习 题
11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a x
v x ωωsin -==& t b y v y ωω2cos 2==& x mv y mv L y x O +-=
)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?=
)cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?=
)cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?=
)2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+=
t mab ωω3cos 2=
11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。
图11-25
(1)
θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2)
θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3
8ml J z = θω22sin 38l m L z =
11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。
图11-26
(a) ω23
1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29
1ml L O -= (c) 2222452312121ml l m l m J O =??+??= ω224
5ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω22
3mR L O =
11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。
图11-27
面密度为 bh
m A 2=ρ 在y 处 b h y b y = y y h
m y b h y bh m y b bh m A m y A d 2d 2d 2d d 2=??=??==ρ 微小区域对于z 轴的转动惯量
y y h y h
m m y h J z d )(2d )(d 222-=
-= ??+-=+-=-=h h z mh y y hy y h h m y y h y h m J 002322222)4
13221(2d )2(2d )(2 26
1mh =
11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC 所在平面垂直的质心轴的转动惯量。
图11-28
3)31(12
122???????+=h m ml J z l h 23= 2222213)121121(3)2331(121ml ml l m ml J z =?+=???
?????+=
11-6 如图11-29所示，物体以角速度w 绕O 轴转动，试求物体对于O 轴的动量矩。(1) 半
径为R ，质量为m 的均质圆盘，在中央挖去一边长为R 的正方形，如图11-32a 所示。(2) 边长为4a ，质量为m 的正方形钢板，在中央挖去一半径为a 的圆，如图11-32b 所示。
图11-29 (1)
2126
121R m mR J C -= ππ221m m R R m == 222π
61π3π6121mR R m mR J C -=?-= π
)1(ππm m m m -=-=' 2222π
67π9π)1(ππ61π3mR R m mR R m J J C O -=-+-='+= ωω2π
6π97mR J L O O -=-= (2)
2122
1)4(61a m a m J C -= m m a a m 16π16π221== 22296
π325616π2138ma ma ma J C -=?-= m m m m 16
π1616π-=-=' 222296
π48896π3256816π1696π3256)22(mR a m ma a m J J C O -?+-=?-+-=?'+= 296
π511024mR -= ωω296
1024π51mR J L O O -=-=
11-7 如图11-30所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC ＝e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B 点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知v A ；(2)当轮子又滚又滑时，已知v A 、w 。
图11-30
ωω)()()(2me J e R mv J e R mv L A c C C B +-+-=-+-=
(1)
R v A
=ω ω)(e R v C +=
R v e R m me J R v me J R v e R m L A
A A A A
B ])([)()(2222++--=--+-=
(2)
ωe v v A C +=
ωωC A B J e R e v m L -++-=))((
ωω)()()(2me J e R me v e R m A A --+-+-=
])()([ωmeR J v e R m A A +++-=
11-8 曲柄以匀角速度w 绕O 轴转动，通过连杆AB 带动滑块A 与B 分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。已知OC ＝AC ＝BC ＝l ，曲柄质量为m ，连杆质量为2m ，试求系统在图示位置时对O 轴的动量矩。
图11-31
ωω=AB (顺时针)
AB OC O L L L +=
ω23
1ml L OC = ωωωω22223
4322)()2)(2(1212ml ml ml l m l mv L AB C AB =-=-+= ω23
5ml L OC =
11-9 如图11-32所示的小球A ，质量为m ，连接在长为l 的无重杆AB 上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w 0绕O 1O 2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F ＝km w ，k 为比例常数。问经过多少时间角速度w 成为初角速度的一半？
图11-32
ω2ml L z = ωkml M z -=
z z M t
L =d d
得 ωωl
k t -=d d ??-=t t l k 0d d 0
ωωωω t l
k -=0ln ωω ω
ω0ln k l t = 2ln k l t =
11-10 水平圆盘可绕z 轴转动。在圆盘上有一质量为m 的质点M 作圆周运动，已知其速度大小v 0=常量，圆的半径为r ，圆心到z 轴的距离为l ，M 点在圆盘上的位置由f 角确定，如图11-33所示。如圆盘的转动惯量为J ，并且当点M 离z 轴最远（在点M 0）时，圆盘的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与f 角的关系。
图11-33
0=∑z M 常量=z L
)(00r l mv L z += ?ω?ωcos )cos 2(0022l mv r mv lr r l m J L z z +++++=
)(cos )cos 2(00022r l mv l mv r mv lr r l m J z +=+++++?ω?ω )cos 2()cos 1(220??ωlr r l m J v ml z +++-=
11-11 两个质量分别为m 1、m 2的重物M 1、M 2分别系在绳子的两端，如图11-34所示。两绳分别绕在半径为r 1、r 2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O 轴的转动惯量为J O ，试求鼓轮的角加速度。
图11-34 222111r v m r v m J L O z ++=ω ω11r v = ω22r v =
ω)(222211r m r m J L O z ++=
2211gr m gr m M z -=∑
z z M t
L ∑=d d 2211222211)(gr m gr m r m r m J O -=++α
2222112
211r m r m J gr m gr m O ++-=α
11-12 如图11-35所示，为求半径R ＝0.5m 的飞轮A 对于通过其重心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m 1＝8kg 的重锤，重锤自高度h ＝2m 处落下，测得落下时间t 1＝16s 。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m 2＝4kg 的重锤作第二次试验，此重锤自同一高度落下的时间t 2＝25s 。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。
图11-35
v R
mR J mvR R v J mvR J L z )()()(2
+-=+-=+-=ω mgR M M z -=∑f
z z M t
L ∑=d d f 2
)(M mgR a R
mR J -=+ R M mgR a mR J )()(f 2-=+ R M mgR t
h mR J )(2
)(f 22-=+ h
Rt M mgR mR J 2)(2f 2-=+ 第一次试验
22165.0)5.08(5.082
f 2???-??=?+M
g J
)4(322f M g J -=+ (1)
第二次试验 22255.0)5.04(5.042f 2???-??=?+M g J
)2(125.781f M g J -=+ (2)
(1)-(2)
f 125.4625.281M
g +-=
m N 0238.6f ?=M
由(1)得
2f m kg 6.10592)4(32?=--=M g J
11-13 通风机风扇的叶轮的转动惯量为J ，以初角速度w 0绕其中心轴转动，见图11-36。设空气阻力矩与角速度成正比，方向相反，即M ＝－k w ，k 为比例系数，试求在阻力作用下，经过多少时间角速度减少一半？在此时间间隔内叶轮转了多少转？
图11-36
刚体定轴转动微分方程 ωω
k M t J -=∑=d d t J
k d d -=ωω ??-=t t J
k 02d d 00ωωω
ω t J
k -=21ln 2ln k J t =
11-14 两均质细杆OC 和AB 的质量分别为50kg 和100kg ，在C 点互相垂直焊接起来。若在图11-37所示位置由静止释放，试求释放瞬时铰支座O 的约束力。铰O 处的摩擦忽略不计。
图11-37
g g g g m g m M J e z O 125)10025(15.0)()(21-=+-=?-?-=∑=-F α
15010031003501100210012
115031222=++=?+??+??=O J g g 6
5150125==α
质心运动定理
αααα125)10025(5.0212211-=+-=?-?-=+=m m a m a m ma y C y C Cy
0=Cx ma
e x Cx F ma ∑= e y Cy F ma ∑=
Ox F =0 21125W W F Oy --=-α
0=Ox F g m g m F g Oy 216
5125--=?- N 4496
27565125150==?-=g g g F Oy
11-15 质量为100kg 、半径为1m 的均质圆轮，以转速n =120r/min 绕O 轴转动，如图11-38所示。设有一常力F 作用于闸杆，轮经10s 后停止转动。已知摩擦因数μ＝0.1，试求力F 的大小。
图11-38
杆
05.35.10N =-=∑'F F M O N 7
3F F = 圆轮
R F J O d =α
R J F O α
=d N d F F μ= Rt J R J F F O O μωμαμ===d
N
t
mRn n Rt mR Rt J F F O μμμω140π30π721373732N =??=== N 28.26910
1.01401201100π=?????=
11-16 如图11-39所示的带传动系统，已知主动轮半径为R 1、质量为m 1，从动轮半径为R 2、质量为m 2，两轮以带相连接，分别绕O 1 和O 2轴转动，在主动轮上作用有力偶矩为M 的主动
力偶，从动轮上的阻力偶矩为M '。带轮可视为均质圆盘，带质量不计，带与带轮间无滑动。试求主动轮的角加速度。
图11-39
主动轮 M R F F J O --=-11T 2T 1)()(1α
从动轮 M R F F J O '+-=-22T 1T 2)()(2
α
即 11T 2T 1211)(2
1R F F M R m --=α (1) M R F F R m '--=21T 2T 2222)(2
1α (2) 因 1
221R R =αα 式(1)×R 2+(2) ×R 1 1221222122112
121R M MR R R m R R m '-=+αα 1212212122112
121R M MR R R m R R m '-=+αα 12122121)(2
1R M MR R R m m '-=+α 2
2121121)()(2R R m m R M MR +'-=α
11-17如图11-40所示，电绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用有一矩为M 的主动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别为J 1 和J 2 ；传动比 z 2:z 1＝i ；吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮半径为R 。设轴承的摩擦和吊索的质量均略去不计，试求重物的加速度。
图11-40
主动轴
M
R F J -=-1t 11)(α
1t 21R F M i J -=α 1t 1R F M a R
i J -= (1)
从动轴连重物
v R mR
J mvR R v J mvR J L O )(2
22222+=+=+=ω
mgR R F M O -=∑2t 2
22
d d O M t L O ∑= mgR R F a R mR J -=+2t 2
2 (2)
式(1)×R 2+(2) ×R 1
1212
221mgRR MR a R R mR
J
a R R i J -=++
上式除以R 1
mgR Mi a R mR J i J -=++2
221
2
212)(J i J mR R
mgR Mi a ++-=
11-18 半径为R 、质量为m 的均质圆盘，沿倾角为θ的斜面作纯滚，如图11-41所示。不计滚动阻碍，试求：(1)圆轮质心的加速度；(2)圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。
图11-41
(1) 圆盘的平面运动微分方程
)
(e
C C e
y Cy e
x
Cx M J F ma F ma F ∑=∑=∑=α
F mg ma C -=θsin (1)
θcos 0N mg F -= (2)
Fr J C =α (3)
αr a C = (4)