八下数学重难点
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浙教版八下数学各章节知识点及重难点
第一章二次根式
知识点一：二次根式的概念
二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，
是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即
可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有
意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，
则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即
；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根
的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而
中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意
义，而.
知识点七:最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。
知识点八:同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。
知识点九:二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解
因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．二次根式的乘法：
二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
强调：二次根式具有双重非负性。
（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如
不能写成
．
（5）有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；②
与； ③
与
；④
与
．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
（6）分母有理化：
分母有理化也称为有理化分母。就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。
(1)形如：
a
a b a
a a
b a
b =
?=
或
b
a b
a c b
a b a b a c b
a c ±±=
±?±±?=
± (2)形如：b
a b a c b a b a b a c b
a c ±=
±?=
±2)()
)(()( 或
b
a b a c b a b a b a c b
a c -=
±?=
±)
()
)(()( 7.关于具有双重根号的二次根式。
如：
,
二.重点和难点：
重点：二次根式的运算。
难点：1.混合运算以及应用。
2.二次根式的内移和外移。
3.二次根式的大小比较。
【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；
2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；
3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；
4、区别和的不同：
中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：
．
（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（1）若，则有；（2）若，则有．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．考点题型：
1．分式概念（选择、填空）（3－4分）
2．利用分式性质进行约分、通分（选择、填空）（8—10分）
3．分式的运算（选择、填空、解答）
4．分式的化简、求值（选择、填空、解答）（3-10分）
5．二次根式的概念和性质（选择、填空）（4分）
6．二次根式的化简与求值（选择、填空、解答）（3-8分）
第二章一元二次方程
一、教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．二、教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
三、教学难点
1．一元二次方程配方法、十字相乘法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
四、教学关键
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
五、知识点：
1. 定义：形如)0(02≠=++a c bx ax 的方程叫做一元二次方程，其中，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。 例：若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（）
A ．2±=m
B ．m=2
C ．m=—2
D ．2±≠m 2.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法;（5）换元法。 例：按要求解方程
（1）用配方法解方程：x2—4x+1=0（2）用公式法解方程：3x2+5(2x+1)=0 3.一元二次方程根的判别式：△=ac b 42-.
△>0,方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△<0，方程无实数根。
例1．如果关于x 的方程ax 2+x –1=0有实数根，则a 的取值范围是（） A ．a ＞–B ．a ≥–C ．a ≥–且a ≠0D ．a ＞–且a ≠0
例2．若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=?和完全平方式2)2(b at M +=的关系是（） A.△=MB.△>MC.△ 4.韦达定理：a c x x a b x x =?-= +2121, 例1：（8分）设x 1、x 2是方程2x 2 -4mx+2m 2 +3m-2=0的两个实根，当m 为何值 时，x 12 +x 22 有最小值？并求这个最小值。 例2：若一个三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为_______ 5.可化为一元二次方程的分式方程。（分式方程要验根） 例： 1 4 15112 -=--+-x x x x ； 6、一元二次方程应用题（最大值、最小值问题） 例：.某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销售100件。为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润。 7、一元二次方程和二次函数之间的关系 例1.当m 为何值时，抛物线y x m x m m =-+-+2 2 22与x 轴有两个交点，有一个交 点，无交点。 例2.已知二次函数y m x m x m =-++-2 221()与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 8、一元二次方程应用题 例1.．如图，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，?两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2？ 六、易错点分析： 易错点一：（概念） 1)判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 如：下列关于x的方程中，是一元二次方程的有-------- ①ax2+bx+c=0②x2+3／x-5=0 ③2x2-x-3=0④x2-2+x3=0 2)注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。 如：已知关于x的方程（m-n）x2+mx+n=0，(m≠0),你认为： ①当m和n满足什么关系时，该方程为一元二次方程？ ②当m和n满足什么关系时，该方程为一元一次方程？ 3)没有化成一般形式，混淆a、b、c. 易错点二：（解法） （1）因式分解法没注意方程没有写成A*B=0形式。 如，解方程（x-1）(x-3)=8,误解为x 1=1,x 2 =3. (2)用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a、b、c。 如，解方程x2-4x=2，误认为a=1,b=—4,c=2. (3)丢根。如，解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),得x=3. 易错点三（一元二次方程应用题） ①审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系； ②解方程后未经检验就盲目作答。 ③检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。如教材 P114：探究3问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。
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