第一部分函数图象中点得存在性问题§1.1 因动点产生得相似三角形问题
例1 2014年衡阳市中考第28题
例2 2014年益阳市中考第21题
例3 2015年湘西州中考第26题
例4 2015年张家界市中考第25题
例5 2016年常德市中考第26题
例6 2016年岳阳市中考第24题
例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题
例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题
§1.2 因动点产生得等腰三角形问题
例9 2014年长沙市中考第26题
例10 2014年张家界市第25题
例11 2014年邵阳市中考第26题
例12 2014年娄底市中考第27题
例13 2015年怀化市中考第22题
例14 2015年长沙市中考第26题
例15 2016年娄底市中考第26题
例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题
例17 2016年河南省中考第23题
例18 2016年重庆市中考第25题
§1.3 因动点产生得直角三角形问题
例20 2015年湘潭市中考第26题
例21 2016年郴州市中考第26题
例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题
例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题
§1.4 因动点产生得平行四边形问题
例24 2014年岳阳市中考第24题
例25 2014年益阳市中考第20题
例26 2014年邵阳市中考第25题
例27 2015年郴州市中考第25题
例28 2015年黄冈市中考第24题
例29 2016年衡阳市中考第26题
例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题
§1.5 因动点产生得面积问题
例32 2014年常德市中考第25题
例33 2014年永州市中考第25题
例34 2014年怀化市中考第24题
例35 2015年邵阳市中考第26题
例36 2015年株洲市中考第23题
例37 2015年衡阳市中考第28题
例38 2016年益阳市中考第22题
例40 2016年邵阳市中考第26题
例41 2016年陕西省中考第25题
§1.6 因动点产生得相切问题
例42 2014年衡阳市中考第27题
例43 2014年株洲市中考第23题
例44 2015年湘潭市中考第25题
例45 2015年湘西州中考第25题
例46 2016年娄底市中考第25题
例47 2016年湘潭市中考第26题
例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题
例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题
§1.7 因动点产生得线段与差问题
例50 2014年郴州市中考第26题
例51 2014年湘西州中考第25题
例52 2015年岳阳市中考第24题
例53 2015年济南市中考第28题
例54 2015年沈阳市中考第25题
例55 2016年福州市中考第26题
例56 2016年张家界市中考第24题
例57 2016年益阳市中考第21题
第二部分图形运动中得函数关系问题
§2.1 由比例线段产生得函数关系问题
例1 2014年常德市中考第26题
例2 2014年湘潭市中考第25题
例3 2014年郴州市中考第25题
例4 2015年常德市中考第25题
例5 2015年郴州市中考第26题
例6 2015年邵阳市中考第25题
例7 2015年娄底市中考第26题
例8 2016年郴州市中考第25题
例9 2016年湘西州中考第26题
例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题
例11 2016年哈尔滨市中考第27题
第三部分图形运动中得计算说理问题§3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 2014年长沙市中考第25题
例2 2014年怀化市中考第23题
例3 2014年湘潭市中考第26题
例4 2014年株洲市中考第24题
例5 2015年衡阳市中考第27题
例6 2015年娄底市中考第25题
例7 2015年永州市中考第26题
例8 2015年长沙市中考第25题
例10 2016年怀化市中考第22题
例11 2016年邵阳市中考第25题
例12 2016年株洲市中考第26题
例13 2016年长沙市中考第25题
例14 2016年长沙市中考第26题
§3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题
例15 2014年衡阳市中考第26题
例16 2014年娄底市中考第26题
例17 2014年岳阳市中考第23题
例18 2015年常德市中考第26题
例19 2015年益阳市中考第20题
例20 2015年永州市中考第27题
例21 2015年岳阳市中考第23题
例22 2016年常德市中考第25题
例23 2016年衡阳市中考第25题
例24 2016年永州市中考第27题
例25 2016年岳阳市中考第23题
例26 2016年株洲市中考第25题
例27 2016年湘潭市中考第25题
第四部分图形得平移、翻折与旋转§4.1 图形得平移
例2 2015年咸宁市中考第14题
例3 2015年株洲市中考第14题
例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题
§4.2 图形得翻折
例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题
例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题
例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题
例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题
例10 2016年常德市中考第15题
例11 2016年张家界市中考第14题
例12 2016年淮安市中考第18题
例13 2016年金华市中考第15题
例14 2016年雅安市中考第12题
§4.3 图形得旋转
例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题
例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题
例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题
例20 2016年邵阳市中考第13题
§4.4 三角形
例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例26 2016年苏州市中考第9题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4.5 四边形
例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4.6 圆
例41 2016年宁波市中考第17题
例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题
例44 2016年烟台市中考第18题
例45 2016年无锡市中考第18题
例46 2016年武汉市中考第9题
例47 2016年宿迁市中考第16题
例48 2016年衡阳市中考第17题
例49 2016年邵阳市中考第18题
例50 2016年湘西州中考第18题
例51 2016年永州市中考第20题
§4.7 函数得图象及性质
例52 2015年荆州市中考第9题
例53 2015年德州市中考第12题
例54 2015年烟台市中考第12题
例55 2015年中山市中考第10题
例56 2015年武威市中考第10题
例57 2015年呼与浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题
例59 2016年衡阳市中考第19题
例60 2016年岳阳市中考第15题
例62 2016年永州市中考第19题
例63 2016年岳阳市中考第8题
例64 2016年岳阳市中考第16题
例65 2016年益阳市中考第14题
例66 2016年株洲市中考第10题
例67 2016年株洲市中考第17题
例68 2016年东营市中考第15题
例69 2016年成都市中考第13题
例70 2016年泰州市中考第16题
例71 2016年宿迁市中考第15题
例72 2016年临沂市中考第14题
例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题
例74 2016年淄博市中考第12题
例75 2016年嘉兴市中考第16题
§1.1 因动点产生得相似三角形问题
课前导学
相似三角形得判定定理有3个,其中判定定理1与判定定理2都有对应角相等得条件,因此探求两个三角形相似得动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.
判定定理2就是最常用得解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.
如果已知∠A＝∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A与∠D得两边表示出来,按照对应边成比例,分与两种情况列方程.
应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.
应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).
还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形得锐
角三角比就是确定得,那么就转化为讨论另一个三角形就是直角三角形得问题.
求线段得长,要用到两点间得距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好.
如图1,如果已知A、B两点得坐标,怎样求A、B两点间得距离呢？
我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB得长了.水平距离BC得长就就是A、B两点间得水平距离,等于A、B两点得横坐标相减;竖直距离AC就就是A、B两点间得竖直距离,等于A、B两点得纵坐标相减.
图1
例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题
二次函数y＝a x2＋b x＋c(a≠0)得图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点,与y轴交于点C(0,－3m)(m＞0),顶点为D.
(1)求该二次函数得解析式(系数用含m得代数式表示);
(2)如图1,当m＝2时,点P为第三象限内抛物线上得一个动点,设△APC得面积为S,试求出S与点P得横坐标x之间得函数关系式及S得最大值;
(3)如图2,当m取何值时,以A、D、C三点为顶点得三角形与△OBC相似？
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14衡阳28”,拖动点P运动,可以体验到,当点P运动到AC得中点得正下方时,△APC得面积最大.拖动y轴上表示实数m得点运动,抛物线得形状会改变,可以体验到,∠ACD与∠ADC都可以成为直角.
思路点拨
1.用交点式求抛物线得解析式比较简便.
2.连结OP,△APC可以割补为:△AOP与△COP得与,再减去△AOC.
3.讨论△ACD与△OBC相似,先确定△ACD就是直角三角形,再验证两个直角三角形就是否相似.
4.直角三角形ACD存在两种情况.
图文解析
(1)因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点,设y＝a(x＋3)(x－1).
代入点C(0,－3m),得－3m＝－3a.解得a＝m.
所以该二次函数得解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m.
(2)如图3,连结OP.
当m＝2时,C(0,－6),y＝2x2＋4x－6,那么P(x, 2x2＋4x－6).
由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9,
S△COP＝＝－3x,S△AOC＝9,
所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝.
所以当时,S取得最大值,最大值为.
图3 图4 图5
(3)如图4,过点D作y轴得垂线,垂足为E.过点A作x轴得垂线交DE于F.
由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m,得D(－1,－4m).
在Rt△OBC中,OB∶OC＝1∶3m.
如果△ADC与△OBC相似,那么△ADC就是直角三角形,而且两条直角边得比为1∶3m.
①如图4,当∠ACD＝90°时,.所以.解得m＝1.
此时,.所以.所以△CDA∽△OBC.
②如图5,当∠ADC＝90°时,.所以.解得.
此时,而.因此△DCA与△OBC不相似.
综上所述,当m＝1时,△CDA∽△OBC.
考点伸展
第(2)题还可以这样割补:
如图6,过点P作x轴得垂线与AC交于点H.
由直线AC:y＝－2x－6,可得H(x,－2x－6).
又因为P(x, 2x2＋4x－6),所以HP＝－2x2－6x.
因为△P AH与△PCH有公共底边HP,高得与为A、C
两点间得水平距离3,所以
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH
＝(－2x2－6x)
＝. 图6
例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题
如图1,在直角梯形ABCD中,AB//CD,AD⊥AB,∠B＝60°,AB＝10,BC＝4,点P沿线段AB 从点A向点B运动,设AP＝x.2·1·c·n·j·y
(1)求AD得长;
(2)点P在运动过程中,就是否存在以A、P、D为顶点得
三角形与以P、C、B为顶点得三角形相似？若存在,求出x
得值;若不存在,请说明理由;
(3)设△ADP与△PCB得外接圆得面积分别为S1、S2,若
S＝S1＋S2,求S得最小值、
动感体验图1 请打开几何画板文件名“14益阳21”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,圆心O得运动轨迹就是线段BC得垂直平分线上得一条线段.观察S随点P运动得图象,可以瞧到,S有最小值,此时点P瞧上去象就是AB得中点,其实离得很近而已.
思路点拨
1.第(2)题先确定△PCB就是直角三角形,再验证两个三角形就是否相似.
2.第(3)题理解△PCB得外接圆得圆心O很关键,圆心O在确定得BC得垂直平分线上,同时又在不确定得BP得垂直平分线上.而BP与AP就是相关得,这样就可以以AP为自变量,求S得函数关系式.
图文解析
(1)如图2,作CH⊥AB于H,那么AD＝CH.
在Rt△BCH中,∠B＝60°,BC＝4,所以BH＝2,CH＝.所以AD＝.
(2)因为△APD就是直角三角形,如果△APD与△PCB相似,那么△PCB一定就是直角三角形.
①如图3,当∠CPB＝90°时,AP＝10－2＝8.
所以＝＝,而＝.此时△APD与△PCB不相似.
图2 图3 图4
②如图4,当∠BCP＝90°时,BP＝2BC＝8.所以AP＝2.
所以＝＝.所以∠APD＝60°.此时△APD∽△CBP.
综上所述,当x＝2时,△APD∽△CBP.
(3)如图5,设△ADP得外接圆得圆心为G,那么点G就是斜边DP得中点.
设△PCB得外接圆得圆心为O,那么点O在BC边得垂直平分线上,设这条直线与BC交于点E,与AB交于点F.
设AP＝2m.作OM⊥BP于M,那么BM＝PM＝5－m.
在Rt△BEF中,BE＝2,∠B＝60°,所以BF＝4.
在Rt△OFM中,FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1,∠OFM＝30°,
所以OM＝.
所以OB2＝BM2＋OM2＝.
在Rt△ADP中,DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2.所以GP2＝3＋m2.
于就是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)
＝＝.
所以当时,S取得最小值,最小值为.
图5 图6
考点伸展
关于第(3)题,我们再讨论个问题.
问题1,为什么设AP＝2m呢？这就是因为线段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10.
这样BM＝5－m,后续可以减少一些分数运算.这不影响求S得最小值.
问题2,如果圆心O在线段EF得延长线上,S关于m得解析式就是什么？
如图6,圆心O在线段EF得延长线上时,不同得就是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m.
此时OB2＝BM2＋OM2＝.这并不影响S关于m得解析式.
例3 2015年湖南省湘西市中考第26题
如图1,已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位得速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒个单位得速度匀速运动,连结PQ,设运动时间为t秒.
(1)求抛物线得解析式;
(2)问:当t为何值时,△APQ为直角三角形;
(3)过点P作PE//y轴,交AB于点E,过点Q作QF//y轴,
交抛物线于点F,连结EF,当EF//PQ时,求点F得坐标;
(4)设抛物线顶点为M,连结BP、BM、MQ,问:就是否
存在t得值,使以B、Q、M为顶点得三角形与以O、B、P
为顶点得三角形相似？若存在,请求出t得值;若不存在,请
说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15湘西26”,拖动点P在OA上运动,可以体验到,△APQ有两个时刻可以成为直角三角形,四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形,△MBQ与△BOP 有一次机会相似.
思路点拨
1.在△APQ中,∠A＝45°,夹∠A得两条边AP、AQ都可以用t表示,分两种情况讨论直角三角形APQ.
2.先用含t得式子表示点P、Q得坐标,进而表示点E、F得坐标,根据PE＝QF列方程就好了.
3.△MBQ与△BOP都就是直角三角形,根据直角边对应成比例分两种情况讨论.
图文解析
(1)由y＝－x＋3,得A(3, 0),B(0, 3).
将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c,得解得
所以抛物线得解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)在△APQ中,∠P AQ＝45°,AP＝3－t,AQ＝t.
分两种情况讨论直角三角形APQ:
①当∠PQA＝90°时,AP＝AQ.解方程3－t＝2t,得t＝1(如图2).
②当∠QP A＝90°时,AQ＝AP.解方程t＝(3－t),得t＝1、5(如图3).
图2 图3
(3)如图4,因为PE//QF,当EF//PQ时,四边形EPQF就是平行四边形.
所以EP＝FQ.所以y E－y P＝y F－y Q.
因为x P＝t,x Q＝3－t,所以y E＝3－t,y Q＝t,y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t.
因为y E－y P＝y F－y Q,解方程3－t＝(－t2＋4t)－t,得t＝1,或t＝3(舍去).所以点F得坐标为(2, 3).
图4 图5
(4)由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4,得M(1, 4).
由A(3, 0)、B(0, 3),可知A、B两点间得水平距离、竖直距离相等,AB＝3.
由B(0, 3)、M(1, 4),可知B、M两点间得水平距离、竖直距离相等,BM＝.
所以∠MBQ＝∠BOP＝90°.因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能:
①当时,.解得(如图5).
②当时,.整理,得t2－3t＋3＝0.此方程无实根.
考点伸展
第(3)题也可以用坐标平移得方法:由P(t, 0),E(t, 3－t),Q(3－t, t),按照P→E方向,将点Q向上平移,得F(3－t, 3).再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3,得t＝1,或t＝3.
§1.2 因动点产生得等腰三角形问题
课前导学
我们先回顾两个画图问题:
1.已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰得等腰三角形ABC有多少个？顶点C得轨迹就是什么？
2.已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边得等腰三角形ABC有多少个？顶点C得轨迹就是什么？
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都就是顶点C.
已知底边画等腰三角形,顶角得顶点在底边得垂直平分线上,垂足要除外.
在讨论等腰三角形得存在性问题时,一般都要先分类.
如果△ABC就是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况.
解等腰三角形得存在性问题,有几何法与代数法,把几何法与代数法相结合,可以使得解题又好又快.
几何法一般分三步:分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC得∠A(得余弦值)就是确定得,夹∠A得两边AB与AC可以用含x得式子表示出来,那么就用几何法.
①如图1,如果AB＝AC,直接列方程;②如图2,如果BA＝BC,那么;③如图3,如果CA＝CB,那么.
代数法一般也分三步:罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.
如果三角形得三个角都就是不确定得,而三个顶点得坐标可以用含x得式子表示出来,那么根据两点间得距离公式,三边长(得平方)就可以罗列出来.
图1 图2 图3
例 9 2014年长沙市中考第26题
如图1,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c就是常数,a≠0)得对称轴为y轴,且经过(0,0)与两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心得⊙P总经过定点A(0, 2).
(1)求a、b、c得值;
(2)求证:在点P运动得过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P得纵坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙26”,拖动圆心P在抛物线上运动,可以体验到,圆与x 轴总就是相交得,等腰三角形AMN存在五种情况.
思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙,原来⊙P在x轴上截得得弦长MN＝4就是定值.
2.等腰三角形AMN存在五种情况,点P得纵坐标有三个值,根据对称性,MA＝MN与NA ＝NM时,点P得纵坐标就是相等得.
图文解析
(1)已知抛物线得顶点为(0,0),所以y＝ax2.所以b＝0,c＝0.
将代入y＝ax2,得.解得(舍去了负值).
(2)抛物线得解析式为,设点P得坐标为.
已知A(0, 2),所以＞.
而圆心P到x轴得距离为,所以半径P A＞圆心P到x轴得距离.
所以在点P运动得过程中,⊙P始终与x轴相交.
(3)如图2,设MN得中点为H,那么PH垂直平分MN.
在Rt△PMH中,,,所以MH2＝4.
所以MH＝2.因此MN＝4,为定值.
等腰△AMN存在三种情况:
①如图3,当AM＝AN时,点P为原点O重合,此时点P得纵坐标为0.
图2 图3
②如图4,当MA＝MN时,在Rt△AOM中,OA＝2,AM＝4,所以OM＝2.
此时x＝OH＝2.所以点P得纵坐标为.
如图5,当NA＝NM时,根据对称性,点P得纵坐标为也为.
图4 图5
③如图6,当NA＝NM＝4时,在Rt△AON中,OA＝2,AN＝4,所以ON＝2.
此时x＝OH＝2.所以点P得纵坐标为.
如图7,当MN＝MA＝4时,根据对称性,点P得纵坐标也为.
图6 图7
考点伸展
如果点P在抛物线上运动,以点P为圆心得⊙P总经过定点B(0, 1),那么在点P运动得过程中,⊙P始终与直线y＝－1相切.这就是因为:
设点P得坐标为.
已知B(0, 1),所以.
而圆心P到直线y＝－1得距离也为,所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1得距离.所以在点P运动得过程中,⊙P始终与直线y＝－1相切.
例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题
如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过O、B、C三
点,B、C坐标分别为(10, 0)与,以OB为直径得⊙A经过C点,直线l垂直x轴于B点.
(1)求直线BC得解析式;
(2)求抛物线解析式及顶点坐标;
(3)点M就是⊙A上一动点(不同于O、B),过点M
作⊙A得切线,交y轴于点E,交直线l于点F,设线段
ME长为m,MF长为n,请猜想mn得值,并证明您得结
论;
(4)若点P从O出发,以每秒1个单位得速度向点
B作直线运动,点Q同时从B出发,以相同速度向点C
作直线运动,经过t(0＜t≤8)秒时恰好使△BPQ为等
腰三角形,请求出满足条件得t值.
图
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14张家界25”,拖动点M在圆上运动,可以体验到,△EAF保持直角三角形得形状,AM就是斜边上得高.拖动点Q在BC上运动,可以体验到,△BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形.
思路点拨
1.从直线BC得解析式可以得到∠OBC得三角比,为讨论等腰三角形BPQ作铺垫.
2.设交点式求抛物线得解析式比较简便.
3.第(3)题连结AE、AF容易瞧到AM就是直角三角形EAF斜边上得高.
4.第(4)题得△PBQ中,∠B就是确定得,夹∠B得两条边可以用含t得式子表示.分三种情况讨论等腰三角形.
图文解析
(1)直线BC得解析式为.
(2)因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点,设y＝ax(x－10).
代入点C,得.解得.
所以.
抛物线得顶点为.
(3)如图2,因为EF切⊙A于M,所以AM⊥EF.
由AE＝AE,AO＝AM,可得Rt△AOE≌Rt△AME.
所以∠1＝∠2.
同理∠3＝∠4.
于就是可得∠EAF＝90°.
所以∠5＝∠1.由tan∠5＝tan∠1,得.
所以ME·MF＝MA2,即mn＝25.
2020 挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F． （1）求证：AH=BD； （2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式； （3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2． （1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值； （3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G． （1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值； （2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由； （3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市中考第24题 例2 苏州市中考第29题 例3 黄冈市中考第25题 例4 义乌市中考第24题 例5 临沂市中考第26题 例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 上海市虹口区中考模拟第25题 例2 扬州市中考第27题 例3 临沂市中考第26题 例4 湖州市中考第24题 例5 盐城市中考第28题 例6 南通市中考第27题 例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 山西省中考第26题 例2 广州市中考第24题 例3 杭州市中考第22题 例4 浙江省中考第23题 例5 北京市中考第24题 例6 嘉兴市中考第24题 例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 上海市松江区中考模拟第24题 例2 福州市中考第21题 例3 烟台市中考第26题 例4 上海市中考第24题 例5 江西省中考第24题 例6 山西省中考第26题 例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 上海市松江中考模拟第24题 例2 衢州市中考第24题 例4 义乌市中考第24题
例5 杭州市中考第24题 例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 苏州市中考第29题 例2 菏泽市中考第21题 例3 河南省中考第23题 例4 南通市中考第28题 例5 广州市中考第25题 例6 扬州市中考第28题 例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 河北省中考第25题 例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 天津市中考第25题 例2 滨州市中考第24题 例3 山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 宁波市中考第26题 例2 上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 连云港市中考第26题 例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 菏泽市中考第21题 例2 广东省中考第22题 例3 河北省中考第26题 例4 淮安市中考第28题 例5 山西省中考第26题 例6 重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 南京市中考第26题 例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 江西省中考第24题
中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
中考数学压轴题汇总（一） 17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标； （2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得 AB 2＝BP·BE ，能否推出AP ⊥BE ？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由. [解] （1） C （5，-4）； （2）能。连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°. 在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP· BE , 即AB BE BP AB , 又 ∠ABE=∠PBA, ∴△ABE ∽△PBA . ∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP ⊥BE . （3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ； ②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt △EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ ⊥EB 之垂足； ③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR ⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程： ① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意； ② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90°
第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1因动点产生的相似三角形问题 例1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例2 2014 年益阳市中考第 21 题 例3 2015 年湘西州中考第 26 题 例4 2015 年张家界市中考第 25 题 例5 2016 年常德市中考第 26 题 例6 2016 年岳阳市中考第 24 题 例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题 例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题 §1．2因动点产生的等腰三角形问题 例9 2014 年长沙市中考第 26 题 例10 2014 年张家界市第 25 题 例11 2014 年邵阳市中考第 26 题 例12 2014 年娄底市中考第 27 题 例13 2015 年怀化市中考第 22 题 例14 2015 年长沙市中考第 26 题 例15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题
§1．3因动点产生的直角三角形问题 例19 2015 年益阳市中考第 21 题 例20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例21 2016 年郴州市中考第 26 题 例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1．4因动点产生的平行四边形问题 例24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例25 2014 年益阳市中考第 20 题 例26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例27 2015 年郴州市中考第 25 题 例28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1．5因动点产生的面积问题 例32 2014 年常德市中考第 25 题 例33 2014 年永州市中考第 25 题
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y= 1 100 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需 支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150 1 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 2 x 元 的附加费，设月利润为w 外（元）（利润=销售额－成本－附加费）． （1）当x=1000时，y =元/件，w 内=元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线 2(0) yaxbxca 的顶点坐标是 2 b4acb (,) 2a4a ． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y=x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P.已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段A B 、CD 交于点M 、N. ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； 21 8 ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分 成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. y ADP O －1 1 x N M BC 图15 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则A H=，AC=，△ABC 的面积S △ABC=； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ， 设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD=0）
中考数学压轴题解题技巧及训练完整版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考数学压轴题解题技巧 （完整版） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠. (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解： (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：200622．(10分)如图10-1 ⊙M 交 x 轴于 A B 、两点，交y 轴于 C D 、两点，且C A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分 ) 如图10-2，过点 D 作⊙M 的切线，交x 轴于点的圆周上运动时， PF OF 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB OD OB =，BD 交OC 于点E ． （1）求BEC ∠的度数． （2）求点E 的坐标． （3）求过B O D ，， 5== ② 1== ；③ ==等运算都是分母有理化） 200723．如图7x 相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长． （2）若一个扇形的周长等于（1大面积是多少？ （3）如图8，线段AB M ，分别求出 图6
OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM += 是否成立． （4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o ∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明：222 111 a +=． 2+bx 点， 3 1 ． F ，使以点A 、 C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 200922．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 200923．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 201022．（本题9分）如图9，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） 图7 图8 图9
2015年中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题． 1. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30， D ， E ， F 分别是AC ，AB ， B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线B C -CA 于 点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值． 2. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值． （4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值． 3. （的B 备用图 F E D C B A
20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合） ，直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。 （1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =； （2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥； （3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。 （2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接 正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上） ，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。
3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0） ，与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ． （1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明 理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物 线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值； （2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的 垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛 物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y
k 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 2.如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任 意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
3.如图1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)() y x x m m =-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y 轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 图1 4.如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
D C B A 2. （2007河北）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点 P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？ （3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的关系式； （4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由． 备用图 3. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分 别是AC ，AB ，B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．． 写出t 的值．