>- ???
.
因为()()12g x g x =，所以只需证()113
2e g x g x ??>-
???
对任意的1310,e x ??
∈ ???恒成立即可，即111111333222ln 2ln 2e e e x x x a x x x a ??????
+->--+-- ? ? ???????
.
整理得111111333224ln 2ln 2e e e
x x x x x x ????+>--+-
? ?????， 即11111333
224ln ln 40e e e x x x x x ????---+->
? ?????
. 设()333
224ln ln 4e e e h x x x x x x ????=---+-
? ?????，310,e x ??
∈ ???， 则()23322ln ln 6ln 6e e x h x x x x ????
'=+-+=-+
? ?????
. 因为310e x <<
，所以2
36
210e e x x <-<，所以()232ln 60e x h x x ??'=-+< ???
，所以()h x 在310,e ??
???上单调递减，则()310e h x h ??>= ???
.所以1232e x x +>成立.
19.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，233
12(),a x a
f x x x x
'
-=-+= 当0a ≤ 时，()0f x '≥，所以函数 ()f x 在 (0,)+∞上单调递增；
当 0a >时，当 x ≥
时， 则()0f x '≥ ，函数()f x 单调递增，当0x <<时， ()0f x '< ，函数()f x 单调递减，
所以0a >时，函数()f x 在 单调递减，在)+∞上递增； （2）由已知得2
2
1
()323(),,233g x x x x x x '
??=-=-∈????，所以当2,23
x ??∈????
时，
()0g x '≥，所以函数()g x 在2,23??
????
上单调递增，
当12,33x ??∈????时，()0g x '≤，所以函数()g x 在12,33??
????
上单调递减，
又183()(2)1327g g =-<=，所以函数()g x 在1,23??
????
上的最大值为1，
依题意得，只需在1,23
x ??∈????，()1xf x ≥恒成立，即
ln 1a
x x x
+≥，也即是2
ln a x x x ≥-在1,23x ??∈????
上恒成立， 令2
1()ln (,2)3
h x x x x x ??=-∈????
，则()12ln h x x x x '
=--，有(1)0h '=，
当1,13x ??∈????时，10x ->，ln 0x x <，()0h x '>，即()h x 在1,13??????
上单调递增， 当(]1,2x ∈时，10,ln 0x x x -<>，()0h x '<，所以()h x 在(]1,2上单调递减， 所以，当1x =时，函数()h x 取得最大值(1)1h =， 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.
20.【解析】（1）由题意，211
()x mx f x x m x x
-+'=-+=，0x >，
设2
1(0)y x mx x =-+>，24m ?=-，
①当0?≤，即22m -≤≤时，0y ≥，()0f x '≥，
()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；
②当0?>，即2m <-或2m >时，
i ）当2m <-时，0y ≥，()0f x '≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；
ii ）当2m >时，令()0f x '=，则1x =或2x =，
令()0f x '<，则12x x x <<；令()0f x '>，则1x x <或2x x >；
()f x ∴在()12,x x 上递减，在()10,x 和()2,x +∞上递增，
综上所述，当2m ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增；
当2m >时，()f x 在22m m ??
+
? ???上递减，
在0,
2m ?- ???和,2m ??
++∞ ? ???
上递增；
（2）由（1）得当2m ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，不合题意；
2m ∴>，不妨设120x x <<，
则()f x 在()12,x x 上递减，1x ，2x 是方程210x mx -+=的两个不相等实数根，
12x x m ∴+=，121=x x ，
因为1221154x x x x -=-≤
，所以11
14
x ≤<或14x ≤-（舍去）， 则()()()()()()22
1121212122
1ln 2x f x f x f x f x x x m x x x -=-=
---+ 22112111ln 2x x x ??=-+ ???
，11
14x ≤<， 令2
11,116t x ??∈????
=，则11()ln 2g t t t t ??=-+ ???，
1
116t ≤<，所以2
2
(1)()02t g t t -'=-<，()g t ∴在1,116??????上递减，1255()4ln 21632g t g ??≤=- ???， ∴当114x =
时，()()12f x f x -取最大值
255
4ln 232
-． 21.【解析】（1）函数()ln 2f x x kx =++. 函数定义域为()0,∞+，()1+1
kx f x k x x
=
'=
+ 当0k ≥时，可知()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增； 当0k <时，令()0f x '=，解得1
x k
=-， 所以当10x k <<-
时，()0f x '>；当1
x k
>-时()0f x '<； 故此时()f x 单调增区间为10,k ??- ???；单调减区间为1,k ??
-+∞ ???
；
综上所述：当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增； 当0k <时()f x 增区间为10,k ??-
???；减区间为1,k ??
-+∞ ???
.
（2）证明：将1k =-代入函数解析式可得()ln 2f x x x =-+，
()2x
e g x x ax
=-+，定义域为()0,∞+，
要证()()g x f x >，即证ln x e ax x >，
①当01x <≤时，1x e >，ln 0ax x ≤，不等式显然成立， ②当1x >时，ln 0x x >，结合已知2102a e <≤
可得，21
0ln ln 2
ax x e x x <≤， 于是转化为21ln 2x
e e x >，即证2
2ln 0x e x x
-->，
令()2
2ln x e h x x x -=-，则()()22
21x e x x h x x
-'--=， 令()()2
21x x e x x -Φ=--，则()221x x xe -'Φ=-，且在()0,∞+上单调递增，
∵()2
110e
'Φ=
-<，()230'Φ=>，存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即02021x x e -=，∴()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
又()110Φ=-<，()20Φ=，
故当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，
∴()()21ln 20h x h ≥=->，故()0h x >，得证()()g x f x >.
22.【解析】（1）由题意，2
2
()3ln f x x ax a x =+-的定义域为(0,)+∞，
且2221323()(23)
()2(0)a x ax a x a x a f x x a x x x x
+--+'=+-==>，，
由()0f x '<得0x a <<，由()0f x '>得x a >，
∴()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),+∞a 上单调递增，
∴()f x 的极小值为22222
()3ln 23ln f a a a a a a a a =+-=-，
令22223ln 2a a a a -=，得23ln 0a a =， ∵0a >，∴ln 0a =，解得1a =．
（2）当2a =时，2
()212ln f x x x x =+-，
设()()(6)ln g x f x x x =--，
则2
2
()212ln (6)ln 26ln ln g x x x x x x x x x x x =+---=+--，
则262ln 6
()22ln 1(0)x x x x g x x x x x x
+--'=+---=>，
设2()2ln 6(0)h x x x x x x =+-->， 则()41(ln 1)4ln h x x x x x '=+-+=-，
设()4ln m x x x =-，则141()4(0)x m x x x x
-'=-=>， 由()0m x '<可得104x <<，由()0m x '
>可得14
x >，
即()m x 在10,4?
? ???上单调递减，在1,4??
+∞
???
上单调递增， ∴11()1ln 12ln 2044m x m ??
≥=-=+>
?
??
，即()0h x '>， ∴()h x 在()0,+∞上单调递增．
∵(1)30h =-<，(2)42ln 20h =->，∴()h x 存在唯一的零点0x ，且0(1,2)x ∈． 由()2
00
0002ln 60h x x x x x =+--=，得000
6
ln 21x x x =-
+， 当()00,x x ∈时，()0h x < ，即()0g x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x > ，即()0g x '>， ∴()2
000000()26ln ln g x g x x x x x x ≥=+--
()2
0000062621x x x x x ??=+-+-+ ???
20003611x x x =--+，
易得()g x 在区间1,2上单调递减，故()2
036
211282
g x >--?+
=-， ∴()()(6)ln 8g x f x x x =-->-，即()(6)ln 8f x x x >--．