（ 2012 届）
本科毕业论文（设计）
题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
学院：教师教育学院
专业：数学与应用数学（师范）
班级：数学082
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我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。
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第三章 复变函数的积分 §3-1复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】 复变函数积分的定义： 设C 为复平面上以0z 为起点，而以z %为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=%L 把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -] 上任取一点k ξ作和数： ()()()11 1 n n n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=?∑∑, 其中1k k k z z z -?=- 如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -?=-）趋于零时， 和式()1 n k k k f z ξ=?∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿 路径C 由0z 到z %的积分: ()()1 lim lim n n k k C n n k f z dz S f z ξ→∞ →∞ ===?∑? ， C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。 若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()C f z dz ?? . (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。)
2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是 ()()()(),,C C f z dz u x y iv x y dx idy =++?????? ()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ????=-++???? ??， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质： （1）0C dz z z =-?%，z %、0z 分别为C 之起点、终点。 （2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±???????，1a 、2a 为复常数。 （3）()()()1 2 C C C f z dz f z dz f z dz =+???, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接 而成。 （4）()()C C f z dz f z dz - =-??, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。 4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ??时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()C C f z dz f z dz - =-??蜒 ）。 以后凡遇围道积分，如 不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆时钟方向，C - 代表顺时钟方向)
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2 y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ） 1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15 66 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ） 4 π （B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π+的直线段，则z C ze dz =? [ ] （A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且 ()2i i f z dz i ππ π-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题 1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则2232 (4)?C z z dz z -+=-?10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02 i z i i z i i i e dz e e e ππ ππππ---==-=?
2 2222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------??==- ?????--=-=-=+ ?? ? ?? （3） 1 1 0sin (sin cos )sin1cos1. z zdz z z z =-=-? （4） 20 222 cos sin 1sin sin().2 22 i i z z dz z i ππππ= =?=-? 2．计算积分||C z dz z ??的值，其中C 为正向圆周： （1） 220 0||2 2,022224. 2 i i i z C z e e ie d id i θθ ππθθπ θθπ-==≤≤?==? ?积分曲线的方程为 则原积分I=
柯西积分公式的应用 姓名：武小娜 班级：2014级数学教育 学号：201430626 摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用. 关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式. 1 前言 的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去． 2 预备知识 2.1 柯西积分定理 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=?c dz z f ． 2.2 推广的柯西积分定理
设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则 0)(=?c dz z f ． 2.3 复周线柯西积分定理 设D 是有复周线---++++=n C C C Λ210C C 所围成的有界1+n 连通区域，函数 )z (f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则0)(=?c dz z f ． 2.4 柯西积分公式 3.2 高阶导数公式 设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，并且有 这是一个用解析函数)(z f 的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式． 现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一
种简单的证明． 引理 设Γ是一条可求长的曲线，)(z f 是Γ上的连续函数，对于每个自然数m 及复平面C 上的每个点Γ?z ，定义函数 那么每个)(z F m 在区域Γ-=C D 上解析，且 证明：首先证明)(z F m 是区域G 上的连续函数，即要证明，对于G 内的任意点a ，不论0>ε多么小，总存在0>δ，只要δ<-a z （z 在G 内的点），就有 2 ,2r r z r r a >≥->≥-ζζ．于是有（2）得 l r Mm a z a F z F m m m 1)2()()(+-<-， 其中l 为曲线Γ的长． 令 l Mm r a z l r Mm a z m m m 1112)2(+++<-?<-εε．
复变函数的积分及其计算方法 石睿 (北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118) 摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。 关键词：柯西定理；柯西积分公式 引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论. 复积分的概念： 设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。函数f(z)在C 上有定义。把曲线C 任意分成n 个小弧段。设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段 zk-1zk 上任取一点ζ k =ξ k +i η k ，做合式k n k k n k k k k n Δz )f(ζ)z (z )f(ζ S ∑∑==-?=-?= 1 1 1，其中 k k k k k y i x z z z ?+?=-=?-1 。 记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对 C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作 复积分的计算方法： 复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 设 ???==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则???'+'+'-'=β α β α t t y t y t x u t x t y t x v i t t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )( ?'+'+= β αt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ |,|max 1k n k z ?=≤≤λ.)(lim d )(1 0k n k k C z f z z f ??=∑ ? =→ζλ
第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变 函数积分的基本性质、柯西积分定理. 教学要求：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线 上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学过程： 一、复变函数的积分的定义 定义3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中 ),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点 B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中 ),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=
在每个狐段上任取一点k k k ηξ?+=，作和式 ))((11 -=-∑k n k k k z z f ? （1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξ?+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作 =? C z z f d )())((lim 11 -=→-∑k n k k k z z f ?λ 当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作?- C z z f d )( 当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C ? 定理3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且 ,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C C C ++-= ?? ? （2） 证明： ) )((11 -=-∑k n k k k z z f ? )]())][(,(),([11 1k k n k k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ ], ))(,())(,([) )(,())(,(1 1 11 11 1 11 1∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ 由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知 ),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有
（ 2012 届） 本科毕业论文（设计） 题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 学院：教师教育学院 专业：数学与应用数学（师范） 班级：数学082 学号： 姓名： 指导教师： 完成日期： 教务处制
诚信声明 我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日
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柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 王莉莉 （嘉兴学院数学与信息工程学院） 摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式. 关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理
复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，
z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：
柯西积分定理的一个简单证明 摘要：本文用到零的同源环给出了柯西定理的一个证明。证明运用了解析函数基本的局部性质，没有额外的几何以及拓扑论证。 本文的目的是给出关于柯西定理for circuits homologous to 0的一个简洁明了的证明。 柯西定理：假设D 是C 的一个开子集，γ是D 中的一个环。假设γ是与零同源的，并且每个E 中的D ω?都是确定的。那么对于每一个D 中解析函数f ： （1）()0f z dz γ=? （2）对于任意与γ无关且属于D 的w ，有11(,)()(2) ()()Ind w f w i z w f z dz γγπ--=-? 证明：考虑D D C ?→的函数g ，且对z w ≠满足(,)(()())/()g w z f z f w z w =--，(,)'()g w w f w =。可知g 是连续的，并且对每个,z w ，(,)g w z 是解析的。给定:h C C →，并且在D 上()(,)h w g w z dz γ=?，在E 上1()()()h w z w f z dz γ-=-?。假设C D E =?，由 于(,)0Ind w γ=，则这两种()h w 的表示在D E ?是相等的。 那么可知h 在D 和E 上都是可导的，所以h 是整函数。由于γ的映射是有限的，并且E 包含了∞的一个邻域，()0h w →时有w →∞。这表明h 是连续的（刘伟尔定理），并且h=0.则对于所有D ω∈不依赖于γ，(,)g w z dz γ?=0。这样就证明了（2） 。最后设u 是D 中不依赖于γ的定点。将（2）用于函数()()z f z z u →-，计算w u =的情况，便得到（1）。
关于求积分的各种方法的总结 摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍. 关键词：积分，解析，函数，曲线 1.利用定义求积分 例1、计算积分()dz ix y x c ?+-2，积分路径C 是连接由0到i +1的直线段. 解：()10≤≤=x x y 为从点0到点i +1的直线方程，于是 ()dz ix y x c ?+-2 ()()iy x d ix y x i ++-= ?+10 2 ()()ix x d ix x x ++-= ?1 2 ()dx x i i ?+=1 21 3 1i -- =. 2.利用柯西积分定理求积分 柯西积分定理：设()z f 在单连通区域 D 内解析，C 为D 内任一条周线，则 ()0=?dz z f c . 柯西积分定理的等价形式：设C 是一条周线， D 为C 之内部，()z f 在闭域 C D D +=上解析，则()0=?dz z f c . 例2、求dz i z z c ? +cos ，其中C 为圆周13=+i z ， 解：圆周C 为()13=--z z ，被积函数的奇点为i -，在C 的外部， 于是， i z z +cos 在以C 为边界的闭圆13≤+i z 上解析， 故由柯西积分定理的等价形式得dz i z z c ? +cos 0=. 如果D 为多连通区域，有如下定理： 设D 是由复周线---+++=n C C C C C 210所构成的有界多连通区域，()z f 在D 内
柯西积分公式的应用 摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用. 关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式. 1 前言 《实变函数与泛函分析》是综合性大学理工科的基础课程，其中柯西积分定理和柯西积分公式是基础，是关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一．许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的． 柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述．但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面．有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够．考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义． 通过阅读大量的专着，期刊还有网上的资料，本文将对实变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去． 2 预备知识 柯西积分定理 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=?c dz z f ． 推广的柯西积分定理 设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则 0)(=?c dz z f ． 复周线柯西积分定理
Cauchy积分定理证明及讨论 Cauchy积分定理是复变函数学中极为重要的理论，它给出了解析函数积分与路径无关的几个等价定理，提供了计算复变函数积分的一种简便方法，并成为证明复变函数问题的一种有力工具，同时与后面章节中的留数紧密相关。课本在“)('z f是G内的连续函数”这一条件下给出了黎曼证明，本论文将给出严谨的古莎证明，并进一步讨论与Cauchy积分定理相关的内容。 1.Cauchy积分定理基础知识.................................................................................................... - 2 - 1.1.Cauchy积分定理定义 ................................................................................................ - 2 -
1.2.黎曼证明 ....................................................................................................................... - 2 - 1.3.Cauchy 积分定理的推广 ............................................................................................ - 3 - 2.古莎证明 .................................................................................................................................. - 4 - 2.1.证明思想 ....................................................................................................................... - 4 - 3.一种新的证明方法 .................................................................................................................. - 4 - 4.Cauchy 积分定理应用 ............................................................................................................ - 6 - 5.Cauchy 积分定理与其他定理的关系 .................................................................................... - 7 - 5.1.Cauchy 积分定理与柯西积分公式的关系 ................................................................. - 7 - 5.2.Cauchy 积分定理与留数定理的关系 ......................................................................... - 8 - 5.3.Cauchy 积分定理与高阶导数公式的关系 ................................................................. - 9 - 6.小结 .......................................................................................................................................... - 9 - 1.Cauchy 积分定理基础知识 1.1.Cauchy 积分定理定义 首先给出Cauchy 积分定理的定义：设f(z)是单连通区域G 上的解析函数，γ 是G 中任意一条回路，则 ?=γ 0)(dz z f 1.2.黎曼证明 在“f(z)是G 内的连续函数”条件下，很容易得到黎曼证明： ???++-=γ γ γ dy y x u dx y x v i dy y x u dx y x u dz z f ),(),(),(),()(