绝对值的化简问题
【知识梳理】
绝对值的几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .
绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 注意:①取绝对值也是一种运算,运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去
掉绝对值符号.
②绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负号,绝对值是5.
求字母a 的绝对值: ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-
②(0)(0)a a a a a ≥?=?- ③(0)(0)a a a a a >?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小.
绝对值非负性:如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如:若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c =
绝对值的其它重要性质:
(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即a a ≥,且a a ≥-;
(2)若a b =,则a b =或a b =-;
(3)ab a b =?;
a a
b b =(0)b ≠; (4)222||||a a a ==;
(5)a b a b a b -≤+≤+, 对于a b a b +≤+,等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时,等号成立; 对于a b a b -≤+,等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时,等号成立. 绝对值几何意义
当x a =时,0x a -=,此时a 是x a -的零点值.
零点分段讨论的一般步骤:
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号.即先令各绝对值式子为零,求得若干个绝对值为零的点,在数轴上把这些点标出来,这些点把数轴分成若干部分,再在各部分内化简求值. a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.
a b -的几何意义:在数轴上,表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离.
【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离.x 的几何意义
是数轴上表示 的点与 之间的距离;x
0-(>,=,<); 【例2】 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离;则
21-= ;
【例3】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离,若
31x -=,则x = .
【例4】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离,若
22x +=,则x = .
【例5】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,求a b a c b c ++--+的值.
【例6】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,求11a b b a c c +------的值.
【例7】 已知00x z xy y z x <<>>>,,,那么x z y z x y +++--=
【例8】 数a b ,在数轴上对应的点如右图所示,试化简a b b a b a a ++-+--
【例9】 实数a b c ,,在数轴上的对应点如图,化简a c b a b a c +--++-
【例10】 若a b <-且0a b >,化简a b a b ab -+++.
【例11】 若a b <,求15b a a b -+---的值.
【例12】 a 、b 、c 的大小关系如图所示,求a b b c c a ab ac a b b c c a ab ac
-----++----的值.
如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是()。 (A)(B)(C)(D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于(). (A)(B)(C)(D) 思路分析由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选(C). 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清:
1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令得零点:;令得零点:,把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时, ∴原式 ②当时,, ∴原式 ③当时,, ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每
绝对值计算化简专项练习30题(有答案)1.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简:|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2.有理数a,b,c在数轴上的对应位置如图,化简:|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|. 3.已知xy<0,x<y且|x|=1,|y|=2. (1)求x和y的值; (2)求的值. 4.计算:|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|. 5.当x<0时,求的值. 6.若abc<0,|a+b|=a+b,|a|<﹣c,求代数式的值.
7.若|3a+5|=|2a+10|,求a的值. 8.已知|m﹣n|=n﹣m,且|m|=4,|n|=3,求(m+n)2的值. 9.a、b在数轴上的位置如图所示,化简:|a|+|a﹣b|﹣|a+b|. 10.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简下式:|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|. 11.若|x|=3,|y|=2,且x>y,求x﹣y的值. 12.化简:|3x+1|+|2x﹣1|. 13.已知:有理数a、b在数轴上对应的点如图,化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|.
14.++=1,求()2003÷(××)的值. 15.(1)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值? (2)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值? (3)|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值? 16.计算:|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17.若a、b、c均为整数,且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1,求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值. 18.已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图,其中O为原点,化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|.
环球雅思教育学科教师讲义 讲义编号:副校长/组长签字:签字日期: 【考纲说明】 1、能够根据绝对值的意义、性质及非负性进行绝对值的化简; 2、灵活运用绝对值的性质进行化简和方程的解决。 【趣味链接】 由于研究的需要,人类创造了了大量的数学符号,来代替和表示某些数学概念和规律,简化了数学研究工作,促进了数学的发展.在中学数学中,常见的数学符号有以下八种:数量符号、运算符号、关系符号、结合符号、性质符号、简写符号、逻辑符号、集合论符号,其中,绝对值符号属于性质符号中的一种,常见的性质符号还有正号(+)和负号(-)。数学符号不仅随着数学发展的需要而产生,而且也随着数学的发展不断完善。我国宋朝科学家沈括说过,数学方法应该“见繁即变,见简即用”。数学符号正是适应这种变“繁”为“简”的实际需要而产生的。 【知识梳理】 一. 绝对值的实质: 正实数与零的绝对值是其自身,负实数的绝对值是它的相反数,即
也就是说,|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。 总之,任何实数的绝对值是一个非负数,即|x|≥0,请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义: 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 三. 绝对值的性质: 1. 有理数的绝对值是一个非负数,即|x|≥0,绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值,并且任何一个有理数都不大于它的绝对值,即x ≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值,那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等,则这两个数不一定相等(显然如|6|=|-6|,但6≠-6),只有这两个数同号,且这两个数的绝对值相等时,这两个数才相等。 【经典例题】 【例1】(2012毫州)若0|2|)1(2=++-b a ,则b a +=_________. 【例2】(2012曲阜)(1)已知x 是有理数,且|x|=|-4|,那么x=____; (2)已知x 是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=____; (3)已知x 是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=____. 【例3】(2012徐州)若|a|=b ,求|a+b|的值. 【例4】(2012淮北)已知|x-1|=2,|y|=3,且x 与y 互为相反数,求 y xy x 4312--的值. 【例5】(2012商丘)|m+3 |+|n-2 7|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值.
绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是()。 (A)(B)(C)(D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于(). (A)(B)(C)(D) 思路分析由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选(C).
归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令得零点:; 令得零点:, 把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时, ∴原式 ②当时,, ∴原式 ③当时,,
∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 练习: 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1.已知a、b、c、d满足且,那么 2.若,则有()。 (A)(B)(C)(D) 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为().
下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简 首先我们要知道绝对值化简公式: 例题1:化简代数式 |x-1| 可令x-1=0,得x=1 (1叫零点值) 根据x=1在数轴上的位置,发现x=1将数轴分为3个部分 1)当x<1时,x-1<0,则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2)当x=1时,x-1=0,则|x-1|=0 3)当x>1时,x-1>0,则|x-1|=x-1 另解,在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分 1)当x<1时,x-1<0,则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2)当x≥1时,x-1≥0,则|x-1|=x-1 例题2:化简代数式 |x+1|+|x-2| 解:可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2(-1和2都是零点值) 在数轴上找到-1和2的位置,发现-1和2将数轴分为5个部分 1)当x<-1时,x+1<0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2)当x=-1时,x+1=0,x-2=-3,则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3)当-1
v1.0可编辑可修改 绝对值难题解析 绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数 学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值 符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉 绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例 1设化简的结果是()。 (A)(B)(C)(D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号 待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选( B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例 2实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于(). (A)(B)(C)(D)
思路分析由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选( C). 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可 采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x 是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令得零点:; 令得零点:, 把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时,
∴原式 ②当时,, ∴原式 ③当时,, ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 练习: 请用文本例 1 介绍的方法解答 l 、2 题
第三讲绝对值 1、绝对值的几何意义:在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值. 2、绝对值运算法则:一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的 绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即: 3、绝对值性质:任何一个实数的绝对值是非负数. 二典型例题分析: 例1、a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?请写在题后的横线上。 (1)|a+b|=|a|+|b|;; (2)|ab|=|a||b|;; (3)|a-b|=|b-a|;; (4)若|a|=b,则a=b;; (5)若|a|<|b|,则a<b;; (6)若a>b,则|a|>|b|,。例2、设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|. 例3、a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b| 例4、若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.
一).填空题: 1.a >0时,|2a|=________;(2)当a >1时,|a-1|=________; 2. 已知130a b ++-=,则__________a b 3. 如果a>0,b<0,b a <,则a ,b ,—a ,—b 这4个数从小到大的顺序是__________(用大于号连接起来) 4. 若00xy z ><,,那么xyz =______0. 5.上山的速度为a 千米/时,下山的速度为b 千米/时,则此人上山下山的整个路程的平均速度是__________千米/时 (二).选择题: 6.值大于3且小于5的所有整数的和是( )A. 7 B. -7 C. 0 D. 5 7.知字母a 、b 表示有理数,如果a +b =0,则下列说法正确的是( ) A . a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0 C. a 与b 不可能相等 D. a 与b 的绝对值相等 8.下列说法中不正确的是( ) A.0既不是正数,也不是负数 B .0不是自然数 C .0的相反数是零 D .0的绝对值是0 9.列说法中正确的是( ) A 、a -是正数 B 、—a 是负数 C 、a -是负数 D 、a -不是负数 10.x =3,y =2,且x>y ,则x+y 的值为( ) A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 11.a<0时,化简a a 等于( )A 、1 B 、—1 C 、0 D 、1± 12.若ab ab =,则必有( )A 、a>0,b<0 B 、a<0,b<0 C 、ab>0 D 、0≥ab 13.已知:x =3,y =2,且x>y ,则x+y 的值为( ) A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 (三).解答题: 14.a +b <0,化简|a+b-1|-|3-a-b |. 15..若y x -+3-y =0 ,求2x+y 的值.
绝对值计算化简专项练 习 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
绝对值计算化简专项练习 1.已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,化简:|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b| 2.有理数a ,b ,c 在数轴上的对应位置如图,化简:|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|. 3.已知xy <0,x <y 且|x|=1,|y|=2. (1)求x 和y 的值; (2)求的值. 4.已知|m ﹣n|=n ﹣m ,且|m|=4,|n|=3,求(m+n )2的值. 5.a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简:|a|+|a ﹣b|﹣|a+b|. 6.有理数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,试化简下式:|a ﹣c|﹣|a ﹣b|﹣|b ﹣c|+|2a|. 7.若|x|=3,|y|=2,且x >y ,求x ﹣y 的值. 8.已知:有理数a 、b 在数轴上对应的点如图,化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|. 9.计算:|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+| ﹣| 10.阅读下列材料并解决相关问题: 我们知道()()()0000x x x x x x >??==??-,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式12x x ++-时,可令10x +=和20x -=,分别求得12x x =-=,(称12-,分别为1x +与2x -的零点值),在有理数范围内,零点值1x =-和 2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况:· ⑴当1x <-时,原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时,原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时,原式1221x x x =++-=- 综上讨论,原式()()() 211312212x x x x x -+<-??=-?-?≤≥ 通过阅读上面的文字,请你解决下列的问题: ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-
绝对值的化简问题 【知识梳理】 绝对值的几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 注意:①取绝对值也是一种运算,运算符号是“ ”,求一个数的绝对值,就是根据性质去 掉绝对值符号. ②绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负号,绝对值是5. 求字母a 的绝对值: ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??- ②(0)(0)a a a a a ≥?=?- ③(0)(0)a a a a a >?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小. 绝对值非负性:如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如:若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c = 绝对值的其它重要性质: (1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即a a ≥,且a a ≥-; (2)若a b =,则a b =或a b =-; (3)ab a b =?;a a b b =(0)b ≠; (4)222||||a a a ==; (5)a b a b a b -≤+≤+,
对于a b a b +≤+,等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时,等号成立; 对于a b a b -≤+,等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时,等号成立. 绝对值几何意义 当x a =时,0x a -=,此时a 是x a -的零点值. 零点分段讨论的一般步骤: 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号.即先令各绝对值式子为零,求得若干个绝对值为零的点,在数轴上把这些点标出来,这些点把数轴分成若干部分,再在各部分内化简求值. a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离. a b -的几何意义:在数轴上,表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离. 【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离.x 的几何意义 是数轴上表示 的点与 之间的距离;x 0-(>,=,<); 【例2】 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离;则 21-= ; 【例3】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离,若 31x -=,则x = . 【例4】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离,若 22x +=,则x = .
《绝对值》练习 一.选择题 1. -3的绝对值是( ) (A )3 (B )-3 (C )13 (D )-13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A .负数 B .正数 C .负数或零 D .正数或零 3. 若│x│+x=0,则x 一定是 ( ) A .负数 B .0 C .非正数 D .非负数 5.绝对值最小的数( ) A .不存在 B .0 C .1 D .-1 6.当一个负数逐渐变大(但仍然保持是负数)时( ) A .它的绝对值逐渐变大 B .它的相反数逐渐变大 C .它的绝对值逐渐变小 D .它的相反数的绝对值逐渐变大 7.下列说法中正确的是( ) A .a -一定是负数 B .只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C .若b a =则a 与b 互为相反数 D .若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有( ) A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 12.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.