二次函数各种题型汇总一、利用函数的对称性解题
（一）用对称比较大小
例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x
2-3/2＞3/2-x
1
＞0，比较y
1
与y
2
的大小
解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x
1＞0，x
2
-3/2＞0，所以x
1
在对称轴的左侧，x
2
在对称
轴的右侧，
由已知条件x
2-3/2＞3/2-x
1
＞0，得：x2到对称轴的距离大于x
1
到对称轴的距离，所以y
2
＞
y
1
（二）用对称求解析式
例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：
x 1=－1－3=－4，x
2
=－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）；
设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。
所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4
（三）用对称性解题
例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（）
A. 2
B. 4
C. 3
D. 5
解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，因为x1x2=1。所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=5例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
解：由点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A，B关于x=2对称。
设点B的横坐标为x
B，∵点A的坐标为（0，3），所以，（0+x
B
）/2=2，x
B
=4
∴B点坐标为（4，3）
例2 （2010，山东日照）如图2是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是多少
解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与ｘ轴的另一交点为（－1，0），ax2+bx+c＜0的解集就是抛物线落在x轴下方的部分所对应的x的取值，不等式ax2+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．例3、（2010，浙江金华）若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x的一元
二次方程－x2+2x+k=0的一个解x
1=3，另一个解x
2
是多少；
解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，∴交点坐标为（-1，0）
∴关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为x
1=3或x
2
=－1．故填空答案：x
1
=-1
例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
解法1：将P代入得：9a+3b+c=0
由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0
即a+2a+c=0 则 a-b+c=0
解法2：由抛物线的对称轴:x=1，及点P（3，0），可求出抛物线上点P关于对称轴x=1的对称点的坐标为Q（-1，0），由于Q在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点p，Q在x轴上所以a-b+c=0，故选A．
例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2,7），B（6,7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______________
解析：由点A（-2,7），B（6,7）的纵坐标相同，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为–8的另一点的坐标为（x2,-8)，则有2=（3+x2）/2，从而得x2=1，故答案为(1,-8).
例6、已知抛物线上有不同的两点E(k+3，-k2+1)和
F(-k-1，-k2+1)．
求抛物线的解析式．
分析：关键是确定一次项系数b．观察抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，因此判断得点E和点F关于抛物线对称轴对称．
解：的对称轴为x=-b÷（-1/2×2）=b
因为抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=[（k+3)+(-k-1)]÷2=1，∴抛物线的解析式为y=1/2x2+x+4
例7（2010，山东聊城）如图5，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；．
分析：（1）由点C （0，－3）知c ＝－3，只需求得a 、b 两个未知的系数，根据点A （－1,0）和对称轴x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x=1是AB 的垂直平分线，因此MA ＝MB ，要使得MA+MC 最小，只要MC+MB 最小，所以点M 就是直线BC 与抛物线对称轴的交点．
解：（1）∵抛物线经过点C （0，－3）∴c ＝－3，∴y ＝ax2+bx-3。 又抛物线经过点A （－1，0），对称轴为x=1， 所以a-b-3=0 －b/2a=1 解得 a=1 b=-2 ∴抛物线的函数关系式为y ＝x2－2x-3
由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2. 当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小
（2）∵点A （－1,0），对称轴为x=1，∴点B （3，0）．连接BC,交对称轴x=1于点M. ∵点M 在对称轴上，MA=MB ,
∴直线BC 与对称轴x=1的交点即为所求的M 点. 设直线BC 的函数关系式为y=kx+b ， 由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2. 当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小
例8、二次函数图像经过A （-3，1）、B （1，1）、C （-1，3）三点，求二次函数的解析式。 分析：由观察可知点A （-3，1）、B （1，1）是抛物线上对称的两点。根据结论2，可知直线x =-1是此抛物线的对称轴，所以点C （-1，3）恰为抛物线的顶点。设二次函数的解析式为
y a x =++()132
（顶点式），所以
11131
22=++=-
a a ()，。从而可确定二次函数的解析式为
y x =-++1
213
2()。
例9. 已知抛物线
y ax bx c a =++≠2
0()经过点A （-3，-5），且b a =2。试求抛物线经过除A 点以外的另一定点的坐标。
分析：按照常规思维写出解析式
y ax bx c =++2
，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到b a =2，从而可知对称轴为x =-1。根据结论3，A （-3，-5）关于对称轴x =-1的对称点A ’一
定在抛物线上，A ’点的坐标为（1，-5）。因而另一定点的坐标为（1，-5）。
例10、已知，抛物线22)1(t t x a y +--=（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所示，抛物线
122+-=x x y 的顶点是B 。
（1）判断点A 是否在抛物线122
+-=x x y 上，为什么？
（2）如果抛物线2
2)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线2
2
)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，2
t ），而1+=t x 当时，
222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2t ，所以点A 在抛物线122+-=x x y 上。
（2）①顶点B （1，0），0)11(22=+--t t a ，∵0≠t ，∴1-=a ；②设抛物线2
2)1(t t x a y +--=与
x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （12+t ，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过A
作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。当点C 在点B 的左边时，)1(12
+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在
点B 的右边时，1)1(2
-+=t t ，解得1=t 或0=t （舍）。故1±=t 。
例11. 如图2所示，圆O 的直径为2，AB 、EF 为互相垂直的两条直径，以AB 所在直线为y 轴，过点A 作x 轴，建立直角坐标系。
（1）写出E 、F 的坐标；
（2）经过E 、F 两点的抛物线从左至右交x 轴于C 、D 两点，若||CD =3，试判定抛物线的顶点是否在圆内。 （3）若经过E 、F 两点的抛物线的顶点恰好在圆O 上，试求抛物线的解析式。
分析：（1）E 点的坐标为（-1，1），F 点的坐标为（1，1）；
（2）根据结论2可知，E 、F 关于对称轴对称，从而可知对称轴为x =0。C 、D 是抛物线与x 轴的两个交
问题图