《机械优化设计》练习题及答案
1 .单选题
1. K-T条件是多元函数取得约束极值的（）条件。
A.充分
B.必要
C.充分必要
D.不确定
正确答案：B
2.（）是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。
A.外点法
B.内点法
C.混合法
D.抛物线法
正确答案：A
3 .在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互（）。
A.平行
B.垂直
C.相交
D.相异
正确答案：B
4 .动态问题分为约束问题和（）两种。
A. 一维问题
B. n维性问题
C.无约束问题
D.约束问题
正确答案：C
5.非线性问题分为一维问题和（）两种。
A.静态问题
B. n维性问题
C.无约束问题
D.约束问题
正确答案：B
6 . 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作()o
A.可行条件
B.固定条件
C.约束条件
D.边界条件
正确答案：C
7 .下列说法不正确的一项是(？？)。
A.变量轮换法的方法是依次沿相应的坐标轴方向进行的一维优化，收敛速度较慢
8 .二维正定二次函数的等值线是同心的椭圆族，目椭圆中心就是
以该函数为目标函数的极小点
C.用梯度法寻求目标函数的最小值时，就是沿目标函数方向上的一维搜索寻优法
D.利用复合形法进行优化设计时构造初始复合形的全部顶点都必须在可行城内选取。
正确答案：C
9 .下列优化设计的算法中，不属于无约束优化设计算法的一项是(Illl }
A.牛顿法
8 .鲍威尔法
C.罚函数法
D.变尺度法
正确答案：C
9 .()通常是指在解决设计问题时，使其结果达到某种意义上的无可争议的完善化。
A.正交化
B.规范化
C.最优化
D.正定化
正确答案：C
10 .有n个设计变量为坐标所组成的实空间称为（）。
A.设计空间
B.行向量
C.列向量
D.集
正确答案：A
2.多选题
11 .机械优化设计的数学模型的三要素是（？？）o
A.设计变量
B.目标函数
C.约束函数
D.定义公式
正确答案：ABC
12 .下列哪几项属于梯度法的特点？（）
A.理论明确，程序简单，对初始点要求不严格
B.对一般函数而言，梯度法的收敛速度并不快
C.在远离极小点时逼近速度较快，而在接近极小点时逼近速度较慢
D.梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关
正确答案：ABCD
13 .惩罚函数法有（）三种方法。
A.迭代法
B.内点法
C.外点法
D.混合法
正确答案：BCD
14 .最优化问题分为（）两种。
A.静态问题
B.动态问题
C.线性问题
D.非线性问题
正确答案：AB
15 .机械优化的目的是（）。
A.最好的使用性能
B.最佳的经济效益
C.最佳的社会效益
D.最快的生产速度
正确答案：ABC
3.判断题
16 .方向倒数是二元函数在点xθ处沿某一方向S的方向导数。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
17 .函数在某点的梯度不为零，则必与过该点的等值面垂直。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
18 .约束优化设计的最优点不在可行域D中。（）
A.错误
B.正确
正确答案：A
19 .对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况，符合K-T条件的点一定是全局最优点。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
20 .对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
21 .由于各约束函数所表达的意义不同，使得各约束函数值在量级上相差很大。约束函数的尺度变换常称规格化，为改善数学模型性态常用的一种方法。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
22 .气温在人体正常体温的黄金分割点上23。C左右时，恰是人的身心最适度的温度。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
23 .梯度方向是函数具有最大变化率的方向。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
24 .任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。（）
A.错误
B.正确
正确答案：B
25 .梯度方向是函数值变化最慢的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。（）
A.错误
B.正确
正确答案：A
《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n ×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++2 1的形式 。
机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：??? ?????????????=??+??= ??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。 （1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向和数值。 解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在
计算题 1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010T X =。 初始点为()[]01010T X =，则初始点处的函数值和梯度分别为 ()()0120 121700164200410140f X x x f X x x =+?????==????+???? ，沿梯度方向进行一维搜索，有 ()010000010200102001014010140X X f X αααα-??????=-?=-=?????? -?????? 0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件 () ()[] ()()()(){ } () α?αααααα αα min 14010514010200104200108min min 2 0002 00 01=-?+-?-?+-?=?-=X f X f X f ()001060000596000?αα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 059600 0.05622641060000 α= = 则第一次迭代设计点位置和函数值01010200 1.245283010140 2.1283019X αα--???? ==????-??? ? ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可 求得最优解。 2、试用黄金分割法求函数()20 f ααα =+ 的极小点和极小值，设搜索区间 [][],0.2,1a b =（迭代一次即可） 解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式 ()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+?-= 计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。
《机械优化设计》练习题及答案 1. 单选题 1. K-T条件是多元函数取得约束极值的（）条件。 A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 不确定 正确答案：B 2. （）是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。 A. 外点法 B. 内点法 C. 混合法 D. 抛物线法 正确答案：A
3. 在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互（）。 A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 相异 正确答案：B 4. 动态问题分为约束问题和（）两种。 A. 一维问题 B. n维性问题 C. 无约束问题 D. 约束问题 正确答案：C 5. 非线性问题分为一维问题和（）两种。 A. 静态问题
B. n维性问题 C. 无约束问题 D. 约束问题 正确答案：B 6. 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作（）。 A. 可行条件 B. 固定条件 C. 约束条件 D. 边界条件 正确答案：C 7. 下列说法不正确的一项是（）。 A. 变量轮换法的方法是依次沿相应的坐标轴方向进行的一维优化，收敛速度较慢
B. 二维正定二次函数的等值线是同心的椭圆族，且椭圆中心就是以该函数为目标函数的极小点 C. 用梯度法寻求目标函数的最小值时，就是沿目标函数方向上的一维搜索寻优法 D. 利用复合形法进行优化设计时，构造初始复合形的全部顶点都必须在可行城内选取。 正确答案：C 8. 下列优化设计的算法中，不属于无约束优化设计算法的一项是（）。 A. 牛顿法 B. 鲍威尔法 C. 罚函数法 D. 变尺度法 正确答案：C 9. （）通常是指在解决设计问题时，使其结果达到某种意义上的无可争议的完善化。
机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ?= B. ()*0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()*0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21 T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。
《机械优化设计》复习题及答案一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2-x 1 2)2+(1-x 1 )2的最优解时，设X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一步迭代的 搜索方向为[-47;-50]。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4 5 6 7、d1 8 9 10 11 12 13 14 15，当满足(d1)TGd2=0，向量 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求。 二、选择题 1、下面方法需要求海赛矩阵。 A、最速下降法 B、共轭梯度法
C、牛顿型法 D、DFP法 2、对于约束问题 根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X=为，()2 51 [,] 22 T X=为。 A．内点；内点 B.外点；外点 C.内点；外点 1 )，则缩 D最佳步长 6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是________。 A.H k 之间有简单的迭代形式 B.拟牛顿条件 C.与海塞矩阵正交 D.对称正定 7、函数) (X f在某点的梯度方向为函数在该点的。
A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 8、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶 导数。 A梯度法 B牛顿法 [a， 与梯度成 B、下降 C、不变 D、为零 12、二维目标函数的无约束极小点就是。 A、等值线族的一个共同中心 B、梯度为0的点 C、全局最优解
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第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25* +8*15* ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· . g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 2223 4 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢ ⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 322 12 4 x x rx π X ∈R 3·
机械优化设计习题及参考答案 1—1。简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象.在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0 (1,2, )j g x j m ≤= 2—1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f （x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(, 则称它为函数f （x 1,x 2）在x 0点处的梯度。 (1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度—)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2—2.求二元函数f （x 1,x 2）=2x 12+x 22—2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向和数值。 解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p
表示,函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。求f(x1，x2)在x0点处的梯度方向和数值,计算如下： ()⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡+-=⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5 ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p 2-3。试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0］T 处的最速下 降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=∂∂-=∂∂ 则函数在X 0=［1，0]T 处的最速下降方向是 ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-=-∇=====462446)(0121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是： 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是 ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ -=+=132133101e X X 新点的目标函数值
机械优化设计课后答案 【篇一：机械优化设计第5章习题参考答案】 ?4000.333?时， f(x*)??cjxj??5.567。 t 第2题答案： x??2024840 0?，z??428。 *t 第3题提示： 求解方法可参考第四节中的应用实例。 第4题提示： 如果设x1、x2、x3、x4、x5分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五种下料方式所用钢材的件数，则此问题的数学模型是：求一组xj(j?1,2,?,5)的值，满足下列限制条件 x1?2x2 ?x4 ?100? 2x3?2x4?x5 ?100???3x1?x2?2x3 ?3x5?100? xj?0 (j?1,2,?,5)?? 使总的尾料 z?0.1x2?0.2x3?0.3x4?0.8x5 达到最小。 【篇二：《机械优化设计》复习题答案】 xt>一、填空题 1、用最速下降法求f(x)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最优解时，设x（0）＝[-0.5,0.5]t，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]t。 2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是，二是。 3、当优化问题是的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高－低－高趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为维优化问题。 6、函数 1txhx?btx?c的梯度为。 2 8模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是 10约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数f(x)?x2?10x?36的极小点，初始搜索区间 [a,b]?[?10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为
《机械优化设计》复习问答 1. 填空 1.使用最速下降法求f(X)=100(x 2 - x 1 2 ) 2 +(1- x 1 ) 2的最优解时，设X (0) = [-0.5, 0.5] T ，第一次迭代的搜索方向是[-47;-50] 。 2.机械优化设计采用数学规划方法，其核心是确定搜索方向，其次是计算最优步长因子。 3.当优化问题是__凸规划__时，任何局部最优解都是全局最优解。 4 、应用进退法确定搜索区间时，最终得到的三个点分别为搜索区间的起点、中点和终点，其函数值形成高-低-高趋势。 5. 涉及 n 个设计变量的优化问题称为n 维优化问题。 6.C X B HX X T T ++2 1函数的梯度是HX+B 。 n 维空间中存在两个非零向量d 0和d 1 ，满足(d 0 ) T Gd 1 =0，则有_之间d 0和 d 1共轭_____ 关系。 8.设计变量、约束和目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9.对于一个无约束的二元函数),(21x x f ，如果),(x 20100x x 在某一点处得到最小值，则必要条件是梯度为零，充分条件是Hessian 矩阵是正定的。 10. Kuhn-Tucker 条件可以描述为目标函数在极值点的梯度是每个起作用的约束函数的梯度的非负线性组合。 1 1.用黄金分割法求一元函数的最小点]10,10[],[-=b a ，初始搜索区间3610)(2+-=x x x f ，第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36,2.36] 。 的基本要素是设计变量、约束的目标函数、 牛顿法的搜索方向为d k =，计算量大，需要初始点逼近最小值点的位置。 14、函数f(X)=x 1 2 + x 2 2 -x 1 x 2 -10x 1 -4x 2 +60 表示C X B HX X T T ++2 1为形式。 15.有一个矩阵 H 、一个向量 d 1 和一个向量 d 2 。当满足(d 1 )TGd 2 =0时，向量d 1和向量d 2关于H 是共轭的。 16.使用外点法求解约束优化问题时，约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 序列具有从小到大趋于无穷大的特点。 17、使用数学规划方法求解多元函数极值点时，需要根据迭代公式进行一维搜索，即求。 二、多选 1.下面的方法需要Hessian 矩阵。
机械优化设计试题及答案
计算题 1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010T X =。 初始点为()[]01010T X =，则初始点处的函数值和梯度分别为 ()()0120 121700164200410140f X x x f X x x =+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ ，沿梯度方向进行一维搜索，有 ()010000010200102001014010140X X f X αααα-⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件 () ()[] ()()()(){ } () αϕαααααα αα min 14010514010200104200108min min 2000200 01=-⨯+-⨯-⨯+-⨯=∇-=X f X f X f ()001060000596000ϕαα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 059600 0.05622641060000 α= = 则第一次迭代设计点位置和函数值01010200 1.245283010140 2.1283019X αα--⎡⎤⎡⎤ ==⎢⎥⎢⎥ -⎣⎦ ⎣⎦ ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可 求得最优解。 2、试用黄金分割法求函数()20f ααα =+的极小点和极小值，设搜索区间 [][],0.2,1a b =（迭代一次即可） 解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式 ()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.61810.20.6944 a b a αλ=+-=+⨯-=
机械优化设计试卷及答案 Only by being serious and persistent can one achieve success in one's career
机械优化设计复习题及答案 一、填空题 1、用最速下降法求fX=100x 2- x 12 2+1- x 1 2的最优解时,设X 0＝,T ,第一步迭代的搜索方向为-47;-50 ; 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 ; 3、当优化问题是__凸规划______的情况下,任何局部最优解就是全域最优解; 4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高-低-高 趋势; 5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题; 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B ; 7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足d 0T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系; 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素; 9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是 梯度为零 ,充分条件是 海塞矩阵正定 ; 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合; 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 , ; 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ,其计算量 大 ,且要求初始点在极小点 逼近 位置; 14、将函数fX=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++2 1的形式 ; 15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2,当满足 d1TGd2=0 ,向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭; 16、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列,具有 由小到大趋于无穷 特点; 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时,根据迭代公式需要进行一维搜索,即求 ; 二、选择题
机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ∇= B. ()*0F X ∇=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()*0F X ∇=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺陷，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目的函数F （x ）=4x 2 1+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目的函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目的函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其处罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k) {min ［0,c+x ］}2 ，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k) {min ［0,c+x ］}2 ，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k) {max ［c+x,0］}2 ，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k) {max ［c+x,0］}2 ，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816