八年级数学《分式方程》知识点
一、理解定义
1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
2、解分式方程的思路是：
（1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2） 解这个整式方程。
（3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根
是原方程的增根，必须舍去。
（4） 写出原方程的根。
“一化二解三检验四总结”
3、 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：
（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。
4、分式方程的解法：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
(3)解整式方程； (4)验根．
注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
5、分式方程解实际问题
（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本
身和实际问题两个方面进行检验。
（2）应用题基本类型；
二、例题讲析
例1：解方程214111
x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。
（2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于x 的方程223242
ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把增根代入整式方程求出字母的值。
例3：解关于x 的方程223242
ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-
当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。
当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。
把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。
综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4：若分式方程212
x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23
>≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2．若此方程无解a 的值是多少？ 方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。
三、反馈练习
1. 解方程
11322x x x
-=--- 2. 关于x 的方程12144a x x x
-+=--有增根，则a = 3. 解关于x 的方程15
m x =-下列说法正确的是（ ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定
4.若分式方程1
x a a x +=-无解， 则a 的值为 5. 若分式方程
=11m x x +-有增根， 则m 的值为 6.分式方程121
m x x =-+有增根， 则增根为 7. 关于x 的方程1122
k x x +=--有增根，则k 的值为 8. 若分式方程x a a a
+=无解， 则a 的值是- 9.若分式方程201m x m x ++=-无解, 则m 的取值是
分式知识点 一、分式的定义 如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 四、分式的约分 定义：把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 五、分式的通分 定义：把几个异分母的分式化成同分母分式，叫做分式的通分。 步骤：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 六、分式的四则运算与乘方 ① 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
数学八年级上册【分式方程】知识点梳理 知识点汇总 一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释： （1）分式方程的重要特征： ①是等式； ②方程里含有分母； ③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
三、解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
今日练习 1.校运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为：A．B． C． D . 2.以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是：A．B． C． D . 【参考答案】 1.B 若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解 解：设甲种雪糕的价格为x元，则 甲种雪糕的根数：； 乙种雪糕的根数：．
第五章：分式与分式方程 5.1认识分式 一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成 A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零. 例1， 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？ 211(1);;(3);(4);2242 b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变. 这一性质可以用式子表示为：,(0)b b m b b m m a a m a a m ⋅÷==≠⋅÷. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 例2， 化简下列分式 2225(1);;20xy a ab x y b ab ++ (2) 在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式. 5.2分式的乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘. 这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad ⋅=÷=⋅= . 例3， 计算 222 2244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y +-+÷÷---+ (2) 5.3分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a ±±=. 例4，计算 222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m ++++-------- 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母. 异分母分式的加减法法则是： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 这一法则可以用式子表示为：;b d bc ad bc ad a c ac ac ac ±±=±= 例5，计算
分式方程知识点复习总结大全 重点： 1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。 2理解分式的基本性质. 3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 10利用分式方程组解决实际问题. 难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 10会列分式方程表示实际问题中的等量关系. 16.1 分式及其基本性质 1.分式的概念：形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式。其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。分母0 B ，分式 B A 才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式.
分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 例1： （ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( ) A. 2x B.1+x x C. y x +2 D. 3 x 【答案】B. 注意：1 π 不是分式 例2：已知 24 2 x x -+ ，当x 为何值时，分式无意义? 当x 为何值时，分式有意义? 例3：（2011四川南充市） 当分式 2 1 +-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0（B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B 2.分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. M B M A M B M A B A ÷÷=••=，0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。符号法则： A -A -A A B -B B -B A A A A B B B B --==-=-=-==--或- A ， B 或 B A 同时改变其中两个的符号，分式的值不变 例：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号。 2 5(1) y x -- (2)2a b - 4(3)3m n - (4)2x y -- （3）分式约分与通分： 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.
第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有未知数，那么式子 B A 叫做分式。 二、在分式中，如果________,则分式A B 有意义；如果________,则分式A B 无意义；如果________且_________不为零时，则分式A B 的值为零；如果__________,则分式0A B > 如果____________,则分式0A B <； 例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22 a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132x x ++； （2）2 323 x x +-。 例3. 当x________时，分式2134x x +-的值为正数，当x________时，分式2134 x x +-的值为负数 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。当x_______时，分式2212 x x x -+-的值为零。 当x_________时，分式2361 x x -+的值为负数。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变,用字母表示为_________________________________. 分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个，分式的值不变. 四、约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分，约分的理论依据是分式的___________________。 约分的方法：分式的分子与分母同除以他们的公因式，如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式，就先__________,再判断公因式进行约分。 最简分式：分子与分母没有____________的分式，叫做最简分式。（注意约分一定要彻底） 五、通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 确定最简公分母的方法：当各分母都是单项式时，①取各分母的最小公倍数②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，这样得到因式的积就是最简公分母。当各分母中含有多项式，要先分解因式再确定最简公分母 例5.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+-
第五章 分式与分式方程 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可 不含字母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 或 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部 分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变 分式的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变 分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最 简公分母。 4. 分式的符号法则 C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5.分式的运算： 1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算 5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 7. 整数指数幂. 1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10 ≠=a a ； 2） 任何一个不等于零的数的-n 次幂（n 为正整数），等于这个数的n 次幂的倒数，即 n n a a 1=- （)0≠a 注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即 3） 科学计数法：把一个数表示为a ×10n (1≤∣a ∣＜10,n 为整数)的形式，称为科学计数法。 bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n n n b a b a =)(n n b a a b )()(=-
新人教版八年级数学上册《分式》知识点 归纳 规则进行运算。通分的方法是将各个分式的分母化为相同的多项式，然后将分子进行相应的乘法运算，最后再按同分母分式的加减法规则进行运算。最后的计算结果必须化为最简分式或整式。 分式是数学中的重要概念之一，它表示了两个整式的比值，其中分母中含有字母的被称为分式，而分母中没有字母的则被称为整式。分式的约分是指将分子和分母的公因式约去，化为最简分式或整式。化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。分式方程是指分母中含有未知数的方程，将其变形为整式方程时需要注意增根的情况。分式的乘除法规则和同分母分式加减法规则都需要注意化为最简分式或整式的要求。 2 x+1 与 2x+1 的分母相同，则最简公分母为__________。
2.分式 3x+2 x-1 的倒数为__________。 3.分式 2x+1 x-3 的平方为__________。 4.分式 2x+3 x-1 与分式 x-4 2x-1 的和为__________。 5.若分式 a+b c 与分式 a-b
c 互为倒数，则a²-b²的值为__________。 6.若分式 2x-1 x-2 的值等于分式 3x+2 x+1 的值，则x的值为__________。 7.分式 2x+1 x-3 与分式 x-1 2x+5 的差为__________。 8.若分式 a b+c 的值等于分式
b a+c 的值，则a:b:c的比值为__________。9.若分式 a+b 2 的值等于分式 a-b 3 的值，则a:b的比值为__________。10.分式 2x-1 x+2 的平方根为__________。 二、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列关于分式的说法中，正确的是（）A。分式的分子和分母都是整式 B。分式的分母不能为0 C。分式的分子和分母都是单项式
《分式方程》知识全解 课标要求 1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个） 2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用． 知识结构 1. 分式方程概念，和产生增根的原因． 2. 分式方程的解法 3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题． 内容解析 （1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程 （2）分式方程的解法： ①能化简的先化简． ②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程 ③解整式方程； ④)验根． （3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程． 重点难点 本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题． 教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想． 本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题 教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验． 教法导引 （1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系 解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力． 教给学生一些避免产生增根的方法,例： 解方程： 22+-x x - 4 162-x = 1 解：移项，得 22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0
八年级数学《分式方程》知识点 一、理解定义 1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 2、解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根 是原方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 3、 增根：分式方程的增根必须满足两个条件： （1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 4、分式方程的解法： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根． 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 5、分式方程解实际问题 （1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本 身和实际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型； 二、例题讲析 例1：解方程214111 x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。 （2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。
八年级数学下-第五章 分式与分式方程 知识点归纳与练习 1、分式：一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成 A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零. 练习1、下列各式中哪些是整式？哪些是分式？ 211(1);;(3);(4);2242 b a b x xy x y a x ++-+- (2) 2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变.这一性质可以用式子表示为： ,(0)b b m b b m m a a m a a m ⋅÷==≠⋅÷. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 练习2、化简下列分式2225(1);;20xy a ab x y b ab ++ (2) 最简分式：在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式. 3、分式的乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘.这一法则可以用式子 表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad ⋅=÷=⋅= . 练习3、 计算222 2244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y +-+÷÷---+ (2) 4、分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a ±±=.
第十五章分式方程知识点及考点 一、知识点 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程； ④验根． 易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4．分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ 工作量 工作效率 ，时间＝ 路程 速度 等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系；
③列分式方程； ④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答． 二、考试方向 （一）解分式方程 分式方程的解法： ①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题： 1、解分式方程：312242 x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2， 解得：x =4， 经检验x =4是分式方程的解． 【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 2、方程33122x x x -+=--的解为_______________． 【答案】1x = 【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-， 解得1x =， 检验：1x =时，20x -≠， 所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =． 【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验． （二）分式方程的解 （1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根. （2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
八年级上册分式方程知识点在八年级上册的数学学习中，分式方程是一个重要的知识点，特别是在解决实际问题中，分式方程常常会派上用场，因此，学好分式方程非常重要。本文将从分式的概念、分式方程的基本形式，到解分式方程的步骤以及注意事项进行阐述。 一、分式的概念 分式是指比例的分数形式。例如 a/b，其中 a 和 b 都是整数，b 不等于 0，我们可以把 a/b 看成是 a 除以 b 的结果。分式在数学中具有广泛的应用，常常用于解决实际问题。 二、分式方程的基本形式 分式方程是一个等式，其中至少有一个应用了分式的方程。一般的分式方程有以下两种基本形式： 1. 一次分式方程 一次分式方程是指方程的分子和分母都是一次的情况，例如：
(1) ax + b / cx + d = e / fx + g (2) a / (x+2) + b / (x-3) = c 其中，(1) 式中的 a、b、c、d、e、f、g 都是常数，(2) 式中的 a、b、c 都是常数，而 x 是未知数。 2. 高次分式方程 高次分式方程是指方程的分子和分母中至少有一个是高次多项 式的情况，例如： ax^2 + bx + c / dx^2 + ex + f = g / hx + i 其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i 都是常数，而 x 是未知数。 三、解分式方程的步骤
解分式方程的步骤和解一元一次方程的步骤类似，只是需要对分式进行相应的化简，常用的方法包括通分、消去分母等。 1. 一次分式方程的解法 (1) 通分：将分式方程两边的分母乘起来，得到一个多项式方程，然后移项合并同类项，最后求解即可。 (2) 消去分母：一次分式方程的特殊之处在于，我们可以直接消去两边的分母，得到一个关于未知数 x 的一次方程。具体操作方法为：将两边都乘以分式的分母，然后移项合并同类项，最后得到关于 x 的一次方程，解之即可。 2. 高次分式方程的解法 (1) 通分：将分式方程两边的分母乘起来，然后将方程转化为高次多项式方程，最后再利用方程求解的方法求解即可。 (2) 常数变量化：对于高次分式方程，常用的求解方法是通过将方程中的未知数进行替换，将分式方程转化为多项式方程。具
八年级分式方程数学知识点 一、基本概念 分式方程是指未知量中包含分数表达式的方程，可用一组数值解求出未知量的值。 如：\frac{x+1}{2}=3，其中x为未知量。 二、分式方程的解法 1. 化简分式，使其成为整式方程。 如：\frac{x+1}{2}=3化简为x+1=6。 2. 通分，消去分母。 如：\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}通分后为3(x+1)=x-2。 3. 变形化简后求解。 如：\frac{2}{2x+3}-\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x^2-x-3}变形化简后得到x=-1或x=\frac{5}{2}。 三、分式方程的注意事项 1. 化简前应检查分母是否有值为0的情况。
如：\frac{x}{x^2-4x+4}=1化简前需考虑x^2-4x+4=0的情况，即x=2。 2. 通分时应注意分母因式分解。 如：\frac{x}{2x-4}-\frac{2}{x+1}=\frac{3x}{x^2-3x+2}通分前需分解(x-1)(x-2)。 3. 将解代回原分式方程检验。 如：\frac{4}{x+3}-\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x-2}解得x=5/2，代入原式验证是否成立。 四、分式方程的应用例题 1. 甲、乙两地的距离为480km，两地之间有一辆车和一辆自行车相向而行，行至中途时，车停下了，自行车继续前进，最后到达乙地时，车和自行车的距离为40km。已知车行驶的速度比自行车快20km/h，求车和自行车的速度各是多少。 设自行车的速度为x km/h，车的速度为x+20 km/h，时间为t，车行驶的距离为(x+20)×t，自行车行驶的距离为x×(t+2)。由题意可得(x+20)t+x(t+2)=480及(x+20)t-x(t+2)=40，解得x=20，车速为40km/h，自行车速度为20km/h。
初二数学知识点梳理：分式方程的定义含义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 分式方程的解法： ①去分母{方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号}; ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③验根. 一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要代进去检验。 分式方程的定义 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。 分式方程特征： ①一是方程 ②二是分母中含有未知数。 因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数。 分式方程的应用 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本
相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 列分式方程解应用题的一般步骤是： ①找等量关系（审）:理解题意,弄清具体情境中的已知量与未知量以及它们之间的基本关系; ②设:设未知数,用含x（或其他字母）表示某个未知数，由该未知数与其他数量的关系，写出表示相关量的式子； ③列：找出相等关系，列出分式方程； ④解：解这个分式方程； ⑤检验：双重检验，先检验是否为增根，再检验是否符合题意； ⑥答：写出答案。 例题 南宁到昆明西站的路程为828km，一列普通列车和一列直达快车都从南宁开往昆明。直达快车的速度是普通快车速度的1.5倍,普通快车出发2H后，直达快车出发,结果比普通列车先到4H,求两次的速度. 设普通车速度是x千米每小时则直达车是1.5x 由题意得： 828/x-828/1.5x=6， /1.5x=6， 414/1.5=6x，
初二数学分式知识点总结 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的(有理)方程叫做分式方程。初二数学分式学问点〔总结〕，信任这些文字对你会有所关怀的。 初二数学分式学问点总结： (一)运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。假如把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： 2-b2=(+b)(-b) 2+2b+b2=(+b)2 2-2b+b2=(-b)2 假如把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的〔方法〕叫做运用公式法。 (二)平方差公式 1.平方差公式 (1)式子：2-b2=(+b)(-b) (2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 (三)因式分解 1.因式分解时，各项假如有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2.因式分解，必需进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式 (1)把乘法公式(+b)2=2+2b+b2和(-b)2=2-2b+b2反过来，就可以得到： 2+2b+b2=(+b)2 2-2b+b2=(-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。 把2+2b+b2和2-2b+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 (2)完全平方式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 (3)当多项式中有公因式时，应当先提出公因式，再用公式分解。 (4)完全平方公式中的、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 (5)分解因式，必需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 (五)分组分解法 我们看多项式m+n+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.
第五章 分式与分式方程 A 1. 分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式。 B 1) 分式与整式最本质的区别： 分式的字母必须含有字母， 即未知数； 分子可含字母可不含字母。 2) 分式存心义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A C A A C 0 ） 用式子表示 或 B B 其中 A 、 B 、 C 为整式（ C B B C C 注： （ 1 ）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改 变形式。 （ 2）应用基本性质时，要注意C ≠0 ，以及隐含的 B ≠0 。 （ 3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，防止只乘或只除以分子或分母的部 分项，或防止出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分：重点先是分解因式 1) 分式的约分定义： 利用分式的基本性质， 约去分式的分子与分母的公因式， 不改变分式的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义： 利用分式的基本性质， 使分子和分母同乘适合的整式， 不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 4) 最简公分母：取“ 各个分母” 的“ 所有因式” 的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法例
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5.分式的运算： 1）分式乘法法例：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法例：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 a c ac ; a c a d ad b d bd b d b c bc 3 ）分式乘方法例： ( a )n a n 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 b b n 4）分式乘方、乘除混淆运算：先算乘方，再算乘除，碰到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的次序运算 5）分式的加减法例：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 7.整数指数幂 . 1 ）任何一个不等于零的数的零次幂等于 1 ，即a0 1(a 0) ； 2 ）任何一个不等于零的数的-n 次幂（ n 为正整数），等于这个数的n 次幂的倒数，即 a n1 （ a 0) ( b)n ( a )n a n a b 注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即 3 ）科学计数法：把一个数表示为 a ×10 n (1 ≤∣a∣＜10,n 为整数 )的形式，称为科学计数法。
人教版八年级数学知识点总结人教版八年级数学知识点 分式方程 一、理解定义 1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 2、解分式方程的思路是： (1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 (4)写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 3、增根：分式方程的增根必须满足两个条件： (1)增根是最简公分母为0;(2)增根是分式方程化成的整式方程的.根。 4、分式方程的解法： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;
(3)解整式方程;(4)验根; 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。 5、分式方程解实际问题 步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。 二、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 1、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称图形与轴对称的区别与联系： (1)区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 (2)联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 3、轴对称的性质：