广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期末考试试题 理
一、选择题:(每小题5分,共60分,只有一项是符合题目要求的) 1. 若i z 21+=,则
=-?1
4z z i
( )
A. 1
B.
C. i
D.
2. 如图所示,向量A ,B ,C 在一条直线上,且BC AC 4=,则( )
A.OB OA OC 32
21+=
B.OB OA OC 2
123-= C.OB OA OC 2+-= D. OB OA OC 3
4
31+-=
3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减
一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”请问此人第5天走的路程为( ) A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里
4. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )
A. π32
B.π
C. π34
D. π3
5
5. 已知命题],0[:0π∈?x p ,使得a x <0sin ,命题:q 对,]3,2
1
[∈?x a x
>+11若q p ∧为真命题,则a 的
取值范围是( )
A. )34
0(, B.)30(,
C.)3
41(, D. )31(, 6. 已知直线,354)3(:1m y x m l -=++ 8)5(2:2=++y m x l 平行,则实数m 的值为( )
A. 7-
B.1-
C. 7-或1-
D.
3
13 7. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,22=a ,且对于任意1>n ,N n ∈,满足)1(211+=+-+n n n S S S ,
则=10S ( ) A. 91
B. 90
C. 55
D. 54
8. 已知函数x x x f sin )(=,)('x f 为)(x f 的导函数,则函数)('x f 的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
9. 如图,正四棱锥ABCD P -的侧面PAB 为正三角形,E 为PC 中点,
则异面直线BE 和PA 所成角的余弦值为 . A. 33 B. 23 C. 22 D. 2
1
10. 函数)2
)(2sin()(π
??<
+=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位后所得图象对应的函数是偶函数,且存在]2
,0[π
∈x ,使得不等式m x f ≤)(成立,则m 的最小值是( )
A. 1-
B.21-
C. 2
1
D. 1
11. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为53,,第三行为,
,,1197第四行为,
,,,19171513如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为j i a ,,比如,92,3=a ,152,4=a ,234,5=a 若,0172,=j i a ,则
=+j i ( )
A. 64
B.65
C.71
D. 72
12. 已知菱形ABCD 的边长为32,O
BAD 60=∠,沿对角线BD 将菱形ABCD 折起,使得二面角
C B
D A --的余弦值为3
1
-,则该四面体ABCD 外接球的体积为( )
A.
π3
7
28 B. π68
C.
π3
5
20 D.π36
二、填空题:(本大题共4小题,共20分)
13. 设变量y x ,满足约束条件:??
???≥≤+-≥x y y x x 222
,则2
2y x z +=的最大值是 .
14. 函数)0(1)6
sin(2)(>--
=ωπ
ωx x f 最小正周期是π,则函数)(x f 的单调递增区间
是 . 15. 已知函数21111)(++++=
x x x x f , 由1
1
111)1(++
+-=-x x x x f 是奇函数, 可得函数)(x f 的图象关于点)0,1(-对称, 类比这一结论得函数++++++=2312)(x x x x x g (6)
7
+++
x x 的图象关于点______对称.
16. 已知函数?????≤->+-=1
,11
,)(3
2
x x x x x x f ,若函数)1()(--=x a x f y 恰有三个零点,则实数a 的取值范围是 .
三、解答题:(本大题共7题,22、23题选其中一道作答,共70分) 17. (12分)在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别为,
,,c b a C
A B
c b c a sin sin sin +=
--. Ⅰ求角A 的大小;.
Ⅱ若2=a ,求c b +的取值范围.
18. (12分)已知}{n a 为等差数列, 前n 项和为)(*
N n S n ∈,}{n b 是首项为2的等比数列且公比大于0,
1232=+b b ,1432a a b -=,41111b S =.
Ⅰ求}{n a 和}{n b 的通项公式; Ⅱ求数列}{2n n b a 的前n 项和.n T
19. (12分)如图, 在四棱锥ABCD P -中, 平面⊥ABCD 平面PAD , BC AD //,
AD AP BC AB 2
1
=
== ,O ADP 30=∠,O BAD 90=∠, E 是PD 的中点. 证明:PB PD ⊥;
设2=AD ,点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为
5
10
,求二面角P AB M --的余弦值.
20. (12分)已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2
1
, 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形
的面积为34. Ⅰ求椭圆C 的方程;
Ⅱ如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为B A ,, 当动点M 在定直线
4=x 上运动时, 直线AM 、BM 分别交椭圆于P 、Q 两点, 求四边
形APBQ 面积的最大值.
21. (12分)已知函数.,2
1ln )(2
R a x ax x x f ∈+-
=. 当0=a 时,求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程; 令)1()()(--=ax x f x g , 求函数)(x g 的极值;
若2-=a , 正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f , 证明:.2
1
521-≥+x x .
(22题、23题选择一道作答)
22、(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为,sin cos 3??
?==θ
θ
y x (θ为参数,直线l 的参数方程为
,14?
?
?-=+=t y t
a x (t 为参数. 若1-=a ,求C 与l 的交点坐标;
若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a .
23、(10分)已知函数.22)(-+=x x x f 解不等式;4)(≤x f
设函数)(x f 最小值为m ,若实数a 、b 满足2
22m b a =+, 求
1
1
422++
b a 最小值.
汕头市金山中学2021级高三上学期期末理科数学参考答案
1-12 CDDDA AAAAB DB 13. 8 14. ,
15.
16. ]3,()4
3,1[--∞?--
17. 解:
由
,利用正弦定理可得:
,化为:.
由余弦定理可得:
,
.
.
Ⅱ在中有正弦定理得,又,
所以,,
故,
因为
,故,所以,,
故b+c 的取值范围是(2,4]. 18.
解:Ⅰ设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q . 由已知,得
,而
,
所以, 又因为,解得,
所以
.
由,可得, 由,可得, 联立,解得,,
由此可得. 所以
的通项公式为
,的通项公式为
;
Ⅱ设数列的前n 项和为,由
, 有
,
,
上述两式相减,得
,
得
.
所以数列的前n 项和为.
19. 证明:(1)?=∠90BAD , ,
平面平面PAD,交线为AD,
平面PAD,, 在
中,,
,?=∠90APD ,
,
,平面PAB, 平面PAB,.
解:如图,以P 为坐标原点,过点P 垂直于平面PAD 的射线为z 轴,射线PD 为x 轴, 射线PA 为y 轴,建立空间直角坐标系,
,,,
0,,
1,,
1,,
,
0,,
设
,则
,
,
,
又
,
点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为
,
,
整理,得
,解得或舍,,
设平面MAB 的法向量
y,,
则,取,得,
由知平面PAB,平面PAD 的一个法向量为0,,
.
二面角的余弦值为.
20. 解:Ⅰ根据题意,椭圆C :
的离心率为,则有,
以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为
,则有
,
又,解得,,,
故椭圆C的方程为;
Ⅱ由对称性,可令点,其中.
将直线AM的方程代入椭圆方程,得
,
由,得,则.
再将直线BM的方程代入椭圆方程得
,
由,得,则.
故四边形APBQ的面积为
.
由于,且在上单调递增,故,从而,有.当且仅当,即,也就是点M的坐标为时,四边形APBQ的面积取最大值6.21. 解:当时,,则,所以切点为,
又,则切线斜率,故切线方程为:,即;
,
所以,
当时,因为,所以.所以在上是递增函数,无极值;
当时,,令,得或,由于,所以.
所以当时,;当时,,
因此函数在是增函数,在是减函数,
当时,函数的递增区间是,递减区间是,
时,有极大值,
综上,当时,函数无极值;
当时,函数有极大值,无极小值;
由,,即.
,
所以,
令,且令,则
由,得,,,
可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以,
所以,
解得或,
又因为,,因此成立.
22. 解:曲线C的参数方程为为参数,化为标准方程是:;
时,直线l的参数方程化为一般方程是:;
联立方程,解得或,
所以椭圆C和直线l的交点为和
的参数方程为参数化为一般方程是:,
椭圆C上的任一点P可以表示成,,
所以点P到直线l的距离d为:
,满足,且的d的最大值为.当时,即时,
解得和,符合题意.
当时,即时
,
解得和18,符合题意.
23. 解:当时,则,解得:,
当时,则,解得:,
当时,则,此时无解,
综上,不等式的解集是;
由知,当时,,
当时,则,
当时,则,
故函数的最小值是2,
故,即,
则
,
当且仅当且,
即,取“”,故的最小值是.