第二章 系统的数学模型
2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有
c 1(x
i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x
0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有
(x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x
-x 0)=k 2x 0 消除中间变量有
c(k 1+k 2)x
0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有
c(x
i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x
0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有
?+
=i d t
C i R u o 2
21
11i R u u o i =-
dt
i i C u u o i ?-=
-)(11
1
消除中间变量，并化简有
i
i i o
o o u R C u
C C R R u
R C u R C u
C C R R u
R C 1
22
11
221122
112211
)(1)1(++
+=++
++
（2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有
dt
i C i R u u o i ?+
+=1
11
i
R
dt i C u o 2
2
1+=
?
消除中间变量，并化简有
i i o o u C u
R u C C u
R R 2
22
1
211)11()(+=+
++
2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
图 2.5
M=J θ
＋C m θ
＋Rk(R θ－x) (1)
K(R θ－x)=m x
＋c x (2) 消除中间变量x ，即可得到系统动力学方程
mJ θ
（4）
＋（mC m ＋cJ ）θ ＋(R 2km ＋C m C ＋kJ) θ ＋k(cR 2＋C m ) θ
=m M ＋c M
＋k M
2.6 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s) (a) y ???+15y ??+50y ?+500y=r ??
+2r (b) 5y ??+25y ?=0.5r ?
(c) y ??
+25y=0.5r (d) y ??+3y ?
+6y+4ydt ?=4r
解: 根据传递函数的定义, 求系统的传递函数, 只需将其动力方程两边分别在零初始条件进行拉式变换, 然后求Y(s)/R(s). (a) 3s Y(s) + 152s Y(s) + 50sY(s) + 500 Y(s) =2s R(s) + 2R(s)
∴ Y(s)/R(s) =
2
3
22
1550500
s s s s ++++
(b) 52s Y(s) + 25sY(s) = 0.5sR(s)
∴
Y(s)/R(s) =
2
0.5525s s s
+
(c)
2
s
Y(s) + 25Y(s) = 0.5R(s)
∴ Y(s)/R(s) =2
0.525
s +
(d)
2
s
Y(s) + 3sY(s) + 6 Y(s) + 41
s
Y(s) = 4R(s)
∴
Y(s)/R(s) =
3
2
4364
s
s s s +++
2.7 若某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出为y(t)=1－22t t e e --+。试求系统的传递函数。 解：由传递函数的定义有
()i X s =
1s
Y(s) =
11
22
1
s s s -
+
++ ∴
Y(s)/()i X s =
2
2
26232
s s s s ++++
2.8 输出y （t ）与输入x （t ）的关系为y （t ）=2x （t ）+0.5x 3（t ） （a ）求当工作点分别为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值。
（b ）在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。
解：（a ）将x 0=0, x 0=1, x 0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x 3(t)中，即得当工作点为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值分别为y 0=0,y 0=2.5,y 0=8
(b) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点（x 0,y 0）附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得
Y 0+△y=2x 0+0.5x 03+(2+1.5x 2)∣x=x0·△x
△y=（2+1.5x 2）∣x=x0△x
若令x=△x,y=△y 有 y=（2+1.5x 02）x 当工作点为x 0=0时,y=（2+1.5x 02）x=2x 当工作点为x 0=1时,y=（2+1.5x 02）x=3.5x 当工作点为x 0=2时,y=（2+1.5x 02）x=8x 2.9 已知滑阀节流口流量方程式ρ
p
cwx Q v
2=,，式中，Q 为通过节流阀流口的
流量；P 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；
w 为节流口面积梯度；ρ为油密度。试以Q 与P 为变量（即将Q 作为P 的
函数）将节流阀流量方程线性化。
解：利用小偏差线性化的概念，将函数),(p x F Q v =在预定工作点),(οο
p x F v 处
按泰勒级数展开为：
),(p x F Q v ==),(οο
p x F v +v v v
x p x x F ????)(00,)(
+p
p x p
F v ????)(00,)(
+…
消除高阶项，有：
),(p x F Q v ==),(οο
p x F v +v
v v
x p x x F ????)(00,)(
+ p
p x p
F v ????)(00,)(
∴ ),(),(00p x F p x F Q v v -=?
=),(οο
p x F v +v v v
x p x x F ????)(00,)(
+p
p x p
F v ????)(00,)(-),(οο
p x F v
=v v v
x p x x F ????)(00,)(
+p
p x p
F v ????)(00,)(
若令=1K )(00,)(p x x F v v
??，=
2
K
)(00,)(
p x p
F v ??，则有：
p K x K Q v ?*+?*=?21 若上式改写为增量方程的形式为： p K x K Q v *+*=21
2.10试分析当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。
解：由于惯性环节、微分环节，积分环节的传递函数分别是G(s)= 1
K T s +，而闭环传递函数为G(s)=Ts ，G(s)=
K s
，而闭环函数为G B （s ）=
()1()()
G s G s H s ±?，则
（1） 当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，
G B （s ）=
()1()()
G s G s H s ±?=111
K
T s K T s +±
+=
1K T s K
++
（2）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为微分环节时， G B （s ）=()1()()
G s G s H s ±?=
1T s T s
±
（3）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为积分环节时，
G B （s ）=
()1()()
G s G s H s ±?=
1K
s K s
±
=
K s K
±
2.11证明图（题2.11）与图（题2.4（a ））所示系统是相似系统（即证明两系统
的传递函数具有相同的形式）。
解：对题2.4（a ）系统，可列出相应的方程。
()()()22110111121
()3o i o i u R i id t C u u R i u u i i d t C ?
=+??
-=??
?-=-?
??
对以上三式分别做Laplace 变换，并注意到初始条件为零，即 (0)(0)0I I ?
== 11(0)(0)0I I ?
== 则
()()
()()()2()2()22()()11()
()1()()()111()456o i o S i o I s U s R I s R I s C s C s U s U s R I I s I s U s U s C s C s ?=+=+??
-=???-=-?
11(5)C s
?
，得
()1()()
1(
)111[]7i o S R U s U s I
C s
C s
-=
1(6)R ?，得
(
)1(
)
1
1()()1()11[]8S i o S
R I
R R U s U s I
C s
C s
-
=-
(7)(8)+，得
11()()
(
)
111(
)[]i o S
R R U s U s I
C s
C s
+-= 即
111
()()()()1111111i o R C s R U s U s I s I s C s
R C s
R C s
-=
?
=
++
则
()1
()()()1191i o R U s U s I s R C s
=+
+
将（4）式中的()o U s 带入（9）式
1
()2
()()
2111
2(
)
211
1
()11()1i R U s R I s I s C s R C s R R I s C s
R C s =+++=+
+
+
再用（4）式与上式相比消去()I s ，即得电系统的传递函数为
2()
()2()1
()
2()
211221
22111()1()1111o i R I s U s C s
G s R U s R I s C s
R C s
R C s
R R C s
R C s
+
=
=++++
=+
+
+
而本题中，引入中间变量x ，依动力学知识有
221
11()()()()i o i o i o o x x k x x c x x c x x c k x ????
?
?
?
-+-=-???-=?
对上二式分别进行拉氏变换有
2()()2()()()(
)
1
1()()11[][][]i o i o o o k X s
X s sc X s X s X s X s sc c sX s X s k c s -+-=-??
?
=?
+?
消除()X s 有
22()
22
()1121()
2221111
1o i k c X s k c s s G s k c s k c X s k c s c c k c s
s s
k +
+=
=
=++
+
+++
比较两系统的传递函数有 1
2
2
k C ?
1
11
k C ?
22c R ? 11c R ?
2.12求图所示两系统的传递函数。
解：（1）由图（a）中系统，可得动力学方程为(x i(t)-x o(t))k=m x o(t)+c
o
x (t)
作Laplace变换，得[X i(s)-X o(t)]k=ms2Xo(s)+ csX o (s) 则有G（s）= X o (s)/ X i(s)=k/( ms2+cs+k)
(2) 由图（b）中系统,设i为电网络的电流，可得方程为
u i=Ri+L d i
d t + 1
c
idt
?
u o=1
c
idt ?
作Laplace变换，得U i(s)=RI(s)+LsI(s)+ 1
cs
I(s)
U o(s)= 1
cs
I(s)
消除中间变量有G（s）= U o(s)/ U i(s)=
21
1
L C s R C s
++ 2.13求图（题2、13）所示系统的传递函数。
解：分别对m1,m2进行受力分析，列写其动力学方程有f C 2C1(21)m2 2 ①
C1(21) ky1m1 1 ②
对上两式分别进行Laplace变换有
F（s）C
sY2(s)C1s[Y2(s)Y1(s)]m2S2Y2(s) ③
s[Y2(s)Y1(s)]k Y1(s)m1S2Y1(s) ④
C
消除③、④两式中的Y1(s)得
2.14若系统传递函数方框图如图所示，求：
（1）以R（s）为输入，N（s）=0时，分别以C（s），Y（s），B（s），E（s）为输出的闭环传递函数。
（2）以N（s）为输入，R（s）=0时，分别以C（s），Y（s），B（s），E（s）为输出的闭环传递函数。
（3）比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。
解：（1）以R（s）为输入，当N（s）=0时：
若以C（s）为输出，有G
（s）==
C
（s）==
若以Y（s）为输出，有 G
Y
若以B（s）为输出，有G B（s）==
若以E（s）为输出，有G E（s）==
(2) 以N（s）为输入，当R（s）=0时：
若以C（s）为输出，有G C（s）==
若以Y（s）为输出，有G Y（s）==
若以B（s）为输出，有G B（s）==
若以E（s）为输出，有G E（s）==
(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。
2.15已知某系统的传递函数方框如图所示，其中，(s)为输入，(s)为输出，
N(s)为干扰，试求，G(s)为何值时，系统可以消除干扰的影响。
解：根据线性系统的叠加原理。令(s)=0，N(s)为输入，系统输出为：
(s)=N(s)G(s)(S)－N(s)(S)
其中，
(S)==
(s)==
2.16求出图所示系统的传递函数Xo（s）/Xi（s）
解利用公式得
1234
B
123431232231344
()
G()
()1
o
i
X s G G G G
s
X s G G G G H G G G H G G H G G H ==
-+-+
2.17求出下图所示系统的传递函数Xo（s）/ Xi (s).
解：由方框图简化规则，画图
2
132133214
321)(1)
()()(H
H G G G H G G G G G G G s X s X s G i o B -++=
=
2.18求出下图所示系统的传递函数Xo （s ）/ Xi (s).
解：由方框图简化规则，画图
=
=
)
()()(s X s X s G i o B 2
32521431215
4321521)1(1H
G G G G G G G H G G G G G G G G G G -++++
习题2作业讲评 1. 继续考虑 2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式 20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ） 解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号： D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）； 于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取. 比较2 0.750.082678d v v =+与2D v =，得： ()0.082678 1.25d D v v -=- 所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d
v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2; plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on 51015 2025 303540 车速v （m/s ） 距离（m ） 图1
第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系. 解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=3 2 -T ML , [v ]=1 -LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3 -ML ,这里T M L ,,是基本量纲. 量纲矩阵为： A=) ??????????---ρ()() ()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为： ?? ? ??=--=+=-++0 30 32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式. 解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1 ，[ρ]=L -3 MT 0 ， [μ]=MLT -2 （LT -1L -1 ）-1L -2 =MLL -2T -2 T=L -1 MT -1 ，[g ]=LM 0T -2 ,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为 A=) ()()()()()() (210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即 ??? ??==+=+0 2y -y - y -0 y y 0y y -3y -y 431 324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 2 21 11i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(11 1 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22 11 221122 112211 )(1)1(++ +=++ ++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 2 2 1+= ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 22 1 211)11()(+=+ ++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
数学建模第二章作业答案章绍辉
习题2作业讲评 1. 继续考虑 2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式 20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ） 解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号： D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）； 于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取. 比较2 0.750.082678d v v =+与2D v =，得： ()0.082678 1.25d D v v -=- 所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d
v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2; plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k') plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2) title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则') legend('两秒准则','刹车距离理论值',... '刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) xlabel('车速v （m/s ）') ylabel('距离（m ）') hold off 51015 2025 303540 020406080100120 140160180比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则 车速v （m/s ） 距离（m ） 两秒准则 刹车距离理论值 刹车距离的最小值、平均值和最大值 图1
+ 第二章控制系统的数学模型 一．是非题 1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√） 2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√） 3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题 1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s C 。 τs D 。以上都不是 2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1 S B 。 21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。 () () 12G s G s
4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。() () 12G s G s 三． 填空题 1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22 21k s s τζτ++ 3．21 2 t 的拉普拉斯变换为 3 1 s 4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法 四．计算题 §2-1 数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt di L u +?+? = c i C u =? c c c u u C R u C L +'??+''??=
第二章控制系统的数学模型 控制系统的数学模型 本章主要内容： 引言 微分方程模型 传递函数模型 脉冲响应模型 方框图模型 信号流图模型 频域特性模型 数学模型的实验测定方法（辨识） 2.0 引言 主要解决的问题： 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 对系统数学模型的基本要求 2.0.1 什么是数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。 亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式） 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型
动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到一平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。 关系：静态模型是t时系统的动态模型。 控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。 2.0.2 为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此） 一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位）才有意义。 建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机理建模白箱实验建模（数据建模）黑箱或灰箱 系统辨识 2.0.3 对系统数学模型的基本要求 亦：什么样的数学表达式能用于一个工程系统的描述。 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结 第一章 1.简述数学建模的一般步骤。 2.简述数学建模的分类方法。 3.简述数学模型与建模过程的特点。 第二章 4.抢渡长江模型的前3问。 5.补充的输油管道优化设计。 6.非线性方程（组）求近似根方法。 第三章 7.层次结构模型的构造。 8.成对比较矩阵的一致性分析。 第五章 9.曲线拟合法与最小二乘法。 10 分段插值法。 第六章 11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。 12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。 13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。 14 一阶差分方程求解。 第七章
15 养老保险模型。 16 金融公司支付基金的流动。 17 LESLLIE 模型。 18 泛函极值的欧拉方法。 第八章 19 最短路问题的邻接矩阵。 20 最优化问题的一般数学描述。 第九章 21 马尔科夫过程的平衡点。 22 零件的预防性更换。 练习集锦 1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 31/52a b P c d e f ?? ??=?????? ，（1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求 P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。 2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵
322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。 3.考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程 (0.2)0.0001(0.4)0.00001dx x xy dt dy y xy dt εε?=--????=-++?? （1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？ 5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-= （1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k 值。
第二章 数学模型作业与习题解答 2-1 试建立图2-55所示各系统的动态方程，并说明这些动态方程之间有什么特点。图中电压1u 和位移1x 为输入量，电压2u 和位移2x 为输出量；k 、1k 和2k 为弹性系数；f 为阻尼器的阻尼系数。 解： 1212 2 211u idt u u i u C C u u iR i R ?=+?=+????=?=??? 2211 u u u RC + = 21()1()1U s s RCs U s RCs s RC == ++
221fx kx fx += 21()()1f s X s fs k f X s fs k s k ==++ 1111 ()()()1c R Cs U s I s U s R Cs ? =?++ 22()()U s R I s = 22111221()(1) ()U s R R Cs U s R R R R Cs +=++ 12212212121()R R u R R Cu R R Cu R u ++=+ 1222111211 R R u u u u R R R C ++ =+
22 2211 1121212121() (1) 1() 1 1U s R R R R Cs R U s R R R R Cs R R Cs R Cs R R Cs +=== ++? + ++ + 21222111fx k x k x k x fx ++=+ 112121112 12 1()()1k f s k k k x s fs k f x s fs k k s k k ??+ ? ++??= ++++＝ 22211212 1()1 1( )()1 R U s R Cs Cs U s R R Cs R R Cs + +== ++++
15． 速度为 v 的风吹在迎风面积为 s 的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车 获得的功率 P 与 v 、S 、 的关系 . 解: 设 P 、 v 、 S 、 的关系为 f ( P, v, s, ) 0 ， 其量纲表达式为 : [P]= ML 2T 3 , [ v ]= LT 1 ,[ s ]= L 2 ,[ ]= ML 3 , 这里 L, M ,T 是基本量纲 . 量纲矩阵为： 2 1 2 3 ( L) A= 1 0 0 1 ( M ) 3 1 (T ) ( P) (v) (s) ( 齐次线性方程组为： 2 y 1 y 2 2y 3 3y 4 y 1 y 4 0 3y 1 y 2 它的基本解为 y ( 1,3 ,1,1) 由量纲 P i 定理得 P 1v 3 s 1 1 ， P v 3s 1 1 ， 其中 是无量纲常数 . 16．雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 g 有关，其中粘滞系数的定义 是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比， 比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式 . 解：设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0. 其量纲表达式为 [ v ]=LM 0T -1 ，[ ]=L -3 MT 0， -2 -1 L -1 -1 -2 -2 -2 -1 -1 0 -2 , 其中 L ，M ， T 是基本量纲 . [ ]=MLT （ LT ） L =MLL T T=L MT ， [ g ]=LM T 量纲矩阵为 1 3 1 1 ( L) A= 0 1 1 0 ( M ) 1 0 1 2 (T ) (v) ( ) ( ) ( g) 齐次线性方程组 Ay=0 ，即 y 1 - 3y 2 - y 3 y 4 0 y 2 y 3 - y 1 - y 3 - 2y 4 的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲 P i 定理 得 v 3 1 g . v 3 g ，其中 是无量纲常数 .
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
数学建模第二章 习题 1．学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数 ①按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者 ②2.1节中的Q 值方法。 ③Hondt d 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用1，2，3，…正整数相除，其商数如下表 将所得商数从大到小取10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2、3、5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10人增至15人，分配名额如何改变。 2．用2.5节实物交换模型中介绍的无差别曲线概念，讨论雇员和雇主之间的协议关系。 ①以雇员一天的工作时间t 和工资w 分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。 ②如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）作出计时工资线族。根据雇员的无判别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论他们将在怎样的一条曲线上达成协议。 ③设雇员和雇主已经达成了一个协议（工作时间1t 和工资1w ）。如果雇主想使雇员的工作时间增加到2t ，他有两种办法，一是提高计时工资率，在协议线的另一点（2t ，2w ）达成新的协议；另一种办法是实行超时工资制，即对工时1t 仍付原计时工资，对工时2t -1t 付给更高的超时工资，于是协议点为（2t ，2w ）。试用作图方法分析哪各办法对雇主更有利]4[。 3．在2.6节核武器竞赛模型中，如果甲方引进多弹头导弹（每枚导弹都装上N 个弹头），平衡点将如何改变。如果乙方也引进多弹头导弹呢？ 4．用初等概率方法讨论随机性的核武器竞赛模型。设一方的每枚导弹被对方一枚导弹击中的概率为p ，攻击是相互独立的。问当一方以全部导弹攻击对方时，对方平均能幸存多少枚导弹。由此得到双方的安全线，讨论平衡点的存在性。 5．将2.7节的传染病随机感染模型从静态的发展为动态的，即仍利用原来的假设。记第k 天的病人和健康者的人数为k i 和k s ，求k i 或k s 的平均值。 6．在2.8节传送带效率模型中，设工人数n 固定不变。若想提高传送带效率D ，一个简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，其他条件不变。当钩子数增加一倍，按（3）式可使“效率”E 减少一倍。另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中有一只是空的，他就可以挂上产品。试推导这种情况下传送带的效率公式，从数量关系上证明这种办法比第一种办法好。 *7．购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？譬如蓝天牙膏60克装的每支0.96元，150克装的每支2.15元，二者单位重量的价格比是1.17:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 ①分析商品价格c 与商品重量的w 关系。价格由生产成本、运输成本和包装成本等决定。这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积s 成正比，还有与w 无关的因素。 ②写出单位重价格c 与w 的关系，说明w 越大c 越小。 ③说明单价c 随w 增加而下降的速度是负的，其实际意义是什么 ]4[。
学习目标 （1）了解数学建模的方法和步骤以及数学模型的分类。 （2）具备数学建模常用思维方法及能力。 根据研究目的，对研究的过程和现象（称为现实原型或原型）的主要特征、主要关系采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构。所谓“数学化”，指的就是构造数学模型通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法，简称为MM方法。 数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学建模有广义和狭义两种解释。广义的说，数学概念，如数、几何、向量、方程都可称为数学模型；狭义的说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方式。数学模型大致可以分为两类：（1）描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是微分方程、积分方程和差分方程等；（2）描述客体或然现象的随机性模型。其数学模型方法是科学研究与创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80m左右、体重70kg左右，100m成绩10s左右或更好等。 用字母、数字和其它数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内在联系或与外界联系的模型，它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有利工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。 知识链接 一、数学模型的分类 数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。例如： （1）按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。 （2）安研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、 经济模型、社会模型等。 （3）按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。 （4）按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。 （5）按应用离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。 （6）按人们对事物发展过程的了解程度分：黑箱模型、灰箱模型、白箱模型。 白箱模型指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的 工程技术问题。 灰箱模型指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程 度上都还有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。 黑箱模型指一些内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学 等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂、也可以简化为灰箱模型来研究。 二、数学建模的一般方法 建立数学模型的方法没有一定的模式，但一个理想的模型应该反映系统的全部 重要特征，模型应具有可靠和实用性。 建模的一般方法 1.机理分析 机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反应内部机
第二章初等数学方法建模 数学建模的核心是力求对实际应用问题的解决，而不在于所采用方法的深奥程度。事实上，在对一个问题能够做到完好解决的前提下，朴素性简洁性恰好是构成一个完美的数学模型或数学建模过程的一个重要侧面。本章介绍的几个例子即能够用相对初等的方法得以很好地解决，这里强调选用怎样的工具通常是由问题本身内在决定的，切忌为了炫耀方法而使问题的解决变的烦琐——这正如在良医的眼里，各种药材的价值在其用并在行医中总能做到对症，而不在其名贵程度。 §2.1 公平的席位分配 问题：首先看一个小例子，讨论一个学校中学生代表席位在不同院系之间的公平分配问题。问题产生的原因在于人数是一个整型量，因此在通常情况下不能严格保证各个院系（团体）最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。也即说对一个席位分配方案不能要求其在任何情况下均能作到绝对公平，但却可要求其分配结果的整体不公平程度尽可能降低。 在下表中反映的是当总席位数分别为、时，参照惯例在人数分别为 的三个不同系的分配结果。“惯例”在这里是指首先计算各系按照比 例所应该分得的席位，然后取其整数部分作为各系第一阶段分到的席位，而在第二阶段将剩余的席位按照各系比例分配数的小数部分的大小取较大的几个系， 丙系分到的席位数反降为3席。这一“矛盾性结果”同样不符合我们对一个好的席位分配算法的预期：假定各系人数已确定，考虑总席位数增加时，一个席位分配算法的结果至少须保证对每一系所最终分得的席位数不减。要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。 一、A、B两方席位的公平分配： 双方人数分别记为，占有席位记为，分别代表的人数应为。