1||||1k k X X -≤+||||(1)X X k e eke ?-≤1k ek ?-≤(1)1e k ?-≥-（显然成立）
Picard存在和唯一性定理 本节利用逐次逼近法，来证明微分方程 (2.1) 的初值问题 (2.2) 的解的存在与唯一性定理. 定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域 上满足如下条件： (1) 在R上连续; (2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式： 则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解 其中 在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明: 1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的， 但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数 存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有 其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果） 2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，
但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。 3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这 时，过点 的积 图 2-5 分曲线 当 或 时，其中 ， ，到 达R 的上边界 或下边界 .于是，当 时，曲线 便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间 上存在. 由于定理假定 在R 上连续,从而存在 于是，如果从点 引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线 (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取 则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之 中. 图 2-6
第1章 高阶统计量的定义与性质 §1.1 准备知识 1.随机变量的特征函数 若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称 ??∞ ∞-∞∞-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω 为x 的特征函数。其中)(x f 为概率密度函数。 离散情况：}{, ][)(k k k k x j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω * 特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。 例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为 dx e e x j a x ?∞∞---=Φωσσπω222/)(21 )( 令σ2/)(a x z -=，则 dz e a j z j z ?∞ ∞-++-=Φωσωπω221 )( 根据公式：A B AC Cx Bx Ax e A dx e 2 22--∞∞--±-=?π，则 2221)(σωωω-=Φa j e 若0=a ，则2 221)(σωω-=Φe 。 2.多维随机变量的特征函数 设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为 ),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e E n n n n ??∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω 令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则 ?=ΦdX f e T j )()(x ωx ω 矩阵形式 或 n n x j n dx dx x x f e k n k k ,,),,(),,,(11211 ??∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式 其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。 例：设n 维高斯随机变量为 T x x x ],,,[ =x ,T a a a ],,,[ =a
解的存在唯一性定理证明及其研究 专业名称：数学与数学应用 组长：赵亚平 组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲 指导老师：岳宗敏
解的存在唯一性定理证明及其研究 摘要 线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。 关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组 （一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法 存在唯一性定理 考虑初值问题 ),(y x f dx dy = 00)(y x y = （1） 其中f(x,y)在矩形区域R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2） 上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普
希茨常数），使不等式 |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路： 1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程 ?+=x x dy y x f y y 0),(0 （3） 的连续解。 2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ?}，任取一连续函数)(0x ?， b y x ≤-|)(|00?代入（3）右端的y ，得 …… 2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为 )(x n ?=dx x x f y n x x n ))(,(lim 1-00 ??∞ →+ dx x x f y x x f y x x x x n ??+ =+=∞ →0 ))(,()) (,(lim 01-n 0?? 4．)(x ?为（3）的连续解且唯一。首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。上类似。 证明过程： 命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程
第1章 高阶统计量的定义与性质 1.1 准备知识 1. 随机变量的特征函数 若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称 ?? ∞ ∞ -∞ ∞ -== =Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω 为x 的特征函数。其中)(x f 为概率密度函数。 离散情况：}{, ][)(k k k k x j x j x x p p p e e E k === =Φ∑ωωω 特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。 例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为 dx e e x j a x ? ∞ ∞ ---= Φωσ σ πω2 22/)(21)( 令σ2/)(a x z -=，则 dz e a j z j z ? ∞ ∞ -++-= Φωσωπω22 1 )( 根据公式：A B AC Cx Bx Ax e A dx e 2 2 2-- ∞ ∞ --±-= ?π ，则 2 2 2 1)(σ ωωω-=Φa j e 若0=a ，则2 22 1)(σωω-=Φe 。 2. 多维随机变量的特征函数 设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为 ) ,,,(][),,,(21) () (2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e E n n n n ? ? ∞ ∞ -+++∞ ∞ -+++= =Φωωωωωωωωω 令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则 ? = ΦdX f e T j )()(x ωx ω 矩阵形式 或 n n x j n dx dx x x f e k n k k ,,),,(),,,(11211 ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -∑= Φ=ωωωω 标量形式
存在唯一性定理 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程 (,),dy f x y dx =在区间0x x h -≤上存在唯一解00 (),()y x x y ??== ，其中 (,)min ,, max (,) x y R b h a M f x y M ∈? ?== ??? 逐步迫近法 微分方程(,)dy f x y dx =等价于积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 取00()x y ?= ， 定义0 01()(,()), 1,2,x n n x x y f x x dx n ??-=+=? 可证明lim ()() n n x x ??→∞ =的 ()y x ?=满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命题1 先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件 00()x y ?=的解，则()y x ?=是积分方程0 000(,), x x y y f x y dx x x x h =+≤≤+?定义于区 间0 0x x x h ≤≤+上的连续解。反之亦然。
证 因()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =的解，有 ()(,())d x f x x dx ??= 两边从0x 到0 x h +取定积分 000()()(,()), x x x x f x x dx x x x h ???-= ≤≤+? 代入初值条件00()x y ?=得 000()(,()),x x x y f x x dx x x x h ??=+ ≤≤+? 即()y x ?=是积分方程0 000(,), x x y y f x y dx x x x h =+ ≤≤+?定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。 反之，则有 000()(,()), x x x y f x x dx x x x h ??=+ ≤≤+? 微分之 ()(,())d x f x x dx ??= 且当0x x = 时有00 ()x y ?=。即 () y x ?=是微分方程 (,) dy f x y dx =定义于区间 00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ?=的解。 现取00()x y ?=，构造逐步迫近函数序列 000001()1,2,()(,()), x n n x x y x x x h n x y f x x dx ???-=??≤≤+=? =+?? ? 命题2 对所有n ,函数序列()n x ?在0 0x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等 式 0()n x y b ?-≤ 证 当1n =时0 100()(,)x x x y f x y dx ?=+ ?。显然1()x ?在0 0x x x h ≤≤+上有定义、 连续且有 0000()(,)(,)()x x n x x x y f x y dx f x y dx M x x M h b ?-= ≤ ≤-≤≤?? 命题2当1n =时成立。设命题2当n k =时成立，则对1n k =+
Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理 魏婷婷 (天水师范学院 数学与统计学院,甘肃,天水,741000) 摘要: 在Banach 空间中, 常微分方程解的存在唯一性定理中},1min{M b L h =,初值问 题的解)(t y 的变量t 在h t t h t +≤≤-00上变化,把t 的变化范围扩大为 M b t t M b t +≤≤-00,为此给出t 变化范围后的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一 性定理,并对定理给予明确的证明. 关键词: 存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;Banach 空间 引言 常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且实用的定理,有其重大的理论意义,另一方面,它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在区间较小, 只限制在一个小的球形邻域内,(球形邻域的半径若为δ,还需满足1<δL ,且解只在以0y 为中心以δ为半径的闭球 δδ≤-∈=00)(y y X y y B 存在唯一,其中X 是Banach 空间)因此在应用过程中受到了一定的限制.如今我们尝试扩大了解的存在范围,从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用. 1 预备定理 我们给出Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下 设X 是Banach 空间, X U ?是一个开集. X U f →:上关于y 满足利普希茨 )(Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使得不等式2121),(),(y y L y t f y t f -≤-,对于所有U y y ∈21,都成立.取U y ∈0,在U 内,以0y 为中心作一个半径为b 的闭球 b y y X y y B b ≤-∈=00)(,对所有的)(0y B y b ∈都成立,且有M y f ≤)(,取 },1min{M b L h =,则存在唯一的1C 曲线)(t y ,使得在h t t h t +≤≤-00上满足)(0y B y b ∈, 并有),(y t f y =',00)(y t y =.
前言 在现代通信技术飞速发展，信息的传输与交换日益频繁，各种通信方式和通信技术不断更新和广泛应用。因此我们所处的空间就有各种各样的电磁波。随着电磁环境不断变得复杂以及数字调制技术的广泛运用，如何有效地识别数字通信信号的调制方式成为了一个重要的研究课题。通信信号的调制方式识别在通信系统中扮演着重要的角色，尤其是在信号确认、干扰识别、信号检测以及信号监督等通信领域。它需要在复杂环境和有噪声干扰的条件下，不依赖于其他的先验知识，确定接收信号的调制方式，并提取相应的调制参数，为信号的进一步分析和处理提供依据。 数字通信信号调制方式识别广泛应用在民用和军用领域。在民用领域中，有关职能部门需要对自由空间中的无线信号进行认证、实施频谱监管。要想成功排出非法干扰、保证合法通信正常进行以及合理分配频率资源就必须采用通信信号调制识别技术。在军用领域中，调制识别在军事侦察、通信对抗、频谱监测等应用占有重要的位置。通信情报系统作为通信电子战(信息战)的电子支援措施之一，用来监视战场的电磁频谱活动，进行威胁识别，帮助选择电子干扰策略，直至截获敌方的有用军事情报。如在电子战通信情报截获接收机的设计中，获得接收通信信号的调制方式，为解调器选择解调算法提供参考依据，有助于电子战最佳干扰样式或干扰抵消算法的选择，以保证友方通信，同时抑制和破坏敌方通信，实现电子战通信对抗的目的。又如辐射源识别问题。机载截获设备接收到不同类型的辐射源信号，利用信号调制类型和其他测量参数识别敌方探测器的类型，以便完成威胁等级分析，及时进行机动规避，施放干扰或欺骗信掣引。再如军用软件无线电技术的目的之一就是设计出一种通信“网桥"，实现不同传输体制通信设备间的相互通信功能和资源的最佳利用。为达此目的，解决方案之一就是先识别出发射方的调制样式和调制参数，对其发送的信息进行解调，然后按照接收方采用的调制方式，把有用信息调制并转发给接收方。这里，正确识别收发双方的调制样式，是保证信息无误转发的基本条件。 调制信号识别最初采用人工识别方法，这种方式一般是利用不同调制方式的调解器将接受的中频信号解调出可观察或可听的信号，然后由操作员借助频谱分析仪等设备观察信号的频谱、波形、瞬时幅度、瞬时频率和信号声音等信息，人为地确认信号的调制类型，其特点是结构庞大，复杂度高。随着集成电路的发展和数字技术的应用，数字调制逐渐取代模拟通信系统。信号调制方式越来越复杂，种类也越来越多。自动识别技术成为一项引人关注的重要课题。 目前针对调制识别的研究较多，主要有基于小波变换的识别方法，基于瞬时特征的识别方法，基于星座图的识别方法和基于高阶累积量的识别方法。由于高斯白噪声大于二阶
解的存在唯一性定理 利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dy f x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==??? 的解存在与唯一性定理。 一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程 (,),dy f x y dx =的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件： （1）、在R 上连续； （2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和() ,x y 有以下不等式：() |(,),|||f x y f x y N y y -≤-。 则初值问题00 (,)()dy f x y dx y y x ==??? 在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ??==， 其中0 (,)min ,,max (,)x y R b h a M f x y M ∈?? == ??? 二、【证明】 逐步迫近法：
微分方程 (,)dy f x y dx =等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+?。 取00()x y ?=，定义0 01()(,()),1,2,3, (x) n n x x y f x x dx n ??-=+=? 可证明lim ()()n n x x ??→∞ =的()y x ?=满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件 00()x y ?=的解，则()y x ?=是积分方程0 0(,), x x y y f x y dx =+?定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。 反之亦然。 证： 因()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =的解，有'() ()(,())d x x f x x dx ???== 两边从0x 到x 取定积分，得：0 00000()()(,()), x x x x f x x dx x h x x h ???-=-≤≤+? 代入初值条件00()x y ?=得：0 00000()(,()), x x x y f x x dx x h x x h ??=+-≤≤+? 即()y x ?=是积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。 反之，则有0 00000()(,()), x x x y f x x dx x h x x h ??=+-≤≤+? 微分得： () (,())d x f x x dx ??= 且当0x x =时有00()x y ?=。即()y x ?=是微分方程(,)dy f x y dx =定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初 值条件00()x y ?=的解。 现取00()x y ?=，代入积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?的右端，所得函数用1()x ?表示，则 100()(,)x x x y f x y dx ?=+?，再将1()x ?代入积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?的右端，所得函数用2()x ?表示，则 0201()(,())x x x y f x x dx ??=+?，以上1()x ?称为1次近似, 2()x ?称为2次近似。以此类推得到n 次近似 01()(,())x n n x x y f x x dx ??-=+?。 从而构造逐步迫近函数序列为：0000000 01()1,2,()(,()),x n n x x y x h x x h n x y f x x dx ???-=?? -≤≤+=?=+?? ? 命 题 2：对所有n ,函数序列()n x ?在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且满足不等式 证：当1n =时， 100()(,)x x x y f x y dx ?=+?。显然1()x ?在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且有
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法 姜旭东 摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法. 关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言 微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法. 考虑一阶微分方程 (,)dy f x y dx = (1.1) 这里(,)f x y 是在矩形区域 00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2) 上的连续函数. 函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式 1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3) 对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。 定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解 ()y x ?=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件 00()x y ?= 这里min(, )b h a M =,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=. 文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h ≤≤+来讨论,对于