初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中数学抛物线经典试题集锦，编著者为黄勇权。以下为题目和解答。
第一组题型】
1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$
1）求此二次函数的解析式；
2）在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15，请直接写出$p$点的坐标。
解：
第一问】
因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$，分别将$x=2$，$y=0$代入$y=x^2+bx+c$，得$0=4+2b+c$-----①。将
$x=0$，$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$，得$-8=c$-------------②。将
②代入①，解得：$b=2$--------------------------------------③。此时，将②③代入$y=x^2+bx+c$，所以二次函数的解析式为
$y=x^2+2x-8$。
第二问】
因为$A$、$B$两点在$x$轴上，令$x^2+2x-8=0$，解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。又
$\triangle ABP$的面积为15，所以$|y_p|\cdot 6=30$，即
$|y_p|=5$。故$p$点的纵坐标为5或-5，即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。
2、在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线
$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$。
1）求抛物线的表达式及对称轴；
2）设点$B$关于原点的对称点为$C$，写出过$A$、
$C$两点直线的表达式。
解：
第一问】
因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$，
分别将$x=5$，$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$，得$B=50+5m+n$-
----①。将$x=2$，$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$，得$-
6=8+2m+n$-------------②。将②代入①，解得：$m=-4$，$n=-
4$。此时，抛物线的表达式为$y=2x^2-4x-4$。对称轴为$x=-
\frac{m}{2}=2$。
第二问】
因为点$B$关于原点的对称点为$C(-2,6)$，所以直线
$AC$的斜率为$\frac{6-B}{-2-5}=-\frac{2}{3}$，即直线
$AC$的表达式为$y-B=\frac{2}{3}(x-5)$。直线$BC$的斜率为$\frac{6-(-6)}{-2-2}=3$，即直线$BC$的表达式为$y+6=3(x-2)$。
3、在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线的顶点
$C(2,4)$，并在$x$轴上截得的长度为6.
1）写出抛物线与$x$轴交点$A$、$B$的坐标；
2）求该抛物线的表达式；
3）写出抛物线与$y$轴交点$P$的坐标。
解：
第一问】
因为已知抛物线在$x$轴上截得的长度为6，所以抛物线
与$x$轴的交点为$A(-1,0)$，$B(5,0)$。
第二问】
因为抛物线的顶点为$C(2,4)$，所以抛物线的对称轴为
$x=2$。设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c$，则由$A(-1,0)$，$B(5,0)$，$C(2,4)$可列出方程组：
begin{cases}a-
b+c=0\\25a+5b+c=0\\4a+2b+c=4\end{cases}$$
解得：$a=-1$，$b=2$，$c=1$。此时，抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+1$。
第三问】
抛物线与$y$轴的交点为$(0,c)=(0,1)$。
4、直线的解析式为$y=2x+4$，交$x$轴于点$A$，交
$y$轴于点$B$，若以$A$为顶点，且开口向下作抛物线，交直线$AB$于点$D$，交$y$轴负半轴于点$C$。
1）若$\triangle ABC$的面积为20，求此时抛物线的解析式；
2）若$\triangle BDO$的面积为8，求此时抛物线的解析式。
解：
1）设抛物线的顶点为$V$，则$V$在直线$y=2x+4$上。设$V$的坐标为$(x_0,y_0)$，则直线$AV$的表达式为$y-
0=\frac{y_0-0}{x_0-2}(x-2)$。将直线$AV$与直线$y=2x+4$相交，解得$x_0=-\frac{4}{3}$，$y_0=\frac{20}{3}$。此时，抛物线的顶点为$V(-\frac{4}{3},\frac{20}{3})$。因为以$A$为顶点，且开口向下作抛物线，所以抛物线的解析式为
$y=a(x+\frac{4}{3})^2+\frac{20}{3}$。将$x=0$，$y=-4$代入该式，解得$a=-3$。此时，抛物线的解析式为$y=-
3(x+\frac{4}{3})^2+\frac{20}{3}$。
2）设抛物线的解析式为$y=ax^2+2x+4$，则$D$点坐标为$(x_D,2x_D+4)$。将$D$点坐标代入抛物线的解析式，解得$x_D=-\frac{2}{3}$。设抛物线的顶点为$V(x_0,y_0)$，则直线$AV$的表达式为$y-2x-4=\frac{y_0-2x_0-4}{x_0-
\frac{2}{3}}(x-\frac{2}{3})$。将直线$AV$与直线
$y=ax^2+2x+4$相交，解得$x_0=-\frac{7}{3}$，$y_0=-
\frac{61}{3}$。此时，抛物线的顶点为$V(-\frac{7}{3},-
\frac{61}{3})$。因为以$A$为顶点，且开口向下作抛物线，所以抛物线的解析式为$y=a(x+\frac{7}{3})^2-\frac{61}{3}$。将
$x=0$，$y=-4$代入该式，解得$a=-1$。此时，抛物线的解析
式为$y=-(x+\frac{7}{3})^2-\frac{61}{3}$。
所以，A、B两点的坐标分别为（-2，0）和（6，0）
第二问】
因为抛物线的顶点C为（2，4），对称轴是x=2。
所以，抛物线的表达式为：y=a(x-2)²+4
又因为抛物线与x轴交点A、B的坐标为（-2，0）和（6，0）。
所以，a=-
1
16
第三问】
因为抛物线与y轴交点P的横坐标为0。
所以，将x=0代入抛物线的表达式，得：y=4-2a
所以，抛物线与y轴交点P的坐标为（0，4-2a）
D点坐标为(-4,-4)。以点A(-2,0)为顶点，可以设抛物线表
达式为y=a(x+2)²。将点D代入得到-4=a(-4+2)²，解得a=-1.因此，抛物线表达式为y=-(x+2)²。
5、已知方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根x1和x2，求x1(x2+x1)+x2²的最小值。
解：方程有两个实数根，因此判别式Δ=(2m)²-4(m²+3m-2)≥0，化简得m≤3/2.根据韦达定理，x1+x2=-2m，
x1x2=m²+3m-2.将其代入x1(x2+x1)+x2²得到3m²-3m+2，化简
后得到3[(m-1/2)²+7/12]，因此最小值为7/4.
6、在平面直角坐标系中，已知两定点A(-5,0)和B(3,0)，
抛物线过A、B，顶点为C，解析式为y=ax²+bx-30（a≠0）。
点P(m,n)在抛物线上。
1) 求抛物线的解析式和顶点C的坐标。
2) 若四边形APBC为梯形，求点P的坐标。
解：(1) 由于抛物线过A(-5,0)和B(3,0)，因此抛物线的对
称轴为x=-1.顶点C在对称轴上，因此C的横坐标为-1.将A代入抛物线方程得到-30=a(-5+1)²-4b，将B代入得到-
30=a(3+1)²+4b，解得a=2，b=-5.因此，抛物线的解析式为
y=2x²-5x-30，顶点C的坐标为(-1,-32)。
2) 四边形APBC为梯形，因此AP平行于BC。由于抛物线对称轴为x=-1，因此AP的方程为x=m-1.将P代入抛物线方程得到n=2(m-1)²-5(m-1)-30.由于AP平行于BC，因此AP 的斜率等于BC的斜率，即2(m-1)=2，解得m=2.将m代入n 的方程得到n=-28.因此，P的坐标为(1,-28)。
7、已知抛物线y=4x²+bx+c与x轴相交于点A和B(2,0)，与y轴相交于点C(0,-6)。
1) 求出抛物线的解析式和点A的坐标。
2) 设D为抛物线的顶点，点P(t,y)在抛物线上，且t>2.若△BDP与△CDP的面积相等，求点P的坐标。
解：(1) 抛物线与x轴相交于点A和B(2,0)，因此抛物线的对称轴为x=1.由对称性可知，点C的纵坐标为抛物线的顶点的纵坐标，因此c=-6.将B代入抛物线方程得到4(2)²+2b-
6=0，解得b=-8.因此，抛物线的解析式为y=4x²-8x-6，点A的坐标为(1,2)。
2) 设顶点D的横坐标为k，则k=1.由于△BDP与△CDP 的面积相等，因此BP/PC=BD/DC，即BP/(t-k)=2/(6-y)，解得y=5t/2-20.因此，点P的坐标为(t,5t/2-20)。
8、在xoy直角坐标系中，点C(2,-3)关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线过A、B两点，且点
D(3,19)在抛物线上。求抛物线的解析式。
解：点C关于x轴对称的点为A，因此A的纵坐标为-(-3)=3.点C关于原点对称的点为B，因此B的坐标为(-2,3)。由于抛物线过A、B两点，因此抛物线的对称轴为直线y=0.设抛物线的解析式为y=ax²+bx，将A、B、D代入抛物线方程得到以下三个方程：
a(2)²+b(2)=3
a(-2)²+b(-2)=3
a(3)²+b(3)=19
解得a=2，b=-1.因此，抛物线的解析式为y=2x²-x。
由K3=k4，得8=n=8m+40，即m=-5或m=7.将m=-5或
m=7代入n=8m+40中，得n=0或n=106.因为P（m，n）在抛
物线y=2x²+4x-30上，所以将x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中，得n=2m²+4m-30.将n=8m+40和n=2m²+4m-30相等，解得
m=7或m=-5.将m=7代入n=8m+40中，得n=106；将m=-5代
入n=8m+40中，得n=0.因此，当AP∥CB时，P的坐标为（7，106）。
已知抛物线y=x²+x-6与x轴相交于A（-4，0），与y轴
相交于C（0，-6）和B（2，0）。
1）将y=x²+x-6变形为y=(x-2)(x+3)，得到抛物线的解析
式和A点的坐标。
2）设D为抛物线的顶点，P点的坐标为（t，y），且t＞2，如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标。
1）将y=x²+x-6变形为y=(x-2)(x+3)，得到抛物线的解析
式为y=x²+x-6，A点的坐标为（-4，0）。
2）将y=x²+x-6变形为y=(x+1)²-7，得到顶点D的坐标为（-1，-7）。线段BP的长度为t-2.设对称轴与x轴相交于点E，
过顶点C作CF平行于x轴交DE于F。由于△BDP与△CDP 的面积相等，所以梯形EFCP的面积为[(t+2)*6]/2.根据梯形的面积公式，得到[(t+2)*6]/2=|(t-(-1))+(0-(-1))|*(-6)/2.化简得到3(t+2)=t+1，解得t=1/2.因此，P点的坐标为（1/2，-19/4）。
因为∠PAB=45°，所以直线AP的斜率为tan45°。因此，我们可以设直线AP的方程为y= x +b。已知A（2，3），将x=2，y=3代入y= x +b，可以解得b=1.因此，直线AP的方程为y= x +1.
又因为P为直线y=2x+1与y= x +1的交点，我们可以将y= x +1和y=2x+1联立解得P的坐标为（-1，1）。
抛物线练习题 一、选择题 1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) 3．抛物线y ＝ax 2 的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) B ．－18 C ．8 D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案都有可能 6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离 为( ) A ．2 3 3 3 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4 C ．－2 D ．2或－2 10．抛物线y ＝1m x 2(m <0)的焦点坐标是( ) 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝－4x 或y 2 ＝－36x 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题
第十讲 抛物线 一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置； 2．抛物线关于a b x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(a b 2-，a b a c 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式：k h x a y +-=2)(； ③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根． 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键． 注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息． 【例题求解】 【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0
抛物线运动练习题(含答案) 抛物线运动练题 (含答案) 问题一 一颗子弹以水平速度100 m/s 射向离地面20m的点，以重力加 速度10 m/s²作用下，子弹射出后多久击中地面？ 答案： 使用抛物线运动的公式，可以计算出子弹击中地面所需的时间。抛物线运动公式为： h = v₀t + 1/2gt² 其中，v₀表示初始速度，g表示重力加速度，h表示高度，t表示时间。 代入已知数据：
h = 20m v₀ = 100 m/s g = 10 m/s² 将公式稍作变形，得到： t² + 20t - 40 = 0 解这个二次方程，可求得： t ≈ -23.3 秒或t ≈ 1.7 秒 因为时间不能为负数，所以子弹射出约1.7秒后击中地面。 问题二 一个人从离地面15m的点以速度20 m/s斜抛一个物体，物体飞行的距离是多少？ 答案：
根据抛物线运动的公式，可以计算出物体的飞行距离。抛物线运动公式为： d = v₀x t 其中，v₀x表示初始水平速度，t表示时间，d表示距离。 我们需要找到物体运动的总时间，然后将其代入公式中计算距离。 首先，我们可以使用重力加速度的公式计算物体运动所需的时间 t₀： h = v₀yt₀ + 1/2gt₀² 将公式代入已知数据： h = 15 m v₀y = 20 m/s g = 10 m/s²
可得到： 15 = 20t₀ + 1/2 * 10 * t₀² 将这个方程稍作整理，得到二次方程： 5t₀² + 20t₀ - 30 = 0 解这个二次方程，可求得： t₀ ≈ -1.85 秒或 t₀ ≈ 0.85 秒 因为时间不能为负数，所以物体运动约0.85秒后落地。然后，我们将求得的 t₀代入公式： d = v₀x * t₀ 代入已知数据：
【编著】 黄勇权 【第一组题型】 1、已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p 使△ABP 的面积为15，请直接写出p 点的坐标。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （5，0），B （2，-6）． （1）求抛物线的表达式及对称轴 （2）设点B 关于原点的对称点为C ，写出过A 、C 两点直线的表达式。 初中数学 抛物线 经典试题集锦
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。 （1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标 （2）求该抛物线的表达式 （3）写出抛物线与y轴交点P的坐标 4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C， （1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式 【答案】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点
的坐标。 解： 【第一问】 因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） 分别将x=2，y=0代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x2+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x2+bx+c， 所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】 △ABP的面积= 1 2 │AB│*│y p│----------------------④ 因为A、B两点在x轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4 所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥ 由④⑤⑥，得：1 2 *6*│y p│=15 │y p│=5
初中数学抛物线 经典试题集锦 【第一组题型】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。 2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）． （1）求抛物线的表达式及对称轴 （2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。 （1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标 （2）求该抛物线的表达式 （3）写出抛物线与y轴交点P的坐标 4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C， （1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式 【答案】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点
的坐标。 解： 【第一问】 因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） 分别将x=2，y=0代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x2+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x2+bx+c， 所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】 △ABP的面积= 1 2 │AB│*│y p│----------------------④ 因为A、B两点在x轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4 所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥ 由④⑤⑥，得：1 2 *6*│y p│=15
初中抛物线经典练习题(含详细答案) 初中数学抛物线经典试题集锦，编著者为黄勇权。以下为题目和解答。 第一组题型】 1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$ 1）求此二次函数的解析式； 2）在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15，请直接写出$p$点的坐标。 解： 第一问】 因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$，分别将$x=2$，$y=0$代入$y=x^2+bx+c$，得$0=4+2b+c$-----①。将 $x=0$，$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$，得$-8=c$-------------②。将 ②代入①，解得：$b=2$--------------------------------------③。此时，将②③代入$y=x^2+bx+c$，所以二次函数的解析式为 $y=x^2+2x-8$。
第二问】 因为$A$、$B$两点在$x$轴上，令$x^2+2x-8=0$，解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。又 $\triangle ABP$的面积为15，所以$|y_p|\cdot 6=30$，即 $|y_p|=5$。故$p$点的纵坐标为5或-5，即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。 2、在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线 $y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$。 1）求抛物线的表达式及对称轴； 2）设点$B$关于原点的对称点为$C$，写出过$A$、 $C$两点直线的表达式。 解： 第一问】 因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$， 分别将$x=5$，$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$，得$B=50+5m+n$- ----①。将$x=2$，$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$，得$- 6=8+2m+n$-------------②。将②代入①，解得：$m=-4$，$n=-
抛物线练习题 一、选择题 1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) B ．－18 C ．8 D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 ( 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案都有可能 6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．2 3 3 3 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4 C ．－2 D ．2或－2 " 10．抛物线y ＝1m x 2(m <0)的焦点坐标是( ) 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题 }
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抛物线练习题 一、选择题 1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，±62 B.⎝⎛⎭⎫74，±72 C.⎝⎛⎭⎫94，±32 D.⎝⎛⎭⎫52 ，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案都有可能 6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.14 3 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4 C ．－2 D ．2或－2 10．抛物线y ＝1m x 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝ ⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题
初中数学抛物线 经典试题集 锦 编著】黄勇 权 第一组题型】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点的坐标。 2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n 经过点A（5， 0 ），B（2，-6）． （1）求抛物线的表达式及对称轴 2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式3、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点 C 为（2，4），并在x 轴上截得的长度为 6 。（1）写出抛物线与x 轴交点 A 、B 的坐
标 （2）求该抛物线的表达式 （3）写出抛物线与y 轴交点P 的坐标 4、直线的解析式为y=2x+4 ，交x 轴于点 A ，交y 轴于点B，若以 A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB 于点D，交y 轴负半轴于点 C ， （1）若△ ABC 的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△ BDO 的面积为8，求此时抛物线的解析式 答案】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点
的坐标 解： 【第一问】 因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） 分别将x=2，y=0 代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c -①将x=0，y=-8 代入y=x2+bx+c，得-8=c -------- ②将②代入①，解得：b=2 ------------------------------------ ③此时，将② ③代入y=x2+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】 1 △ABP的面积= 2│AB│*│y p│------------- ④ 因为A、B 两点在x 轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2） （x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4 所以：│ AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│ =6 ---- ⑤ 又△ ABP的面积=15 --------------------------------- ⑥ 1 由④ ⑤ ⑥，得：2 *6* │y p│=15 y p =5
《抛物线》典型例题12例(含标准答案)
《抛物线》典型例题12例 典型例题一 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程． 解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12= ，a p 1 2=∴ ①当0>a 时， a p 41 2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41( a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0 即可． 证明：如图所示，连结PA 、PN 、NB ． 由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形PABN 为菱形．即有PN PA =． ..l PN l AB ⊥∴⊥ 则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线． 典型例题六 例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2 >=p px y C 的一条 焦点弦，F 为C 的焦点，求证： p F P F P 2 1121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来． 证法一：)0,2 (p F ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P F P 2 111121=+=+∴ ． 若线段2 1P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2 (≠-=k p x k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ． 由⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ -=-=)2 () 2(p x k y p x k y 得：04)2(222 22=+ +-p k x k p x k 2 221) 2(k k p x x +=+∴ ①
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