一元二次函数的图象
一、 定义：
一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)
1.当a ＞0时
函数图象开口向上；
对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ；
当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；
2.当a ＜0时
函数图象开口向下；
对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ；
当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；
2.△＝b 2－4ac
当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。 (如下图所示)
三、抛物线
c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.
例1：画出21
2
y x =- 2y x =- 22y x =-的图象
21
2
y x =- 22y x =- 2y x =-
归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物
线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。 (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置
例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2
y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、
对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 21
1)2
y x =--（
可以看出，抛物线21
(1)2
y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴
垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线21
1)2
y x =--（的开口向下，对
称轴是x=1，顶点是（1,0）。
例3：画出函数21
(1)12
y x =-+-的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。
抛物线212y x =-经过怎样的变换可以得到抛物线21
(1)12
y x =-+-？
抛物线21
(1)12y x =-+-的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。
把抛物线21
2
y x =-向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线
21
(1)12
y x =-+-。
归纳：一般地，抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =形状相同，位置不同。把抛物
线2y ax =向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线2()y a x h k =-+。平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定。
抛物线2()y a x h k =-+有如下特点：
（1）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下； （2）对称轴是直线x=h ；
（3）顶点坐标是（h ，k ） 例4：画出2
16212
y x x =
-+的图象
归纳：一般地，可以用配方法求抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的顶点与对称轴
2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++
因此，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是2b
x a
=-
，顶点坐标是2
4(,)24b ac b a a
--. (2) c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：
① 0=c ，抛物线经过原点; ② 0>c ,与y 轴交于正半轴； ③ 0 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0 b . （2）a,b 同号，对称轴在y 轴左侧，反之，再y 轴右侧 |x 1-x 2|=a ac b 42 , 与y 轴交点为(0,c) b 2-4ac>0，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根 b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0无实根 b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0有两个相等的实根 二．四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条件 1.若x ＜y ＜m ﹙m 为x 轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＞0 ┣﹣2a ／b ＜m ┗f(m)＞0 2.若m ＜x ＜y ﹙m 为x 轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＞0 ┣﹣2a ／b ＞m ┗f(m)＞0 3.若x ＜m ＜y ﹙m 为x 轴上的一点﹚，则需满足： 4.若x,y ∈﹙m,n ﹚﹙m,n 为x 轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＞0 ┣m ＜﹣2a ／b ＜n ┗f(m)＞0,f(n)＞0 5.若m ＜x ＜n ＜y ＜p ﹙m,n,p 为x 轴上的一点﹚，则需满足： ┏f(m)＞0 ┣f(n)＜0 ┗f(p)＞0 6.若只有一根在﹙m,n ﹚之间﹙m ，n 为x 轴上的一点﹚，则需满足： ┏△＝0 ┗m ＜﹣2a ／b ＜n 或f(m)·f(n ﹚＜0 ┏f(m)＝0 或 ┗m ＜﹣2a ／b ＜﹙n ＋m ﹚／2 ┏f(n)＝0 或 ┗﹙n ＋m ﹚／2＜﹣2a ／b ＜n 五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤ c bx ax y ++=2. 图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0 0=x (y 轴) (0,0) k ax y +=2 0=x (y 轴) (0, k ) ()2 h x a y -= h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2 h x = (h ,k ) c bx ax y ++=2 a b x 2-= (a b a c a b 4422--，) 六、二次函数图像的变换规律： 抛物线y=a(x-h)2+k 的图像，可以由y=ax 2得图像移动而得到。 y=ax 2（a ＞0）的图像 ?????→?轴翻折 沿x . y=-ax 2（a ＞0）的图像 ↓ 当h ＜0时，向左平移错误！未找到引用源。个单位长度， 当h ＞0时，向右平移错误！未找到引用源。个单位长度 y=a （x-h ）2的图像 ↓ 当k ＞0时，向上平移错误！未找到引用源。个单位长度 当k ＜0时，向下平移错误！未找到引用源。个单位长度 y=a （x-h ）2-k 的图像 ↓ 写成一般形式 y=ax 2+bx+c 的图像 规律：在原有函数基础上“h 值正右移，负左移，k 值正上移，负下移” 七、直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1) y 轴与抛物线 c bx ax y ++=2 得交点为(c ,0) (2) 与y 轴平行的直线h x =与抛物线 c bx ax y ++=2 有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3) 抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次 方程的根的判别式判定： ① 有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交； ② 有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切； ③ 没有交点?0 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。 (5) 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数 ()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 ???++=+=c bx ax y n kx y 2 的解的数目来确定： ① 程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ② 程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点； ③ ③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6) 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点 为()()0021，，，x B x A 由于1x 、2x 是方程02 =++c bx ax 的两个根，故由韦 达定理知：a c x x a b x x =?-=+2 121, () () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=-+= -= -=44422 212 212 2121 八、二次函数与一元二次方程的关系： (1) 一元二次方程c bx ax ++=2 0就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值 为0时的情况． (2) 二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、 有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程 02=++c bx ax 的根． (3) 当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实 数根；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根。 例5：观察函数2222,69,1y x x y x x y x x =+-=-+=-+的图象与x 轴的交点，得出一元二次方程的根。 可以看出： （1）抛物线22y x x =+-与x 轴有两个公共点，他们的横坐标是-2,1.当x 去公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程220x x +-=的根是-2,1. （2）抛物线269y x x =-+与x 轴有一个公共点，这点的横坐标是3，当x=3时，函数值是0.由此得出方程2690x x -+=有两个相等的实数根3。 （3）抛物线21y x x =-+与x 轴没有公共点，可知，方程210x x -+=没有实根。 归纳：一般地，从二次函数2y ax bx c =++的图象可知， （1）如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点，公共点的横坐标时0x ，那么当 0x x =及时方程20ax bx c ++=的一个根。 （2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点（240b ac ?=-<），有一个公共点(240b ac ?=-=)，有两个公共点(240b ac ->)。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根(2b x a =- )，有两个不相等的实数根(221244,22b b ac b b ac x x a a ----+-==)。 九、二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 一元二次函数的图象 一、 定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二、一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数) 1.当a ＞0时 函数图象开口向上； 对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增； 2.当a ＜0时 函数图象开口向下； 对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b 2﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减； 2.△＝b 2－4ac 当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。 (如下图所示) 三、抛物线 c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. 例1：画出21 2 y x =- 2y x =- 22y x =-的图象 21 2 y x =- 22y x =- 2y x =- 归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物 线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。 (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，21 1)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、 对称轴和顶点。 一元二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系： ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a 时)]，坐标为(h ,k )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为 一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零． 2. 平移规律： 二次函数知识点 二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数。<＜＞≤≥ 2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的性质 1）当a ＞0时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． （三）、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可 以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 练习 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. x 轴上 D. y 轴上 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 二次函数 一、课标解读 二、知识清单 知识点1：二次函数定义 1、一般地，形如 （a 、b 、c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。 2、二次函数的三种形式 一般式： 顶点式： 交点式： 知识点2：二次函数的图象与性质 1、二次函数的图象是一条 。 2、二次函数的性质 （1）a >0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最小值 。 （2）a <0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最大值 。 （3）a 的符号与开口方向； b 和a 的符号与对称轴：b=0，对称轴是 ；b 和a 同号，对称轴在y 轴 侧；b 和a 异号，对称轴在y 轴 侧； c 与y 轴交点：c=0，交点是 ；c>0，交点在y 轴的 半轴上；c<0，交点在y 轴 的 半轴上； ac b 42 -与x 轴交点个数：042 >-ac b ，与x 轴有 个交点；042 =-ac b ， 与x 轴有 个交点；042 <-ac b 与x 轴 交点。 （4）抛物线的平移：抛物线k h x a y +-=2 )(可以由2 ax y =经过平移得到，把抛物线 2ax y =向右或者向左平移|h|个单位，得到2)(h x a y -=，规律是 ；把抛 物线向上或者向下平移|k|个单位，得到抛物线k ax y +=2 ，规律是 ；把抛 物线 2ax y =先向右或者向左平移|h|个单位再向上或者向下平移|k|个单位，得到 k h x a y +-=2)(。 知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式 已知三点坐标，选用 ；已知顶点坐标或者对称轴，选用 ；已知与x 轴的交点，选用 。 知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系 （1） 抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程0 2 =++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 与x 轴有一个交点，则一元二次方程 02=++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则 一元二次方程02 =++c bx ax 实数根； （2）、)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是 一元二次方程 的解。 知识点5：实际问题与二次函数 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出解析式，然后利用函数解析式去解决问题 三、典型例题 知识点1：二次函数定义 例1（2014安徽安庆）下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A 、)0(≠+=k b kx y B 、242 ++=x ax y C 、2 21x y = D 、2 21x y -= 知识点2：二次函数的图象与性质 例2、已知二次函数c ax y +=2 ，当x 分别取)(212,1x x x x ≠时，函数值相等，则当x 取 2,1x x +时，函数值为 （ ） A 、c a + B 、c a - C 、c D 、c - 点拨：抛物线是轴对称图形，纵坐标相同的两点，横坐标互为相反数。 例3、（2014?莱芜）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示．下列结论： ①abc＞0；②2a﹣b ＜0；③4a﹣2b+c ＜0；④（a+c ）2＜b 2 其中正确的个数有（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 点拨：二次函数的图象与系数的关系 知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0. 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质：上加下减。 y ax c 初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ? a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ? a c = 0且a b -≠0 ? c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ? a c = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 ? a c =0 ? c=0； （6）两根异号 ? a c ＜0 ? a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? a c ＜0且a b -＞0? a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值? a c ＜0且a b -＜0? a 、c 异号且a 、b 同号； 精品文档 一元二次函数知识点汇总 2xcb,?c(a,y?ax?bxy)0a?. 叫做，那么是常数，1.定义：一般地，如果的一元二次函数2axy?的性质2.二次函数2ax?y）0（a?y. 的顶点是原点，对称轴是(1)抛物线轴2aax?y (2)函数的符号关系：的图像与????0a?顶点为其最高点时抛物线开口向下抛物线开口向上时顶点为其最低点；②当①当0?a2c??bxy?axy. )轴的抛物线的图像是对称轴平行于(3.二次函数包括重合2??bb4ac?22c??bxy?axkh?y?ax?. 的形式，其中二次函数用配方法可化成：4.?h?，k?2a4a2cbx?y?ax?. 的三要素：开口方向、对称轴、顶点5.抛物线a决定抛物线的开口方向：①aa0a?0a?时，当越大，抛物线的开口越大，开口向下；时，开口向上；当抛物线的开口越小。越小，0x?x?hyy. 轴记作直线)的直线，记作.②对称轴为平行于特别地，轴(或重合0a?a?0kh),。时③定点是抛物线的最值点[最大值()]，坐标为(时)或最小值( 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 222b4ac?b b?b4acb??2），（????ax?ax?bx?cy?x?. ，∴顶点是(1)公式法：，对称轴是直线?? a42a a2a42a????2h?xkh k?hy?a?x. ,(，对称轴是)的形式，得到顶点为(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点(3). 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★2cbx?y?ax?cb,a, 7.抛物线中，的作用 2aaaxy?. 中的(1)完全一样决定开口方向及开口大小，这与b2ac??bxy?axb??x,(2)的对称轴是直线和故：共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线2a bb0?byyy轴右侧对称轴在轴左侧；③时，对称轴为. 轴；②时时①,对称轴在,0??0aa2ccbx??ax?yy. (3)的大小决定抛物线轴交点的位置与2cc?bx?y?ax0?xy?cy )，∴抛物线当：与时，，轴有且只有一个交点(000c?c?0c?yy. 与，抛物线经过原点; ②轴交于正半轴；③轴交于负半轴,与,①b y. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则0?a 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：????22222cy?ax?bx?yy?ax?ax?k kyx?h?aay??x?h. ； ④①；⑤；③；②图像特征如下： 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成c m x b m x a y ++++=)()(2 （或 c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ， （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而 二次函数知识点汇总及详细剖析 函数中，有一种多项式函数形如y= ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），最高次数是2，这种函数，我们称之为二次函数。二次函数知识点颇多，初高中都会出现，在初中，刚刚出现在一次函数数形结合学习之后，因此，二次函知识点离不开数形结合思想。二次函数主要知识点: 一、定义与定义表达式： 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二、二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2；+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h) 2；+k[抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x- x1)(x- x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac- b2)/4a x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a 三、二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 四、抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。 对称轴为直线：x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P[-b/2a，(4ac-b2；)/4a]。 当-b/2a=0时，P在y轴上； 当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）。 6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 一元二次方程知识点一、知识清单梳理 二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减） 3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
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