一元二次方程评课稿
***老师这节课从学案的编写到实施，在形式和内容上都体现了新课程改革的特征，符合教
改的基本精神。本节课始终以如何用配方法解一元二次方程为主线加强对学生知识、技能、方法、能力等的培养，目标的达成，达到了比较理想的程度。在课堂结构上、严谨而顺畅，课堂营造的学习氛围比较轻松活泼；内容上，新旧知识的前后联系，多种解法系统而完整，学到了新知识，
还让学生体验到了成功的快乐。教学中灵活使用多媒体资源，提高了教学效果也是本节课的一个
亮点。针对这节课我着重从以下几个方面谈谈个人的意见。
一、教学目标方面
针对学科特点，结合本课内容，制定了明确的教学目标，而且在这堂课中顺利的完成了目标，
使学生学会用配方法解一元二次方程方法，做到理解其算理，掌握其算法；并进一步培养学生观
察比较、分析、综合的能力，进一步提高学生的计算能力，培养思维的灵活性。同时还培养学生参与数学学活动的积极性，体验在学习活动中探索和创造的乐趣，感受数学的严谨性、数学结论
的确定性，养成认真仔细的良好学习习惯。本节课教学目标明确，教学过程始终围绕这个目标展
开，重点内容的教学得到保证，重点知识和技能得到巩固和强化。
二、教学内容方面
教学内容规定着教什么和学什么的问题，恰当地选择和处理教学内容是实现教学目标的重要
保证。本节课的教学内容始终围绕目标、反映目标，能分清主次，准确地确定让学生明白如何利
用配方法来解一元二次方程，以及利用配方法来解一元二次方程方法步骤这一重点、难点、关键点，处理好新旧知识的结合点，抓住知识的生长点。讲授具有启发性、层次性、详略得当；本堂课师生互动，共同探索，结合多媒体较好地处理了这个重点。同时，注意发挥练习题的作用，加强对学生解题方法和过程的指导，使传授知识和培养能力容为一体。通过对问题的处理，学生在
不知不觉中得到了用配方法解一元二次方程的方法，真可谓潜移默化、水到渠成。
三、教学方法方面
教学方法是实现教学目标，体现教学内容的手段，教学方法包括教法和学法两部分。教学方
法运用是否得当，主要看能否充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位。能否最大限度地提高
课堂教学效率。本堂课肖老师在处理好数学知识结构与学生认知结构的关系的基础上，按由易到难的顺序安排教学内容，注重思想训练与思维能力的培养。课堂上学生紧紧围绕着学案结合老师
的指导，展开自主的学习。在引导学生得出用配方法来解一元二次方程方法步骤后，接着引导学
生加强训练，对出现的问题立即进行矫正并反思总结，不但能提高学生运算能力，而且对培养学
生养成良好的学习习惯起到很大的作用。
四. 教学效果：教学效果是课堂教学的落脚点。在老师方面，肖老师这节课不但在规定的时
间内完成了教学任务而且在知识的传授、能力的培养、思想与道德教育等方面都实现了目标要求，
在学生的方面，学生听课的注意力非常集中，他们学习积极而主动，能准确地完成课堂练习，能对一堂课归纳岀主要内容，独立的进行课堂小结与反思，并对自己的学习情况进行准确的自我评
价等。
五?其他方面：
学案导学等教科研活动如火如荼的开展，“以学生的发展” 为本，使数学教育面向全体学生，
不同的人在数学上得到不同的发展，是当前数学教学改革的重要课题之一，肖老师的这节课如果能适当分层照顾全体，注重知识的形成过程，注重思维品质的培养，使每一位学生都有所获都有所得，是每一个学生都得到不同的发展，那么这节课就更加精彩
第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x
（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.
2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 内容 要求 中 考分值 考察类型 二次函 数与一元二次方程综合题 会根据二次函数的解析式求 其图象与坐标轴的交点坐标， 会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 二次函数与一元二次方程 1. 熟练掌握二次函数的有关知识点 2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值. （2）将二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1的图象向右平移m 个单位， 例题精讲 方法策略 考试要求 y x 1 1O
a ≠ ………… …………1分 即() ()2 2314210 a k --?-=，且2 -10 k ≠ =3 k ……………………3分 （2）∵二次函数与x 轴有两个交点， ∴ 2-40 b a c ＞，且 a ≠． ……………………４ 分 即2 -30k （）＞，且±k ≠1． 当3k ≠且1k ≠±时，即可行． ∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数 ∴1 2 2 2 -1+-3-1+-3-42==== -1-1-1+1 k k k k k x k k k k （3）（）342（）2（）2（） 2222-1--3-1-+3+21==== -1-1-1-1 k k k k k x k k k k （3）（）322（）2（）2（） (5) 分 当=0k 时，可使1 x ，2 x 均为整数， ∴当 =0 k 时， A 、 B 两点坐标为 (-10) ，和 (20) ，……………………6分 【例3】 已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），
第一讲一元二次方程的定义及解法 1.1 一元二次方程的定义 知识网络图 定义 直接开平方法 一元二次方程配方法 解法 公式法 因式分解法 知识概述 1．一元二次方程的概念： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（） A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．2 2（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B．3 C．0 D．1 或3 3．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（） A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5 课后练习 1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（） A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或15
2．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（） A ．2016 B ．2018 C．2020 D．2022 3．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于
第一讲：一元二次方程的概念和解法 一、知识点1: 1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程? 2：一般形式： ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0) 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 3:相关练习： 1、下列方程中，是一元二次方程的是( ) 2 A、x =1 B、X——-_ =1 C、，x -1 x2 = 1 D、x‘ x 1 = 0 x 2 2 2、如果(m 3)x2 -mx ? 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( ) A、m - 3 且 m = 0 B、m -j 3 C、m -j 0 D、m - 3 3、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( ) A、3x =4x m B、ax -8=0 C、x y =0 D、-6xy - y 7 = 0 4、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。 5、判断下列方程是否为一元二次方程： (1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2 (3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 x k 6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。 7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 — 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ； 2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________ 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ . &关于x的一元二次方程(a-1)x2? a2-仁0的一个根为0,则a的值为( ) 1 A、1 B、-1 C、-1或 1 D、- 2 9、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。 10、关于x的方程mx2— 3x=x2- mx+2是一元二次方程的条件是_____________ . 11、已知x2-x-1=0,求-x3 2x2 2009 的值 二、知识点2 一元二次方程的解法：
二次函数与一元二次方程教学讲义 第一讲：一元二次方程判别式及根与系数的关系 一、知识点总结 1、一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式： 2、证明：设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1，x 2， 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) ⑴、若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则：x 1+x 2=－b/a ；x 1x 2=c/a ； ⑵、若x 1，x 2是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0。 关于一元二次方程根的判别式： 3、一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)根的判别式为：△=b 2-4ac 作用：不解方程，判断方程根的情况，解决与根的情况有关的问题。 主要内容：⑴、△＞0：有两个不相等的实数根； ⑵、△＝0：有两个相等的实数根； ⑶、△＜0：没有实数根。 二、典型例题 关于根的判别式的应用： 1、对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况； 2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围； 3、运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题。 例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2 -1=0, （1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根. 解：∵△=（4m+1）2-4×2×（2m 2 -1）=8m+9 （1）当△=8m+9=0，即m= - 89 时，方程有两个相等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m ＞-89 时，方程有两个不等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m ＜ -8 9 时，方程没有实根。 例2 求证：关于x 的方程x 2 +(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。 分析：(1)要证方程有两个不相等的实数根，就是证明其根的判别式要大于零. (2)对于一个含有字母的代数式，要判断其正负，通常下面方法：通过配方变为“ 一
第一讲 一元二次方程的定义及解法 一、趣题引路： 瑞士的列昂纳德·欧拉（1707～1783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得 100克朗和剩下的 110； 老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110 ；……；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；问父亲有多少个孩子? 二、基础知识运用例题： 【例1】（1）若方程1(1)210k k x x +++-=是关于x 的一元二次方程,则k=______； 是关于x 的一元一次方 程,则k=_____。 (2) 设a,b,c 分别为一元二次方程的二次项系数,一次项系数,常数项 且 121a b b c c a +=??+=-??+=-? ，请你写出关于y 的一元二次方程._______________________. 【归纳与反思】 1、只含有______未知数,并且未知数的项的最高次数是______的整式方程叫一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为_______________________.其中a ，b ，c 分别叫作二次项系数、一 次项系数、常数项。 【例2】解下列方程: （1）29250x -= （用直接开平方法） （2）()()22 4210x x +--=（用因式分解法）
（3）04162=--x x （用配方法） （4）2 530x x ++=（用公式法） 【归纳与反思】 1. 配方法:在方程的左边加上一次项系数的 ，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫作配方。配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了。这样解一元二次方程的方法叫做配方法. 2．解一元二次方程的方法： （1） （适用于形如2()(0)ax b c c ±=≥的方程） （2） （方程右边为零，左边易于分解为两个一次式的乘积） （3） （不常用，一般用于常数项的绝对值较大的方程） （4）公式法: 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时求解x 的公式： 2______________,(40)x b ac =-≥ 【例3】用适当方法解下列方程: (1)(2)(3)(1)(1)5x x x x --++-= (2) 22(3)(3)x x x +=+ (3) 22(31)4(1)x x -=- （4）2(1)3(1)20x x +-++= (5)25x -=- (6) 21640x x --= 【归纳与反思】
第一讲一元二次方程培优专题（含答案） 一．选择题（共14小题） 1．（2016?包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（） A．﹣B．C．﹣或D．1 2．（2016?乐山）若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（） A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16 3．（2016?河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 4．（2016?黄冈校级自主招生）设x1，x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（） A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣9 5．（2016?岱岳区一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数：“i“，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（） A．0 B．1 C．﹣1 D．i
6．（2015?株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 7．（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 8．（2013?呼和浩特）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 9．（2013?船山区校级自主招生）若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．（2013?涟水县校级一模）已知方程x2﹣4x+2=0的两根是x1，x2，则代数式 的值是（） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 11．（2012?富顺县校级模拟）已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值（） A．﹣5 B．6 C．﹣6 D．3
第一讲 一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导 【基础知识回顾】 知识点一、一元二次方程的定义： 1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程 2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。 3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是： ①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1； ②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢? 题型一：一元二次方程的概念 例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 02=++c bx ax B 02112=-+x x C 1222+=+x x x D ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 (2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。 题型二：一元二次方程的解 例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 (2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。 (3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。 知识点二、一元二次方程的常用解法： 1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。 2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根. 3、配方法：解法步骤： ①化二次项系数为即方程两边都二次项系数； ②移项：把项移到方程的边； ③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式； ④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。 4、公式法：如果方程()2 00ax bx c a ++=≠满足，则方程的求根公式为 例3用适当的方法解下列方程： ⑴ 4 2 2)32()2(+=-x x ⑵x 2－2x －1 ＝0 ⑶ 2x 2－7x ＋6＝0 1 20052+a
第 1 页 共 1 页 第一讲 一元二次方程概念及基本解法 【例1】填表： 【例2】（1）方程(+2)+3+1=0m m x mx 是关于x 的一元二次方程，则=m 。 （2）若方程2-2(2)+(+3)5=0m m x m x --是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 【例3】（1）关于x 的一元二次方程2 2 (1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为 。 （2）已知a 是一元二次方程2 2--1005=0x x 的一个解，则2 4-2+1=a a 。 （3）若(0)n n ≠是关于x 方程2 ++2=0x mx n 的根，则+m n 的值为 。 【例4】（1）已知a 是方程2 -3+2=0x x 的根，试求代数式3 2 -2-+4a a a 的值。 （2）若a 是方程x 2 +x －1=0的根，求35432-1 +--a a a a a 的值。 【例5】解下列方程(直接开平方法) （1）2 4(2+1)=27x （2） 21 (3-1)-8=02 x 第二讲 配方法 【例1】若x 2 +6x+m 2 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．以上都不对 【例2】解下列方程： （1）2 x －10x+25＝7； （2）2 x ＋12x ＋25＝0. （3）2 x 2 + 5x － 1 = 0 （4）3x 2 － 6x +1 = 0 【例3】用配方法求解下列问题 （1）求2x 2 －7x+2的最小值 ； （2）求－3x 2 +5x+1的最大值。 【例4】试说明代数式2x 2 － 2x +3 的值不会是负数。 【例5】（1）已知实数x y 、满足2 2 -2+-4+5=0x x y y ，求2 (-)x y 的值。 （2）已知：22 -10m n mn m n ++++=，求 11 +m n 的值。
第一讲 二次根式及一元二次方程 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 ???<-≥)0()0(a a a a 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算 术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积 的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍 作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a≥0，b≥0）； =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 6.分母有理化 (1)定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 (2)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这 两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： a =b a -与 b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a a 分别互为有理化因式。 (3)分母有理化的方法与步骤： （1）先将分子、分母化成最简二次根式； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 7、一元二次方程： (1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式 方程叫做一元二次方程。 (2) 一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a≠0)。其中，a 称为二次项系数，ax 2称为二次 项；b 称为一次项系数，bx 称为一次项；c 称为常数项。（确定a,b ，c 必须先化为一般式） （3）四种解法 ：
一元二次方程知识点和习题 一元二次方程的定义:等号的两边都是整式，______________________，并且_______________________是2（二次项系数_______________）的方程，叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为, ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(b,c可以________0，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。如果a=0,上式变为bx+c=0是一元______方程 一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中，二次项系数______二次项是ax2，一次项系数 _______，一次项是bx,常数项是_____注意：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。 习题1：下列方程那些是一元二次方程？（详细指出） 1.5x-2=x+1 2. 7x2+6=2x(3x+1) 3. 6x2=x 4 . 2x2=5y 5. -x2=0 数项及它们对应的系数： 3x(x-1)=5(x+2) （x-2）(x+3)=8 注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的习题3：方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 要设计一座高2m 的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米? 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 综合习题4 1．下列关于的方程中：① ；②；③； ④（）．一元二次方程的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.要使方程+是关于的一元二次方程，则（ ） A ． B ． C ．且 D ．且 3．若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是________． 4.若（是关于的一元二次方程，则的值是________．
第一讲:一元二次方程的概念和解法 一、 知识点1： 1：一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程. 2：一般形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0) 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 3：相关练习： 1、下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A 、211x x x -+= B 、 211 122 x x +--= C 21x = D 、310x x ++= 2、如果2(3)10m x mx +-+=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A 、30m m ≠-≠且 B 、3m ≠ C 、0m ≠ D 、3m ≠- 3、下列方程一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、234x x m =+ B 、280ax -= C 、20x y += D 、670xy y --+= 4、关于x 的方程2 2 31kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是 。 5、判断下列方程是否为一元二次方程： （1）、2 2 320x x y -++= （2）、2 32 ( 2)xx x x x -=+- （3）、20y = （4）、2(21)(1)(43)x x x -=-+ 6、关于x 的方程1 (1)10k k x kx -+++=是一元二次方程，求k 的值。 7、x (2x －1)－3x (x －2)=0 → _________________ 二次项系数：_____；一次项系数：_______；常数项：_______; 2x (x －1)=3(x ＋5)－4 → __________________ 二次项系数：_____；一次项系数：______；常数项：_______. 8、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、11-或 D 、 12 9、 已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2＋3x ＋m 2－4=0有一个解是0，则 m =_____。 10、 关于x 的方程mx 2－3x =x 2－mx +2是一元二次方程的条件是___________. 11、已知210,x x --=求3222009x x -++的值 二、知识点2 一元二次方程的解法： 1、直接开平方法：形如（x +h ）2＝k ，（k ≥0）的方程
第一讲 一元二次方程及其应用 班级： 姓名： 日期： 【课前热身】 1．若关于x 的方程（x －2）（x 2 －4x ＋m ）=0有三个整数根，且这三个整数根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的值是___________，此时这个三角形是 三角形。 2．若22 2 1 .013a a a a +=++求的值为 。 3．y =29722a a ++的最小值为 ；y =2 9722a a -++的最大值为 。 4．2 25101 x x x x x -+==-+已知，那么 ． 5．如果多项式20084222 2++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ ） A 、2005 B 、2006 C 、2007 D 、2008 6．设2 3 2 1022010m m m m +-=++=，则 7．如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为b a b a 2+=*，则函数42)2(2 *+*=x x y （－3≤x ≤3）的最大值与最小值的和为 ． 8. 设x 1，x 2关于x 的一元二次方程22 =++a ax x 的两个实数根，则()()122122x x x x --的最大值 为 。 【知识点链接】 1. 一元二次方程根的判别式： 关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42 ->0?一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即 =2,1x . （2）ac b 42 -=0?一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42 -<0?一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系 若关于x 的一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ， =?21x x . 3.二次三项式2 (0)ax bx c a ++≠的最值问题讨论如下： 22 2 2 224()()()2424b b b b ac b ax bx c a x x c a x c a x a a a a a -++=++=++-=++ ①当0a 时， 二次三项式2 ax bx c ++在2b a a =-时有最大值 244ac b a - ②当0a 时，二次三项式2 ax bx c ++在2b a a =-时有最小值 244ac b a - 【典例精析】 例1 设实数a ，b 满足：2 2 31085100a ab b a b -++-=，求u =2 9722a b ++的最小值. 解： 例2 设ｍ是不小于－1的实数，使得关于ｘ的方程ｘ2＋2（ｍ－2）ｘ＋ｍ2 －3ｍ＋3＝0有两个不相等的实数根ｘ1，ｘ2． （1）若ｘ12＋ｘ22 ＝6，求ｍ的值；（2）求的最大值． 解：
第一讲 二次根式与一元二次方程 【基础回顾】 1、填空：当x 取何值时，x x -+-73在实数范围内有意义：______________ 2．下列计算① × ＝ ；② ；③ ；④ ＝4．其中错误的是 （ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3、若最简二次根式224x -与25x +是同类二次根式，则x 的值是 4、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．3（x+1）2=2（x+1） B ． 211 20x x +-= C ．ax 2+bx+c=0 D ．x 2+2x=x 2－1 5、关于x 的一元二次方程（a －1）2 x +x+|a|－1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 6、要使关于x 的方程2 340ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 的取值是（ ） A ．916a < B ．916a ≤且0a ≠ C ．916a <且0a ≠ D ． 916 a > 7、若1x ，2x 是一元二次方程2 230x x +-=的两个根，则1x +2x 的值是（ ） A 2 B －2 C 3 D －3 【例题解析】 【例1】把下列各式化成最简二次根式： （1）833 （2）22)21()213(- （3）2 255 m （4）224y x x +
【例2】计算化简下列各式： 113(1)(184 )2323 -+÷ - (2)20)21(821 )73(4--?++ 2426 (3)(232)62 +-+ - (4) 555x x x + )25 4414()31 91)( 5(3323y y x x y y x x +-+ 【例3】化简：再求值． 5 5x +2 1x 20－ 45x x 54,其中13x =
第一讲 一元二次方程的概念及解法 1.一元二次方程的定义： 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2 ＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意： 满足是一元二次方程的条件有： （1）必须是一个整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 【例1--1】方程①13122 =-x x ②05222=+-y xy x ③0172 =+x ④022=y 中一元二次方程是 . A. ①和②； B.②和③ ； C. ③和④； D. ①和③ 【例1--2】要使方程（a-3）x 2 +（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3 C ．a ≠1且b ≠-1 D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0 【例1--3】若（m+1）(2)1 m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． 2．一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般式是ax 2 ＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0）。其中ax 2 是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 【例2--1】一元二次方程)1(2)2)(1(2 -=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。 【例2--2】把下列关于x 的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
（1）5x （x+2）=3(x+1） (2)2 1x 21x 3x 2--=+- 3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二 次方程的解也叫做一元二次方程的根。 【例3--1】判断下列括号里的数哪个是方程的解。 （1）)0,2,1(232x x = (2))4,5,5(0252 -=-x 【例3--2】若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的一个根，求代数式） （c b a 2019+-的值。 【例3--3】若－4是关于x 的一元二次方程2x 2＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________． 4．一元二次方程的解法：（※降次的思想） 直接开平方法：求下列式中的x 的值。
第1讲 一元二次方程及根 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。 重点：①方程两边都是___________，②只含______未知数；③未知数的最高次数为_______；④二次项系数不能为0. 1.把下列关于x 的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. （1）5x(x ＋2)=3(x ＋1) （2） 2 1x 21x 3x 2--=+- 2.方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 . 3. 已知关于x 的一元二次方程(a?2)x 2?(a 2?4)x+8=0不含一次项，则a=_________. 4.关于x 方程（m+3）x 27m -+（m －3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为 ． 解方程：方程的根： 5. 若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为 . 6.若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则这个方程可以为__________. 7.用适当的方法解下列一元二次方程. （１）0163x 2=--）（ （2）311x 32= +）（ （3）04 132=--x x （4）22320x x --=
（5） 2（2x －3）－3x （2x －3）=0 （6） （7） 若，则= . 判别式与根的个数关系：①两个根__________；②两个等根__________；③无实数根____________. 8.若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是________ 9.如果关于x 的一元二次方程x 2+4x-m=0没有实数根，则m 的取值范围是________ 10. 若关于x 的方程02)1(2=+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是 . 11. 已知关于x 的方程x k x k 22114 10-++ +=()，k 取什么值时，方程有两个实数根？ 12.已知关于x 的一元二次方程ax x a a 200+-=≠()求证：对于任意非零实数a ，该方程恒有两个异号的实数根。 (31)(2)114x x x -+=-222(3)25a b +-=22 a b +
中考数学二轮复习二次函数与一元二次方程的综合 The document was prepared on January 2, 2021
第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 内容 要求 中考 分值 考察类型 二次函数与 一元二次方 程综合题 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的 交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称 轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似 解 7 二次函数 与一元二次方程 1. 熟练掌握二次函数的有关知识点 2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。 例题精讲 方法策略 考试要求
【例1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a－1）x2+2x+1与x轴有交点， （1）求a的值. （2）将二次函数y=（a－1）x2+2x+1的图象向右平移m 向下平移m2+1个单位，当－2≤x≤1 求实数m的值. 27题 27.解：（1）∵二次函数y=（a－1）x2+2x+1与x轴有交点， 令y=0，则（a－1）x2+2x+1=0， ∴=4-4(a-1)0 ?≥，解得a≤2. …………………………………1分. ∵a为正整数. ∴a=1、2 又∵y=（a－1）x2+2x+1是二次函数，∴a－1≠0，∴a≠1， ∴a的值为2. ………………………………………2分 （2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x2+2x+1， 将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2 二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位 后的表达式为y=（x+1－m）2－（m2+1）.
此时函数的顶点坐标为（m－1, －m2－1）. …………………………………4分 当m－1＜－2，即m＜－1时，x=－2时，二次函数有最小值－3， ∴－3=（－1－m）2－（m2+1），解得3 m=-且符合题目要 2 求. ………………………………5分 当－2≤m－1≤1,即－1≤m≤2,时，当x= m－1时，二次函数有最小值－m2－1=－3， 解得m=.∵m=m≤2的条件，舍去. ∴m=.……………………………………6分 当m－1＞1，即m＞2时，当x=1时，二次函数有最小值－3， ∴－3=（2－m）2－（m2+1），解得3 m=,不符合m＞2的条件舍去. 2 综上所述，m的值为3 -……………………………………7分 2 【例2】已知二次函数22 =---+． y k x k x (1)(31)2 （1）二次函数的顶点在x轴上，求k的值； （2）若二次函数与x轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B两点的坐标. 23.解：（1）方法一∵二次函数顶点在x轴上，
第一讲 一元二次方程的应用
1．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为（ ） A ．（x ＋1）2＝6 B ．（x －1）2＝6 C ．（x ＋2）2＝9 D ．（x －2）2＝9 2．某地区2012年农民人均收入为1万元，计划到2014年农民人均收入增加到1.2万元．设农民人均年收入的每年平均增长率为x ，则可列方程 ． 3．一个矩形的长比宽相多3cm ，面积是25cm 2 ，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为x cm ，则所列方程正确的是（ ） A ．x 2 ﹣3x +25=0 B ．x 2 ﹣3x ﹣25=0 C ．x 2 +3x ﹣25=0 D ．x 2 +3x ﹣50=0 1
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，解决简单的实际问题 2．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 3．掌握配方法求最值 1．列一元二次方程解应用题 2．配方法求最值 1．灵活选用方程的解法 解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法． ⑴当一个一元二次方程的一边为零，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以运用分解因式法求解； ⑵如果一个一元二次方程的一边是含有未知数的平方式，另一边是一个非负数，就可以直接开平方求解； ⑶用配方法解方程是以完全平方式±+=±a ab b a b 2222 )(和直接开平方为依据将方程加以变形，即将给定的一元二次方程经过移项，二次项系数化为1，配方后写成形如 +=x b c 2 ) (（c ≥0） 的形式后，再用直接开平方法求解． ⑷公式法是解一元二次方程的“万能钥匙”，它对任何形式的一元二次方程都适用，用公式法解方程， 只需将一元二次方程化为一般形式，正确找出a ，b ，c 的值，再代入求根公式x 2．选择合适的方法解一元二次方程： ⑴如果题目能使用直接开平方法解方程，那就直接使用开平方法解方程； ⑵能使用因式分解方法求解的一元二次方程，就不要使用公式法解决； ⑶当不易使用因式分解法解的方程，且方程中的系数绝对值较大时，我们考虑使用配方法解方程； ⑷公式法是解决一元二次方程的通用方法，当其他方法都不易解决时，我们考虑使用公式法解题． 2
学而思教育暑假数学 第一讲一元二次方程 主讲：郭建康 考点一、概念 （1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 （２）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax （3）关键点:强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”. 典型例题: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ） ?A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax ? ?? D 1222+=+x x x 变式:当ｋ 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 . ２、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 考点二、方程的解 ⑴内容：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用：①利用根的概念求代数式的值； 典型例题: 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 . 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则ａ的值为 . 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 . 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ,求=+b a