抛物线习题精选精讲
（1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）
.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定
【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ??
???
，准线是 :2
p
l x =-
.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =， 且2p
QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的
中位线，()111
222MN OF PQ PH PF =+==.故以
PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.
（2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
【例2】 过抛物线()022
p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：
（1）12AB x x p =++ （2）
p
BF AF 2
11=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作
1AA l ⊥11111,2
p A BB l B AA x ⊥==+
于，则AF ， 122
p
BF BB x ==+.两式相加即得：
12AB x x p =++
（2）当AB ⊥x 轴时，有
AF BF p ==，
112
AF BF p
∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：
2p y k x ?
?=- ??
?.代入抛物线方程：
l X
Y F
A(x,y)11
B(x,y)
22
A 1
B 1l
2
2
22p k x px ??-= ??
?.化简得：()()2222
22014p k x p k x k -++=
∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴12
24
k x x ?=.
()1221112
1212111111
2224
x x p p p
p p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=
+++++ ()()121222
12122
2424
x x p x x p p p p p
p x x p x x ++++=
==+++++
. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有
p
BF AF 2
11=+成立.
（3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.
【例3】证明：过抛物线22y px =上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p （x+x 0）
【证明】对方程22y px =两边取导数：22.p
y y p y y
''?=∴=，
切线的斜率 0
0x x p k y y ='
==
.由点斜式方程：()()2000000
1p y y x x y y px px y y -=-?=-+
2
0021
y px =，代入（）即得： y 0y=p （x+x 0）
（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.
例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82
=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 （ ）
()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -
显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线2
2y px =的通径长为2p ；
3.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-
以下再举一例
【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点
【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明.
【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ， 那么：2
2
121112.y y p CA CB y y p =-??==
设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =
2
111111.90A FB CF CA CB A FB ∴?=?∠=?中故.
这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.
● 通法 特法 妙法
（1）解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线
y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
A 、
B ，则|AB|等于（ ）
A.3
B.4
C.32
D.42
【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB
的方程
为：y x =+. 由
()22
3013
y x m
x x m y x =+??++-=?=-+?
设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +=
=-.代入x+y=0：y 0=12.故有11,22M ??
- ???
. 从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：2
20x x +-=.解得：
2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1）
，B （1，2）
.AB ∴=，选C.
（2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.
【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F
X
Y
A
B F
A 1
B 1
1
M C X
O
Y A
B
M
l x y +=?
物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（ ）
A ．4 B
． C
． D ．8 【解析】如图直线AF
AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p ==
且∠KFM=60
°，∴24,4AKF
KF S ?===选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的
面积用公式2
S ?=
计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，
但决没有如上的几何法简单.
（3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线
22
122:1(00)x y C a b a b
-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，
焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则
1211
2
F F MF MF MF -
等于（ ）
A ．1-
B ．1
C ．12
-
D ．
12
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令
1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上，
11
12222
,MF MF r
MH MF r e MH MF r ∴=====故，
这就是说：12||
||
MF MF 的实质是离心率e.
其次，
121||
||F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到： ()12121
11122111F F e r r c e a e e MF r r r e +???=
===-=- ???
. X
Y O F(1,0)A
K
60°
Y
2
=2px L:x=-1
M
这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于
()12112||||
11||||
F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..
（4）三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.
【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过
抛物线
x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。 （Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程； （Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。
【解析】（Ⅰ）焦点F （2，0），准线;2l x =-. （Ⅱ）直线AB ：()
()tan 21.y x α=-
28
y x =代入（1），整理得：()2tan 816tan 0
2y y αα--=
设方程（2）之二根为y 1，y 2，则12128tan 16y y y y α?
+=
????=-?.
设AB 中点为()1200020
044cot ,,2tan cot 24cot 2y y y M x y x y αα
αα+?===?
??=?+=+?则 AB 的垂直平分线方程是：()
2
4cot cot 4cot 2y x ααα-=---.
令y=0，则()
22
4cot 64cot 6x P αα=++，有，0
故()
222
4cot 624cot 14cos FP OP OF ααα=-=+-=+=
于是|FP|-|FP|cos2a=()2
224csc
1cos24csc 2sin 8αααα-=?=，故为定值.
（5）消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线x y 82
=有两个不同的交点A 和B ；（2）线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程.
A
M
【解析】假定在抛物线x y 82=上存在这样的两点()()1122.A x y B x y ，，，则有：
()()()2111212122
22
888y x y y y y x x y x ?=?+-=-?=?()()()1212128
AB y y k x x y y -?==-+ ∵线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分，且1155
l AB k k =-∴=，，即()
128
5y y =+
128
5
y y ?+=.
设线段AB 的中点为()120004
25
y y M x y y +=
=，，则.代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB 中点为415M ??
???
，.故存在符合题设条件的直线，其方程为： ()4
512552105
y x x y -
=---=，即：
（6）探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.
【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y =-x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1,P 2,…,P n -1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n -1，从而得到n -1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n -1P n -1P n -1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .
【解析】∵1
1OA n
=∴，图中每个直角三角形的底边长均为
设OA 上第k 个分点为22
20.11.k k k P y x y n n ??=-+=- ???
，
代入： 第k 个三角形的面积为：2111.2k k a n n ??
=
?- ???
()()()()
2
2212
2
12114111212n n n n S n n n n -?
?+++--+∴=--=?????
?
. 故这些三角形的面积之和的极限()()2
1411111lim
lim 1412123
n n n n S n n n →∞
→∞-+???
?==
-+= ??????? 抛物线定义的妙用
对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。 一、求轨迹（或方程）
例1. 已知动点M 的坐标满足方程
，则动点M 的轨迹是（ ）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 以上都不对
解：由题意得：
即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离
由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。故选C。
二、求参数的值
例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点距离为5，求m的值。
解：设抛物线方程为，准线方程：
∵点M到焦点距离与到准线距离相等
解得：
∴抛物线方程为
把代入得：
三、求角
例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则
__________。
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
图1
解：如图1，由抛物线的定义知：
则
由题意知：
即
故选C。
四、求三角形面积
例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，。求△OPQ的面积。
解析：如图2，不妨设抛物线方程为，点、点
图2
则由抛物线定义知：
又，则
由得：
即
又PQ为过焦点的弦，所以
则
所以，
点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。
五、求最值
例5. 设P是抛物线上的一个动点。
（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；
（2）若B（3，2），求的最小值。
解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是
由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。
显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。
图3
（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则
，则有
即的最小值为4
图4
点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。
六、证明
例6. 求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。
证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB 中点M，作MH垂直于H。
图5
由抛物线的定义有：
∵ABDC是直角梯形
即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。
抛物线与面积问题
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。
例1. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。
图1
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积。
解：（1）设抛物线的解析式为
，根据题意得
，解得
∴所求的抛物线的解析式为
（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5
令，则，
解得
∴B点坐标为（5，0），OB＝5
∵，
∴顶点M的坐标为（2，9）
过点M作MN⊥AB于点N，
则ON＝2，MN＝9
∴
例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数
的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。
图2
（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。
（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA＝PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。解：（1）∵等腰直角△OAB的面积为18，
∴OA＝OB＝6
∵M是斜边OB的中点，
∴
∴点A的坐标为（6，0）
点M的坐标为（3，3）
∵抛物线
∴，解得
∴解析式为，
对称轴为
（2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA＝PM。
①P点在x轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（3，0）。
②P点在y轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（0，－3）。
例3. 二次函数的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。
图3
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。
（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值。解：（1）由图象可知：；图象过点（0，1），所以c＝1；图象过点（1，0），则；当时，应有，则
当代入
得，即
所以，实数a的取值范围为。
（2）此时函数，
要使
，
可求得。
例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。
图4
（1）求K的值；
（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。
解：（1）∵点A、B在一次函数的图象上，
∴
且
∵四边形ABDC 的面积为7 ∴
∴。
（2）由F （0，4），C （1，0），D （4，0）得
（3）∵PD ＝1×t ＝t ∴OP ＝4－t ∴
即
。
抛物线
1已知抛物线D ：y 2
=4x 的焦点与椭圆Q ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的右焦点F 1重合，且点)
26
,2(P 在椭圆Q 上。（Ⅰ）求椭圆Q 的方程及其离心率；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l 过椭圆Q 的左
焦点F 2，且与椭圆相交于A ，B 两点，求△ABF 1的面积。
解：（Ⅰ）由题意知，抛物线x y 42
=的焦点为（1，0）
∴椭圆Q 的右焦点F 1的坐标为（1，0）。∴12
2=-b a ①
又点)2
6
,2(P 在椭圆Q 上， ∴
1)
26(
)2(22
22
=+b a 即
12322
2=+b a ②
由①②，解得 3,42
2
==b a ∴椭圆Q 的方程为 13422=+y x ∴离心离 21
122=-==a
b a
c e
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F 2（－1，0）∴直线l 的方程为 1)1(45tan 0+=+?=-x y x y ，即 设
),(),(2211y x B y x A ，由方程组 ?????=+
+=134
1
22y x x y 消y 整理，得 78,78,088721212
-=-=+∴=-+x x x x x x
∴7
2
124)(2||2||2122121=-+=-=x x x x x x AB
又点F 1到直线l 的距离 2)1(1|11|2
=-++=
d ∴7
12
2721221||211=
??==
?d AB S ABF 2如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为
4
π
的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积
解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0 由方程组???=+=x
y m
x y 42,消去y ,得x 2+(2m
－4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－
4m 2=16(1－m )＞0,解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)
设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2,∴|MN |=4)1(2m - 点A 到直线l 的距离为d
∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(
3
5522
m m m ++++-)3
=128
∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面
积为
解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）, l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5
由方程组24x y m
y x
=+??=?,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，
∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞
0必成立,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m , ∴S △=1211
(5)||(522m y y m --=- 451()22
m -
≤=S △≤82,当且仅当51()(1)22m m -=+即m =1时取等号
故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为
3已知O 为坐标原点，P(0,a )(0>a )为x 轴上一动点，过P 作直线交抛物线)0(22>=p px y 于A 、B 两点，设S △AOB =AOB t ∠?tan ，试问：a 为何值时，t 取得最小值，并求出最小值。 解：交AB 与x 轴不重叠时，设AB 的方程为)(e x k y -=
合???=-=px
y a x k y 2)(2 消y 可得：0)(222222=++-a k x p a k x k
设A ),(11y x B ),(22y x 则221a x x =，Pa y y 221-= 交AB 与x 轴重叠
时，上述结论仍然成立 AOB lin AOB con OB OA AOB OB OA AOB S O ∠?∠?=∠?=
2
1
sin 21∴
AOB con OB OA t ∠?=
2
1
2121y y x x OB OA AOB con +=?=∠?∴
2
22212121)(21)2(21)(21p p a ap a y y x x t --=-=+=≥2
2p -当p a =时 取“=”， 综上 当
时p e = 2
2min
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中考复习二次函数抛物线综合大题 1..如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点 B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？ 若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
2.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C （3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值； （3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上 的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C． （1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式． （2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D， 使得S △DAC ＝2S △DCM ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
抛物线基础训练题 1.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l :y =-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为 D A. x y 42= B. x y 82= C.y x 42= D.y x 82= 2.已知直线l 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 A A.4 25 B. 2 25 C. 8 25 D.25 3.已知抛物线的焦点在直线y x 2--4=0上，则此抛物线的标准方程是C A.x y 162= B.y x 82-= C. x y 162=或y x 82-= D. x y 162=或y x 82= 4.直线y =kx -2与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 B A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是 5.动圆M 经过点A (3，0)且与直线l :x =-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A A. x y 122= B. x y 62= C. x y 32= D.x y 242= 6.θ是任意实数，则方程ｘ２＋ｙ２ｓｉｎθ＝４的曲线不可能是（C ） Ａ.椭圆 Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线 Ｄ.圆
7.双曲线k y x 2 24+＝１的离心率ｅ∈（１，２），则k 的取值范围是（B ） Ａ.(－∞，０) Ｂ.（－12，０） Ｃ.（－３，０） Ｄ.（－60，－12） 8.以12 42 2y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（D ） A. 112162 2=+y x B. 116122 2=+y x C. 14 162 2=+y x D. 116 42 2=+y x 9.抛物线y =x ２上到直线２x -y =4距离最近的点的坐标是（ B ） Ａ.(45,23) Ｂ.(1，1) Ｃ.( 49 ,23) Ｄ.(2，4) 10.1122 222222=-=-a y b x b y a x 与（ａ＞ｂ＞０）的渐近线（D ） Ａ.重合 Ｂ.不重合，但关于x 轴对应对称 Ｃ.不重合，但关于y 轴对应对称 Ｄ.不重合，但关于直线y =x 对应对称 11．抛物线2 2x y =的焦点坐标是 （ C ） A ．)0,1( B ．)0,4 1( C ．)8 1,0( D ． )4 1,0( 12 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为
抛物线测试题 2020年12月14日时长：30分钟满分：100分 一、选择题（本大题共4小题，共20分） 1.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，如果x1+ x2=6，则|PQ|等于 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2.抛物线的准线方程是y=1 2 ，则其标准方程是() A. y2=2x B. x2=?2y C. y2=?x D. x2=?y 3.已知抛物线ax2=y的焦点到准线的距离为1 2 ，则实数a等于( ) A. ±1 B. ±2 C. ±1 4D. ±1 2 4.若抛物线x2=ay(a>0)的焦点到准线的距离为1，则a=() A.2 B. 4 C. 1 2D. 1 4 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 5.若抛物线y2=mx与椭圆x2 9+y2 5 =1有一个共同焦点，则m=____________． 6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准 线方程为______． 7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2 4 ?y2=1的右焦点与抛物线y2=2px(p> 0)的焦点重合，则p的值为______． 8.已知抛物线C：x2=4y，则其焦点坐标为______，直线y=x+1与抛物线C交于 A，B两点，则|AB|=______．
三、解答题（本大题共2小题，共60分） 9.已知抛物线C：x2=4y，过点P(1,0)作直线l． (1)若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程． (2)若直线l过抛物线C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长|AB|．10.已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为O，准线方程为x=?1 ． 2 (1)求抛物线方程； (2)过点(1,0)且斜率为1的直线l与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．
高二文科数学——抛物线练习题 【知识回顾】 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 （1）设00(,)P x y 是抛物线上的一点，则当焦点F 在x 轴上时，02 p PF x = +；当焦点F 在y 轴上时，02 p PF y = +。此公式叫做焦半径公式。 （2）设AB 是过抛物线2 2y px =的焦点F 的一条弦，则12||AB x x p =++。 一、选择题（每小题4分，共40分。答案填在答题表里） 1．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2=4x B ．x 2= 21y C . y 2=4x 或x 2=2 1 y D . y 2=4x 或x 2=4y 2．抛物线y = -2x 2的准线方程是( ) A .x = - 21 B .x =21 C . y =81 D . y = -8 1 3．动圆M 经过点A (3，0)且与直线l ：x = -3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A . x y 122= B . x y 62= C . x y 32= D .x y 242= 4．动点M 到定点(4,0)F 的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则点M 的轨迹是( ) A ．y 2=4x B ．y 2=16x C ．x 2=4y D ．x 2=16y 5．已知抛物线的焦点在直线240x y --=上，则此抛物线的标准方程是 A .x y 162= B .y x 82-= C . x y 162=或y x 82-= D . x y 162=或y x 82= 6．抛物线y 2+4x =0关于直线x +y =0对称的曲线的方程为（ ） A ．x 2= -4y B ．x 2=4y C ．y 2=4x D ．y 2= -4x 7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)M m -到焦点P 的距离为4，则m 的值为 ( ) A .4± B .2- C . 2-或4- D .2± 8．设AB 是抛物线py x 22 =的焦点弦，B A 、在准线上的射影分别为11B A 、，则11FB A ∠等于（ ） A . ?45 B . ?60 C . ?90 D .?120 9．抛物线y =x 2上的点到直线2x -y =4的距离最短的点的坐标是（ ） A ．(41, 21) B ．(1,1) C ．(4 9 ,23) D ．(2,4) 10．设F 为抛物线y x 42 =的焦点，点P 在抛物线上运动，点)3,2(A 为定点，使||||PA PF +为最小值时点P 的坐标是 ( ) A .?? ? ??41,1 B .)1,2(- C .)1,2( D .)0,0( 二、填空题（每小题4分，共16分。答案填在试卷指定的横线上） 11．抛物线y 2= -8x 的焦点到准线的距离是 12．抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 13．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，若621=+x x ，则 ||AB 的值是 14．设AB 是抛物线x y 22 -=的过焦点的弦，4=AB ，则线段AB 中点C 到直线1x =的距离为 【附加题】 （12广东文）（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22 122:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦 点1(10)F -，，且在(01)P ，在1C 上。 （1）求1C 的方程； （2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2 2:4C y x =相切，求直线l 的方程
抛物线（A ） 一．选择题： 1． 准线为x=2的抛物线的标准方程是 A.2 4y x =- B. 2 8y x =- C. 2 4y x = D. 2 8y x = (答：B) 2． 焦点是（-5，0）的抛物线的标准方程是 A.2 5y x = B. 2 10y x =- C. 2 20y x =- D. 2 20x y =- (答：C) 3． 抛物线F 是焦点，则p 表示 A. F 到准线的距离 到准线距离的14 B. C. F 到准线距离的 1 8 D. F 到y 轴距离的 （答：B ） 4． 动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是 A.40x += B. 40x -= C. 2 8y x = D. 2 16y x = (答：D) 5． 若抛物线2 (1)y a x =+的准线方程是x=-3，那么抛物线的焦点坐标是 A.（3，0） B.（2，0） ，0） D.（-1，0） （答：C ） 6． 2 4 x y =点于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标为 A 10, 16?? ??? B 10,16??- ??? C 1,016?? ??? D 1,016??- ??? （答：A ） 7． 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，则点P 的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 （答：D ） 8． 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛 物线的准线方程是 A 4y = B 4y =- C 2y = D 2y =- （答：C ） 9． 抛物线()2 0y ax a =<的焦点坐标和准线方程分别为 A 11,044x a a ??= ??? B 11,044x a a ??-=- ??? C 110,44y a a ??=- ??? D 110,44y a a ? ?-=- ? ? ? （答：C ） 10. 在2 8y x =上有一点P ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是 A ()8,12 B ()18,12- C ()18,12或()18,12- D ()12,18或()12,18- （答：C ） 11． 物线2 10y x =的焦点到准线的距离是
2016年中考复习《二次函数》综合测试题及答案 一、与线段、周长有关的问题 1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D . （1）求抛物线的解析式； （2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值； （3）在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA-MC |的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 第1题图 备用图 2. （2015珠海）如图，折叠矩形OABC 的一边BC ，使点C 落在OA 边的点D 处，已知折痕BE =55,且 OE OD =3 4.以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l ：y = -161x 2+21x +c 经过点E ，且与AB 边相交于点F . （1）求证：△ABD ∽△ODE ; （2）若M 是BE 的中点，连接MF ，求证：MF ⊥BD ; （3）P 是线段BC 上一动点，点Q 在抛物线l 上，且始终满足PD ⊥DQ ，在点P 运动过程中，能否使得PD =DQ ？若能，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不能，请说明理由.
第2题图 1x2+bx+c 3. （2015孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y= - 2 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点. （1）求抛物线的解析式； （2）在AC上方的抛物线上有一动点P. ①如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点D，当线段PD 取得最大值时，求出点P的坐标； ②如图②，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE∶OE=3∶8，求k的值. 图①图② 第3题图 1x2+bx+c(b、4. （2015天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝- 2 c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限. (1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式; (2)平移（1）中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向滑动
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线
抛物线练习题 一、选择题 1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线 上存在一点P 使得() 2 212 3,PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （） 4 【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选D.由双曲线的定义知，() 2 2124,PF PF a -=又() 2 2123,PF PF b ab -=- 所以2 2 43a b ab =- 等号两边同除2 a ，化简得2 340b b a a ??-?-= ??? ，解得4,b a =或1b a =-（舍去） 故离心率c e a ===== 2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的 一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A. 120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0210,c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线 ,102:+=x y l 故有2,b a =结合222,c a b =+得22 5,20,a b ==所以双曲线的标准方程为120 522=-y x 3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123 F PF π ∠= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
抛物线基础训练（解析版） 1.抛物线218 y x ＝－的焦点是________，准线方程是__________． 【答案】（0，-2）； 2y =， 【解析】218 y x ＝－可化为2=8x y －， 所以其焦点坐标为（0，-2），准线为2y =． 2．已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．（ ） A. x 2＝y B. y 2＝x C. y 2＝4x D. y 2＝x 或x 2＝y 【答案】D ； 【解析】设抛物线为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2My (M >0)，把(1，1)代入得1＝2p 或1＝2M ，∴p ＝12或M ＝12 ， ∴抛物线方程为y 2＝x 或x 2＝y . 3．抛物线2 2y px =过点(2,4)A ，F 是其焦点，又定点(8,8)B -，那么||:||AF BF =（ ） A.1:4 B.1:2 C.2:5 D .3:8 【答案】C ； 【解析】将点(2,4)A 的坐标代入22y px =，得4p =, ∴抛物线方程为28y x =, 焦点(2,0)F ，已知(8,8)B -, ∴2222)08()28()04()22(||||--+--+-=BF AF =5 2104=. 4. 抛物线21(0)y x m m = <的焦点坐标是( ) A.(0,)4m B. (0,)4m - C. 1(0,)4m D. 1(0,)4m - 【答案】 A ； 【解析】∵x 2＝My (M <0)，∴2p ＝－M ，p ＝2 m -，焦点坐标为(0,)2p -，即(0,)4m . 5. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C ； 【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系． 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝2p - ，由题意知，3＋2 p ＝4，p ＝2. 6.抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为
抛物线期末复习单元测试题 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共６0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是( ) A 25 B 5 C 215 D 10 ２.以抛物线2 2(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是( ） ?Ａ 相交 ?B 相切 C ．相离 ?D.以上三种均有可能 3 设AB 为过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为（ ) A 2 p B p C p 2 D 无法确定 4 若抛物线x y =2 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为 ( ) A 1(,44± B 1(,)84± C 1(,44 D 1(,84 ５．若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p 的值为（ ) Ａ.2 B ．３???Ｃ.4 6．已知点P 在抛物线2 4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ） A ．( 41，－1) ?B ．（4 1,1） ?C.（１，2） Ｄ．（１，-2) 7.已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点,则点P 到点（０，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） ?B.3? ?D ． 92 8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11 1222()()P x y P x y ，，，, 333()P x y ，在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列, 则有（ ）
抛物线基础训练题 1.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l :y =-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为 D A. x y 42= B. x y 82= C.y x 42= D.y x 82= 2.已知直线l 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 A A.4 25 B. 2 25 C. 8 25 D.25 3.已知抛物线的焦点在直线y x 2--4=0上，则此抛物线的标准方程是C A.x y 162= B.y x 82-= C. x y 162=或y x 82-= D. x y 162=或y x 82= 4.直线y =kx -2与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 B A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是 5.动圆M 经过点A (3，0)且与直线l :x =-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A A. x y 122= B. x y 62= C. x y 32= D.x y 242= 6.θ是任意实数，则方程ｘ２＋ｙ２ｓｉｎθ＝４的曲线不可能是（C ） Ａ.椭圆 .双曲线 .抛物线 .圆
7.双曲线k y x 2 24+＝１的离心率ｅ∈（１，２），则k 的取值范围是（B ） .(－∞，０) Ｂ.（－12，０） Ｃ.（－３，０） Ｄ.（－60，－12） 8.以12 42 2y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（D ） A. 112162 2=+y x B. 116122 2=+y x C. 14 162 2=+y x D. 116 42 2=+y x 9.抛物线y =x ２上到直线２x -y =4距离最近的点的坐标是（ B ） .(45,23) .(1，1) .( 49,23) .(2，4) 10.1122 222222=-=-a y b x b y a x 与（ａ＞ｂ＞０）的渐近线（D ） .重合 Ｂ.不重合，但关于x 轴对应对称 .不重合，但关于y 轴对应对称 Ｄ.不重合，但关于直线y =x 对应对称 11．抛物线 2 2x y =的 焦点坐标是 （ C ） A ．)0,1( B ．)0,4 1( C ．)8 1,0( D ． )4 1,0( 12 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距
抛物线练习题
抛物线练习题 一、选择题 1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设1 2 ,F F 分别为双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得() 2 21 2 3, PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （） 215 417 【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选 D.由双曲线的定义知，() 2 21 2 4, PF PF a -=又 ()2 2 1 2 3,PF PF b ab -=- 所以2 243a b ab =- 等号两边同除2 a ，化简得2 340b b a a ?? -?-= ??? ，解得4,b a =或1b a =-（舍去） 故离心率 2 22222 117.c c a b b e a a a a +?? ====+= ??? 2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线 )0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线 , 102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A. 120 52 2=-y x B. 15 202 2=-y x C. 1100 32532 2=-y x D. 125 310032 2=-y x
【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以 0210, c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有 2,b a =结合2 2 2 , c a b =+得2 2 5,20, a b ==所以双曲线的标准方程为 120 52 2=-y x 3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123 F PF π ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A. 433 B.23 3 C.3 D.2 【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=， 12||a a PF -=， 因为 123F PF π ∠= ，由余弦定理得 22211114()()2()()cos 3c a a a a a a a a π =++--+-， 所以2 1 2 2 34a a c +=，即2 122122221)(2124c a c a c a c a c a +≥+=-， 所以21 214 8)11(e e e -≤+， 利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 43 . 4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0 焦点弦 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α，则2 2cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ 一． 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 o x ()22,B x y F y ()11,A x y b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存 在，且不等于零） 高中数学《抛物线》练习题 一、选择题： 1. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) (A) 18 (B)41 (C) 2 1 (D)1 2. （上海）过抛物线x y 42 =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在 3. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42 =的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42 =的交点到原点的距离是 （ ） A ．23+6 B ．21 C ．21218+ D ．21 5 .（江苏卷）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) ( A ) 1617 ( B ) 1615 ( C ) 8 7 ( D ) 0 6. （湖北卷）双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 （ ） A ． 163 B ． 8 3 C ． 3 16 D ． 3 8 二、填空题： 7．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是 . 8．若抛物线m x x y +-= 22 12 的焦点在x 轴上，则m 的值是 . 9．过（－1，2）作直线与抛物线x y 42 =只有一个公共点，则该直线的斜率为 . 10．抛物线2 2x y =为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 . 三、解答题： 11. （江西卷）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹 12. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 抛物线基础练习 一. 选择题： 1．抛物线x y 122=的准线方程是（ ） （A ）3x = （B ）3x =- （C ）3y = （D ）3y =- 2． 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 3．抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是（ ） （A ）1,08??- ??? 和10,2??- ??? （B ）10,8??- ??? 和1,02??- ??? （C ）1,02??- ???和10,8??- ??? （D ）10,2??- ?? ?和1,08??- ??? 4．若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）4- （D ）4 5．若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）6．设椭圆22 221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12 ，则此椭圆的方程为（ ） （A ）22 11216 x y += （B ）2211612x y += （C ）22 14864 x y += （D ）2216448x y += 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C （D ）92 8．已知22y px =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，33 3()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则（ ） （A ）123FP FP FP += （B ） 222 123FP FP FP += （C ）2132FP FP FP =+ （D ）2213FP FP FP =? 9．连结抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ） （A ）1- （B ）32- （C ）1 （D ）32+ 10． 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为（ ） （A ）43 （B ）75 （C ）85 （D ）3 二. 填空题 11．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是 12．若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是 13．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)， 的距离小1，则点P 的轨迹方程为 14．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a = 15．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p = 抛物线测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线2 2x y =的焦点坐标是 （ ） A ．)0,1( B ．)0,4 1( C ．)8 1,0( D ． )4 1,0( 2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物 线方程为 （ ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-= 3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ） A ．15 B ．152 C ．2 15 D ．15 4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A.y x 292- =或x y 342= B.x y 292-=或y x 342= C.y x 342= D.x y 2 9 2-= 5．点)0,1(P 到曲线? ??==t y t x 22 （其中参数R t ∈）上的点的最短距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 6．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若 CF BF AF ,, 成等差数列，则 （ ） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列 C ．321,,y y y 成等差数列 D ．231,,y y y 成等差数列 7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则 PB PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ ） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（2，2） D ．)1,2 1 ( 8．已知抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(),,(2211y x B y x A , 则关系式 2 12 1x x y y 的值一定等于 （ ） 抛物线专题复习讲义及练习 ★知识梳理★ 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )： ①)0(22≠=p px y 的焦半径PF )0(22≠=p py x 的焦半径PF ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③ AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ ★重难点突破★ 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题1：抛物线y=42 x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. 1617 B. 16 15 C.87 D. 0 点拨：抛物线的标准方程为y x 412 = ，准线方程为16 1 -=y ,由定义知，点M 到准线的距离 为1，所以点M 的纵坐标是 16 15 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为 AB BB AA 2 1 )''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 ★热点考点题型探析★ 考点1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1 ]已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离 [解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】 1.已知抛物线2 2(0)y px p =>的焦点为F ，点11 1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ． 3 21y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ ［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222 p p p x x x + =+++即：2312x x x =+． 2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82 =的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( ) A. )0,0( B. )62,3( C. )4,2( D. )62,3(- 抛物线基础题练习： 1、准线为x=2的抛物线的标准方程是（ ） A.24y x =- B 、28y x =- C. 24y x = D. 28y x = 2、焦点是（-5，0）的抛物线的标准方程是（ ） A.25y x = B. 210y x =- C 、220y x =- D. 220x y =- 3、抛物线F 是焦点，则p 表示（ ） A. F 到准线的距离 B 、F 到准线距离的 14 C. F 到准线距离的18 D. F 到y 轴距离的 4、动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是（ ） A.40x += B. 40x -= C. 28y x = D 、216y x = 5、若抛物线2(1)y a x =+的准线方程是x=-3，那么抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C 、（1，0） D.（-1，0） 6、抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7、动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，则点P 的 轨迹是（ ）A ．直线 B 。椭圆 C 。双曲线 D 、抛物线 8、抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛 物线的准线方程是（ ） A ．4y = B 。4y =- C 、2y = D 。2y =- 9. 在28y x =上有一点P ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是（ ） A ．()8,12 B.()18,12- C 、()18,12或()18,12- D.()12,18或()12,18- 10、抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ） A.10 B 、5 C.20 D. 52 11． 抛物线28x y =-的焦点坐标是（ ） A.()4,0- B.()0,4- C.()2,0- D 、()0,2- 12、抛物线2 (0)x ay a =≠上一点(,3)P m -到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是(完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
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