目录
第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例2 2014年武汉市中考第24题
例3 2012年苏州市中考第29题
例4 2012年黄冈市中考第25题
例5 2010年义乌市中考第24题
例6 2009年临沂市中考第26题
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2015年重庆市中考第25题
例2 2014年长沙市中考第第26题
例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
例42012年扬州市中考第27题
例5 2012年临沂市中考第26题
例62011年盐城市中考第28题
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例12015年上海市虹口区中考模拟第25题
例22014年苏州市中考第29题
例3 2013年山西省中考第26题
例4 2012年广州市中考第24题
例5 2012年杭州市中考第22题
例6 2011年浙江省中考第23题
例7 2010年北京市中考第24题
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 2015年成都市中考第28题
例2 2014年陕西省中考第24题
例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题
例42012年福州市中考第21题
例5 2012年烟台市中考第26题
例6 2011年上海市中考第24题
例7 2011年江西省中考第24题
1.5 因动点产生的梯形问题
例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题
例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题例3 2012年上海市松江中考模拟第24题
例4 2012年衢州市中考第24题
例5 2011年义乌市中考第24题
1.6 因动点产生的面积问题
例1 2015年河南市中考第23题
例22014年昆明市中考第23题
例3 2013年苏州市中考第29题
例4 2012年菏泽市中考第21题
例5 2012年河南省中考第23题
例62011年南通市中考第28题
例72010年广州市中考第25题
1.7因动点产生的相切问题
例12015年上海市闵行区中考模拟第24题
例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8因动点产生的线段和差问题
例1 2015年福州市中考第26题
例22014年广州市中考第24题
例3 2013年天津市中考第25题
例4 2012年滨州市中考第24题
第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例12015年呼和浩特市中考第25题
例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 2013年宁波市中考第26题
例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题
例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题
例2 2014年黄冈市中考第25题
例3 2013年菏泽市中考第21题
例4 2012年广东省中考第22题
例5 2012年河北省中考第26题
例6 2011年淮安市中考第28题
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例12015年北京市中考第29题
例2 2014年福州市中考第22题
例3 2013年南京市中考第26题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例12015年杭州市中考第22题
例2 2014年安徽省中考第23题
例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
第四部分图形的平移翻折与旋转
4.1图形的平移
例12015年泰安市中考第15题
例2 2014年江西省中考第11题
4.2图形的翻折
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题
4.3图形的旋转
例12015年扬州市中考第17题
例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题
4.4三角形
例12015年上海市长宁区中考模拟第18题
例2 2014年泰州市中考第16题
4.5四边形
例12015年安徽省中考第19题
例2 2014年广州市中考第8题
4.6圆
例12015年兰州市中考第15题
例22014年温州市中考第16题
4.7函数图像的性质
例12015年青岛市中考第8题
例2 2014年苏州市中考第18题
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直
线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC
与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC 的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E 在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．
思路点拨
1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．
2．求△ABC的面积，一般用割补法．
3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．
满分解答
（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A 的坐标为(2, 4)．
将点A(2, 4)代入k
=，得k＝8．
y
x
（2）将点B(n, 2)，代入8
=，得n＝
y
x
4．
所以点B的坐标为(4, 2)．
设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4,
2)，得b＝－2．
所以点C的坐标为(0,－2)．
由A(2, 4)、B(4, 2)、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和
竖直距离都是4．
所以AB ＝
BC ＝90°． 图2
所以S△ABC＝1
2BA BC ?＝12?＝8．
（3）由A(2, 4)、D(0, 2)、C (0,－2)，得AD ＝
AC ＝．
由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠AC D ＝45°，所
以∠DAC＝∠ACE．
所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：
①如图3，当CE AD
CA AC =时，CE ＝AD ＝．
此时△ACD≌△CAE，相似比为1．
②如图4，当CE AC
CA AD
==CE ＝
．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所
以E(10, 8)．
图 3
图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是
直角三角形．
一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补
法．
如图5，作△ABC 的外接矩形HCNM ，MN//y 轴．
由S 矩形HCNM ＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN
＝8，得S△ABC＝8．
图5
例22014年武汉市中考第24题
如图1，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8
cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向
点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒
4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜
2），连接PQ ．
（1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；
（2）如图2，连接AQ 、CP ，若AQ⊥CP，求t 的值；
（3）试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
图 1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P 运
动，可以体验到，若△BPQ 可以两次成为直角三角形，与
△ABC 相似．当AQ⊥CP 时，△ACQ∽△CDP．PQ 的中点H 在
△ABC 的中位线EF 上．
思路点拨
1．△BPQ 与△ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边
成比例，分两种情况列方程．
2．作PD⊥BC 于D ，动点P 、Q 的速度，暗含了BD ＝
CQ ．
3．PQ 的中点H 在哪条中位线上？画两个不同时刻P 、
Q 、H 的位置，一目了然．
满分解答
（1）Rt△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10．
△BPQ 与△ABC 相似，存在两种情况： ① 如果BP BA BQ BC
=，那么510848t t =-．解得t ＝1． ② 如果BP BC
BQ BA =，那么588410t t =-．解得3241
t =． 图3 图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D ．
在Rt△BPD 中，BP ＝5t ，cosB ＝45
，所以BD ＝BPcosB ＝4t ，PD ＝3t ．
当AQ⊥CP 时，△ACQ∽△CDP． 所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78
t =． 图
5
图6 （3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为
F ，交AB 于E ．
由于H 是PQ 的中点，HF//PD ，所以F 是QD 的中点．
又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．
因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．
所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．
考点伸展
本题情景下，如果以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相
切，求t 的值．
如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP⊥AB，就是BP BC BQ BA
=，3241
t =． 如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ⊥BC，就是BP BA BQ BC
=，t ＝1．
如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径
PQ =
半径等于FC ＝4
8=． 解得12873
t =，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．
图7 图 8 图9
图10
例3 2012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左
侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________
（用含b 的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边
形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等
腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存
在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使
得△QCO、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全
等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐
标；如果不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x
轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离
相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮
“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA＝∠B
的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B 的时刻．
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到
两坐标轴的距离相等．
2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三
角形，底边可以用含b 的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉
这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A
与x 轴垂直的直线上．
满分解答
（1）B 的坐标为(b, 0)，点C 的坐标为(0, 4
b )． （2）如图2，过点P 作PD⊥x 轴，PE⊥y 轴，垂足分
别为D 、E ，那么△PDB≌△PEC．
因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．
如图3，联结OP ．
所以S 四边形PCOB ＝S△PCO ＋S△PBO ＝
1152428
b x b x bx ??+??=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55
)． 图2 图3
（3）由2111(1)(1)()4444
b y x b x x x b =-++=--，得A(1, 0)，OA ＝1．
①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么
△OQC≌△QOA． 当BA QA QA OA
=，即2QA BA OA =?时，△BQA∽△QOA． 所以
2()14b b =-．解得8b =±．所以符合题意的点Q 为
(1,2+．
②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那
么∠OQC＝90°。
因此△OCQ∽△QOA． 当BA QA QA OA
=时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA CO OA =，即1
4b QA b
=．解得4QA =．此时Q(1,4)．
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x
轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我
们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下
来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．
如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题
意的点Q 呢？
如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，
这与OB ＝4OC 矛盾．
例4 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x m m
=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左
侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m 的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点
H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F ，使
得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，
求m 的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C 在x
轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与BF 保持
平行，但是∠BFC 在无限远处也不等于45°．观察右图，
可以体验到，∠CBF 保持45°，存在∠BFC＝∠BCE 的时
刻．
思路点拨
1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线
段EC 上时，BH ＋EH 最小．
2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线
BF ，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC ．再用含m 的
式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比
例列关于m 的方程．
满分解答
（1）将M(2, 2)代入1(2)()y x x m m
=-+-，得124(2)m m =-?-．解得m ＝4．
（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以
C(4, 0)，E(0, 2)．
所以S△BCE＝1162622
BC OE ?=??=． （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在
线段EC 上时，BH ＋EH 最小．
设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO
=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2
． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，
过点F 作FF′⊥x 轴于F′． 由于∠BCE＝∠FBC，所以当CE BC CB BF
=，即2BC CE BF =?时，△BCE∽△FBC．
设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得
1(2)()22x x m m x m
+-=+． 解得x ＝m ＋2．所以F′(m＋2, 0)． 由'CO BF CE BF =
4m BF +=
．所以BF =． 由2BC CE BF =?
，得2(2)m +=
整理，得0＝16．此方程无解．
图 2 图 3
图4
②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F ，过点F 作
FF′⊥x 轴于F′， 由于∠EBC＝∠CBF，所以BE BC BC BF
=，即2BC BE BF =?时，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由
FF′＝BF′，得
1(2)()2x x m x m +-=+． 解得x ＝2m ．所以F′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，
2)BF m =+．
由
2BC BE BF =?，得2(2)2)m m +=+．解得
2m =±
综合①、②，符合题意的m 为
2+
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F′、F 的
坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．
例5 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，
0）、A （2，0）、B （6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐
标；
（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、
CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、
A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形
O1A1B1C1的面积为S ，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、
(x2，y2)．用含S 的代数式表示x2－x1，并求出当S=36
时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点
B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段B
C 运动，动
点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运
动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同
时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一
时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线
PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存
在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
图 1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下
运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S 的增大
而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运
动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF 与△GQE
相似．
思路点拨
1．第（2）题用含S 的代数式表示x2－x1，我们反其
道而行之，用x1，x2表示S ．再注意平移过程中梯形的高
保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算
结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策
略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x
轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变
化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x
轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为
21184y x x =-，顶点为M （1，18
-）． （
2） 梯形O1A1B1C1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-?3==+-，由此得到1223
s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484
y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ??-+-=????．因此得到2172x x S -=． 当S=36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得126,8.
x x =??=? 此时点A1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的
对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相
似的△GAF 与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹
角，为定值．
在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定
值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF 的可能，△GQE∽△GAF．这
时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以
345t t =-．解得207
t =． 图 3
图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，
假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事
实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更
接近图3．
例6 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B （1，0)、C （0，－
2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM⊥x 轴，垂
足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与
△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若
不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA
的面积最大，求出点D 的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛
物线上运动，可以体验到，△PAM 的形状在变化，分别双
击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右
侧”，可以显示△PAM 与△OAC 相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物
线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可
以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解
析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的
坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等
于OA ．
满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A(4，0)、B （1，0)两
点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标
（0，－2），解得2
1-=a ．所以抛物线的解析式为
22
521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，
)4)(1(2
1---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x
x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2
14)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，
)4)(1(2
1--=x x PM ，4-=x AM ．
解方程
24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为
)2,5(-． 解方程2
14)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意． ③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，
)4)(1(2
1--=
x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x
x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或
)14,3(--或)2,5(-．
图 2 图 3 图4
（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线
AC 的解析式为22
1-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(< )22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)22 1,(-m m ．所以 )221()22521(2---+-=m m m DE m m 22 12+-=． 因此4)221(212?+-=?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为 （2，1）． 图 5 图6 考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等 于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积． 设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(< 42)4(2 1)2(214)22(21++-=--+-?+= n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2015年重庆市中考第25题 如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC＝60°，点 E 是∠BAC 的平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的垂线，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中 点，DH⊥AC，垂足为H ，连接EF ，HF ． （1）如图1，若点H 是AC 的中点，AC ＝ AB 、 BD 的长； （2）如图1，求证：HF ＝EF ． （3）如图2，连接CF 、CE ，猜想：△CEF 是否是等边 三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由． 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E 运 动，可以体验到，△FAE 与△FDH 保持全等，△CMF 与 △CAE 保持全等，△CEF 保持等边三角形的形状． 思路点拨 1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等 角和等边． 2．中点F 有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位 线就有思路构造辅助线了． 满分解答 （1）如图3，在Rt△ABC 中，∠BAC＝60°，AC ＝ AB ＝ 在Rt△ADH 中，∠DAH＝30°，AH DH ＝1， AD ＝2． 在Rt△ADB 中，AD ＝2，AB ＝ BD ＝ （2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分 ∠BAC，得∠DAE＝60°， ∠DAH＝30°． 在Rt△ADE中，AE＝1 AD．在Rt△ADH中，DH＝ 2 1 AD．所以AE＝DH． 2 因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD， ∠FAD＝∠FDA． 所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝ HF． 图3 图4 图5 （3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM． 由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点． 因此FM＝1 AD，△ACM是等边三角形． 2 又因为AE＝1 AD，所以FM＝EA． 2 又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以 △CMF≌△CAE． 所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE． 所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角 形． 考点伸展 我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉 的感觉． 如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C 重合． 图6 图7 如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等 腰梯形ABEC． 图8 图9 图10 图11 例22014年长沙市中考第26题 如图1，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数， a≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1 )16 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A(0, 2)． （1）求a 、b 、c 的值； （2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相 交； （3）设⊙P 与x 轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点， 当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在 抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰 三角形AMN 存在三种情况． 思路点拨 1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得 的弦长MN ＝4是定值． 2．等腰三角形AMN 存在三种情况，其中MA ＝MN 和NA ＝NM 两种情况时，点P 的纵坐标是相等的． 满分解答 （1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax2．所以 b ＝0， c ＝0． 将1 )16代入y ＝ax2，得2116a =．解得14 a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为 214y x =，设点P 的坐标为 21(,)4x x ． 已知A(0, 2)，所以PA = ＞214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214 x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交． （3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分 MN ． 在Rt△PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416 PH x x ==，所以MH2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值． 等腰△AMN 存在三种情况： ①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点 P 的纵坐标为0． 图 2 图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt△AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝ 此时x ＝OH ＝2 2．所以点P 的纵坐标为 222112)1)444 x ===+ ③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为 4+ 图 4 图5 考点伸展 如果点P 在抛物线214 y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B(0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终 与直线y ＝－1相切．这是因为： 设点P 的坐标为21(,)4 x x ． 已知B(0, 1)，所以2114PB x = +． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114 x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程 中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切． 例32013年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝6，AC ＝8， 点D 为边BC 的中点，DE⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线 AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ＝ 90°． （1）求ED 、EC 的长； （2）若BP ＝2，求CQ 的长； （3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等 腰三角形，求BP 的长． 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P 在射 线AB 上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN 保持相似．观 察△PDF，可以看到，P 、F 可以落在对边的垂直平分线 上，不存在DF ＝DP 的情况． 请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P 在射 线AB 上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN 保持相似．观 察△PDF，可以看到，P 、F 可以落在对边的垂直平分线 上，不存在DF ＝DP 的情况． 思路点拨 1．第（2）题BP ＝2分两种情况． 2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题 意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角 形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ ． 满分解答 （1）在Rt△ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在Rt△CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544 ED CD C =?∠=?=，254 EC =． （2）如图2，过点D 作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为 M 、N ，那么DM 、DN 是 △ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43 PM QN =． 图 2 图 3 图4 2020 挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F． （1）求证：AH=BD； （2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式； （3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2． （1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值； （3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G． （1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值； （2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由； （3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长． 中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直 目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市中考第24题 例2 苏州市中考第29题 例3 黄冈市中考第25题 例4 义乌市中考第24题 例5 临沂市中考第26题 例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 上海市虹口区中考模拟第25题 例2 扬州市中考第27题 例3 临沂市中考第26题 例4 湖州市中考第24题 例5 盐城市中考第28题 例6 南通市中考第27题 例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 山西省中考第26题 例2 广州市中考第24题 例3 杭州市中考第22题 例4 浙江省中考第23题 例5 北京市中考第24题 例6 嘉兴市中考第24题 例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 上海市松江区中考模拟第24题 例2 福州市中考第21题 例3 烟台市中考第26题 例4 上海市中考第24题 例5 江西省中考第24题 例6 山西省中考第26题 例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 上海市松江中考模拟第24题 例2 衢州市中考第24题 例4 义乌市中考第24题 例5 杭州市中考第24题 例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 苏州市中考第29题 例2 菏泽市中考第21题 例3 河南省中考第23题 例4 南通市中考第28题 例5 广州市中考第25题 例6 扬州市中考第28题 例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 河北省中考第25题 例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 天津市中考第25题 例2 滨州市中考第24题 例3 山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 宁波市中考第26题 例2 上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 连云港市中考第26题 例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 菏泽市中考第21题 例2 广东省中考第22题 例3 河北省中考第26题 例4 淮安市中考第28题 例5 山西省中考第26题 例6 重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 南京市中考第26题 例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 江西省中考第24题 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答： 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； 二次函数与几何综合 第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1因动点产生的相似三角形问题 例1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例2 2014 年益阳市中考第 21 题 例3 2015 年湘西州中考第 26 题 例4 2015 年张家界市中考第 25 题 例5 2016 年常德市中考第 26 题 例6 2016 年岳阳市中考第 24 题 例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题 例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题 §1．2因动点产生的等腰三角形问题 例9 2014 年长沙市中考第 26 题 例10 2014 年张家界市第 25 题 例11 2014 年邵阳市中考第 26 题 例12 2014 年娄底市中考第 27 题 例13 2015 年怀化市中考第 22 题 例14 2015 年长沙市中考第 26 题 例15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题 §1．3因动点产生的直角三角形问题 例19 2015 年益阳市中考第 21 题 例20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例21 2016 年郴州市中考第 26 题 例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1．4因动点产生的平行四边形问题 例24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例25 2014 年益阳市中考第 20 题 例26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例27 2015 年郴州市中考第 25 题 例28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1．5因动点产生的面积问题 例32 2014 年常德市中考第 25 题 例33 2014 年永州市中考第 25 题 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 一、中考数学压轴题 1．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ； （2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？ （3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2． 2．在平面直角坐标系中，抛物线2 4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且 :3:4??=ABC BCE S S ． （1）求点A ，点B 的坐标； （2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式． 3．如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标． （3）如图3，点M 的坐标为（ 3 2 ，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标． 中考数学压轴题解题技巧及训练完整版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 中考数学压轴题解题技巧 （完整版） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停 一、中考数学压轴题 1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动 点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ； （3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 5．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： 一．解答题（共30小题） 1．（顺义区）如图，直线l 1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l 2 ： 相交于点P（﹣1，0）． （1）求直线l 1、l 2 的解析式； （2）直线l 1 与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运 动，到达直线l 2上的点B 1 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 1 上的 点A 1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 2 上的点B 2 处后，又改为垂 直于x轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，… 照此规律运动，动点C依次经过点B 1，A 1 ，B 2 ，A 2 ，B 3 ，A 3 ，…，B n ，A n ，… ①求点B 1，B 2 ，A 1 ，A 2 的坐标； ②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标；并求当动点C到达A n 处时，运动的总路径 的长？ 2．（莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=． （1）求直线AC的解析式； （2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处． 3．（资阳）已知Z 市某种生活必需品的年需求量y 1（万件）、供应量y 2（万件）与价格x （元/件）在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y 1=﹣4x+190，y 2=5x ﹣170．当y 1=y 2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y 1＜y 2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y 1＞y 2时，称该商品的供求关系为供不应求． （1）求该商品的稳定价格和稳定需求量； （2）当价格为45（元/件）时，该商品的供求关系如何？为什么？ 4．（哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（﹣3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 5．（桂林）如图已知直线L ：y=x+3，它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点． （1）求点A 、点B 的坐标． （2）设F 为x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P 经过点B 且与x 轴相切于点F （不写作法，保留作图痕迹）． （3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为P （x ，y ），求y 关于x 的函数关系式． （4）是否存在这样的⊙P，既与x 轴相切又与直线L 相切于点B ？若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由． k 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 2.如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任 意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 3.如图1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)() y x x m m =-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y 轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 图1 4.如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 最新2020中考数学压轴题精选 A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G、过点G作GF⊥x轴于点F、当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；BACODEFGP yx图1图2ABCD yxMNO（3）如图2，连接A D、BD，点M在线段AB上（不与 A、B重合），作∠DMN＝∠DBA, MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由、2、(甘肃)如图，已知二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点 A、 B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．3、(广安)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于 A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1,0)，D(5,-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与 A、D重合)．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE//x轴交直线l于点E，作PF//y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；(3)设M为直线l 上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4、(武威)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC 于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？5、(无锡)已知二次函数(a＞0)的图像与x轴交于 A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D 为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE交y轴于点F，AC：CE ＝2：1．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．6、(菏泽)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ；2020年中考数学挑战压轴题(含答案)
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题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析)
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