多种方法快速绘制剪力图和弯矩图
摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。
关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言
直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。
2 直接绘制剪力图和弯矩图
例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。
解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。
(2) 绘制剪力图。
过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。受到D点约束力的作用，D-截面在剪力图中的坐标为(3a，qa/4)。DE段无载荷作用剪力保持不变，E+截面在剪力图中的坐标为(4a，qa/4)。在E点受到大小为qa/4的集中载荷作用，E-截面的剪力图坐标为(4a，0)，即剪力值从零开始，到零结束，剪力图始终是一个封闭图形。
（3）绘制弯矩图。
建立水平方向的x轴，竖向的M轴，且方向向下为正。画弯矩图按照习惯从左到右开始，从原点（0,0）即A+截面开始。整梁无集中力偶，弯矩图无突变。根据剪力和弯矩的关系知道AB梁段的弯矩图为斜向上的直线，A点和B点弯矩的变化值为AB段剪力图围成的矩形面积之和-qa2/4，即B点的坐标为（a, -qa2/4）。在BC段上有方向向下的均匀载荷q，则弯矩图开口方向向上[1]，剪力图中显示BC段中点G处剪力为零，则弯矩图中BC段中点处有极值，此点处弯矩的值为这点左边剪力图面积之和qa2/8，坐标为（3a/2, -qa2/8），C点处的坐标为（2a,-qa2/4）。同理，CD段的弯矩图开口方向向下，根据计算面积，CD 中点处坐标为（5a/2, -qa2/8），D点坐标为（3a,-qa2/4）。根据剪力图可以确定DE 段的弯矩图为斜向下直线，D、E两点弯矩之差为对应的DE段梁剪力图包围的
《材料力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法[摘要]在《材料力学》中，绘制平面弯曲梁的剪力图和弯矩图是“直梁的弯 曲”一章中的重点和难点，传统的规律绘图法用到的一次函数、二次函数和导数等相关知识，对于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。本文中作者利用几何图形的面积来绘制剪力图和弯矩图，其方法更为简便快捷。 [关键词]剪力图弯矩图面积 在《材料力学》中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来）以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。目前绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用几何图形的面积代替一次函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图——剪力图（直角坐标系）——弯矩图（直角坐标系），其图象遵循“平行线——斜直线——抛物线”的顺序，其剪力和弯矩的变化值等于对应的上一个几何图形的面积，其它事宜与原方法同。 例：一外伸梁受力如图a)所示，已知P=6kN，q=2kN/m，a=1m，绘出梁的剪力图和弯矩图。 解：（1）求支座反力NA和MA 选整个梁为研究对象，由平衡方程求得NA= 10kN，MA= 18kN.m。 （2）绘制剪力图 A点作用有向上的集中载荷NA和逆时针转向的集中力偶MA，因集中力偶对剪力图没有影响，故剪力图只在集中力NA的作用下从零值向上突变10 kN； A、B点之间的剪力图为平行于x轴的直线；B点作用有向下的集中力P，剪力图向下突变P=6kN，变为4 kN； B、C之间的剪力图为平行于x轴的直线；CD 段作用有向下的均布载荷q=2kN/m，所以剪力图为从4 kN开始向下倾斜的直线，因此D点剪力值为4 kN -4 kN=0，如图b）所示。 （3）绘制弯矩图 A点作用有逆时针转向的集中力偶MA= 18kN.m，故从A点零开始，向下突变18 kN.m，AB段剪力图为位于x轴上方且平行于x轴的直线，因此其弯矩
轴，。 以表 (a) (c) （1） （2） （3） ≤ (4) 以剪力图是平行于轴的直线。段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为 负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b )所示。 由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点 ， ， ， 由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c )。 例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a )所示，作此梁的剪力图和弯矩图。 图8-13 解 （1）求支反力 由载荷与支反力的对称性可知两个支反力相.即 （2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为 x C l x AC x BC x x 0=x 0)(=x M a x =l Fab x M = )(l x =0)(=x M AC BC AB q A x
解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得 （2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程 段 0＜≤ (1) 0≤＜ (2) 段 ≤＜ (3) ≤≤(4) （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b )；由式（2）（4） 画出弯矩图，见图8-14(c )。 二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系 在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。若再将的 ∑=0)(x M A ∑=0)(x M B m C C AC l m F x F A Q = =)(x a x l m x F x M A = =)(x a BC l m F x F A Q = =)(a x l m x l m m x F x M A -=-=)(a x l )(x M x )(x F Q ) (x F Q
弯矩图绘制方法 1、基本方法： 采用“截面法”，运用静力平衡方程式（ΣX=0、ΣY=0、ΣM=0等）求解控制截面的内力（弯矩、剪力）。控制截面的内力求解后再勾绘弯矩图。 1）确定内力符号的规律为：“左上剪力正、左顺弯矩正”；“右下剪力正、右逆弯矩正”。 2）确定内力数值的规律为：剪力Q等于截面任意一侧所有外力沿梁轴垂直方向所作投影的代数和；弯矩M等于截面任意一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 2、勾绘弯矩图时线型处理： 除构件受“均布荷载”作用、其弯矩图是曲线外，其余均为直线。 3、弯矩图所画位置： 1）正弯矩画在杆件的下方，负弯矩画在杆件的上方。 2）使杆件下部受拉的弯矩为正,上部受拉的弯矩为负。 3）弯矩图画在杆件纤维受拉的一侧。 4、剪力图所画位置： 1）正剪力画在杆件的上方； 2）负剪力画在杆件的下方； 3）使杆件截面顺时针方向转动的剪力为正剪力； 4）使杆件截面逆时针方向转动的剪力为负剪力； 5）一般情况下，剪力与杆件所受外力的方向相反。 5、弯矩图叠加时注意事项： 1）叠加时以基线为标准，不是以其中某直线或斜线为基准； 2）叠加时要注意正负弯矩的抵消，应先计算每个控制截面的弯矩值，然后勾绘。 6、刚结点会在节点处产生负弯矩，铰结点不会在节点处产生负弯矩。在绘制弯矩图时，只要杆件端部是铰结点，则该节点处的弯矩必为零！ 注意：弯矩M、剪力Q、分布荷载q之间的关系在绘制内力图上的应用： 1、设梁上作用有任意的分布荷载q，规定q向上为正、向下为负； 2、若梁上某段没有分布荷载： 1）该段的剪力图是一条平行于梁轴的直线，剪力Q为一常数； 2）该段弯矩图为一条直线，分以下3种情况： (1)当剪力Q=常数>0时，弯矩图为一下斜直线（\）； (2)当剪力Q=常数<0时，弯矩图为一上斜直线（/）； (3)当剪力Q=常数=0时，弯矩图为一水平直线（—）； 3、若梁上某段作用有分布荷载： 1）该段的剪力图是一条斜线，分布荷载q为一常数； 2）分布荷载q为一常数，分以下3种情况： (1)当分布荷载q=常数>0时，Q图为一上斜直线（/）,弯矩M图为上凸曲线（∩）； (2)当分布荷载q=常数<0时，Q图为一下斜直线（\）,弯矩M图为下凸曲线（∪）； 4、在剪力Q=0处，弯矩M有极值。即在剪力Q=0的截面上，弯矩M有极值（极大或极小）。
结构力学中必须掌握的弯矩图 弯矩图（Moment Diagram）是结构力学中非常重要的概念和工具，它用来描 述杆件或梁在不同位置上的受力情况，是结构力学中必须掌握的一项技能。本文将介绍弯矩图的作用、绘制方法和常见的弯矩图形状。 弯矩图的作用 在结构力学中，弯矩图主要用于分析和设计杆件或梁在不同位置上的受力情况，其中弯矩和剪力是最常见的受力形态。虽然弯矩图只描述了弯矩的变化情况，但结合剪力图可以得到杆件或梁上任意截面的完整受力情况。 弯矩图可以帮助我们识别和分析结构中的受力集中点，例如应力极值和断裂风 险点。在结构设计和优化中，弯矩图还可以用于优化结构的几何形状和材料以改善其负载能力。 弯矩图的绘制方法 绘制弯矩图需要先绘制剪力图，剪力图是指杆件或梁在不同位置上的剪力大小 和方向，是弯矩图的前置条件。在绘制弯矩图时，我们需要知道杆件或梁的长度、支点位置、受力位置和受力大小等信息。 以杆件为例，假设我们已经绘制好了杆件在不同位置上的剪力图，并确定了截 面在每个位置上的几何形状和材料性质。下面以直杆为例介绍弯矩图的绘制方法： 1.在剪力图的基础上，选择一个起点开始绘制弯矩图。通常起点选择在 杆件的左端或右端。 2.确定杆件上某一段的长度区间，并计算该区间的受力情况。例如，假 设我们要绘制杆件左端到一点的弯矩图。 3.根据杆件长度和受力情况，计算该区间内弯矩的变化情况。弯矩是由 剪力引起的，因此需要先计算剪力在该区间内的变化。然后根据截面形状和材料性质计算弯矩大小。 4.将每个区间内计算得到的弯矩绘制在弯矩图上，并用平滑的曲线将它 们连接起来，得到完整的弯矩图。 常见弯矩图形状 弯矩图的形状和大小都取决于受力情况和杆件的几何形状和材料性质。下面介 绍一些常见的弯矩图形状。
材料力学剪力图弯矩图绘制（有详细的程序） 说明： 输入变量: 分段数组x 分段点一般在集中力，集中力偶作用出和分布载荷的起末端。 载荷数组MPQ 若梁上的外载荷总数为PN，则用PN行四列的数组MPQ储存载荷，数组MPQ第一列代表载荷的类型：1为集中力偶，2为集中力，3为分布载荷，第二列代表载荷的大小，第三列代表集中力，集中力偶或者分布载荷左端与简支梁左端的距离，第四列代表均匀载荷右端与简支梁左端的距离，当载荷为集中力或者集中力偶时，第四列为0. 符号规定 集中力和均匀载荷向下为正，向上为负，集中力偶顺时针为正，逆时针为负。 输出变量: 内力数组XQM 如果梁被分为NN-1段，则内力数组XQM为NN行，三列的数组，第一列代表梁的横截面的位置，第二列代表剪力，第三列代表弯矩。 剪力极值及位置QDX QDX是一个二行二列的数组，第一列代表极值所在的位置，第二列代表极值 弯矩极值及位置MDX MDX是一个二行二列的数组，第一列代表极值所在的位置，第二列代表极值 1.子程序 1.1集中力偶对弯矩贡献的子函数QMM 1.2集中力对剪力和弯矩贡献的子函数QMP 1.3分布载荷对剪力和弯矩贡献的子函数QMQ 1.4求剪力和弯矩极值的子函数MAX_MIN 1.5绘制剪力图和弯矩图的子函数TU_QM 2.计算分析程序 2.1简支梁QMDJ 2.2左端固定悬臂梁QMDXZ 2.3右端固定悬臂梁QMDXY 2.4左端外伸梁QMDWZ 2.5右端外伸梁QMDWY 2.6两端外伸梁QMDWL
1.子程序 1.1集中力偶对弯矩贡献的子函数QMM function MM=QMM(n,x1,a,M,MM) for j=1:n if x1(j)==a n1=j; end end MM(n1:n)=MM(n1:n)+M; 1.2集中力对剪力和弯矩贡献的子函数QMP function [QQ,MM]=QMP(n,x1,b,P,QQ,MM) for j=1:n if x1(j)==b; n1=j; end end QQ(n1:n)=QQ(n1:n)-P; MM(n1:n)=MM(n1:n)-P*(x1(n1:n)-b); 1.3分布载荷对剪力和弯矩贡献的子函数QMQ function [QQ,MM]=QMQ(n,x1,c,d,q,QQ,MM) for j=1:n if x1(j)>c QQ(j)=QQ(j)-q*(x1(j)-c); MM(j)=MM(j)-0.5*q*(x1(j)-c)^2; end if x1(j)>d QQ(j)=QQ(j)+q*(x1(j)-d); MM(j)=MM(j)+0.5*q*(x1(j)-d)^2; end end 1.4求剪力和弯矩极值的子函数MAX_MIN function [QDX,MDX,XQM]=MAX_MIN(x1,QQ,MM) XQM=[x1',QQ',MM']; [Qmax,i]=max(QQ); Q1=[Qmax,x1(i)]; [Qmin,i]=min(QQ); Q2=[Qmin,x1(i)]; [Mmax,i]=max(MM); M1=[Mmax,x1(i)]; [Mmin,i]=min(MM);
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图 摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。 关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言 直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。 2 直接绘制剪力图和弯矩图 例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。 解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。 (2) 绘制剪力图。 过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。受到D点约束力的作用，D-截面在剪力图中的坐标为(3a，qa/4)。DE段无载荷作用剪力保持不变，E+截面在剪力图中的坐标为(4a，qa/4)。在E点受到大小为qa/4的集中载荷作用，E-截面的剪力图坐标为(4a，0)，即剪力值从零开始，到零结束，剪力图始终是一个封闭图形。 （3）绘制弯矩图。 建立水平方向的x轴，竖向的M轴，且方向向下为正。画弯矩图按照习惯从左到右开始，从原点（0,0）即A+截面开始。整梁无集中力偶，弯矩图无突变。根据剪力和弯矩的关系知道AB梁段的弯矩图为斜向上的直线，A点和B点弯矩的变化值为AB段剪力图围成的矩形面积之和-qa2/4，即B点的坐标为（a, -qa2/4）。在BC段上有方向向下的均匀载荷q，则弯矩图开口方向向上[1]，剪力图中显示BC段中点G处剪力为零，则弯矩图中BC段中点处有极值，此点处弯矩的值为这点左边剪力图面积之和qa2/8，坐标为（3a/2, -qa2/8），C点处的坐标为（2a,-qa2/4）。同理，CD段的弯矩图开口方向向下，根据计算面积，CD 中点处坐标为（5a/2, -qa2/8），D点坐标为（3a,-qa2/4）。根据剪力图可以确定DE 段的弯矩图为斜向下直线，D、E两点弯矩之差为对应的DE段梁剪力图包围的
利用口诀绘制梁的剪力图与弯矩图 在高教版《汽车机械基础》中，梁弯曲时的剪力图与弯矩图的绘制方法是一个难点。本 人在教学过程中，发现学生运用常规法绘制剪力弯矩图时，常感到枯燥、繁琐，尤其在列剪力、弯矩方程以及求各特征点的剪力和弯矩值时经常出错，这不但使学生丧失了解决问题的 信心，而且此后梁的弯曲强度、刚度等一系列计算无法顺利进行，使教学任务停滞不前。 为了解决上述问题，本人结合相关材料，发现梁上的载荷、剪力与弯矩之间的变化具有 一定的规律性。如果进一步将这些规律总结成口诀，可使计算工作量大大减少，大大提高做 题速度，并且不易出错，便于检验。 工程中常见的梁分三种：简支梁、外伸梁和悬臂梁。梁上载荷有三种常见的基本形式： 集中力作用(F或约束反力)，集中力偶作用（M）,以及均布载荷作用（q）。而梁上是否有均 布载荷将直接影响到梁的剪力与弯矩图的绘制效果，也是剪力弯矩图能否正确绘制的关键。 一、无均布载荷梁的剪力弯矩图的绘制口诀 示例1：如图1简支梁AB，受力情况及尺寸如图所示，试绘制该梁的剪力图与弯矩图。 第三步：根据剪力、弯矩方程及特征值绘出剪力图和弯矩图。 方法分析：通过绘图过程我们不难看出，无论剪力图还是弯矩图从左到右看有如下特点： 1.内力图图形自行封闭。 2.对于该简支梁AC段和CB段，剪力方程都是常数方程，故剪力图都是直线，而且该直 线在有集中力作用的地方发生了转折，有明显的突变。进一步观察不难发现，其突变的值恰 好等于集中力的大小，而且突变的方向与集中力方向一致。 3.简支梁各段弯矩方程都是直线方程，弯矩图都是斜直线。结合剪力图和弯矩图我们看出，斜直线的倾斜方向与剪力图有一定关系：当剪力为正值（图形位于X轴上方）时，斜线 斜向下；当剪力图为负值（图形位于X轴下方）时，斜线斜向上，所以，在弯矩图上出现了 明显的尖点，尖点的尖突方向与集中力方向一致。而且，斜直线的斜率（尖点位置弯矩值） 恰好等于对应剪力图的面积大小。 因此，我们可以总结出如下口诀： 剪力图：无力作用水平线，有力作用有突变（突变值为集中力的大小，突变方向与集中 力方向一致）。 弯矩图：无力作用斜直线（剪力为正斜向下，剪力为负斜向上）有力作用有尖点。 二、有均布载荷梁的剪力弯矩图的绘制口诀 均布载荷的存在会使梁的受力情况变得复杂，将对梁的强度和刚度产生更大的考验。 示例2：如图2，简支梁AB上受到均布载荷q的作用，尺寸如图，试绘制该梁的剪力弯矩图。 第三步：绘制剪力弯矩图。 方法分析：通过绘图过程我们可以看出，无论剪力图还是弯矩图从左到右看有如下特点： 1.内力图图形自行封闭。
ansys中如何生成命令流方法： GUI是：Utility Menu>File>Write DB Log File 怎么用ansys绘制弯矩，剪力图：GUI: General Postproc-> lot Result->Contour Plot- >Line Element Result 弹出画单元结果的对话框，分别在Labi和Labj依次选取SMIS6和SMIS12（弯矩图）、SMIS1和SMIS7（轴力图）、SMIS2和SMIS8（剪力图） ! 建立单元表 ETABLE,NI,SMISC,1 !单元I点轴力 ETABLE,NJ,SMISC,7 !单元J点轴力 ETABLE,QI,SMISC,2 !单元I点剪力 ETABLE,QJ,SMISC,8 !单元J点剪力 ETABLE,MI,SMISC,6 !单元I点弯矩 ETABLE,MJ,SMISC,12 !单元J点弯矩 ! 更新单元表 ETABLE,REFL ! 画轴力分布图 /TITLE,Axial force diagram PLLS,NI,NJ,1.0,0 /image,save,'Axial_force_%T%',jpg ! 画剪力分布图 /TITLE,Shearing force diagram PLLS,QI,QJ,1.0,0 /image,save,'Shearing_force_%T%',jpg ! 画弯矩分布图 /TITLE,Bending moment diagram PLLS,MI,MJ,-0.8,0 /image,save,'Bending_moment_%T%',jpg ANSYS中弯矩、剪力图的绘制 GUI: General Postproc-plot Result-Contour Plot-Line Element Result 弹出画单元结果的对话框，分别在Labi和Labj依次选取SMIS6和SMIS12（弯矩图）、SMIS1和SMIS7（轴力图）、SMIS2和SMIS8（剪力图）
剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧； 正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 一、根据内力方程作内力图 剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。 例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图 解：
1. 列剪力方程和弯矩方程 F x F Q -=)( (0＜x ＜l ) Fx x M -=)( (0≤x ＜l) 2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知 ： Fl M F F Q ==max max 例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得： ql F F By Ay 2 1= = 2.列剪力方程和弯矩方程 qx ql qx F x F Ay Q -= -=21 )( 2221 2121)(qx qlx qx x F x M Ay -=-= 3.作剪应力图和弯矩图 最大剪力发生在梁端，其值为 ql F Q 2 1max = 最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax 28 1ql = 例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 l Fa F l Fb F By Ay == ,
2.列剪力方程和弯矩方程 AC 段： l Fb F x F Ay Q = =)(（0 探讨材料力学与结构力学中快速作剪力图的方法 材料力学、结构力学中作剪力图的先后顺序不同，导致了作剪力图的方法也有一定的差异，材料力学中一般是先作剪力图后作弯矩图，而结构力学一般是先作弯矩图后作剪力图。当然荷载、剪力、弯矩之间存在微积分关系，在一定的条件下可以由其中一个图来作其它的图。本文针对材料力学、结构力学中作剪力图的常规顺序，提出在材料力学中运用“走路法”作剪力图，其形象生动；在结构力学中运用“斜率支反力叠加法”作剪力图，避免繁琐的绘制杆段受力图，平衡方程求剪力的过程。 1 走路法 材料力学中作内力图的方法初期一般采用列内力方程，再作其函数图像的方法，后期由于杆件分段太多，内力方程为分段函数，作其函数图像，不方便，此时一般采用简易法作内力图，由微积分关系得到如下作剪力图的规律[1]：（1）无分布荷载段：剪力图为平行于杆轴线的直线。 （2）集中力处：剪力图产生突变，突变值为集中力大小，从左向右作剪力图突变方向与集中力方向一致。 （3）集中力偶处：剪力图中剪力值不变。 （4）向下（上）的均布荷载作用区段：剪力图线为下（上）斜直线。 以上杆段内、分界点剪力图特征明显，但整体性、连贯性不强，造成学生作内力图时仍出现较多错误。如图1若由剪力图绘制荷载图，很多同学经常将最后一个D点处的集中力漏掉。因此，在学生掌握内力图基本概念、基本知识和特征后，再加强一点内力图定性力学分析的内容，强化其整体性、连贯性，注重过程，就能走好每一步，不易产生错误。基于以上思路，笔者从内力图特征更高角度上将“走路法”作剪力图运用于教学中，取得了较好的效果，深受学生欢迎。 走路法作剪力图主要理念为：若自左向右作剪力图，就如同人走路一样，会走路就会作剪力图，走路法作剪力图主要规则如下： 梁上无荷载，走平路； 向下（下）均布荷载，走下（上）坡路，坡度大小为值； 快速绘制梁的剪力图和弯矩图 梁的内力图梁的内力图——剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程ＦＦ=F(x)=F(x)M=M(x)M=M(x)梁的剪力方程梁的剪力方程梁的弯矩方程梁的弯矩方程由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化而变化的，如果将而变化的，如果将xx轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁左端，左端，xx表示截面位置，则Ｆ和表示截面位置，则Ｆ和MM就随就随xx的变化而变化，的变化而变化，FF和和MM就是就是xx的函数，这个函数式就叫剪力方程和弯矩方程。 的函数，这个函数式就叫剪力方程和弯矩方程。 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示Ｆ制表示Ｆ(x)(x)和和M(x)M(x)的图线。 这种图线分别称为的图线。 这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和MM图。 绘图时一图。 绘图时一般规定正号的剪力画在般规定正号的剪力画在xx 轴的上侧，负号的剪轴的上侧，负号的剪力画在力画在xx轴的下侧；正弯矩画在轴的下侧；正弯矩画在xx轴下侧，负弯轴下侧，负弯矩画在矩画在xx轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 下端受拉为正弯矩下端受拉为正弯矩画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段，画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段，分段建立方程，依方程而作图分段建立方程，依方程而作图简支梁受均布荷载作用，如图示，简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：解：1.1.求约束反力求约束反力由对称关系，可得：由对称关系，可得：22、建立内力方程、建立内力方程33、依方程作剪力图和弯矩图、依方程作剪力图和弯矩图 0时向右下方斜斜，时向右下方斜斜，V0时向右上方倾斜，时向右上方倾斜，V=0时为水平线。 时为水平线。 在均布荷载作用的梁段上在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载：剪力图为斜直线，斜率等于荷载集度，集度，q0（（）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 ）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，弯矩图为二次抛物线，q0（（）向上凸。 总结100种弯矩图图例 作为一名结构工程师，在实际工作中，有时候要对软件（MIDAS、SAP2000、PKPM ）的计算结果进行判断，那就要对结构的弯矩和剪力图有个大概的判断。下面总结各种结构弯矩图的绘制及图例： 一、方法步骤 1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力） •悬臂式刚架不必先求支反力； •简支式刚架取整体为分离体求反力； •求三铰式刚架的水平反力以中间铰的某一边为分离体； •对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序； •对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。 2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。 二、观察检验M图的正确性 1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符 •铰心的弯矩一定为零； •集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等； •集中力作用点的弯矩有折角； •均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”； 2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩； 3、结构中所有节点的杆端弯矩必须符合平衡特点 各种结构弯矩图如下: ......... ?…. IP"扌小H小L J - L . (1) Pfl用卜的Ml札qL2P作用F的M 图; P JiJ卜I勺制 阳： q作1J卜的M 图; qi： '「IT伽图:qtn ］卜的Ml 图: P与q作用卜的袖图辛PUq作用卜的MRh 4占更切 i ------- 从右向左作M图. ⑸ 从仃向齐屮M国: mn _ A X 利川对称杵.作 从右向tf^MIfl： 肿 7=品f H C U A(1，1 < 先计'；? 乂反 力* 利用反对称性竹MLG mr 『Pi E〕 尤：1 讣K 丿」、i'if J Ml? r 曲恥刚MM： 1-先考龙力糾作 用 2卩卜呑加PW 「| i T尹J ・ jp 3 尹尹I l 6 「 ① 作Ml亂人而计毎 C 雜面彎矩I (f 6A V H MlfUh 订“C 般而弯矩 I 胪叮iBDK J% IHW 不用il第星反 力， 订仪述「M卜 Jo探讨材料力学与结构力学中快速作剪力图的方法
快速绘制梁的剪力图和弯矩图.doc
归纳100种弯矩图图例
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