浙教版八下数学各章节知识点及重难点
第一章二次根式
知识点一：二次根式的概念
二次根式的定义：形如（a>0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以一;二丨是匚为二次根式的前提条件，如J，-'，^等是二次根式，而
J .■:,
d等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a三0
时，匚有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开
方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a
V 0时，?没有意义。
知识点三：二次根式^1）的非负性
（-：二）表示a的算术平方根，也就是说，=（-：-?）是一个非负数，即」上0 （」）。
注：因为二次根式二（_;二丨）表示a 的算术平方根，而正数的算术 平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（=_ I ）的算术平 方根是非负数，即 …上0 （匚二丨），这个性质也就是非负数的算术平 方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较 多，如若 丄-丄-H ，则a=0,b=0 ;若-，则a=0,b=0 ;若 匸-「-丨， 则 a=0,b=0。
知识点四：二次根式（仁）■:的性质
心F * （」）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负
数。
注：二次根式的性质公式 （丄―J 是逆用平方根的定义得出 的结论。上面的公式也可以反过来应用：若._ .，贝S ，如：
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注:
1、 化简二 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数， 若是正数或0,则等于a 本身，即 丽二同吨出）；若a 是负数， 则等于a 的相反数
—Q 0)
-a,即沪二间；
2、二中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，二一定有意
义；
3、化简沪时，先将它化成H，再根据绝对值的意义来进行化简知识点六：小：「与'I的异同点
1、不同点：?：「与表示的意义是不同的，小表示一个正数a 的算术平方
根的平方，而二表示一个实数a的平方的算术平方根; 在*』中-1，而二中a可以是正实数，0,负实数。但小：「与 -都是非负数，即\ ^-"o因而它的运算的结果是有
厂2 好卄【叱
差别的，山”-小，|11，而「小—2、相同点：当被开方数都是非负数，即一.时，*：「二厂「一时,
『J无意义，而「-.
知识点七：最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。
知识点八：同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根
知识点九：二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽
方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，？变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
（2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是
先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除）,所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
二次根式的乘法：「「小『E 「山
二次根式的除法：V-，
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等
式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
强调：二次根式具有双重非负性。
（4）二次根式的混合运算：
先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面 的；能利用运算律或乘法公式进行运算的， 可适当改变运算顺序进行 简便运算.
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析 题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结 果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能 写成带分数.例如〕7不能写成
(5) 有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①丄:与J_：;
②丄：丨Ji 与沖-; ③小与：- ; ④L ! - 与；L !
■:. 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.
(6) 分母有理化：
分母有理化也称为有理化分母。就是将分母含有根号的代数式变 成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。 (1)形如： b b. a b. a 或 c c* .a=b c 、-
a=b 二
⑵形如： c c *（a 1 b ） c （a - ■■- b ）或
a 二 *
b （a 二、b ）（aib ） ^-：'b
c _ c 5 a 二、b ） _ c （\ a 「、b ） 、a 二-b （\ a 二 b ）（a 「\ b ） a 一 b 7.关于具有双重根号的二次根式。
女如：士逅，制+届+ J&-屈 二?重点和难点：
重点：二次根式的运算。
难点：1?混合运算以及应用。
2.二次根式的内移和外移
3.二次根式的大小比较。
【难点指导】
1、如果几是二次根式，则一定有二| ;当二|时，必有，■-< -'；
2、当一;二丨时，表示」的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数丿写成的形式；
3、沪表示/的算术平方根，因此有沪二同，，可以是任意实数；
4、区别(屈之和&二”|的不同：
中的」可以取任意实数「中的’只能是一个非负数，否则L无意义.
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
(1)因式的内移：因式内移时，若:,则将负号留在根号外.即:
(2)因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论.即：
尸I I厂;* (沱°)
-心 a 6、二次根式的比较： (1)若，则有'几-工;(2)若、匚-⑴-，则有一?」. 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． 考点题型： 1．分式概念（选择、填空）（3－4 分） 2．利用分式性质进行约分、通分（选择、填空）（8—10 分）3．分式的运算（选择、填空、解答）4．分式的化简、求值（选择、填空、解答）（3-10 分）5．二次根式的概念和性质（选择、填空）（4 分）6．二次根式的化简与求值（选择、填空、解答）（3-8 分）
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