第一章 集合与函数概念学案
1.1 集合
§1.1.1集合的含义与表示（1）
一、知识归纳：
1、 集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合，简称集。
元素：集合中的每个 叫做这个集合的元素。
2、集合的表示方法???描述法：列举法：
3、集合的分类??
?
??空集：
无限集：有限集：
二、例题选讲：
例1、观察下列实例：
① 小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数；
③抛物线12
+=x y 图象上所有的点； ④所有的直角三角形；
⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学； 回答下列问题： ⑴哪些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.⑶指出以上集合哪些集合是有限集.
例2、用适当的方法表示以下集合：
⑴平方后与原数相等的数的集合；⑵设b a ,为非零实数，
b
b a
a +
可能表示的数的取值集合；
⑶不等式62 ? ?=-=+15 y x y x 的解集。 三、针对训练： 1．课本P5第1题： 2．课本P6第1、2题 3．已知集合{} 012|2 =++=x ax x A ⑴若A 中只有一个元素，求a 及A ；⑵若,Φ=A 求a 的取值范围。 §1.1.1集合的含义与表示(2) 一、知识归纳： 4、集合的符号表示： ⑴集合用 表示，元素用 表示。 ⑵如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作： 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作： ⑶常用数集符号： 非负整数集（或自然数集）： 正整数集： 整数集： 有理数集： 实数集： 5、 元素的性质：（1） （2） （3） 二、例题选讲： 例3 用符号?∈与填空： ⑴0 *N Z ；0 N ；0)1(- * N ；23+ Q ； 3 4 Q 。 ⑵3 {}3,2；3(){}3,2；()3,2 (){}3,2； ()2,3 (){}3,2 例4 （1）已知{} 52<<=x x A ，判断b a 、是否属于A ？7= a ，?+?=31tan 42sin b （2）已知{} { },.,1,,2 B A b B a a A ===求b a , 三、针对训练： 1．课本P5第2题 2．习题1.1 3.已知：}{N x x y y A ∈+==且1|2{ }2 2|),(2 +-==x x y y x B ，用符号?∈与填空 ⑴0 A ； 5.3 A ； 10 A ； （1，2） A 。 ⑵（0，0） B ；（1，1） B ；2 B 。 1.1集合练习题 A 组 1、用列举法表示下列集合： (1){大于10而小于20的合数} ； (2)方程组22 1 9x y x y +=??-=? 的解集 。 2.用描述法表示下列集合: （1）直角坐标平面内X 轴上的点的集合 ； (2)抛物线2 22y x x =-+的点组成的集合 ； (3)使21 6 y x x = +-有意义的实数x 的集合 。 3.含两个元素的数集{}a a a -2 ,中，实数a 满足的条件是 。 4. 若{ }2|60 B x x x =+-=，则3 B ；若}{|23D x Z x =∈-<<，则1.5 D 。 5.下列关系中表述正确的是（ ） A.{} 002 =∈x B.() { }00,0∈ C.0φ∈ D.0N ∈ 6.对于关系：①?{x x ∣≤Q ；③0∈N ； ④0∈?，其中正确的个数是 A 、4 B 、3 C 、2 D 、 1 7.下列表示同一集合的是（ ） A ．{}M =（2，1），（3，2） {}N =（1，2），（2，3） B ．{} {}M N ==1，22，1 C ．{} 2|1M y y x x R ==+∈， { }2|1N y y x x N ==+∈， D ．{}2 |1M x y y x x R ==-∈（，） ， {}2 |1N y y x x N ==-∈， 8．已知集合}{ ,,S a b c =中的三个元素是ABC ?的三边长，那么ABC ?一定不是 （ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 9.设a 、b 、c 为非0实数，则= M a b c abc a b c abc +++的所有值组成的集合为（ ） A 、{4} B 、{-4} C 、{0} D 、 {0，4，-4} 10. 已知(){} {}2,1,,0|2 --=∈=++R n m n mx x x ，求m ，n 的值. 11.已知集合A=126x N N x ?? ∈| ∈??-?? ，试用列举法表示集合A. 12.已知集合{} 2|A x ax x x R =∈-3-4=0，（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围， (2)若A 中至多只有一个元素，求实数a 的取值范围。 B 组 1.含有三个实数的集合可表示为, ,1b a a ?? ???? ，也可表示为{} 2,,0a a b +，求20062007a b +的值。 2．已知集合{}1|=+=b ax x A ，{}4|>-=b ax x B ，其中0≠a ，若A 中元素都是B 中元素，求实数 b 的取值范围。 3*. 已知数集A 满足条件a ≠1，若a A ∈，则 1 1A a ∈-。 （1） 已知2A ∈，求证：在A 中必定还有两个元素 （2） 请你自己设计一个数属于A ，再求出A 中其他的所有元素 （3） 从上面两小题的解答过程中，你能否悟出什么“规律”？并证明你发现的这个“规律”。 1.1集合练习题 参考答案 A 组： 1、（1）{}18,16,15,14,12；（2）(){}4,5-。 2、（1）(){}0,|,=∈y R x y x ；（2）(){} 22|,2 --=x x y y x ；（3）{} 06|2 ≠-+x x x 。 3、2,0≠a 。 4、?；?。 5—9、DCBDD 。 10、2,3==n m 。 11、{}5,4,3,2,0=A 。 12、（1）169->a 且0≠a ；（2）16 9 -≤a 或0=a 。 B 组： 1、???=-=0 1b a ；120072006 =+b a ． 2、23- ????? -=21,1,2A ；（2）略；（3）A 的元素一定有()Z k k ∈3个。 §1.1.2集合间的基本关系 -----子集、全集、补集（1） 一、知识归纳： 1、子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的 元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 集合B ，或集合B 集合A 。也说集合A 是集合B 的子集。 即：若“B x A x ∈?∈”则B A ?。 子集性质：（1）任何一个集合是 的子集；（2）空集是 集合的子集； （3）若B A ?，C B ?，则 。 2、 集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的 元素都是集合B 的元素，同时集合B 的 元素都是集合A 的元素，我们就说A B 。 即：若A B ，同时B A ，那么B A =。 3、 真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ，并且A B ，我们就说集合A 是集合B 的真子 ①“∈”与“?”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系 ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 5、子集的个数： （1）空集的所有子集的个数是 个 （2）集合{a}的所有子集的个数是 个 （3）集合{a,b}的所有子集的个数是 个 （4）集合{a,b,c}的所有子集的个数是 个 猜想： (1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？ (2){}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少？ 结论：含n 个元素的集合 {} n a a a ,,21 的所有子集的个数是 ， 所有真子集的个数是 ，非空子集数为 ，非空真子集数为 。 二、例题选讲： 例1 （1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示 （2） 判断下列写法是否正确：Φ?A ②Φ A ③A A ? ④A A 例2 填空： Φ___{0}，0 Φ，0 {（0，1）}，（1，2） {1，2，3}，{1，2} {1，2，3} 例3 已知A = {}3,2,1,0，则A 的子集数为 ，A 的真子集数为 ，A 的非空子集数为 ，所有子集中的元素和是 ？ 三、针对训练： 1、 课本9页练习； 2、已知{}{}4,3,2,11??A ，则A 有 个？ {}1 {}1,2,3,4A ?，则A 有 个？ {} 1 A {}1,2,3,4，则A 有 个？ 3、已知{} {} 2 60,10A x x x B x ax =+-==+=，B A ，求a 的值. §1.1.2集合间的基本关系 -----子集、全集、补集（2） 一、知识归纳： 1、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的 ，这个集合就可以看作一个全集，全 集通常用U 表示。 2、补集：设S 是一个集合，A 是S 的子集，由S 中所有 A 元素组成的集合， 叫做S 中子集A 的补集。即：=A C S 。 性质：()=A C C S s ；=S C S ；=ΦS C 。 二、例题选讲： 例1、若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A 。 例2、已知全集U ＝R ，集合{} 1219A x x =≤+< ，求C U A 例3、已知：{} 128S x x =-≤+<，{}211A x x =-<-≤， {} 52111B x x =<-<，讨论A 与C S B 的关系 三、针对训练： 1、课本P10练习 1、2题 2、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝C U A ，则C U B= ，C U φ= ，C U U= 。 3、设全集()U U ≠Φ，已知集合,,M N P 满足M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ） （A ）M=C U P ，（B ）M=P ，（C ）M ?P ，（D ）M ?P . 4、已知全集{}19U x x =-<<，{} 1A x x a =<<，若A ≠Φ，则a 的取值范围是（ ） ()9A a <，()9B a ≤，()9C a ≥，()19D a <≤ 5、已知{}2,4,1U a =-，{}2 2,2A a a =-+，如果C U A ＝｛－1｝，那么a 的值为 。 6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A . §1.1.2集合间的基本关系 -----子集、全集、补集练习题 A 组： 1.已知集合P={1，2}，那么满足Q ?P 的集合Q 的个数为（ ） A ．4 B.3 C.2 D. 1 2.满足{1，2}{}1,2,3,4,5A ??条件的集合A 的个数为（ ） A.4 B.６ C.８ D.１０ 3．集合{ }2|210,A x x x x R =--=∈的所有子集的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 4.在下列各式中错误的个数是( ) ①}{ 10,1,2 ∈;②}{}{10,1,2∈;③}{}{0,1,20,1,2?;④}{0,1,2φ≠ ?;⑤}{}{0,1,22,0,1= A.1 B.2 C.3 D. 4 5．下列六个关系式中正确的有（ ） ①{}{}a b b a ,,=；②{}{}a b b a ,,?；③{}{}a b b a ,,?；④{}0φ=；⑤{}0φ≠ ?；⑥0{}0∈． A.６个 B.５个 C.４个 D.３个及３个以下 6． 全集{}{} 21,2,3,|320,U U M x x x M ==-+=则C 等于( ) A.{}1 B.{}12， C.{}3 D.{}2 7． 知全集S 和集合M 、N 、P ，,s M C N =s N C P =，则M P 与的关系是( ) A.s M C P = B.M P = C.P M ≠ ? D.M P ≠ ? 8.已知全集{}{}{}3,5,7,3,7,7,U U A a A a ==-=数集如果C 则的值为 ( ) A.2或12 B. –2或12 C.12 D.2 9．已知U 是全集，集合M ，N 满足关系M N ?，则（ ） A 、U U C M C N ? B 、U U C M C N ? C 、U M C N ? D 、U M C N ? 10．若{}{}1,2,31,2,3,4A ≠ ??,则A = 11．设全集,U R ={}|,A x a x b =≤≤{}|>4<3u C A x x x =或,则a =______,b =______. 12. 设数集{}{} 21,2,,1,,A a B a a ==-?若A B,求实数a 的值。 13. 集合{} 2 |320,A x x x =-+={ 2 |2B x x x =-+}10a -=,,B A ?a 求的范围。 14.求满足{}{} 22|10,|10,x x x R M x x x R M ≠ +=∈??-=∈的集合的个数. 15. 已知集合{}{}|1<4,|<,A x x B x x a A B ≠ =≤=?若,求实数a 的取值集合. 16.若集合A={x ｜-2≤x ≤5}，B={x ｜m+1≤x ≤2m-1}，且B ?A ，求由m 的可取值组成的集合。 17. 设全集{}{} {}22,3,23,21,2,5I a a A a C A =+-=-=，求实数a 的值。 18．已知全集{}1,2,3,4,5,6S =，是否存在实数a 、b ， {} 2 0,M x S x ax b =∈∣++=使得{}1,4,5,6.S C M = 19．设,U R ={}|1<5,A x R x =∈-≤或x=6{}|2<5B x R x =∈≤求U C A ，U A C B B 和C 20.设全集{}{} 22|320,|0,S x x x A x x px q =-+==-+=若S C A φ=,求p 、q . B 组 1． 知{},,,s S a b A S A A =?则与的所有有序组对共有 （ ） A. 1组 B.2组 C. 3组 D.4组 2.设Ｓ为非空集合，且{}1,2,3,4,5S ?，求满足条件“若a s ∈,则6a s -∈”的集合Ｓ。 *3．集合{}012345S =，，，，，，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若1x A -?，且1x A +?，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4元子集的个数是（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 §1.1.2集合间的基本关系 -----子集、全集、补集练习题 参考答案 1—9、ACAA BCBA A 。 10、{ }4,3,2,1=A 。 11、4,3==b a 。 12、0,1-=a 。 13、2≥a 。 14、3． 15、{}4|≥a a 。 16、{}33|≤≤-m m 。 17、2=a 。 18、6,5=-=b a 。 19、{}6651|><<-≤=x x x x A C U 或或；{}52|≥<=x x x B C U 或； {}6521|==<<-=x x x x B C A 或或。 20、2,3==q p 。 B 组： 1、D ． 2、{}3，{ }5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1。 3、C ． §1.1.3 集合的基本运算----交集、并集(1) 一、知识归纳： 1、交集定义：由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。 即：=B A 。 2、并集定义：由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。 即：=B A 。 性质：=A A ，=φ A ，=B A ；A （A C U ）= ， =A A ，=φ A ，=B A ；A （A C U ）= 。 二、例题选讲： 例1、设{} 2A x x =>，{} 3B x x =<，求A B= 。 例2、设A =｛x|x 是等腰三角形｝，B =｛x|x 是直角三角形｝，求A B= 。 例3、设{}4,5,6,8A ={}3,5,7,8B =，求A B= ；A B= 。 例4、设A =｛x|x 是锐角三角形｝，B =｛x|x 是钝角三角形｝，求A B= 。 三、针对训练： 1、课本P12练习 1——5题； 2、设{}12A x x =-<<，{} 13B x x =≤≤，求A ∪B= ；A B= 。 3、设(){},46A x y y x ==-+， (){},53B x y y x ==-，求A B= 。 4、已知A 是奇数集，B 是偶数集，Z 为整数集， 则A B= ,A Z= ,B Z= ,A B= ,A Z= ,B Z= . 5、设集合{ }2 4,21,A m m =--，{}9,5,1B m m =--，又A B={9}, 求实数m 的值. 四、本课小结： 1、A ∩B= ； 2、A ∪B= 。 §1.1.3 集合的基本运算----交集、并集(2) 一、知识归纳： 1、交集性质：=A A ，=φ A ，=B A ；A （A C U ）= ， 2、并集性质：=A A ，=φ A ，=B A ；A （A C U ）= 。 3、 德摩根律： （课本P13练习4题） （A C U ） （B C U ）= ，（A C U ） （B C U ）= 。 二、例题选讲： 例1、设{}1,2,3,4,5,6,7,8U =， {}3,4,5A =，{}4,7,8B =，则C u A= ，C u B= ，(C u A) (C u B)= ，(C u A) (C u B)= ， C u (A B)= ， C u (A B)= ． 例2、已知集合{} 2 45A y y x x ==-+ ,{B x y ==，求A ∩B,A ∪B ． 例3已知{} 24A x x =-≤≤,{} B x x a =<， (1) 当A B =Φ时，求实数a 的取值范围； (2) 当A B B =时，求实数a 的取值范围． 三、针对训练： 1、课本P13练习 1—3题 2、已知{ }2 A=3,,1a a -+，{ } 2 3,21,1B a a a =--+，若{}3A B =-，求A B 3、若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )( 4、设,M P 是两个非空集合，规定{} ,M P x x M x P -=∈?且，则 ()M M P --等于（ ） M N P 第9题 ()A M ， ()B P ， ()C M P ， ()D M P 5、已知全集{}20U =不大于的质数，A,B 是U 的两个子集，且满足 (){}U A C B 3,5=，(){}U C A B 7,19=，()(){}U U C A C B 2,17=， 则=A ；=B 。 四、 本课小结：1、交集的性质：2、并集的性质：3、德摩根律： 1.1.3 集合的基本运算----交集、并集练习题(1) A 组 1． 设全集{}01234I =，，，，，集合{}0123A =，，，，集合{}234B =，，，则I I C A C B ?等于（ ）A ．φ B ．{}4 C ．{}01， D ．{}01 4，， 2．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足,A B I ??则下列各式中错误的是（ ） A 、( ) I A B I ?= B 、()() I I A B I ?=C 、()I A B ?=? D 、()() B I I I A B ?= 3、已知{ }2 32,,M x x a a a R =∣=-+∈{ } 2 ,N x x b b b R =∣=-∈，则M 、N 的关系是（ ） A ．M N M ?= .B M N M ?= .C M N = D.不确定 4．已知集合{}1M y y x =|=+，(){}2 2,1N x y x y = |+=，则集合M N ?中元素的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、多个 5．已知集合{}1M x y y x =|=+（，） ，(){}2 2,1N x y x y =|+=，则集合M N ?中元素的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、多个 6．P ，Q 为两个非空实数集合，定义{},p Q a b a P b Q +=+|∈∈{}{}0,2,5,1,2,6P Q ==，则P+Q 中元素的个数是（ ） A 、9 B 、8 C 、7 D 、6 7、全集U={1，2，3，4，5}，集合A 、B ≠ ?U ，若{}4,A B ?=( ){}2,5U A B ?=，则集合B 等于（ ） {}.2,4,5A {}.2,3,5B {}.3,4,5C {}.2,3,4D 8．满足{}12,A B a a ?=的集合A 、B 的组数为（ ） A 、5 B 、６ C 、9 D 、１０ 9．已知{ }{ } 2 2 22,,2,,M y y x x x R N y y x x x R =∣=--∈=∣=--∈则M N ?= 10．已知全集U R =，{}|112A x x =-≤-≤，{}|0B x x a a R =-≥∈， 若{|u u C A C B x x ?=〈0 }，{|u u C A C B x x ?=<1或x >3}，则a ∈________ 11．设集合{}{}2 ,21,4,5,1,9A x x B x x =--=--，若{}9,A B ?=求A B ?。 12．设集合{}{} 12,A x x B x x a =∣-≤<=∣≤，若,A B ?≠?求实数a 的集合。 13、 集合{} {}2 10,,1,2,A x x ax x R B =∣++=∈=且A B A ?=，，求实数a 的取值范围。 14．某班50个同学中有32人报名参加数学竞赛，有25人报名参加化学竞赛，有3人两样竞赛都不参加， 求： （1）数学竞赛和化学竞赛都参加的有多少人？（2）只参加一种竞赛的共有多少人？ B 组 1．设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ???? =|= +∈=|=+∈???????? ，则（ ） . B.M C.M D.M N=A M N N N ≠ ≠ =???? 2．若集合12、A A 满足12A A A ?=，则称12(,)A A 为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12A A =时， 12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合123{,,}A a a a =的不同分拆种数是（ ） A ．8 B ．9 C ．26 D ．27 3．已知全集(){} ,,,U x y x R y R = ∣∈∈集合()4,3,2y A x y x -?? =∣=??-? ? (){},32,B x y y x = ∣=-求( )U A B ?。 1.1.3 集合的基本运算----交集、并集练习题(1) 参考答案 A 组： 1—8：ABCA CBAC 9、{}13|≤≤-=x x N M 。 10、{}1∈a 。 11、{}9,8,4,4,7--=B A 。 12、{}1|-≥a a 。 13、22<≤-a 。 14、（1）10人；（2）37人。 B 组： 1-2：BD 。 3、()(){}4,2=B A C U 。 1.1.3 集合的基本运算----交集、并集练习题(2) A 组 1、已知{}4,3,2,1=U ，{ }4,3,1=A ，{}4,3,2=B ，那么=)(B A C U （ ） A ．{ }2,1 B ．{}4,3,2,1 C ．φ D ．{}φ 2．已知集合M={－1,1,2},N={y|y=x 2 ,x ∈M},则 M ?N 是( ) A ． {1} B ． {1，4} C ．{1，2，4} D ． Φ 3．全集{}12|≤≤-=x x U ，}12|{<<-=x x A ，}02|{2 =-+=x x x B ，}12|{<≤-=x x C ，则 （ ） A ．A C ? B ．A C C U ? C ．C B C U = D ．B A C U = 4．集合}1|{≤=x x M ，}|{t x x P >=，若φ≠P M ，则实数t 应该满足的条件是（ ） A ．1>t B ．1≥t C ．1 6．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的 A ．C I S I ∩（S 2∪S 3）=φ B ．S 1?（C I S 2∩C I S 3） C ．C I S I ∩C I S 2 ∩C I S 3=φ D ．S 1?（C I S 2∪C I S 3） 7．已知集合{}M =直线，{}N =圆，则M N ?中的元素个数为（ ） A ．0 B ．0，1，2其中之一 C ．无穷 D ．无法确定 8．全集{}12345U =，，，，，{}2A B ?=，{}4u C A B ?=（），{}15u u C A C B ?=（）（），，则 ____,____A B == 9．某班参加数学课外活动小组有22人，参加物理课外活动小组有18人，参加化学课外活动小组有16人，至少参加一科的课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有________人。 10．设{ }{ } 2 2 20,(2)50A x x px q B x x p x q =∣-+==∣6++++=，若12A B ???=???? ，求A B ?。 11．集合P={1，3，m}，{} 2,1Q m =，且{}1,3,P Q m ?=，求实数m 的值。 12．已知(){}(){}2 2 ,1,,4A x y y x x B x y y x =∣=++= ∣=-+，求A B ?。 13．若}06|{},065|{2 =-==+-=ax x B x x x A ，且A B A = ，求由实数a 组成的集合 B 组 1．设全集U R =，{}|0P x f x x R ==∈（），，{}|0Q x g x x R ==∈（），，{}|0S x x x R ?==∈（），， 则方程 22 0f x x x ?=（）+g （） （） 的解集为（ ） A ． P Q S ?? B ．P Q ? C ．P Q S ??u （C ） D ．P Q S ??（） 2．设P Q 、是两个集合，定义集合{} P Q ?=∈∈（a ，b ）|a P 且b Q ，若{}1234,5P =，，，，{}3456Q =，，，，则集合P Q ?中元素个数为（ ） A ．4 5 B ．54 C ．20 D ．9 1.1.3 集合的基本运算----交集、并集练习题(2) 参考答案 A 组： 1—7、CADC CCA 8、{}3,2=A ，{}4,2=B ； 9、10； 10、? ?????-=4,31,21B A ； 11、3±=m ，或0=m ； 12、()??? ? ????? ??-=47,23,3,1B A 13、{}3,2,0∈a B 组： １――２、CC 1.2函数及其表示学案 1.2.1函数的概念学案 学习目标 1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、了解构成函数的要素，进一步巩固初中常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的图像、定义域、值域 3、理解区间的概念，能准确地利用区间表示数集 4、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养抽象概括能力 教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念 教学难点 函数的概念、符号y=f(x)的理解、 教学流程 一、问题1、在初中，甚至在小学我们就接触过函数，在实际生产生活中，函数也发挥着重要的作用， 那么，请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、结合刚才的问题，阅读课本15p 实例（1）、（2）、（3），进一步体会函数的概念 问题3、在实例（1）、（2）中是怎样描述变量之间的关系的？你能仿照描述一下实例（3）中恩格尔系数和时间（年）之间的关系吗？ 问题4、分析、归纳上述三个实例，对变量之间的关系的描述有什么共同点呢？ 函数的概念 一般地，设A 、B 是______________，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_______ 一个数x ，在集合B 中都有_______________ 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作__________________ 其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的__________；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的_______ 问题5、在实例（2）中，按照图中的曲线，从集合B 到集合A 能不能构成一个函数呢？请说明理 教学资料范本 【2020最新】人教版高中数学必修三学案：1 编辑：__________________ 时间：__________________ 【学习目标】 ①知识目标：理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法。 ②能力目标：通过算法的Scilab 程序，使学生初步具备编程能力的思想。 ③情感目标：通过阅读教材和了解算法思想，体验中国古代数学的伟大，培养学生的爱国之情。 【自主学习】 1、 求两个数的最大公约数的方法有两种，分别是_________________和_______________。 2、 所谓“割圆术”，是用____________________去无限逼近圆周并以此求___________的方法。 3、 阅读教材p36页《我国古代数学家秦九韶》，理解秦九韶算法的步骤。 【典例分析】 例1 求132与143的最大公约数。 跟踪练习 求下列两个数的最大公约数：（1）8251，6105 （2）1480，480 例 2 用秦九韶算法求多项式在x=2时的函数值。 143)(2367+-+-=x x x x x f 【快乐体验】 一、选择题 1.用秦九韶算法求多项式在=－1.3的值时，令；； …；时，的值 为（ ） 654322.5666.38.135.02)(x x x x x x x f +-+-++=x 60a v =501a x v v +=056a x v v +=5v A.－9.8205 B.14.25 C.－22.445 D.30.9785 2.数4557、1953、5115的最大公约数是（ ） A.31 B.93 C.217 D.651 二、解答题 3.用等值算法求下列各数的最大公约数. （1）63，84； （2）351，513. 4.用辗转相除法求下列各数的最大公约数. （1）5207，8323； （2）5671， 10759. 5.求三个数779，209，589的最大公约数. 6.用秦九韶算法求多项式在时的值. 5365127)(2345-+--+=x x x x x x f 7=x 【反思回顾】 总结今天这节课的内容，你收获了哪些思想方法？ §2.3 幂函数2学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y＝x，y＝x，1123 y＝x，y ＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大x小(重点)．预习教材P77－P78，完成下面问题：知识点1 幂函数的概念α一般地，函数y＝x叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) 4－(1)函数y＝x是幂函数．( ) 5x－(2)函数y＝2是幂函数．( ) 12 (3)函数y＝－x是幂函数．( ) 45 －提示(1)√ 函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数；x－(2)× 幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2不是幂函数； 12α (3)× 幂函数中x的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：1231－幂函数 y＝x y＝x y＝x y＝x 2 y＝x (－∞，0)∪定义域 [0，＋∞) R R R (0，＋∞) *0，＋∞) 值域 [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} R R 偶奇奇偶性奇非奇非偶奇 x∈[0，＋∞)，增增单调性增增 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0]，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1,1) 【预习评价】5 3 (1)设函数f(x)＝x，则f(x)是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数33－－(2)3.17与3.71的大小关系为________．解析(1)易知f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．13－(2)易知f(x)＝x＝在(0，＋∞)上是减函数，又 3.17<3.71，所以 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 §3.3 几何概型 课前预习案 教材助读 预习教材P135-P136，完成以下问题。 几何概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性. 课内探究案 一、新课导学 1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。 2.几何概型： （1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) = ,则称这种模型为几何概型。 （2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或 。 二、合作探究 探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。 问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性. 几何概型概率计算公式： P(A)=____________________________________ ※ 典型例题 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________. 例2、（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则 （1）求这两个数的平方和不大于1的概率； （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______. 三、当堂检测 1、平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r 的硬币任意掷在这平面上 2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； 高中数学必修二复习全册导学案 必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)） （数学1必修）第一章（上） 集合 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ． },01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 二、填空题 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1 ______,_______,______2 R Q Q e C Q π- （e 是个无理数） （3{} |,,x x a a Q b Q =∈∈ 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则 C 的 非空子集的个数为 。 3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． A B C 高中数学必修 1 知识点总结 集合 （1）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ） （2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素 （3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法 子集：若 x A x ，则 A ，即 是 的子集。 B B A B 、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有 2 n 个，真子集有 (2 n -1) 个。 1 A n A 、任何一个集合是它本身的子集，即 A A 注 2 关系 、对于集合 A,B,C, 如果 A ，且 B C, 那么 A C. 3 B 、空集是任何集合的（真）子集。 4 真子集：若 且 （即至少存在 x 0 但 ），则 是 的真子集。 集合 ABAB B x 0 A A B 集合相等： A 且 A B A B B 集合与集合 定义： A B x / x 且 x B 交集 A 性质： ， ， ， ， AAAA ABBAABA,ABBAB A 定义： A B x / x 或 x B 并集 A 性质： ， ， ， ， ， 运算 AAAA AABBAABAABBAB A Card( A B) Card( A) Card( B) - Card( A B) 定义： C U A x/ x U 且x A A 补集 性质： A) A ， A U ， C U (C U A) ， ， (C U (C U A) A C U (A B) (C U A) (C U B) C U (A B) (C U A) (C U B) 函数 按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业 第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360° 课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、 §1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1．下列说法正确的是（ ） （A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是 （ ） A ．}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．}01|{2 =+-x x x 3．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{. 4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝ 5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． ．例：x 2 －3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的． 1 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； 高一数学必修1知识网络 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P84～P91，回答下列问题． (1)两个变量之间除了函数关系还有其他关系吗？ 提示：相关关系． (2)当两个变量呈负相关关系时，散点图有什么特点？ 提示：当两个变量之间呈负相关关系时，散点图中的点散布的位置是从左上角到右下角的区域． (3)求回归直线方程的主要方法是什么？ 提示：求回归直线方程的主要方法是最小二乘法． 2．归纳总结，核心必记 (1)变量之间的相关关系 变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，变量之间的关系可以用解析式表示；另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用解析式来表达． (2)两个变量的线性相关 ①散点图 将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图． ②正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． ③负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关． ④线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程叫做回归直线方程，简称回归方程． (3)回归直线方程 ①回归直线方程 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2) ，…，(x n ，y n )，则所求回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^是回归方程的斜率，a ^ 是截距． 其中????? b ^＝∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y ) ∑i ＝1 n (x i －x ) 2 ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ， a ^＝y － b ^x －. ②最小二乘法 通过求Q ＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2 的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． [问题思考] (1)任意两个统计数据是否均可以作出散点图？ 提示：可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图． (2)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？ 提示：用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程无意义． (3)根据a ^＝y －b ^x 及回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^ ，判断点(x ，y )与回归直线的关系是什么？ 提示：由a ^＝y －b ^x 得y ＝b ^x ＋a ^ ，因此点(x ，y )在回归直线上． [课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点： (1)相关关系： ； (2)散点图： ； (3)回归直线方程及求回归直线方程的方法步骤： . 瑞雪兆丰年，这不禁使我们想到这样一句谚语：“冬天麦盖三层被，来年枕着馒头睡”，意思是冬天“棉被”盖得越厚，春天小麦就长得越好． [思考1] 下雪与小麦丰收有关系吗？ 【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案 §1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1．下列说法正确的是（ ） （A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是 （ ） A ．}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．}01|{2 =+-x x x 3．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{. 4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝ 5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． ．例：x 2 －3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}， 课题：§集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一 个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评， 进而讲解下面的问题。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5.元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A（或a A）（举例） 6.常用数集及其记法 ∈ 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表 示集合。 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 例1．（课本例1） 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？ 问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义 通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征 由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号 （III ）课堂练习 （IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。【2020最新】人教版高中数学必修三学案：1
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