《复变函数》重点难点

重点难点

第一篇 复变函数论

本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理.

本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为

一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力.

.

第一章复数与复变函数

本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；

复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断；

复变函数的极限和连续。

本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用

Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算, 详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分

本章知识点摘要：

1.复数的概念

定义形如i x y +的数为复数，记作i z x y =+.其中x 、y 分别称为复数z 的实部、虚

部，记作

()Re x z

=，()

Im y z =，i 称为虚数单位，它满足2

i 1=-.与实数不同，两个复数之

间一般不能比较大小.

2.复数的表示法

（1）几何表示：对于复数i z x y =+可以用平面上起点在()0,0O ，终点在(),P x y

的

矢量（或向量）OP 表示；

（2）代数表示：对于平面上的点(),P x y

可用代数形式i z x y =+表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；

（3）三角表示：当i 0z x y =+≠时，复数可用三角函数()cos isin z r θθ=+形式表示.

其中

r z =称为复数z 的模；=Arg arg 2z z k θπ=+（k 取整数）称为z 的辐角.

当0k =时，对应于辐角的主值0arg z θ=，在本书中规定为πarg πz -<≤；

3.复数的运算

（1）复数满足常规的四则运算规律.

（2）若()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ=+，则

()()12121212cos isin z z rr θθθθ=+++????

()20z ≠

（3）方根：设()cos isin z r θθ=+，则

()()2π2πcos isin

k k n

n

θθ++?+?

? 0,1,2,,1k n =-

关于复数的模和辐角有以下运算公式

1212

z z z z =；

11

22

z z z z =()20z ≠ ()1212

Arg Arg Arg z z z z =+

4.区域和平面曲线

本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.

（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D ：(i) 全由内点组成；(ii)具有连通性: 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D 称为区域.

连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.

（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线: 如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.

5.复变函数 极限与连续

函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 的极限等价于两个二元实函数(),u u x y =和(),x y =v v 的

极限.

函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 在点000i z x y =+处的连续性等价于两个二元实函数

(),u x y 和(),x y v 在该点的连续性.

解题思路:

例 研究什么原像通过映射2

z =w 后变为相互垂直的直线,, (,0)u a b a b ==>v .

【解】 由2222

(i )i2z x y x y xy ==+=-+w ，可以视为从xy 平面到u v 平面的映射，即为从z 平面(原像)到w 平面（像）的映射，易得

2

2

,2u x y xy =-=v

我们具体考察在w 平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到

2

2

, 2, (,0)u x y a xy b a b =-==>v =

即有

22,(0)x y a a -=> 显然原像为双曲线，如图1.11(a )实线所示； 即有 2, (0)xy b b =>v = 显然原像为双曲线，如图1.11(a )虚线所示.

另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.

1.11(a )的双曲线右分支实线上时，由u a =且2xy =v ，得到，

2=v .

因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：

,2u a ==v

()

y -∞<<∞

很明显，当点(,)x y 沿

着右分支实线

向上运动时，它的像如图1.11(b )沿直线u a =向上运动.同样，

双曲线左分支的像的参数形式

表示为

, 2u a ==-v )(∞<<-∞y

当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线u

a =向上运动. 同样地可以分析：另一双曲线

0>

图1.11

2xy b = (0)b >

映像到直线b =v .变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.

重点难点

第二章 解析函数

重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因；

如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支； 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：（Matlab ，Mathcad ，Mathmatic ）编程计算简单的复数方程

本章知识点摘要：

1.复变函数的导数与微分

复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：

()()

()lim

z f z z f z f z z ?→+?-'=?

微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，

d ()()d f z f z z '=.

2.解析函数的概念

解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若

()f z 在0z 及其一个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 解析.函数在某一点可导，在这点未必

解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.

3.柯西－黎曼条件方程

复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R 方程）.

函数()i f z u =+v 在区域D 内解析,u ?v 在D 内可微，且满足C-R 条件：,x y x y

u u ==-v v .

4.关于解析函数的求导方法 (1) 利用导数的定义求导数

(2) 若已知导数存在，可以利用公式

()i i i i x x y y x y y x

f z u u u u '=+=-=-=+v v v v

求导.

5初等复变函数

初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.

6解析函数与调和函数的关系

区域D 内的解析函数()(,)i (,)f z u x y x y =+v 的实部和虚部都是D 内的调和函数.要想使得()i f z u =+v 在区域D 内解析，u 和v 还必须满足C-R 条件. 因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路

例 已知 等势线的方程为

22x y c +=，求复势. 【解】若设

22u x y =+，则

2,2 0x x y y x x y y

u u u u ==∴+≠，故u 不是调和函数.因而不

能构建为复势的实部（或虚部）.若令 222

,()x y u F ρρ=+=，采用极坐标有0u

??=?，故

把极坐标系中的拉普拉斯方程 222

11()0u u u ρρρρρ?????=+=???简化为1()0

u

ρρρρ??=??，即为

112,ln u

C u C C ρ

ρρ?=∴=+?

根据极坐标C-R 条件的得到 113,u C C ρ??ρ??==∴+??v v =C ，

故复势为

1213123

123()ln i i (ln i )i ln , (i )

f z C C C C C C C C z C C C C ρ?ρ?=+++=+++=+=+

我们可以总结出，当,u v 具有2

2()n

x y ±+的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.

重点难点

第三章 复变函数的积分

重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；

解析函数积分的基本定理??柯西积分定理； 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理；

由柯西积分定理推导出一个基本公式??柯西积分公式.

难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；

理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。

本章知识点摘要

1．本章所涉及的典型实例类型总结

第一类典型实例：给出了不同于常规教材的重要典型实例，即计算环路积分||2d 1

n

z z

=-? ，它可以分别用复变函数论中的理论进行求解．由此读者能应用柯西积分定理、柯西积分公式、以及即将学习的级数展开法、留数定理以及留数和定理进行求解. 由此加强各章节之间的有机联系, 使读者充分理解各定理的区别和联系．

第二类典型实例：复变函数模的积分（如2

|||d |

||z R

z z a =-?

）的计算方法，取模后该积分与二元实函数的环路积分类似，故为高等数学中的环路实积分提供了新的计算方法．

第三类典型实例：若要使闭合环路积分中换元法仍然有效，则必须考虑积分变换后辐角的改变.

2．本章系统知识概述 1）．复变函数的积分

复变函数积分的概念是这一章的主要概念，它是定积分在复数域中的自然推广，和定积分在形式上也是相似的．只是把定积分的被积函数()f x 换成了复函数()f z ，积分区间[,]

a b

换成了平面上的一条有向曲线C ．复积分实际上是复平面上的线积分，它们的许多性质是相似的．

如果()(,)i (,)f z u x y x y =+v ，则

()d (,)d (,)d i (,)d (,)d C

C

C

f z z u x y x x y y x y x u x y y

=-++?

??v v

即复变函数的积分可以化为两个二元函数的曲线积分． 2）．柯西定理与柯西公式

（1）柯西定理 如果函数()f z 在单连通域D 内处处解析，那么函数()f z 沿D 内任意一条闭曲线C 的积分值为零，即

()d 0

C

f z z =?

推论 如果函数()f z 在单连通域D 内处处解析，则积分()d C f z z

?与连结起点与终点的路

径C 无关．

（2）牛顿—莱布尼兹公式 若()f z 在单连通域D 内处处解析，()G z 为()f z 的一个原函数，那么

1

10

10()d ()()()

z z

z z f z z G z G z G z ==-?

其中

0z 、1z 为D 中任意两点．

（3）复合闭路定理 设L 为复连通域D 内的一条简单闭曲线，12,,,n C C C 是在L 内的简单闭曲线，且12,,,n C C C 中的每一个都在其余的外部，以12,,,n C C C 为边界的区域全含于D 如果()f z 在内解析，那么有

(i) ()d 0

f z z Γ

=?

，其中Γ为由L 以及k C （1,2,,k n = ）所组成的复合闭路正方向．

(ii)1()d ()d k

n

L

C k f z z f z z

==∑??

，其中L 及所有的k C 都取逆时针正方向．

（4）闭路变形原理 在区域D 内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在D 内作连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过函数()f z 不解析的点． 3）.柯西积分公式的几个重要推论

（1）高阶导数公式 解析函数的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为:

()01

0!()

()d (1,2,)2πi ()n n C n f z f z z n z z +=

=-?

其中C 为()f z 的解析区域D 内包含0z 在其内部的任意一条正向简单闭曲线，且内部全属于

D ；

（2）解析函数的平均值公式; (3) 柯西不等式; (4）刘维尔定理; （5）莫勒纳定理;

解题思路

例 试根据复变函数环路积分讨论公式

0000 d 2πi L L z z z z L z ??=?-??? ， 不包含， 包含的物理意义． 【解】设在点0z 有电量为04πε的点电荷, 在复平面上形成二维静电场（向量场） ,我们知道

在点z 处的场强为：

000222

220000()()4π4π4π()()x y r r r x x y y Q r r r x x y y εεε-+-=

=-+-＝＝e e e E e e 其中,,r x y e e e 分别代表径向,,x y 方向的单位矢量．

于是电场强度E 的分量为：

00

22220000,()()()()x y

x x y y E E x x y y x x y y --=

=-+--+-

我们注意到函数

002222

000000011

i i ()i()()()()()x y

x x y y E E z z x x y y x x y y x x y y --==----+--+--+-＝

易见向量场（电场x x y y E E =+E e e ）正好与这个函数的共轭相对应，因此

0022220000000d i d(i )()()()()(i )d(i )(d d )i (d d )

d i d L L x y x y y x L L

L

L

L

x x y y z

x y z z x x y y x x y y E E x y E x E y E x E y s s

??--=-+??--+--+-??

=-+++-+=+??????? ＝E l E n

上式中矢量00,l n 含义与复变函数环路积分物理意义中的含义相同。 其物理意义【7】

：由场论知电场是无旋的场，则电场强度E 沿着L 的环量

d 0L

s ?

＝E l 另外，如果L 包含0z 点，则通量 d πL

s ?

＝20

E n ； 如果L 不包含0z 点，则通量 d 0L

s ?

＝0

E n . 重点难点

第四章 解析函数的幂级数表示

重点：复级数的基本概念及其性质；

如何将解析函数展开成泰勒级数及罗朗级数； 解析函数的重要性质。

难点：理解一个函数的解析性与一个函数能否展为幂级数是等价的.

特色：尝试用计算机仿真编程方法(Matlab ，Mathematic ，Mathcad)进行级数展开。

本章知识点摘要： 1.复数项级数 数列i (1,2,...)

n n n a b n β=+=和级数1

n

n β

∞

=∑的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义类

似.

数列i n n n a b β=+收敛的充要条件是实数列n a 和n b 同时收敛. 级数

1

n

n β∞

=∑收敛的充要条件是实级数

1

n

n a ∞

=∑和1

n

n b

∞

=∑同时收敛.

lim 0

n n β→∞

=是级数1n

n β

∞

=∑收敛的必要条件.

2.函数项级数 幂级数 函数项级数

()

n n f z ∞

=∑中的各项如果是幂函数

0()()n

n n f z c z z =-或

()n

n n f z c z =，那么就得到幂级

数00()n

n n c z z ∞

=-∑或0n

n

n c z

∞

=∑.

幂级数的收敛域为一圆域，其边界称为收敛圆. 在圆的内部幂级数绝对收敛；在圆的外

部幂级数发散，在圆周上幂级数可能处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散.

收敛圆的半径称为幂级数的收敛半径，求幂级数01

()n

n n c z z ∞

=-∑或0

n

n

n c z

∞

=∑的收敛半径的公式

有比值法或根值法

1

lim

n

n n c R c →∞

+=或1

n R μ==

3.泰勒级数

形如()000

()

()!n n

n f z z z n ∞

=-∑

的幂级数称为泰勒级数，若00z =，则为麦克劳林级数.

定理 若函数

()

f z 在圆域0z z R -<内解析，则在此圆域内，

()f z 可展开成泰勒级数

()000

()

()()!n n

n f z f z z z n ∞==-∑

.

且展开式是唯一的.

但需要特别说明的是：

尽管上式右端的幂级数可能在收敛圆周上处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散. 但幂级数的和函数在收敛圆周上至少有一个奇点. 4.罗朗级数

形如0

()

n

n

n c z z +∞

=-∞

-∑的级数称为罗朗级数，它是一个双边幂级数.

定理 若函数()f z 在圆环域102

R z z R <-<内解析，则在此圆环域内，()f z 可展开成罗朗级数

()()

n

n

n f z c z z +∞

=-∞

=

-∑，

其中

1

01()

d ,(0,1,2,...)2πi ()n n L f z c z n z z +=

=±±-? ，L 为圆环域内绕0z 的任一正向简单闭曲线.

5.本章主要题型及解题方法

(1)讨论复数列的敛、散性

可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. (2)讨论复级数的敛散性

可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. 对于有些级数，若当n →∞时，通项不趋于零，则级数发散.

通过讨论1

n

n β∞

=∑的敛散性来获得1n

n β

∞

=∑的敛散性. (3)求幂级数的收敛半径及在收敛域内的和函数 解题思路：

例 函数

)2)(1(1

)(--=

z z z f 在平面上有两个奇点：1=z 与2=z . z 平面可以被分成如下三个互不相交的)(z f 的解析区域：(1)圆1||

+∞<<||2z ，试分别在此三个区域内求)(z f 的展开式.

【解】 首先将)(z f 分解成部分分式

11

21)(--

-=

z z z f

(1) (1) 在圆域1||

2

100011111()_11222212k k

k

k k k k k z f z z z z z ∞∞∞

+===??=-?==- ?-?

?-∑∑∑

为)(z f 在圆域1||

(2) (2) 在圆环域2||1<

2

()12222112k k k k k k

k k k k z z f z z z z z z

z ∞∞∞∞-+=====-?-?=--=----∑∑∑∑

(3)在圆环域+∞<<||2z 内，这时11

2

01111121()2111k k k k f z z z z z z z z ∞=??

=?-?=- ?

??--∑ 另外，对函数

)2)(1(1

)(--=

z z z f 还可以求它在奇点2的去心邻域1|2|0<-

k

k k z z z z z f )2()1(21

12121)(0----=+---=∑+∞

=

这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式. 显然在不同的展开区域有不同的展

开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾.

重点难点

第五章 留数定理

重点：利用留数定理转化为留数计算问题.

难点：选好复变量积分的被积函数和积分围线；

确定积分区域和奇点。

特色：利用计算机仿真计算留数积分。 本章知识点摘要：

1．孤立奇点概念及其类型

若函数()f z 在0z 处不解析，但在0z 的某一去心邻域00z z δ<-<内处处解析，则0z 称为

()f z 的一个孤立奇点.

孤立奇点0z

可按函数()f z 在解析邻域0

0z z δ

<-<内的罗朗展开式中是否含有0()z z -的负幂项及含有负幂项的多少分为三类．如果展开式中不含、或只含有限项、或含无穷多个

0()

z z -的负幂项，则0z 分别称为()f z 的可去奇点、极点、本性奇点. 孤立奇点类型的极限判别法： 1） 1） 若0

lim ()z z f z a

→=（a 为有限值），则

0z 为()f z 的可去奇点；

2） 2） 若

lim ()z z f z →=∞

，则0z 为()f z 的极点。进一步判断，若

lim()()m

z z z z f z b

→-=（b 为

有限值且不为0），则0z 为()f z 的m 阶极点；

2．留数的定义、计算方法

留数定义：设

0z 为函数()f z 的孤立奇点，那么()f z 在0z 处的留数

011

Res[(),]()d 2πi C f z z c f z z -==?

其中C 为去心邻域0

0z z δ

<-<内任意一条绕z 的正向简单闭曲线.

有限远点留数的计算方法：

（1）用定义计算留数. 即求出罗朗展开式中负幂项1

0()z z --的系数或计算积分

1

()d 2πi C f z z ?

.这是求留数的基本方法. （2）若

0z 为函数()f z 的可去奇点，则0Res[(),]0f z z =. （3）若0z

为)(z f 的一阶极点，则 0

00Res[(),]lim()()

z z f z z z z f z →=-.

无限远点的留数计算方法

定理 若

lim ()0z f z →∞

≠，则211

Res ()Res[(),0]

f f z z ∞=-?

3．留数定理、留数和定理及其应用

留数定理 设函数()f z 在区域D 内除有限个孤立奇点

n z z z ,,,21 外处处解析，C 为D

内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则

1

()d 2πi Res[(),]

n

k C

k f z z f z z ==∑?

.

留数和定理 设函数)(z f 在扩充复平面上除了(1,2,,),k z k n =???以及z =∞以外处处解

析，则

1

Res ()Res ()0

n

k

k f z f =+∞=∑

计算三种类型的实变量积分： （i ）20(cos ,sin )d R π

θθθ

?；

（ii ）

()

d ()P x x

Q x +∞

-∞

?

，分母比分子至少高两阶；

（iii ）i ()d ,(0)

a x f x e x a +∞

-∞

>?

，分式多项式lim ()0

x f x →∞

→，即分母比分子至少高一阶.

解题思路： 例： 计算积分

||tan πd z n

z z

=?

（n 为正整数）.

【解】 sin πtan πcos πz z z =

以1

(0,1,2,)

2k z k k =+=±± 为一阶极点，故得

12

sin π1Res[tan π](cos π)πk

k z z k z

z z =+

=

=-

'

于是由留数定理得

k ||2tan πd 2πi Res[tan π]2πi(

)4i πk

z z n

z n

n

z z z n =<-===-∑?

2：求

2π

2

cos 2d (01)

12cos I p p p θθ

θ=<<-+?

的值.

【解】 令i z e θ

=，由于

2i 2i 2211

cos 2()()22e e z z θθθ--=

+=+，因此

22

412||1||12

1d 1

d 2

i 2i (1)()122z z z z z z I z z z z

z pz z p p p --==++==+---?+??

设

4

21

()2i (1)()z f z z pz z p +=

-- 在积分区域1

=z 内函数)(z f 有二个极点p z z ==,0，其中0=z 为二阶极点，p z =为一阶极点，而

2

022342)

222

0d Res[(),0]lim

[()]d ()4(1)(12lim 2i()z z f z z f z z

z pz p p z z z pz p z pz p p z →→=--+?-+-+=--+

2

2

12i p p +=- 4

221Res[(),]lim[()()]2i (1)z p p f z p z p f z p p →+=-=

-

因此

{}2422222

2πi Res[(),0]Res[(),]112πi 2i 2i (1)2π1I f z f z p p p p p p p p =+??

++=-+??-??=

-

重点难点

第六章 保角映射

重点：复习导数解析函数的几何意义，了解保角映射的概念；

掌握分式线性映射的保角性、保圆周性和保对称性；

熟练掌握利用分式线性映射求一些简单区域（半平面、圆、二圆弧所围区域、角形域）之间

的保角映射．

掌握幂函数、指数函数以及它们的复合函数所构成的映射； 掌握给定三对对应点决定分式线性映射的方法．

难点：学会利用复变函数（特别是解析函数）所构成的映射来实现复杂区域的简单化 特色：计算机仿真绘出等值线图形和其他曲线图形．

本章知识点摘要： 1．保角映射

保角映射：具有保角性且伸缩率不变性的映射． 定理 若函数()f z =w

在区域D 内解析，且对任意的0z D ∈，有0

()0f z '≠，则()f z =w 必是D

内的一个保角映射． 2．分式线性映射

（1）形如,(0)az b

ad bc cz d +=

-≠+w 的映射统称为分式线性映射．它可以看成是由下列各

映射复合而成：

(i ） ,(0)kz b k =+≠w ，这是一个旋转伸缩平移映射，也称为整式线性映射；

(ii ）

1z =

w ，称为倒数映射或反演映射． 由于他们在扩充的复平面上都是一一对应，且具有保角性、保圆周性与保对称性，因此，分式线性映射也具有保角性、保圆周性与保对称性．

（2）z 平面和w 平面上的三对点可唯一确定一个分式线性映射．即设z 平面上的三个相异点123,,z z z 对应于w 平面上的三个相异点123,,w w w ，则唯一确定一个分式线性映射：

3232

112

31231

z z z z z z z z ----?

=?

----w w w w w w w w

（3）三类典型的分式线性映射

(i ）把上半平面映射成上半平面的映射为：

az b

cz d +=

+w ，其中a,b,c,d 都是实数，

且0.ad bc ->

（ii ）把上半平面映射为单位圆内部的映射为

i (Im()0).

z e z θλ

λλ-=>-w

(iii ）把单位圆内部映射成单位圆内部的映射为

i (01).

1z e z θλ

λλ-=<<-w

3．几个初等函数所构成的映射

(1）幂函数 (2)n

z n =≥w 这一映射的特点是：把以原点为顶点的角形域映射为角

形区域（包括半平面及全平面），其张角的大小变成了原来的n 倍．

(2）指数函数z

e =w 这一映射的特点是：把水平的带形域0Im()z a <<映射成角形域

0arg a <

把这两个函数构成的映射与分式线性映射联合起来可以进一步解决某些区域之间的变化问题．

4. 本章主要题型 （1）判别一个映射()f z =w ，z D ∈是否是保角映射． （2）已知映射及一个区域，求像区域． （3）已知两个区域，求映射． 以上（2），（3）题目较为灵活．故必须熟练掌握各种基本映射（整式线性映射、幂函数映射、指数函数映射等）的特点及一些基本区域之间的映射（或变换）．

例 求一个保角映射，将z 平面上的弓形域i 2z +<，Im()0z >映射成w 的上半平

面Im()0>w ．

【解】如图6.14

，经计算交点为1z =

2z =2z 处圆弧的方向角为π

3．

可考虑先将z 平面上的弓形域映射成ξ平面（注意图中未画出ξ平面）的角形域，再将角形域映射成w 平面的上半平面．

设分式线性映射将1z 映射成ξ平面上的点0.

而2z =映射成ξ平面上的∞， 于是该映射可写为

ξ=

当0z =时1ξ=-；当i z =

时，

12ξ=-，

所以映射ξ=角形域：即为ξ平面上的顶点在原点，且以射线2

arg π

3ξ=和arg πξ=为两边的角形域．（读

者可自行验证)

再对ξ施以旋转变换2πi 3

e

ηξ-=，它将ξ平面上的角形域顺时针旋转2π

3而成为η平面

上的角形域．

最后，再令3

η=w ，它将η平面上的角形域映射成w 平面上的上半平面．

复合映射

ξ=

2

πi 3e ηξ-=，3

η=w 便得到

3

2πi 333

3

()e

ηξξ-?====w

即映射

3

?=w 把z 平面上的弓形域映射成w 平面上的上半平面．

重点难点

第七章 傅里叶变换

重点：复数形式的傅里叶级数；

傅里叶变换的性质； 相关函数

难点：灵活运用傅里叶变换的性质进行傅里叶变换

特色：学习用Matlab 提供的现成函数和直接积分的方法分别求解傅氏变换

本章知识点摘要： 1.傅里叶级数

（1）周期函数的傅里叶展开 若函数

()

f x 以2l 为周期的光滑或分段光滑函数，且定义域

为[,]l l -，则式

称为周期函数()f x 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数称为傅里叶系数．

01

ππ()(cos

sin )k k k k x k x

f x a a b l l ∞

==++∑

（2）复数形式的傅里叶级数

()f x 以2l 为周期的函数，则在()f x 的连续点处可将它展开成复指数形式（即复数形式）

的傅里叶级数

πi

()k x l

k k f x C e

∞

=-∞

=

∑ ，

其中πi 1()[]d 2k x l

l k l C f x e x

l --=?.

2．傅里叶变换的定义

傅里叶变换 若 ()f x 满足傅氏积分定理条件，称表达式

()i ()d x F f x e x

ωω+∞--∞

=?

为()f x 的傅里叶变换式,记作 ()[()]F f x ω=F ．

傅里叶逆变换 如果

()i 1()d 2πx f x F e ωωω+∞

-∞=

?

则上式为()f x 的傅里叶逆变换式，记为1

()[()]f x F ω-=F ．

3．傅里叶变换的性质

性质 1 线性定理 函数的线性组合的傅氏变换等于函数的傅氏变换的线性组合．即是说，如果,αβ为任意常数，则对函数12(),()f x f x 有

[]1212()()[()][()]

f x f x f x f x αβαβ+=+F F F

性质2 对称定理

若已知 ()[()]F f x ω=F ，则有

[()]2()F x f πω=-F

这反映出傅氏变换具有一定程度的对称性，若采用第一种定义，则完全对称．

性质 3 位移定理 若已知 ()[()]F f x ω=F ，则有

00

i 0i 1

0[()][()]

[()]() x x f x x e f x F e f x ωωωω±-±=±= F F F

性质4 坐标缩放定理 设a 是不等于零的实常数，若[()]()f x F ω=F ，则有

1[()]()||f ax F a a ω=

F

性质5 卷积定理和频谱卷积定理

（1）卷积概念：已知函数

12(),()

f x f x 则积分

1

2

()()d f x f x ττ

+∞

-∞

-?称为函数1()f x 与2()

f x 的卷积，记作

12()()

f x f x *，即有

121

2

()()()()d f x f x f x f x ττ

+∞

-∞

*=

-?

(2)卷积定理

设 1111[()](),[()]()f x F f x F ωω==F F ，则

1212[()()]()()

f x f x F F ωω*=?F 成立

这个定理说明了两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积． 性质6 乘积定理

设 1122[()](), [()]()f x F f x F ωω==F F 则

1212

1211()()()()d ()()d 2π2πf x f x dx F F F F ωωωωωω∞

∞∞

-∞

-∞-∞=

=?

??

其中 12(),()f x f x 为x 的实函数，而12(), ()F F ωω代表对应函数的共轭． 4．相关函数 （1）互相关函数

对于两个不同的函数 1()f x 和2()f x 积分

()12()d f x f x x

τ+∞

-∞

+?

称为两个函数

1()

f t 和

2()

f t 的互相关函数，用记号

12()

R τ表示．

互相关函数满足性质：()()

2112R R ττ=-

（2）自相关函数

当 12()()()f x f x f x ==时，积分

()()d f x f x x

τ+∞

-∞

+?

称为函数()f x 的自相关函数（简称相关函数），用记号()R τ表示，即为

()()()d R f x f x x

ττ+∞

-∞

=+?

易见，自相关函数是偶函数，即()

()R R ττ-=

解题思路：

例 求三角脉冲函数

2() -0222()() 0

220 ||2E x x E

f x x x x ττττττ

τ?+<

?=--<

>??

的傅氏变换及其傅氏积分表达式，其中,0.E τ>

本题的目的在于比较傅氏变换和傅氏积分表达式，及其综合应用． 【解】 根据傅氏变换的定义，且注意到三角脉冲函数是偶函数，所以

i /2

/2

/2

2

2

2

()[()]()d ()cos()d 22[()cos ]d 2

4[cos d cos d ]

2

41

8(cos 1)sin ()

2

4

x

F f x f x e

x f x x x

E

x x x E

x x x x x E E ωτττωωτ

ωττωωτ

ωτ

ωτ

τω

τω

+∞

+∞

--∞

-∞

==

=

=-

-=--

=-

-=

?

?

???F

这就是三角脉冲函数的傅氏变换．下面我们通过其傅氏变换来求三角脉冲函数的积分表达式．

根据傅氏逆变换的定义，并利用奇、偶函数的积分性质，可得

1

i 2i 2

118()[()]()d sin ()e d 2π2π4x x E f x F F e ωωωτωωωωτω+∞+∞--∞-∞==

=??F

22

22

sin ()cos 44

=

d πsin ()cos 84

=

d πx

E x

E ωτ

ωω

τω

ωτ

ωω

τω

+∞

-∞+∞

??

重点难点

第八章 拉普拉斯变换

重点：了解怎样从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义； 拉普拉斯变换的一些基本性质；

其逆变换的积分表达式――复反演积分公式； 像原函数的求法

难点：拉普拉斯变换的灵活应用

特色：试用计算机仿真求解其拉氏变换，并对结果进行反演变换，验证是否能变换为原函数．

本章知识点摘要： 1．拉氏变换的概念 (1)定义 设函数

()f t 当0t ≥时有定义，而且积分

()d pt f t e t

+∞

-?

（p 是一个复参量）在p 的

某一区域内收敛，则将函数

()()pt F p f t e dt

+∞

-=?

称为

()f t 的拉氏变换（像函数），记为()[()]F p f t =L .

（2）一些常用的函数的拉氏变换

[]1

()u t p =

L ；

[]()1

t δ=L ；

1kt

e p k

??=??-L ；

1

!m

m m t p +??=??L （m 为正整数） ；

[]22

sin k kt p k =+L ； []2

2cos p

kt p k =+L .

2 .拉氏逆变换概念 若满足式：

()()d pt F p f t e t

+∞-=?

，我们称

()f t 为()

F p 的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换

（或称为原函数），记为 1

()[()]f t F p -=F . 3.拉氏变换的性质 性质1 线性定理

若,αβ为任意常数，且1122()[()],()[()]F p f t F p f t ==L L ，则 1212[()()][()][()]f t f t f t f t αβαβ+=+L L L 性质2 延迟定理

若设τ为非负实数，[()]()f t F p =L ，又当0t <时，

()0f t =，则

[()]()[()]p p f t e F p e f t ττ

τ---==L L 性质3 位移定理 若[()]()f t F p =L ，则有

0[()](), (Re())

at e f t F p a p a p =-->L

性质

4 相似定理 设[()]()f t F p =L ，对于大于零的常数c ，则有

1[()]()

p

f ct F c c =L

性质5 微分定理 设[()]()f t F p =L ，设()

() (1,2,)n f t n = 存在且分段连续，则

()12(2)

(1)[()][()](0)(0)(0)(0)n n n n n n f t p f t p f p f pf

f ----'=----- L L 性质6 像函数的微分定理

()[()()]n

n n

d F p t f t dp =-L

4 拉普拉斯变换的反演

求拉普拉斯变换的反演即已知像函数求原函数（即为求反演积分）。按下述方法求得： （1） 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就能得到相应的原函数. （2） 查表法

许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，可直接从表中查找。 (3) 黎曼－梅林反演公式

若函数()f t 满足拉氏变换存在定理中的条件，[]()()

f t F p =L 如果t 为()f t 的连续点，则

i i 1()()d (i , 0)2πi pt b b f t F p e p p b t ω+∞

-∞=

=+>?

该式即为黎曼—梅林反演公式．

5．拉氏变换的应用

拉氏变换的应用非常广泛，本章主要讨论了拉氏变换求积分，以及求解线性常微分方程.的方法. 解题思路

例 求

32()(1)(1)p

F p p p =

+-的拉氏逆变换. 【解】 11p =-和21p =分别是32

(1)(1)p p p +-的三阶和二阶极点，故用留数的计算

方法得

22

3222132311d Res[,1]lim [](12)(1)(1)2!d (1)16d Res[,1]lim [](21)

(1)(1)d (1)16

pt pt t p pt pt t p pe pe e t p p p p pe pe e t p p p p -→-→+-==-+--==-+-+

于是有

21()[(12)(21)]16t

t f t e t e t -=

-+-

当()F p 是有理函数时，还可以采用部分分式分解的方法把()F p 分解为若干个拉氏变换附

表中的简单函数之和，逐个求得逆变换．

重点难点

第九章 数学建模---数学物理定解问题

重点：掌握掌握常用的定解条件分类及其求法；

三类典型数学物理方程； 定解问题的提法。

难点：掌握数学建模的基本思想；

本章知识点提要：

1．主要讨论的物理模型包括：

（1）描述波动方程的建立（波动方程类型 2

tt u a u f -?= ） 1). 弦的微小横振动 ； 2).均匀杆的纵振动；

（2）热传导方程的建立 （热传导方程类型 2

t u a u f -?=）

(3) 稳定场方程的建立 （泊松方程 u f ?=或拉普拉斯方程0u ?=） 2 .定解条件包括初始条件和边界条件。

（1）初始条件：说明物理现象初始状态的条件； （2）边界条件: 说明边界上的约束状况的条件．

常见的线性边界条件分为三类：

第一类 0

,,000(,,,)|(,,,)

x y z u x y z t f x y z t =

;

第二类 00

000

,,(,,,)x y z u

f x y z t n

?=?，

第三类 0

000

,,()(,,,)

n x y z u Hu f x y z t +=．

除上述三类常见的边界条件外，还有自然边界条件，衔接条件，周期性条件等。 3定解问题的提法：初值问题 、 边值问题 、 混合问题。

4定解问题的主要解法概括如下：

1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件确定其特解.行波解是通解法中的一种特殊情形,行波法又称为达朗贝尔解法.

2.分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的特解，然后再用线性组合的办法（组合成级数或含参数的积分）构成通解，最后求出满足定解条件的解.

3.幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数．勒让德多项式、贝塞尔函数就是通过幂级数解法求得其解的.

4.格林函数法：又称为点源影响函数法，把产生某种现象或过程的分布干扰分解为一系列离散的点干扰的影响，再利用线性叠加原理把这些点干扰影响叠加起来，从而获得整个过程的分布干扰所产生的影响.

5.积分变换法：（包括傅里叶积分变换法和拉普拉斯积分变换法）把偏微分方程化为像空间上的常微分方程，然后求逆变换即得所求的解.

6.保角变换法：利用解析函数将边界形状复杂的区域变换到某些边界形状简单的区域，从而使后一区域上的拉普拉斯边值问题易于求解. 解题思路

设有一长为l 的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0v

，短路，试写出其定解问题.

【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型.

20xx a -=tt v v

（2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x l =端电流为零，即|0x l i ==，

根据(9.1.13)公式得到

0i

L Ri x t ??++=??v 且注意到理想传输线0G R ≈≈，故i L

x t ??=-??v ，代入条件|0x l i ==有 (,)

||0

x x l x l i i l t L L t t ==??=-=-=??v

而近端短路，即意味着0x =端电压为零，即0|(0,)0x t ===v v

（3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0v ，故有初始条件

0(,0)x =v v ，且此时的电流

0|0t i ==，根据(9.1.14)公式，

i C G x t ??++=??v

v 且注意到理想传输线0G R ≈≈，故 1i t

C x ??=-?

??v ，因而有 0011(,0)||0t t i i x t C x C x ==???=-?=-?=???v

综上所述，故其定解问题为

20000

0 (0,0)|0,0 (0) |,0 (0) xx x x x l t t t a x l t t x l ====?-=<<>?

=≥??=≤≤?tt v v v v |=v v v |=

重点难点

第十章 二阶线性偏微分方程的分类

重点：二阶线性偏微分方程的基本概念；

分类方法和偏微分方程的标准化.

难点：常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法；

偏微分方程求解 。

本章知识点提要：

1本章主要描述了二阶线性偏微分方程的分类方法. 从理论上证明了，对于二阶线性偏微分方程

22222(,)

(,)(,)(,)(,)(,)(,)u u u u u

A x y

B x y

C x y

D x y

E x y

F x y u

G x y x x y y x y ?????+++++=??????

若设判别式为 2

(,)4(,)(,)B x y A x y C x y ?=-，则二阶线性偏微分方程分为三类： 当 0?>时，方程称为双曲型; 当 0?=时，方程称为抛物型; 当 0?<时，方程称为椭圆型; 2二阶线性偏微分方程的标准化

通过自变量变换使得二阶线性偏微分方程转化为标准类型. 其变换对应于特征线方程：

2d d (

)0d d y y

A B C x x -+=

该常微分方程的特征曲线族分别对应于（1）两个实函数族；（2）一个实函数族；（3）一对共轭复函数族．

（1）双曲型偏微分方程

因为双曲型方程对应的判别式2

40B AC ?=->，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，通过自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式

21111(,)(,)(,)(,)u

D u

E u

F

G ξηξηξηξηξηξη?=++-??

称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式.

（2）抛物型偏微分方程：判别式0?=，特征曲线是一族实函数曲线．

通过自变量变换，则原偏微分方程变为

222222

(,)(,)(,)(,)u

D u

E u

F u

G ξηξηξηξηξηη?=++-?

上式称为抛物型偏微分方程的标准形式． （3）椭圆型偏微分方程

椭圆型偏微分方程的判别式0?<，特征曲线是一组共轭复变函数族．通过自变量变换，则偏微分方程变为

22333322

(,)(,)(,)(,)u u

D u

E u

F u

G ξηξηξηξηξηξη??+=++-??

称为椭圆型偏微分方程的标准形式．

3.二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简

(1)双曲型 22**112

2(,)u u

h J ξηξη??-=-??v (2)抛物型 2222

(,)h J ξηη?=-?v

v (3)椭圆型 233(,)h J ξηξη?=-??v

v

解题思路

求方程

02

=-xx tt u a u 的通解． 【解】此方程是双曲型的第二标准形，我们可将其化成第一标准形的形式，由特征方程求特征线．于是：

2

2

d 0d x a t ??-= ???

即

d d x

a t =±

有x at

x at ξη=+??

=-?

由复合函数求导法则 x x x u u u u u ξηξηξη=+=+

2xx u u u u u u u u ξξξηηξηηξξξηηη=+++=++ ()

22t t t tt u u u u a u a u a u u u ξηξηξξξηηηξη=+=-=-+

所以方程

xx tt u a u 2=可以化简为0u ξη=，从而解得 ()()12u f f ξη=+，其中12,f f 为任意函数。原方程

的通解为

()()at x f at x f u -++=21．

重点难点

第十一章 行波法与达朗贝尔公式

重点：二阶线性偏微分方程的行波解法；

达朗贝尔公式的应用 难点：理解定解问题适定性； 非齐次偏微分方程的求解

本章知识点提要： 1． 1． 求二阶线性偏微分方程的通解. 2． 2． 二阶线性偏微分方程的行波解法

(行波解法是通解法中的一种特殊的情形，行波法又称为特征线法). (1) 简单的含实系数的二阶线性偏微分方程的求解 0

xx xy yy au bu cu ++=

(2) 更为一般的含实常系数的偏微分方程的求解

3 达朗贝尔公式

（1） 达朗贝尔公式 无界弦自由振动问题

2=0 (,0)() () (,0)() tt xx t

u a u u x x x u x x ?ψ-=-∞<<∞= ??

???

其解为

11(,)[()()]()d 22x at

x at u x t x at x at a ??ψξξ

+-=++-+?

称解的这种表达式为达朗贝尔(D.Alembert)公式.

（2）达朗贝尔公式的物理意义

由任意初始扰动引起的自由振动弦总是以行波的形式向正、反两个方向传播出去，传播的速度恰好等于泛定方程中的常数a ，这就是达朗贝尔公式的物理意义．

4．非齐次偏微分方程的求解

(i ) 纯强迫振动的解 由冲量原理法求解

根据冲量原理，对于纯强迫力(,)f x t 所引起振动的定解问题：

2

(,), (,0)(,0) (,0)0tt xx t u a u f x t x t u x u x ?-=-∞<<+∞>??=??

其解为

()

0()1(,)(,)d d 2t x a t x a t u x t f a ττξτξτ

+---=

??

(ii) 一般的强迫振动

2

(,),(,0)(,0)(), (,0)()tt xx t u a u f x t x t u x x u x x ?ψ?-=-∞<<∞>??==??

根据叠加原理得到其解为

()

0()

111(,)[()()]()d (,)d d 222 x at t x a t x at x a t u x t x at x at f a a ττ??ψξξξτξτ

++----=++-++???

注： 这是求解无界区域强迫振动问题的一种比较简单的方法．

5 定解问题的适定性验证

对无界振动定解问题的达朗贝尔解进行解的适定性验证. 解题思路

例 求解半无界弦的强迫振动问题

000sin , 0, 0sin , 0|0, 0, 0tt xx x t t t u u t x x t u A t t u u x ω===?-=>>??

=≥??==≥??

【解】 前面我们介绍了冲量原理法求解强迫振动，下面我们以另一特征线法求解. 作特征变换t x t x -=+=ηξ,，则方程化为

复变函数总结

第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

4）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=； ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→

中南大学复变函数考试试卷(A)及答案

中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3． 下列命题中，不正确的是（ ）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（ ）。

()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点； 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=?

复变函数作业纸.doc

(1) 3 + 2/ (3) l-2z 2-i 3 — 4, 57 习题1复数与复变函数 1.求下列复数的实部、虚部、共侧复数、模以及辐角: (2) 2.将下列复数化为三角表示式和指数表示式: (1)一1 +病

(2) l-cosQ + isin。 3.求下列各式的值: ⑴呻 (2) (V3-O2015

4.设z = x +，y.将方程|z| + Rez = l表示为关于x,)，的二元方程，并说明它是何种曲线. 5.设/为实参数，求曲线Z = M"+3(0

证明 z 2 —Z x = Z 2 — z 3 = Z3 — Z] 7.如果复数Z] ,Z 9 Z3满足等式 二至—Z3 一 z 3 - z, z 2 并说明这些等式的儿何意义。 8 .试用复数乘法的儿何意义证明三角形内角之和等于;T.

习题2解析函数 1.填空： ■f a (1)、已知/(z) = u + iv是解析函数，其中u = —ln(x2 + y2),则一^ = _________ 2 dy (2)^ 设/(z) = %3-3xy2 + (ajcy-y3)i在z平面上解析，则《/ =。 (3)、若/(z) = w + iv是复平面上的解析函数，则f'(z) = ____________ 尸 - --------------------------- ° (4)、对数函数W = lnz的解析区域为。 (5)Z JZ(—2) =、In(—2) = . 2.利用导数定义推出：(Z〃)' = "Z〃T, 3.下列函数何处可导？何处解析? (1 )> /(z) = 2x3 + 3y3i

第一章复数与复变函数解读

第一章复数与复变函数 一、学习要求 1．熟练掌握复数的运算。 2．掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确求出复数的实部、虚部、模与辐角。 3．了解各种区域。 4．了解共轭复数的性质。 5．理解复数几何意义。 6．理解复函的极限与连续，知道复函极限存在与连续的充要条件。二、考核知识点 1．复数的定义。 2．复数的代数运算。 3. 共轭复数的定义与性质。 4．复平面和复数的点表示法、复数的向量表示法。 5．复数的代数式、三角式及指数式。 6．常用曲线的复数方程。 7．复数的积与商。 8．复数的幂与方根。 9．点的邻域。 10．区域。 11．复函定义。 12．复函极限与连续。

第一节复数 本节主要对复数与复数的运算作一次复习． 一、复数 一个复数可表示为，其中x，y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记 为x=ReZ，y=ImZ；(即)——虚单位。复数的上述表示称为复数的代数式。 讨论：1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x称为实数。全体实数只是全体复数的一部分。 2)若实部x=0，虚部y=0，则z=0——复数零，即: 二、复数的四则运算 1)相等: 2)和差: 3)积: 4)商: 从复数的运算法则的定义中很明显的得出复数运算的交换律、结合律和分配律，即交换律： 结合律： 分配律： 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域。在复数域中，复数没有大小。 三、复平面 如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟 平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平 面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。 在复平面上，从原点到点所引的矢量 op

与复数z也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。 四、复数的三角形式和指数形式 用极坐标r，θ代替直角坐标x和y来表示复数z，有 则复数ｚ可表示为：——三角式 利用欧拉公式：，复数ｚ可表示为： ——指数式 叫做复数ｚ的模，θ称为复数ｚ的幅角，记为Ａrgz．讨论： i)．复数的幅角不能唯一地确定。如果是其中一个幅角，则 也是其幅角，把属于的幅角称为主值幅角，记为argz。 ii)．复数“零”的幅角无定义，其模为零。 iii)．当r=1时,称为单位复数． 利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：

复变函数学习指导书

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数试题汇总

复变函数试题汇总

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《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿．

复变函数经典习题及答案

练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

(完整版)复变函数知识点梳理解读

第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理

《复变函数》总结

复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） .2 argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg ππ πππ<<-???? ?????=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏

b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π) e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln) 能够区分： 的计算。 f.三角函数和双曲函数： 只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到 11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz iz iz iz ---=+=???????=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos

重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=--

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--

复变函数疑难问题分析

复变函数疑难问题分析 1. 设z z z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。 1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？ 答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。 2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？ sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz iz e e z y i --=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？ z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ?∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==?=，k 为整数 4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？ ()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ?=?，1v y ?=-?，0u y ?=?，0v x ?=? 但是 11u v x y ??=≠-=??，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。 5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。

（1 ）复球面上与点1)对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面。 解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过 点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程 为21z -==-。当0z =时 ，x y == ，所以,,1)22 对应。 （2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112 x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333 ，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。 6．说明复变函数可微性与解析性的关系。 复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。 所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的， （2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导， （3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。 7．()1sin f z z =在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？ 1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π =，但lim 0k k z →∞=，但0D ?，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是

(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： ∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f(z)= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则 Res(f(z),a)=φ(n?1)(a) (n?1)! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φ(z)=(z?a)f(z),则 Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φ(z)=(z?a)2f(z)则 Res(f(z),a)=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res(f(z),∞)= 1 2πi ∫f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。 8.计算留数的另一公式：

Res (f (z ),∞)=?Res (f (1t )1t 2,0) §2.用留数定理计算实积分 一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ 注：注意偶函数 二.∫P(x)Q(x)dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf (z )=λ 则 lim R→+∞∫f(z)dz S R =i(θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中 P (z )=c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q (z )=b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 ∫ f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0 +∞ ?∞ 注：lim R→R+∞ ∫f(x)dx +R ?R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞?∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞?∞ 型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g (z )=0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ ∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：

华师在线复变函数作业答案

1．第1题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：1.0 此题得分：1.0 2．第2题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 3．第3题 A.. B.. C.. D..

您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 4．第4题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 5．第5题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 6．第6题

A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：1.0 此题得分：1.0 7．第7题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 8．第8题

A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 9．第9题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 10．第10题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2.0

此题得分：2.0 11．第11题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2.0 此题得分：2.0 12．第12题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2.0 此题得分：2.0 13．第13题

A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 14．第14题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 15．第15题 A.. B.. C.. D..

复变函数考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数.

复变函数测试题及答案-精品

第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数与积分变换重要知 识点归纳 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??