简单载荷梁力图（剪力图与弯矩图）
各种载荷下剪力图与弯矩图的特征
表2
表3 各种约束类型对应的边界条件
常用截面几何与力学特征表表2-5
注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4
）。基本计算公式如下：⎰•=
A
dA y
I 2
2．W 称为截面抵抗矩（mm 3
），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：max
y I W =
3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：A
I
i =
4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2
），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。 5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
2．单跨梁的力及变形表（表2-6~表2-10）
（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6
（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7
（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8
（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9
（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-10
表1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图 梁的简图 剪力Fs 图 弯矩M 图 1 l a F s F F l a F l a l -+ - F l a l a ) (-+ M 2 l e M s F l M e + M e M + 3 l a e M s F l M e + M e M l a l -e M l a + - 4 l q s F + -2 ql 2 ql M 8 2ql + 2 l 5 l q a s F + -l a l qa 2) 2(-l qa 22 M 2 228)2(l a l qa -+ l a l qa 2) (2 -l a l a 2)2(- 6 l q s F + -3 0l q 6 0l q M 3 92 0l q + 3 )33(l - 7 a F l s F F + Fa -M
8 a l e M s F + e M M 9 l q s F ql + M 2 2ql - 10 l q s F 2 l q + M 6 20l q - 注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁 表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征 某一段梁上的外力情况 剪力图的特征 弯矩图的特征 无载荷 水平直线 斜直线 或 集中力 F 突变 F 转折 或 或 集中力偶 e M 无变化 突变 e M 均布载荷 q 斜直线 抛物线 或 零点 极值 表3 各种约束类型对应的边界条件 约束类型 位移边界条件 力边界条件
（约束端无集中载荷） 固定端 0=w ,0=θ — 简支端 0=w 0=M 自由端 — 0=M ,0=S F 注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
简单载荷 梁内力图（剪力图与弯矩图） 梁的简图 剪力Fs 图 弯矩M 图 1 l a F s F F l a F l a l -+ - F l a l a ) (-+ M 2 l e M s F l M e + M e M + 3 l a e M s F l M e + M e M l a l -e M l a + - 4 l q s F + -2 ql 2 ql M 8 2ql + 2 l 5 l q a s F + -l a l qa 2) 2(-l qa 22 M 2 228)2(l a l qa -+ l a l qa 2) (2 -l a l a 2)2(- 6 l q s F + -3 0l q 6 0l q M 3 92 0l q + 3 )33(l - 7 a F l s F F + Fa -M
8 a l e M s F + e M M 9 l q s F ql + M 2 2ql - 10 l q s F 2 l q + M 6 20l q - 注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁 表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征 某一段梁上的外力情况 剪力图的特征 弯矩图的特征 无载荷 水平直线 斜直线 或 集中力 F 突变 F 转折 或 或 集中力偶 e M 无变化 突变 e M 均布载荷 q 斜直线 抛物线 或 零点 极值 表3 各种约束类型对应的边界条件 约束类型 位移边界条件 力边界条件 （约束端无集中载荷） 固定端 0=w ,0=θ — 简支端 0=w 0=M
悬臂梁的剪力图和弯矩图如下： 内力规律图如下 1当剪力图与x轴平行时，弯矩图在空载区是倾斜的。当剪力图为正时，弯矩图向下倾斜。当剪切图为负时，弯矩图向上倾斜。 均布荷载的规律是：荷载向下，剪力向下，凹弯矩向上。 三。当施加集中力时，剪切图突然变化，突变的绝对值等于集中力的大小，弯矩图旋转。 4集中联轴器动作时，转矩图发生突变，突变的绝对值等于集中联轴器的耦合转矩。剪切图像没有更改。 5在零剪力作用下，存在一个弯矩极值 弯矩图汇总 规则如下：
1在梁的某一截面上，如果没有分布荷载，即Q（x）=0，则D？看。M（x）/DX？2=q（x）=0，其中m（x）是x的函数，弯矩图是对角线。 2在梁的某一截面上，如果施加分布荷载，即Q（x）=常数，则d≥d.2m（x）/DX？2=q（x）=常数可以得出m（x）是x的二次函数，力矩图是抛物线。 三。如果在梁的某个部分fs（x）=DM（x）/DX=0，则该部分的弯矩存在极值（最大值或最小值）。也就是说，弯矩的极值出现在剪力为零的截面上。 根据上述绘图规则，可准确绘制集中荷载和均布荷载作用下悬臂梁的剪力图和弯矩图。 扩展数据 弯矩叠加原理 相同的梁AB承受Q和M0荷载，只有Q和M0。当Q和M0一起工作时，VA=QL/2+M0/L 和=QL/2+M0/L
从计算结果可以看出，梁的反力和弯矩是荷载的一阶函数（Q，M0），即反力或弯矩与荷载呈线性关系。在这种情况下，G和M0共同作用产生的反作用力或弯矩等于G 和M0单独作用产生的反作用力或弯矩的代数和。 这种关系不仅存在于本例中，也存在于其他机械计算中。 也就是说，只要反作用力、弯矩（或其他量）和荷载是线性的，则由多个荷载引起的反作用力和弯矩（或其他量）分别等于每个荷载的反作用力和弯矩（或其他量）。 这种关系叫做叠加原理。应用叠加原理的前提是构件处于小变形状态，各荷载对构件的影响是独立的。
内力图： 为了形象直观地表示内力沿截面位置变化的规律，通常将内力随截面位置变化的情况绘成图形，这种图形叫内力图。它包括轴力图、扭矩图、剪力图和弯矩图。 内力图 (图)外伸梁的剪力图和弯矩图 内力图的规律： 1、在无荷载作用区，当剪力图平行于x轴时，弯矩图为斜直线。当剪力图为正时，弯矩图斜向右下；当剪力图为负时，弯矩图斜向右上。 2在均布荷载作用下的规律是：荷载朝下方，剪力往右降，弯矩凹朝上。 3、在集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于集中力的大小；弯矩图发生转折。 4、在集中力偶作用处弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩；剪力图无变化。 5、在剪力为零处有弯矩的极值 弯矩图： 弯矩图是一条表示杆件不同截面弯矩的曲线。这里所说的曲线是广义的，它包括直线、折线和一般意义的曲线。弯矩图是对构件弯矩的图形表示，弯矩图画在受拉侧，无须标正负号。 特性：
弯矩图的绘制主要有两个关键点：一是要准确画出曲线的形状，即确定弯矩图的图形特征：二是确定曲线的位置，即在已知曲线的形状、大小之后确定平面曲线的位置，这就要求先确定曲线上任意两点的位置，此处所指两点的位置即指某两个截面处的弯矩值。 可见，弯矩图的绘制主要指完成以下两项工作：（1）确定图形特征及特征值；（2）得出某两个截面处的弯矩值。 基础： 1、熟悉单跨梁在各种荷载独立作用下的弯矩图特征：比如悬臂梁在一个集中荷载作用下．其弯矩图的特征是一个直角三角形；悬臂梁在均布荷载作用于全长上时，其弯矩图为一个曲边三角形等。单跨梁在一种荷载作用下的弯矩图。 2、杆件某段两端点弯矩值的确定杆件某段两端点弯矩值一般有下面三种情况： （1）无铰梁段：一般要先算出粱段两端截面处的弯矩值。 （2）梁段中间有一个铰：因已知无外力偶矩的铰处弯矩为零，只须另算一处截面的弯矩即可。 （3）梁段中间有两个铰：这两铰处的弯矩都为零，可直接按简支梁弯矩图特征画出弯矩图。
轴，。 以表 (a) (c) （1） （2） （3） ≤ (4) 以剪力图是平行于轴的直线。段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为 负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b )所示。 由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点 ， ， ， 由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c )。 例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a )所示，作此梁的剪力图和弯矩图。 图8-13 解 （1）求支反力 由载荷与支反力的对称性可知两个支反力相.即 （2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为 x C l x AC x BC x x 0=x 0)(=x M a x =l Fab x M = )(l x =0)(=x M AC BC AB q A x
解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得 （2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程 段 0＜≤ (1) 0≤＜ (2) 段 ≤＜ (3) ≤≤(4) （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b )；由式（2）（4） 画出弯矩图，见图8-14(c )。 二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系 在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。若再将的 ∑=0)(x M A ∑=0)(x M B m C C AC l m F x F A Q = =)(x a x l m x F x M A = =)(x a BC l m F x F A Q = =)(a x l m x l m m x F x M A -=-=)(a x l )(x M x )(x F Q ) (x F Q
课时授课计划
教学过程： 复习：1、复习惯性矩的基本概念及其求解。 新课： 第八章梁的内力 第一节概述 一、概念 1、定义 凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。 2、梁的种类 ①简支梁 ②悬臂梁 ③外伸梁 ④多跨静定梁
⑤超静定梁 3、基本概念 纵向对称平面：纵向对称轴与梁的轴线组成的平面。 平面弯曲：工程实际中外力大部分都可以简化到纵向对称面内，且垂直于轴线。 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内，且垂直于粱的轴线。 变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线，即平面曲线。 二、梁的内力剪力和弯矩 ①确定约束反力 ②内力分析 用截面法沿m-m截面截开（任取一段）
按平衡的概念标上Q F ,M 。 Q F --与横截面相切—剪力 M —内力偶矩—弯矩 ③内力值的确定 用静力平衡条件：0=∑y F 0=-Q A F F 得 A Q F F = 0=∑o M 0=-⋅M a F A 得 a F M A ⋅= （O-- 截面形心） 三、剪力和弯矩的符号规定 通常采用梁的变形来规定剪力Q 和弯矩M 的符号。 剪力：当截面上的Q 使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，或形象地 说剪力绕截面顺时针转动为正，反之为负。 弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹向 上时为正），反之为负。 进行刚架计算时，剪力符号规定加上，弯矩不作规定，轴力N 的符号同上。 在用截面法进行计算内力时，为了方便计算，我们一般假设横截面上的内
力方向为正方向。如果计算结果为正值，说明我们假设的内力方向与实际内力方向一致，即内力为正值；反之相反，即内力为负值。 剪力的单位：牛顿（N）或千牛顿（kN）； 弯矩的单位：牛顿.米（N.m）或千牛顿.米（kN.m）。 结合书P120-P121 例7-1、例7-2、例7-3进行详细讲解。 四、内力计算法则 1、剪力的计算法则 梁的任一截面上的剪力在数值上等于该截面以左（或以右）沿截面切线方向外力的代数和。外力绕该断梁顺时针转动时剪力取正值，逆时针转动时剪力取负值。 2、弯矩的计算法则 梁上任一截面上的弯矩在数值上等于该截面以左（或以右）各外力对该截面形心力矩的的代数和。力矩使该段梁的下侧受拉为正，上侧受拉为负。 结合书P122-123的讲解进行详细说明。 结合书P123-124 例7-4、例7-5、例7-6进行详细讲解。 3、例题 求指定截面上的剪力和弯矩 求图示梁截面 A、C的内力： 解：①求反力：
剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧； 正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 一、根据内力方程作内力图 剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。 例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图 解：
1. 列剪力方程和弯矩方程 F x F Q -=)( (0＜x ＜l ) Fx x M -=)( (0≤x ＜l) 2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知 ： Fl M F F Q ==max max 例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得： ql F F By Ay 2 1= = 2.列剪力方程和弯矩方程 qx ql qx F x F Ay Q -= -=21 )( 2221 2121)(qx qlx qx x F x M Ay -=-= 3.作剪应力图和弯矩图 最大剪力发生在梁端，其值为 ql F Q 2 1max = 最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax 28 1ql = 例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 l Fa F l Fb F By Ay == ,
2.列剪力方程和弯矩方程 AC 段： l Fb F x F Ay Q = =)(（0 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 1、 剪力和弯矩 剪力：沿截面切线方向的内力F S 称为剪力，剪力符号规定为：截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负（图9-2）。 弯矩：作用面垂直于横截面的内力偶矩M 称为弯矩，弯矩符号规定为截面上的弯矩如果使考虑的脱离体向下凸（或者说使梁下边受拉，上边受压）为正，反之为负（图9-3）。 2、 列方程作梁的剪力图和弯矩图。 剪力方程和弯矩方程可以表示剪力和弯矩随横截面位置变化的规律。 )(S S x F F = 和 )(x M M = （9-1） 剪力图和弯矩图是将剪力和弯矩随横截面位置变化情况用图形表示出来。 在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化，各段的分界点为各段梁的控制截面，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程。列方程作梁的剪力图和弯矩图的步骤为： （1）、求支座反力； （2）、确定坐标原点，分段列剪力方程和弯矩方程； （3）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （4）、根据各段的剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图，并说明剪力和弯矩的最大值。 3、利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图。 弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系为 )(d )(d S x q x x F =， )(d ) (d S x F x x M =， )(d )(d 2 2x q x x M = （9?2） 剪力图和弯矩图的规律为 表9?1 梁上的外力情况 剪力图上的特征 弯矩图上的特征 弯矩极值所在截面 的可能位置 水平线段 直线段 F F F F (a) (b) 图9?2 M M M M (a) (b) 图9?3 多种方法快速绘制剪力图和弯矩图 摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。 关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言 直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。 2 直接绘制剪力图和弯矩图 例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。 解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。 (2) 绘制剪力图。 过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。受到D点约束力的作用，D-截面在剪力图中的坐标为(3a，qa/4)。DE段无载荷作用剪力保持不变，E+截面在剪力图中的坐标为(4a，qa/4)。在E点受到大小为qa/4的集中载荷作用，E-截面的剪力图坐标为(4a，0)，即剪力值从零开始，到零结束，剪力图始终是一个封闭图形。 （3）绘制弯矩图。 建立水平方向的x轴，竖向的M轴，且方向向下为正。画弯矩图按照习惯从左到右开始，从原点（0,0）即A+截面开始。整梁无集中力偶，弯矩图无突变。根据剪力和弯矩的关系知道AB梁段的弯矩图为斜向上的直线，A点和B点弯矩的变化值为AB段剪力图围成的矩形面积之和-qa2/4，即B点的坐标为（a, -qa2/4）。在BC段上有方向向下的均匀载荷q，则弯矩图开口方向向上[1]，剪力图中显示BC段中点G处剪力为零，则弯矩图中BC段中点处有极值，此点处弯矩的值为这点左边剪力图面积之和qa2/8，坐标为（3a/2, -qa2/8），C点处的坐标为（2a,-qa2/4）。同理，CD段的弯矩图开口方向向下，根据计算面积，CD 中点处坐标为（5a/2, -qa2/8），D点坐标为（3a,-qa2/4）。根据剪力图可以确定DE 段的弯矩图为斜向下直线，D、E两点弯矩之差为对应的DE段梁剪力图包围的 5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+⋅=∑e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-⋅=∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S - == ()x l M x F x M e RA ⋅- =⋅= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。( 如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 04 5 2,0=⋅⋅-⋅=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8 5= 由 021 ,02=+⋅=∑ql l F M RC B 得 ql F RC 2 1 -= 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段： （2 01l x ≤≤） BC 段：（2322l x l ≤≤） 弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图BC 段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次（如图） 解：由梁的平衡求出支座反力： AB 段作用有均布荷载，所以剪力图 AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图） （5） 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 5.6,5.3== AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物工程力学梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程 常用弯矩图
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