绝密★启用前
数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合{}
2
|3A x x x =<，{}1,1,2,3B =-，则A
B =（）
A ．{}1,1,2-
B ．{}1,2
C ．{}1,2-
D ．{}1,2,3
答案：B
先求得集合{}|03A x x =<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 解：
由题意，集合{}
{}{}2
|3|(3)0|03A x x x x x x x x =<=-<=<<，
又有{}1,1,2,3B =-，则A B ={}1,2.
故选：B . 点评：
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知复数1234+=
+i
z i
，i 为虚数单位，则||z ＝（） A ．
15
B
C ．
12
D
答案：B
利用复数模的性质z z =，以及乘除法的模的性质计算． 解：
121234345i i z z i i ++=====++．
故选：B ． 点评：
本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷．
复数模的性质：z z =，1212z z z z =，11
22
z z z z =．
3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( ) A
B
C ．3π
D ．4π
答案：A
由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积． 解：
2π
的扇形，其面积
11
(222
S l r π=?=?=
.
点评：
本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．
4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足346a a +=，529a =，则7S =（） A ．
352
B ．21
C ．
492
D ．28
答案：C
设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值. 解：
设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得341512562289a a a d a a d +=+=??=+=?，解得1
121
a d ?=???=?，
因此，7176149
7721222
S a d ?=+=?+=. 故选：C. 点评：
本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.
5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（） A ．
2
5
B ．
35
C ．
45
D ．
710
可知轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：
由题意可知，轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，
从这批轮胎中随机选取3个，所有的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、
()195,196,200、()195,190,194、()195,190,200、()195,194,200、()196,190,194、()196,190,200、()196,194,200、()190,194,200，
其中，事件“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、
()195,194,200、()196,190,194、()196,194,200，共7个，
因此，这批轮胎基本合格的概率为710
P =. 故选：D. 点评：
本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（）
A ．
32
4
B 23
C 2
D ．2
求得圆锥的高，可得矩形ABCD的对角线长，即有AC，BD的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．
解：
解：设与平面α平行的平面为β，以,
AC BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
根据题意可设双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
a b
a b
Γ-=>>.
由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为
2
4
y x =±，
由
2
=
b
a
，得离心率
222
22
32
1
4
+
===+=
c a b b
e
a a a
.
故选：A.
点评：
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
7．已知α为锐角，
3
cos
5
α=，则tan
42
πα
??
-=
?
??
（）
A．1
3
B．
1
2
C．2 D．3
由3cos 5α=计算出tan 2α，再将tan 42πα??
- ???
用两角差的正切公式拆开，代入求值即可. 解： 解：
3cos 5
α=
，22cos 2cos
112sin 22ααα=-=-，且α为锐角
cos
2
α
∴=
sin 2α=
sin
12tan 22
cos 2α
αα∴=
== 1
tan
tan
11422tan 1423
1tan tan 11422
πα
παπα--
??∴-=
== ???++? 故选：A 点评：
本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题. 8．已知函数()x
x a
f x e e
=+
为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（） A
． B ．2
C ．2ln 2
D ．ln 2
答案：D
先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 解：
()f x 为偶函数，则()()(1)0x x
x x x x a a f x e e e e a e e
----=+
=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则
0003
'().2
x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.
故选：D 点评：
本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.
9．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（） A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AO =-+ C ．123OA AB AC =- D ．123OA AB AO =--
答案：A
由向量的线性运算化简． 解：
∵161230--=OA OB OC ，∴1612()3()0OA OA AB OA AC -+-+=，整理得
123OA AB AC =+．
故选：A ． 点评：
本题考查向量的线性运算，解题关键是把,OB OC 用,,OA AB AC 表示．
10．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（）
A ．
5
B ．
4
C ．
3
D ．
2
答案：D
由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值． 解： 解：
3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，
由正弦定理
sin sin b
c
B
C ,可得2sin cos sin b c C C C
=,可得6cos b C =，
cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ，
由正弦定理可得6
sin cos sin cos 2B C C B R
+=
， 又()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=，可得
6
sin 2sin 62A R A R
=?=， 可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C C
a b c C ab ∴+-?+-==
?，可得2
3cos 4C =，
c a <，则C 为锐角，解得cos 2
C =．
故选：D ． 点评：
本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.
11．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．7π B ．8π
C ．
163
π
D ．
283
π
答案：D
如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值． 解：
解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形
所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F
则由AH ＝2=AE 23=AH =EH 13=AH 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点
记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°
所以OE ＝1，则R ＝OA 3
=
=
则三棱锥外接球的表面积2
21284493
R πππ=?= 故选：D
点评：
本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 12．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有
()()()21210x x f x f x --
A ．(,]2
e -∞ B ．(,]2
e -∞-
C ．0,2
e ??????
D ．,02e
??-????
答案：A
根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为
(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2x
e
a x
≤在(0,)+∞上
恒成立，再构造新函数()x
e g x x
=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可
求解. 解：
根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --
2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对
称，
所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，
当(0,)x ∈+∞时，函数2
()x f x e ax =-，可得()2x
f x e ax '=-，
根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，
即20x
e ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2x
e a x
≤在(0,)+∞上恒成立，
令()x e g x x =，则()2
(1)
x e x g x x
-'=，
当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =， 所以2(1)a g e ≤=，解得2
e a ≤，即实数a 的取值范围是(,]2
e -∞. 故选：A . 点评：
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 二、填空题
13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥??
-≤??+-≤?
，则目标函数2z x y =+的最大值为________.
答案：3
根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过()1,1B 点时，z 最大，代入求得结果. 解：
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
则求2z x y =+的最大值等价于求解直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值 由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大
由0
20x y x y -=??
+-=?
得：()1,1B max 213z ∴=+=
本题正确结果：3
本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在
y 轴截距最大值的问题，属于常规题型.
14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21
4a =，378
S =，则公比q =______. 答案：
1
2
或2 由21
4a =，378S =，可得：1
1174448
q q ++=，化简解出即可得出．
解： 解：由21
4a =
，378
S =， ∴1
1174448
q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得1
2
q =
或2． 故答案为：1
2
或2． 点评：
本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．若非零向量a 、b 满足4b a =，()
2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为_____． 答案：
3
π 设a 与b 的夹角为θ，由()
2a b a -⊥得出()
20a b a -?=，结合平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，再结合角θ的取值范围可求得角θ的值，即可得解. 解：
设a 与b 的夹角为θ，
4b a =，()
2a b a -⊥，则()
2
220a b a a a b -?=-?=，
即2
2
2
2cos 24cos 0a a b a a θθ-?=-=，可得1cos 2
θ=
，0θπ≤≤，
3
π
θ∴=
.
因此，a 与b 的夹角为3
π. 故答案为：
3
π.
本题考查利用平面向量垂直求夹角，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
16．在三棱锥A BCD -中，,2,23,22AB AD AB AD BC CD ⊥====，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________. 答案：8:3π
根据题意，当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,23AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据22BC CD ==，且
222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，
再分别利用体积公式求解. 解： 如图所示：
当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大. 取BD 的中点O ，因为,2,23AB AD AB AD ⊥==， 所以4BD =，OA=2， 22BC CD ==，
222BC CD BD +=，
2OC =，
外接圆半径R =2，
V 球343233R ππ=
=，1122323
A BCD V -=???=，
三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为8π
故答案为：8:π点评：
本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题
17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，33
8
b =，1121n n n n a b b ++=+．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和．
答案：（1）2n
n a =；（2）2
22
n n +-
. （1）分别令1n =、2n =可分别求得2a 、3a ，进而可求得等比数列{}n a 的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；
（2）由已知条件得出数列{
}
2n
n b 是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列
{}2n n
b 的通项公式，进一步可求得数列{}n
b 的通项公式，然后利用错位相减法可求得
数列{}n b 的前n 项和． 解：
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
由于数列{}n b 满足1212b b ==
，338
b =，1121n
n n n a b b ++=+． 当1n =时，则221212a b b =+=，即21
22a =，可得24a =；
当2n =时，则332413a b b =+=，即33
38
a =，可得38a =.
322a q a ∴=
=，212a
a q
==，111222n n n n a a q --∴==?=； （2）
1121n n n n a b b ++=+，即11221n n n n b b ++=+，11221n n n n b b ++∴-=，且121b =，
所以，数列{}
2n
n b 是以1为首项，以1为公差的等差数列，则()2111n
n b n n =+-?=，
2n n
n b ∴=
.
设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则23
1232222n n
n
S =
++++
，① 2311121222
22
n n n n n
S +-∴=+++
+，② ①-②得
2311111111111222112222
222212
n n n n n n n n n S +++??
- ?+??
=++++-=-=--，
2
22
n n n S +∴=-
. 点评：
本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.
18．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，
2AB AD EA ===，4CD CF ==．
（1）求证：平面⊥BDF 平面BCF ；
（2）求点B 到平面ECD 的距离． 答案：（1）证明见解析；（22.
（1）由FC ⊥平面ABCD ，可得BD FC ⊥，并推导出BD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出BD ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）计算出三棱锥E BCD -的体积，并计算出ECD 的面积，利用等体积法可计算出点B 到平面ECD 的距离． 解： （1）
//FC EA 且AE ⊥面ABCD ，FC ∴⊥平面ABCD ，
BD ?平面ABCD ，BD FC ∴⊥，
AB AD ⊥且2AB AD ==，由勾股定理得222BD AB AD =+=45ABD ∠=，
//AB CD ，45BDC ∴∠=，
由余弦定理得2222cos 458BC BD CD BD CD =+-?=，BC ∴=
222BC BD CD ∴+=，90CBD ∴∠=，BC BD ∴⊥，
FC
BC C =，BD ∴⊥平面BCF ，
BD ?平面BDF ，平面BCF ⊥平面BDF ；
（2）
AE
平面ABCD ，BC BD ⊥，且BC BD ==1
42BCD S BC BD ∴=?=△， 11842333
E BCD
BCD V S AE -∴=?=??=△， AE 平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，CD AE ∴⊥，
AD AB ⊥，//AB CD ，CD AD ∴⊥，
AE AD A =，CD
平面ADE ，
DE ?平面ADE ，CD DE ∴⊥，
又DE =
=11
422
CDE S CD DE ∴=
?=??=△， 设点B 到平面ECD 的距离为h ，则B CDE
E BCD V V --=，即18
33
CDE S h ?=，
8
CDE
h S
∴=
=
=
因此，点B 到平面ECD . 点评：
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(]15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]15,30以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．
质量指标值 频数
(]15,20
2 (]20,25
8 (]25,30 20 (]30,35
30
(]35,40
25
(]40,45
15
合计
100
（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；
非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计
（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为
2,30451,1530t y t <≤?=?<≤?
．若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万
元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．
参考公式：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
答案：（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为70%、55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）471. （1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；
（2）根据题中所给的数据完善22?列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表，可得出结论；
（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本. 解：
（1）估计新设备所生产的产品优质品率为
302515
100%70%100
++?=，
估计旧设备所生产的产品优质品率为()50.060.030.02100%55%?++?=； （2）根据题中所给数据可得到如下22?列联表：
()2
2
2
20030557045 4.8 3.84110075125
K ??-?==>??， 因此，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”； （3）
新设备所生产的产品的优质品率为0.7，
∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700?=件优质产品，有
300件合格品，
则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为700230011700?+?=（元），
8000001700471÷≈（天），因此，估计至少需要471天方可收回成本. 点评：
本题考查理由频率分布直方图和频数分布表求频率，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题. 20．已知点()0,0O 、点()4,0P -及抛物线2:4C y x =．
（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程； （2）问x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点A 、B ，且点M 到直线AP 、BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
答案：（1）240x y ++=或240x y -+=；（2）存在，且点M 的坐标为()4,0. （1）要使得OPQ ∠最大，则过P 的直线与抛物线相切，设过点P 的直线方程为
4x my =-，与抛物线的方程联立，由0?=求得m 的值，由此可得出直线l 的方程；
（2）由题意可知，直线AP 、BP 的斜率互为相反数，设点(),0M m ，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数m 的值，由此可得出结论. 解：
（1）如下图所示，当过点P 的直线l 与抛物线相切时，即当点Q 为切点时，OPQ ∠最大.
当直线l 与x 轴重合时，则点P 与点Q 重合，不合乎题意； 当直线l 与x 轴不重合时，可设直线l 的方程为4x my =-，
联立2
44x my y x
=-??
=?，消去x 得2
4160y my -+=，则216640m ?=-=，解得2m =±. 因此，当OPQ ∠最大时，直线l 的方程为240x y ++=或240x y -+=；
（2）假设存在这样的点M 满足条件，设点(),0M m ，
因为点M 到直线AP 、BP 的距离相等，则MP 为APB ∠的角平分线，所以
APM BPM ∠=∠，可得0AP BP k k +=，
设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立2
4x ty m y x
=+??
=?，消去x 并整理得2
440y ty m --=， 由韦达定理得124y y t +=，124y y m =-.
()()()()
12
21121212444444AP BP y x y x y y
k k x x x x ++++=
+=++++()()
()()()()
()()
122112121212442404545y ty m y ty m ty y m y y x x x x ++++++++=
=
=++++，
()()1212240ty y m y y ∴+++=，即()()24440t m t m ?-++=，整理得()1640t m -=，
由题意可知，等式()1640t m -=对任意的t R ∈恒成立，所以，4m =. 因此，在x 轴上存在点()4,0M ，使得点M 到直线AP 、BP 的距离相等. 点评：
本题考查利用直线与抛物线相切求直线方程，同时也考查了抛物线中存在定点满足条件，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.
21．已知()ln x
e f x a x ax x
=+-.
（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，若不等式1
()()0x
f x bx b e x x
+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．
答案：（1）见解析；（2）1[,)e
+∞. （1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2
1x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性
即可；
（2）由题意可知()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种
情况确定实数b 的取值范围即可. 解：
（1）()f x 的定义域为()0,+∞
∵()()()2
1x x e ax f x x --'=
，0a <，
∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ??+--
- ???
()1x
b x e lnx =-- 由题意，()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立
①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10x
b x e lnx --≤恒成立；不符题意.
②若0b >，记()()1x
h x b x e lnx =--，则()1x
h x bxe x
'=-
, 显然()h x '在[
)1,+∞单调递增， （i ）当1
b e
≥
时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[
)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1
110b h e b e b ??
=-> ?'->??
∴存在01x >，使()0h x '=.
当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1
,e ??+∞????
点评：
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ?=，记动点Q 的轨迹为2C ． （1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积． 答案：（1）()()2
2
125x y -++=（去掉原点）；（2）
3
5
. （1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12
ρρ
=
，将
点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12
ρρ
=
代入等式，
化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；
（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 解：
（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，
2OP OQ ?=，12ρρ∴=，可得12
ρρ
=
.
将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=， 将12
ρρ
=
代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得
2
4
cos sin 1θθρ
ρ
-
=，
即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得2
2cos 4sin 0ρρθρθ-+=， 化为直角坐标方程得2
2
240x y x y +-+=，即()()22
125x y -++=，
因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22
125x y -++=（去掉原点）； （2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线，
曲线2C 是以点()1,2P -，